福建省三明市沙县重点中学2023-2024学年高一上学期第三次（12月）月考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省三明市沙县重点中学2023-2024学年高一上学期第三次（12月）月考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 486.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-04 19:44:57 | ||
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文档简介
沙县一中2023-2024学年上学期第三次月考高一数学试卷
（满分：150分；时间：120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题（本大题共8小题，每题5分，共40.0分）
1．已知集合，则＝（ ）
A．{x|1＜x≤4} B．{x|0＜x≤6} C．{x|0＜x＜1} D．{x|4≤x≤6}
2．已知，，试比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（ ）
B． C． D．
6．已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
8．已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，少选2分，共20.0分）
9．下列函数中，与是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知且，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数取值范围的有（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在上的函数满足，，，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数 D．
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分）
13．对于命题，，则命题p的否定为 ．
14．已知，则的最小值为__________．
15．定义区间的长度为，若关于的不等式的解集区间长度为，则实数的值为 ．
16．已知函数（，）的图象与轴的交点为，且在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）
（1）．
（2）已知，求．
（12分）
在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转后得到角，记角的终边与单位圆的交点为．
若，求点的坐标；
若，求的值．
(12分）
已知函数．
判断的奇偶性并证明；
当时，判断的单调性并证明；
在的条件下，若实数满足，求的取值范围．
（12分）
生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测第一次监测时的总量为单位：吨，此时开始计时，时间用单位：月表示：甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
月
吨
为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：且．
请根据表中提供的前列数据确定两个函数模型的解析式
根据第，列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月
参考数据：，
（12分）
已知函数为奇函数．
求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合．
求函数，的单调递减区间．
（12分）
若函数对于定义域内的某个区间内的任意一个，满足，则称函数为上的“局部奇函数”；满足，则称函数为上的“局部偶函数”已知函数，其中为常数．
若为上的“局部奇函数”，当时，求不等式的解集；
已知函数在区间上是“局部奇函数”，在区间上是“局部偶函数”，．
(ⅰ)求函数的值域；
(ⅱ)对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】化简集合，按照补集定义求出，再按交集定义，即可求解.
【详解】,
或，
，
.
故选:A.
【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题.
2．B
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将 与0 1相比较，即可得到结论.
【详解】∵，
，
，
∴.
故选：B.
3．C
【分析】判断函数零点问题，要先考虑函数定义域和单调性，再运用零点存在定理确定零点所在区间.
【详解】由知函数定义域为，且在为增函数，又，
故函数的零点所在的区间为.
故选：C.
4．A
【分析】首先判断奇偶性，再由区间上的函数值，利用排除法判断即可.
【详解】根据题意，函数，其定义域为，
由，函数为偶函数，
函数图象关于轴对称，故排除C、D；
当时，，，则，排除B.
故选：A．
5．B
【分析】设圆的半径为，利用勾股定理求出，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；
【详解】解：设圆的半径为，则，，
由勾股定理可得，即，
解得，所以，，
所以，因此.
故选：B
6．B
【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较
【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件
故选：B
7．D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
8．D
【分析】由函数单调性的定义可得函数在上单调递增，结合分段函数、对数函数的单调性，列出不等式即可得解.
【详解】因为函数满足时，恒有成立，
即函数满足时，恒有成立，
所以函数在上单调递增，
所以，解得.
故选：D.
9．AC
【解析】从函数的定义域是否相同及函数的解析式是否相同两个方面判断．
【详解】的定义域为，值域为，
对于A选项，函数的定义域为，故是同一函数；
对于B选项，函数，与解析式、值域均不同，故不是同一函数；
对于C选项，函数，且定义域为，故是同一函数；
对于D选项，的定义域为，与函数定义域不相同，故不是同一函数.
故选：AC．
【点睛】本题考查同一函数的概念，解答的关键点在于判断所给函数的定义域、解析式是否相同.
10．BD
【分析】用对数函数的性质判断A；用指数函数的单调性判断B；举反例论证C；用正切函数的性质判断D.
【详解】由条件知，又，
对A：存在，故不一定成立，故A错误；
对B：因为指数函数当时是减函数，故B正确；
对C：当时，满足已知条件，但，故C错误；
对D：为正切函数的周期且正切函数在定义域上为增函数，故，故D正确；
故选：BD
11．BCD
【分析】将方程有根转化为曲线和直线的交点个数问题，根据函数图像分析运算即可得解.
【详解】解：因为关于的方程恰有两个不同的实数解，
所以函数的图象与直线的图象有两个交点，作出函数图象，如下图所示，
所以当时，函数与的图象有两个交点，
所以实数m的取值范围是．
四个选项中只要是的子集就满足要求.
故选：BCD.
12．BC
【分析】根据抽象函数的特点得到抽象函数的对称性，奇偶性和周期性，再根据周期性求值即可.
【详解】因为，所以，
即，所以是周期为3的周期函数，C正确；
因为为奇函数，所以，
以替换可得，
又因为周期为3且，
所以，所以为偶函数，所以B正确，A错误；
对于D：因为，令，则，
因为为奇函数，所以，
所以关于点中心对称，
所以，所以，
因为是周期为3的周期函数，所以，
所以，
所以，
D错误，
故选：BC
【点睛】关键点睛：若能熟练掌握抽象函数的性质如为奇函数等价于函数关于点中心对称，等价于函数周期为3等则能快速解决抽象函数问题.
13．，
14．
15．
16．
【分析】根据结合求得，然后求出在坐标原点两侧最接近0的两个零点，根据题意列不等式求解即可.
【详解】由题意知，则.因为，所以，所以.
令，得，令，得，
所以在坐标原点两侧最接近0的两个零点分别为和，
由题意且，解得，即的取值范围是.
故答案为：
17．（1）；（2）
【分析】（1）根据对数运算性质即可求解.
（2）先利用诱导公式进行化简；再根据特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】（1）原式
（2）因为
所以
18．【答案】解：因为角的终边与单位圆交于点，
所以，．
因为角的终边顺时针旋转后得到角，
所以，
．
当时，因为角的终边与单位圆的交点为，
所以点的坐标为
因为，，
所以，即．
因为，
所以，
所以；
19【答案】证明：为奇函数，证明如下：
函数的定义域关于原点对称，
，
故为奇函数；
时，单调递增，证明如下：
设，，
则，
，
所以，
所以在上单调递增；
解：在的条件下，当时，由，可得，
解得，
故的取值范围是．
20．【答案】解：由已知将前列数据代入解析式得：
解之得：，函数模型的解析式为：
将前列数据代入解析式得：
解之得：，
函数模型的解析式为：．
当时，模型，模型
当时，模型，模型
选模型
当总量再翻一番时有：，解之得，
即再经过个月时，总量能再翻一番．
21．【答案】解：依题意有，，．
即．
当即时取最小值
当即时取最大值．
依题意，单调递减，则，
，又，
令，得其减区间为与
22.【答案】解：若为上的“局部奇函数”，则，
即，整理可得，
解得，即，
当时，不等式，即为，
可得，即，
则原不等式的解集为；
令，则在递增，当时，；
因为在递增，所以时，；
又因为在为“局部偶函数”，可得时，；
综上可得，的值域为，；
(ⅱ)对于上的任意实数，，，不等式恒成立，
当时，可得，
即有，解得；
当时，显然符合题意；
当时，可得，
即有，解得，
综上的取值范围是
【解析】本题考查函数的新定义的理解和应用，以及函数恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于拔高题．
由“局部奇函数”的定义，结合指数不等式的解法，可得解集；
由分段函数的形式写出的解析式，再由换元法和函数的单调性，可得所求值域；
(ⅱ)由题意对分类讨论，转化为最值，结合的值域，可得所求范围．
（满分：150分；时间：120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题（本大题共8小题，每题5分，共40.0分）
1．已知集合，则＝（ ）
A．{x|1＜x≤4} B．{x|0＜x≤6} C．{x|0＜x＜1} D．{x|4≤x≤6}
2．已知，，试比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（ ）
B． C． D．
6．已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
8．已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，少选2分，共20.0分）
9．下列函数中，与是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知且，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数取值范围的有（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在上的函数满足，，，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数 D．
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分）
13．对于命题，，则命题p的否定为 ．
14．已知，则的最小值为__________．
15．定义区间的长度为，若关于的不等式的解集区间长度为，则实数的值为 ．
16．已知函数（，）的图象与轴的交点为，且在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）
（1）．
（2）已知，求．
（12分）
在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转后得到角，记角的终边与单位圆的交点为．
若，求点的坐标；
若，求的值．
(12分）
已知函数．
判断的奇偶性并证明；
当时，判断的单调性并证明；
在的条件下，若实数满足，求的取值范围．
（12分）
生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测第一次监测时的总量为单位：吨，此时开始计时，时间用单位：月表示：甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
月
吨
为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：且．
请根据表中提供的前列数据确定两个函数模型的解析式
根据第，列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月
参考数据：，
（12分）
已知函数为奇函数．
求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合．
求函数，的单调递减区间．
（12分）
若函数对于定义域内的某个区间内的任意一个，满足，则称函数为上的“局部奇函数”；满足，则称函数为上的“局部偶函数”已知函数，其中为常数．
若为上的“局部奇函数”，当时，求不等式的解集；
已知函数在区间上是“局部奇函数”，在区间上是“局部偶函数”，．
(ⅰ)求函数的值域；
(ⅱ)对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】化简集合，按照补集定义求出，再按交集定义，即可求解.
【详解】,
或，
，
.
故选:A.
【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题.
2．B
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将 与0 1相比较，即可得到结论.
【详解】∵，
，
，
∴.
故选：B.
3．C
【分析】判断函数零点问题，要先考虑函数定义域和单调性，再运用零点存在定理确定零点所在区间.
【详解】由知函数定义域为，且在为增函数，又，
故函数的零点所在的区间为.
故选：C.
4．A
【分析】首先判断奇偶性，再由区间上的函数值，利用排除法判断即可.
【详解】根据题意，函数，其定义域为，
由，函数为偶函数，
函数图象关于轴对称，故排除C、D；
当时，，，则，排除B.
故选：A．
5．B
【分析】设圆的半径为，利用勾股定理求出，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；
【详解】解：设圆的半径为，则，，
由勾股定理可得，即，
解得，所以，，
所以，因此.
故选：B
6．B
【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较
【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件
故选：B
7．D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
8．D
【分析】由函数单调性的定义可得函数在上单调递增，结合分段函数、对数函数的单调性，列出不等式即可得解.
【详解】因为函数满足时，恒有成立，
即函数满足时，恒有成立，
所以函数在上单调递增，
所以，解得.
故选：D.
9．AC
【解析】从函数的定义域是否相同及函数的解析式是否相同两个方面判断．
【详解】的定义域为，值域为，
对于A选项，函数的定义域为，故是同一函数；
对于B选项，函数，与解析式、值域均不同，故不是同一函数；
对于C选项，函数，且定义域为，故是同一函数；
对于D选项，的定义域为，与函数定义域不相同，故不是同一函数.
故选：AC．
【点睛】本题考查同一函数的概念，解答的关键点在于判断所给函数的定义域、解析式是否相同.
10．BD
【分析】用对数函数的性质判断A；用指数函数的单调性判断B；举反例论证C；用正切函数的性质判断D.
【详解】由条件知，又，
对A：存在，故不一定成立，故A错误；
对B：因为指数函数当时是减函数，故B正确；
对C：当时，满足已知条件，但，故C错误；
对D：为正切函数的周期且正切函数在定义域上为增函数，故，故D正确；
故选：BD
11．BCD
【分析】将方程有根转化为曲线和直线的交点个数问题，根据函数图像分析运算即可得解.
【详解】解：因为关于的方程恰有两个不同的实数解，
所以函数的图象与直线的图象有两个交点，作出函数图象，如下图所示，
所以当时，函数与的图象有两个交点，
所以实数m的取值范围是．
四个选项中只要是的子集就满足要求.
故选：BCD.
12．BC
【分析】根据抽象函数的特点得到抽象函数的对称性，奇偶性和周期性，再根据周期性求值即可.
【详解】因为，所以，
即，所以是周期为3的周期函数，C正确；
因为为奇函数，所以，
以替换可得，
又因为周期为3且，
所以，所以为偶函数，所以B正确，A错误；
对于D：因为，令，则，
因为为奇函数，所以，
所以关于点中心对称，
所以，所以，
因为是周期为3的周期函数，所以，
所以，
所以，
D错误，
故选：BC
【点睛】关键点睛：若能熟练掌握抽象函数的性质如为奇函数等价于函数关于点中心对称，等价于函数周期为3等则能快速解决抽象函数问题.
13．，
14．
15．
16．
【分析】根据结合求得，然后求出在坐标原点两侧最接近0的两个零点，根据题意列不等式求解即可.
【详解】由题意知，则.因为，所以，所以.
令，得，令，得，
所以在坐标原点两侧最接近0的两个零点分别为和，
由题意且，解得，即的取值范围是.
故答案为：
17．（1）；（2）
【分析】（1）根据对数运算性质即可求解.
（2）先利用诱导公式进行化简；再根据特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】（1）原式
（2）因为
所以
18．【答案】解：因为角的终边与单位圆交于点，
所以，．
因为角的终边顺时针旋转后得到角，
所以，
．
当时，因为角的终边与单位圆的交点为，
所以点的坐标为
因为，，
所以，即．
因为，
所以，
所以；
19【答案】证明：为奇函数，证明如下：
函数的定义域关于原点对称，
，
故为奇函数；
时，单调递增，证明如下：
设，，
则，
，
所以，
所以在上单调递增；
解：在的条件下，当时，由，可得，
解得，
故的取值范围是．
20．【答案】解：由已知将前列数据代入解析式得：
解之得：，函数模型的解析式为：
将前列数据代入解析式得：
解之得：，
函数模型的解析式为：．
当时，模型，模型
当时，模型，模型
选模型
当总量再翻一番时有：，解之得，
即再经过个月时，总量能再翻一番．
21．【答案】解：依题意有，，．
即．
当即时取最小值
当即时取最大值．
依题意，单调递减，则，
，又，
令，得其减区间为与
22.【答案】解：若为上的“局部奇函数”，则，
即，整理可得，
解得，即，
当时，不等式，即为，
可得，即，
则原不等式的解集为；
令，则在递增，当时，；
因为在递增，所以时，；
又因为在为“局部偶函数”，可得时，；
综上可得，的值域为，；
(ⅱ)对于上的任意实数，，，不等式恒成立，
当时，可得，
即有，解得；
当时，显然符合题意；
当时，可得，
即有，解得，
综上的取值范围是
【解析】本题考查函数的新定义的理解和应用，以及函数恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于拔高题．
由“局部奇函数”的定义，结合指数不等式的解法，可得解集；
由分段函数的形式写出的解析式，再由换元法和函数的单调性，可得所求值域；
(ⅱ)由题意对分类讨论，转化为最值，结合的值域，可得所求范围．
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