八年级数学下册全册(新版北师大版)精品导学案

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第一章　三角形的证明
第一节 等腰三角形（一）
【学习目标】
1、理解证明基础的几条公理的内容，用这些公理证明等腰三角形的性质定理；
2、熟悉证明的基本步骤和书写格式；
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】
重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法。
难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1、两边及其________对应相等的两个三角形全等（SAS）；
2、两角及其________对应相等的两个三角形全等（ASA）；
3、________对应相等的两个三角形全等（SSS）；
4、________及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；
5、全等三角形的对应边________,对应角________。
6、有__________的三角形叫做等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形，相等的两边叫做____，两腰的夹角叫做_____，腰与底边的夹角叫做________，____________________________的三角形叫做等边三角形。
7、阅读教材：第1节《等腰三角形》。
二、教材精读
8、已知：△ABC是等腰三角形，AB=AC
求证：∠B=∠C (提示：利用三角形全等证明。你能想到哪些方法？)
归纳：1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）；
推理格式：∵AB=AC，∴_________（等边对等角）
2、推论（三线合一）： ；
推理格式：
①∵AB=AC,AD⊥BC, ②∵AB=AC, BD=DC, ③∵AB=AC,___平分____,
∴BD=DC,AD平分_____, ∴___⊥___,___平分_____, ∴________________,
实践练习: 1、等腰三角形的两边分别是7 cm和3 cm，则周长为 ____ 。
2、如图在△ABC中，AB = AC，AD⊥AC，∠BAC = 100°。求：∠1、∠B的度数。
模块二 合作探究
9、如图，已知∠D =∠C，∠A =∠B，且AE = BF。求证：AD = BC。
10、如图，在△ABC中，D为AC上一点，并且AB = AD，DB = DC，若∠C = 29°，求∠A。
模块三 形成提升
1、 填空：
（1）如图，在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD。
请找出所有的等腰三角形 _________ 。
（2）等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为 _________ 。
（3）等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为 _ 。
（4）等腰三角形的一个角为100°，则另两个角为 _ 。
（5）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 __ 度。
2、如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC。
求证：∠1 =∠2。
模块四 小结反思
一、本课知识：
1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）；
2、推论（三线合一）： ；
二、本课典例：利用等腰三角形的性质和定理和三角形的全等，求角和边。
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
第一章　三角形的证明
第一节 等腰三角形（二）
【学习目标】
1． 经历“探索—发现—猜想—证明”过程，用三角形全等证明等腰三角形的一些线段相等。
1． 借助等腰三角形的三线合一推论解决实际问题。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：证明等腰三角形的 一些线段相等。
难点：能够用综合法证明等腰三角形的有关性质和定理。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）；
2、推论（三线合一）： ；
3、阅读教材：第1节《等腰三角形》
二、教材精读
4、证明：等腰三角形的两底角的角平分线相等
已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线，求证：BD=CE
证明：∵AB=AC（ ）
∴________________（等边对等角）
又∵BD、CE是△ABC的角平分线,
∴∠DBC= ∠ABC,∠ECB=________,
∴∠DBC=∠ECB
∴在△BCE与△CBD中，
5、推理论证：等腰三角形两腰上的中线(高)相等；（画图、写出已知、求证、证明过程）
已知：如图，
求证：
证明：
归纳：等腰三角形两腰上的中线（高线）、两底角的平分线 _____ 。
6、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC,求证：∠A=∠B=∠C
归纳：等边三角形的三个内角都_______，并且每个内角都等于____°。
模块二 合作探究
6、在如图的等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，
那么BD=CE吗 由此，你能得到一个什么结论
(2)如果AD= AC，AE = AB，那么BD=CE吗 由此你得到什么结论
7、如图，中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD = CE。求证：是等腰三角形。
模块三 形成提升
1、 如图，E是△ABC内的一点，AB = AC，连接AE、BE、CE，且BE = CE，延长AE，交BC边于点D。求证：AD⊥BC。www-2-1-cnjy-com
2、已知：如图，点D,E在三角形ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE
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模块四 小结反思
一、本课知识：
1、等腰三角形两腰上的中线（高线）、两底角的平分线 _____ 。
2、等边三角形的三个内角都_______，并且每个内角都等于____°。
二、本课典例：
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
第一章　三角形的证明
第一节 等腰三角形（三）
【学习目标】
1、 能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。
2、运用等腰三角形的判定定理解决一些实际问题。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：等腰三角形的判定定理。
难点：灵活运用等腰三角形的判定定理和性质解决实际问题。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）；
2、推论（三线合一）： ；
3、证明三角形全等的方法：SAS、_______、_______、_______.
4、阅读教材：第1节《等腰三角形》
二、教材精读
5、已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C,求证：AB=AC （提示：构造两个全等三角形证明）
归纳：1、有两个角相等的三角形是______三角形。（简称“等角对等边”）
推理格式：∵∠B=∠C,∴___________(等角对等边)
2、反证法证明问题的一般步骤：
从结论的 _ 出发，先假设命题的结论 ( http: / / www.21cnjy.com ) __ ，然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相 __ 的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为 ____ 。
实践练习：1、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
2、 如图，在△ABC中，AB = AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形。
模块二 合作探究
1、 如图，在中，∠ABC的平分线交AC于点D，DE∥BC。
求证：△EBD是等腰三角形。
2、如图，一艘船从A处出发，以18节的速度 ( http: / / www.21cnjy.com )向正北航行，经过10时到达B处。分别从A、B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°。求 B处到灯塔C 的距离。
模块三 形成提升
1、已知：如图，在三角形ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，E是AC延长线上的一点且DB=CE,DE交BC于M.求证：MD=ME.
( http: / / www.21cnjy.com )
2、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。
模块四 小结反思
一、本课知识：
1、等腰三角形的判定定理： （简称“等角对等边”）；
2、反证法： ___________ ；
_____________________________________________________________________________
二、本课典例：
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
第一章　三角形的证明
第一节 等腰三角形（四）
【学习目标】
1、能够用综合法证明等边三角形的判定定理，进一步学习证明的基本步骤和书写格式。
2、运用等边三角形的性质和判定定理证明直角三角形的有关性质。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质。
难点：运用等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质解决实际问题。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1、三边都_________的三角形是等边三角形。
2、等边三角形的三个内角都__________,并且都等于______。
3、等腰三角形的判定：有__________相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）
4、等腰三角形的性质：等腰三角形两底角_______(简称“____________”)
5、阅读教材：第1节《等腰三角形》
二、教材精读
6、已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C。 求证：△ABC是等边三角形。
证明：∵∠A=∠B，∠B=∠C
∴AC=____,AB=______,
∴
7、一个等腰三角形满足什么条件便称为等边三角形？
8、已知：如图△ABC是直角三角形，∠BAC=30°，求证：BC=AB
证明：延长BC到D，使CD=BC,再连接AD ∴在△ABC和△ADC中，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠1=_____°
又∠1+∠2=180°，所以∠2=_____
归纳：1、等边三角形的判定
1） 三条边都_______的三角形是等边三角形 。
2） 三个_____都相等的三角形是等边三角形 。
3） 有一个角等于_____的等腰三角形是等边三角形。
2、等边三角形是特殊的________三角形，它具有等腰三角形的一切性质，除此之外，它还具有每个内角都是_____的特殊性质。
3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的________。
模块二 合作探究
9、填空：（1）如图1，BC = AC，若 ，则△ABC是等边三角形。
（2）如图2，AB = AC，AD⊥BC，BD = 4，若AB = ，则△ABC是等边三角形。
（3）如图3，在Rt中，∠B = 30°，AC = 6cm，则AB = ；若AB = 7，则AC = 。
图1 图2 图3
10、已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E。
求证：△ADE 是等边三角形。
证明：∵DE∥BC
∴
11、如图，在Rt中，∠B = 30°，BD = AD，BD = 12，求DC的长。
模块三 形成提升
1、 已知：中，，，，AB = 40，求DB的长。
2、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD。
模块四 小结反思
一、本课知识：
1、三条边都_______的三角形是等边三角形 。
2、三个_____都相等的三角形是等边三角形 。
3、有一个角等于_____°的等腰三角形是等边三角形。
4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的________。
二、本课典例：
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
第一章　三角形的证明
第二节 直角三角形（一）
【学习目标】
1、 了解勾股定理及其逆定理的证明方法。
1、 结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：勾股定理及其逆定理。
难点：结合具体例子了解逆命题的概念。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1、直角三角形：有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。
2、边的关系：直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。
角的关系：直角三角形的两个锐角_________。
3、有两个角___________的三角形是直角三角形。
4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的________。
5、阅读教材：第2节《直角三角形》
二、教材精读
6、用两种不同的方法表示右图梯形的面积。
解：①S= （上底+下底）×高=
②S=
因为S= S，所以
归纳：勾股定理：直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。
7、已知：如图，在△ABC，AB2+AC2=BC2，求证：△ABC是直角三角形。
证明：作出Rt△A’B’C’，使∠A=90°，A’B’=AB，A’C’=AC，则
B’C’2=_____________（勾股定理）
∵AB2+AC2=BC2 ，A’B’=AB，A’C’=AC，
∴BC2= B’C’2
∴BC=_______
∴在△ABC和△A’B’C’中，
∴∠A=∠A’=90°(全等三角形的对应角相等)
∴△ABC≌△A’B’C’ (______)
因此，△ABC是直角三角形。
归纳：1、勾股定理的逆定理：∵AB2+AC2=BC2，，∴∠___=90°（△ABC是直角三角形）
2、互逆命题：在两个命题中，如果一 ( http: / / www.21cnjy.com )个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______，那么这两个命题称为__________，其中一个命题称为另一个命题的__________。
3、互逆定理：一个命题是真命题，它 ( http: / / www.21cnjy.com )的逆命题却______是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为________，其中一个定理称为另一个定理的________。2·1·c·n·j·y
模块二 合作探究
8、已知：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=。
（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：△ABC是直角三角形.
9、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生 ( http: / / www.21cnjy.com )物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
10、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。
（1）如果ab=0,那么a=0,b=0；（2）初三（6）班有62位同学；（3）等边对等角；
11、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。
（1）如果，则 （2）全等三角形对应角相等（3）对顶角相等
模块三 形成提升
1、直角三角形的两直角边为 ( http: / / www.21cnjy.com )9、12，则斜边为 ；直角三角形的两边分别为13和 5，则另一条边为 。如果三角形的三边长是6、10、8，则这个三角形是 三角形。
2、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，求：AD
模块四 小结反思
一、本课知识：
1、勾股定理：直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。
2、如果三角形两边的平方___等于第三边的______，那么这个三角形是____三角形。
二、本课典例：
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？
第一章　三角形的证明
第二节 直角三角形（二）
【学习目标】
1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法，能够证明直角三角形全等“HL”判定定理
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】直角三角形全等“HL”判定定理。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1、一般三角形全等判定方法有： 。
2、直角三角形的判定：①有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。
②有两个角互余的三角形是_____三角形。
③如果三角形两边的平方___等于第三边的______，那么这个三角形是____三角形。
3、阅读教材：第2节《直角三角形》
二、教材精读
4、已知：如图，△ABC和△A’B’C’中∠C=∠C’=90°，且AB=A’B’，BC=B’C’，
求证：△ABC≌△A’B’C’
( http: / / www.21cnjy.com )
证明：Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，
AC2=___________ , A’C’2=____________2,（勾股定理）
∵AB=A’B’，BC=B’C’，’
∴AC2=______ ∴AC=_______
∴△ABC ≌A’B’C’( )
归纳：斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。（“斜边、直角边”或“__”）
推理格式：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°
∵ AB=A’B’
BC=B’C’
∴△ABC ____A’B’C’(HL)
实践练习：
如图，∠B =∠E = 90°，AC = DF，BF = EC。求证：BA = ED。
模块二 合作探究
5、在Rt△ABC中，∠C = 90°，且DE⊥AB，CD = ED，求证：AD是∠BAC的角平分线。
6、如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E是AB上的一点，求证：CE = DE。
7、用三角尺可以作角平线 ( http: / / www.21cnjy.com )，如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线。
证明：
模块三 形成提升
1、如图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°。
（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
（3）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
2、如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD = CD。
求证：EB = FC。
模块四 小结反思
一、本课知识：
1、斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。（“斜边、直角边”或“__”）
二、本课典例：
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
第一章　三角形的证明
第三节 线段的垂直平分线（一）
【学习目标】
1、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。
2能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用。
难点：线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1、段的垂直平分线：垂直且______一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
2、线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。
3、阅读教材：第3节《线段的垂直平分线》
二、教材精读
4、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。
求证：PA=PB。
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=_______=90°
∵在△PC和△PCB中，
∴△PCA≌△PCB（ ）
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
归纳：线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。
推理格式:∵PC⊥AB，AC=____(点P在线段AB的垂直平分线MN上),
∴ =PB
5、这个定理的逆命题：到线段两个端点的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离相等的点， ______________________________,它是___命题。如果是真命题请证明。2-1-c-n-j-y
已知：如图，AB=AC
求证：点A在线段BC的垂直平分线上
证明：（提示：利用等腰三角形三线合一）
归纳：定理：到一条线段两个端点距离__________的点，在这条线段的____________线上。
推理格式：∵AB = AC，∴____点在线段BC的 __。
模块二 合作探究
6、已知：线段AB 解：作图如下：
求作：线段AB的垂直平分线CD。21世纪教育网
作法：（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB
的长为半径作弧，两弧相交于点C、D
（2）作直线CD。
即直线CD就是线段AB的垂直平分线。
归纳：因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，
所以我们也用这种方法作线段的_____________。
7、如图，在△ABC中，∠C = 90°，DE是AB的垂直平分线。
1）则BD = ；
2）若∠B = 40°，则∠BAC = °，∠DAB = °，
∠DAC = °，∠CDA = °；
3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC = __ ，△ACD的周长为 __ 。
8、如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E， AC = 5，BC = 8，求：△AEC的周长。
模块三 形成提升
在△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC。
模块四 小结反思
一、本课知识：
1、线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。
2、到一条线段两个端点距离__________的点，在这条线段的____________线上。
二、本课典例：
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
第一章　三角形的证明
第三节 线段的垂直平分线（二）
【学习目标】
1、知道三角形三条边的垂直平分线的性质。
2、能够利用尺规作已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：用尺规作已知线段垂直平分线。
难点：已知底边及底边上的高求作等腰三角形。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1、尺规作图是指用 作图。
2、线段垂直平分线上的点到 。
3、到一条线段两个端点距离相等的点，在 。
4、阅读教材：第3节《线段的垂直平分线》
二、教材精读
5、已知：如图，在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P，
求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，且AP=BP=CP。
证明：连接AP、BP、CP，
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=____（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）
∵点P在线段BC的垂直平分线上，
∴
归纳：三角形三条边的__________线相交于_____，并且这一点到三个______的距离相等。
推理格式：∵点P是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，
∴PA=_____=_______.
6、做一做：已知底边上的高，求作等腰三角形。
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
作法：
（1）作线段AB=a； 解：作图如下：
（2）作线段AB的垂直平分线，交BC于点D，
（3）在L上作线段DC，使DC=h
（4）连接AC，BC。△ABC为所求的等腰三角形。
模块二 合作探究
7、如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站建在什么地方，才能使它到A、B的距离相等？
8、已知直线AB和AB上（外）一点P，利用尺规作的垂线，使它经过点P。
模块三 形成提升
1、△ABC的三条边的垂直平分线相交于点P，若PA = 10，则PB= _ ，PC=_ 。
2、已知：线段=3cm、C=5cm
求作：Rt△ABC，使斜边AB = C
作法：
3、已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O。
求证：OA=OB=OC．
模块四 小结反思
一、本课知识：
1、三角形三条边的__________线相交于_____，并且这一点到三个______的距离相等。
二、本课典例：
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
第一章　三角形的证明
第四节 角平分（一）
【学习目标】
1、 能够证明角平分线的性质定理、判定定理。
1、 能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：角平分线的性质定理、判定定理。
难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1、点到直线的距离：由这点向直线引____，这点到垂足间线段的___叫做这点到直线的距离。
2、角平分线性质定理：角平分线上的____到这个角的两边的距离________。
3、阅读教材P28—P29：第4节《角平分线》
二、教材精读
4、已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为D，E，求证：PD=PE
证明:∵PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为D，E，
∴∠PDO=______=90°
∵OC是∠AOB的角平分线，
归纳：角平分线上的____到这个角的两边的距离________。(证明两条线段相等)
推理格式：∵点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB，
∴PD= __
5、已知：如图，点P为∠AOB内一点，PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE，
求证：OP平分∠AOB。
归纳：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的___，在这个角的平分线上（证明角相等）
推理格式：∵PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE，
∴ 点P平分 。
实践练习：如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（ ） A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
模块二 合作探究
6、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，∠1 =∠2,求证：OB = OC。
7、如图，E是线段AC上的一点，AB⊥EB于B，AD⊥ED于D，且∠1 =∠2，CB = CD。
求证：∠3 =∠4。
8、如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD = 4cm，求AC的长；（2）求证：AB = AC + CD。
模块三 形成提升
1、 如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD。
求证：AD平分∠BAC。
2、如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE = BD。
求证：P在∠ACB的角平分线上。
模块四 小结反思
一、本课知识：
1、角平分线上的____到这个角的两边的距离________。(证明两条线段相等)
2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的____，在这个角的平分线上.（证明角相等）
二、本课典例：
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
第一章　三角形的证明
第四节 角平分线（二）
【学习目标】
1、 进一步发展学生的推理证明意识和能力。
1、 能够利用尺规作已知角的平分线。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】
重点：角平分线的相关结论。
难点：角平分线的相关结论的应用。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1、角平分线上的点到 。
2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在 。
3、阅读教材：P30—P31第4节《角平分线》
二、教材精读
4、已知：点P是△ABC的两条角平分线BM、CN的交点，
求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF。
证明：过点P作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD⊥AB于D，
∵CN是△ABC的角分线，点P为CN上一点，
∴PE=_____( )21·世纪*教育网
∵BM是△ABC的角分线，点P为BM上一点，
∴PE=_____( )
归纳：三角形三条角平分线相交于一___，并且这一点到三角形三条____的距离______。
推理格式：∵点P是△ABC的三条角平分线的交点，且PE⊥BC，PF⊥AC，PD⊥AB，
∴PD=_____=_______.
实践练习：
（1）如图4，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD______PE______PF.
（2）如图5，P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.
图4 图5
模块二 合作探究
5、用尺规作图法作出图1中各个角的平分线。
6、如图2，求作一点P，使PC = PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等。（用尺规作图）
7、已知：如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.
模块三 形成提升
1、一张直角三角形的纸片，如图1-36那样折叠，
使两个锐角顶点A、B重合，若DE = DC, 则∠A = °.
2、已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角平分线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上.
模块四 小结反思
一、本课知识：
1、三角形三条角平分线相交于一___，并且这一点到三角形三条____的距离______。
二、本课典例：
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
第一章　三角形的证明
回顾与思考
【学习目标】
1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。
2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固
难点：本章知识的综合性应用。
【学习过程】
模块一 复习反馈
1、等腰三角形的性质：（边） ；（角） ；“三线合一”的内容 。
2、等边三角形的性质：（边） ；（角） 。
3、判定等腰三角形的方法有：（边） ；（角） 。
4、判定等边三角形的方法有：（边） ；（角） 。
5、线段垂直平分线的性质定理： 。
逆定理： 。
三角形的垂直平分线性质： 。
6、角的性质定理： 。
逆定理： 。
三角形的角平分线性质： 。
7、三角形全等的判定方法有： 。
8、30°锐角的直角三角形的性质： 。
9、方法总结：
（1）证明线段相等的方法：1）可证 ( http: / / www.21cnjy.com )明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角 ( http: / / www.21cnjy.com )相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。
（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。
（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。
模块二 合作探究
1、填空：（1）△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm，最长边AB= 。
（2）直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是 。
（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 三角形。
（4）三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a(b－c)，则这个三角形（按边分类）一定是________
2、已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF。 求证：△ABC是等腰三角形。
3、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2. 求AB与BC的长.
4、已知，在△ABC中，AD垂直平分BC，且CA = CE，点B、D、C、E在同一条直线上。
求证： AB + DB = DE
模块三 形成提升
1、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为_____ _____
2、如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，则BC的长为 。
3、如图2，在△ABC中，∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )90°,BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于 。
图2
4、 命题“直角三角形斜边上的中线等于 ( http: / / www.21cnjy.com )斜边的一半”,其逆命题是_______________________.它是一个__________命题。等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是___________________________________________________，这个逆命题是_________命题.
5、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AF，E、F是垂足，且BC = CD。
求证：（1）△BCE≌△DCF； （2）DF = EB。
模块四 小结反思
一、本课知识：
二、本课典例：
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
第二章 一元一次不等式和一元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次不等式组 §2.1 不等关系
学习目标：
1.理解不等式的意义.
2.能根据条件列出不等式.
3.通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.
4.通过用不等式解决实际 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.
1.不等式的概念：
一般地，用符号“＜”（或≤），“＞”（或≥）连接的式子叫做______________
2.长度是L的绳子围成一个面积不小于100的圆，绳长L应满足的关系式为_________________
例1、用不等式表示
（1）a是正数； （2）a是负数；
（3）a与6的和小于5； （4）x与2的差小于－1；
（5）x的4倍大于7； （6）y的一半小于3.
变式训练：
1、 用适当的符号表示下列关系：
(1) a是非负数；新 课 标 第 一 网 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（2） 直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长；
（3） X与17的和比它的5倍小。
2.（1）当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？
（2）当x=1.5时，成立吗？
（3）当x=－1呢？
活动与探究：
a,b两个实数在数轴上的对应点如图1－2所示：
图1－2
用“＜”或“＞”号填空：
（1）a__________b;（2）|a|__________|b|;
（3）a+b__________0;（4）a－b__________0;
（5）a+b__________a－b;（6）ab__________a
拓展训练：
1.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系 ( http: / / www.21cnjy.com )了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学生人数超过多少人时,其余7.5折收费; 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠 (只列关系式即可)　　21*cnjy*com
§2.2 不等式的基本性质
学习目标：
1.探索并掌握不等式的基本性质；
2.理解不等式与等式性质的联系与区别.
3.通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力.
1.不等式的基本性质有哪些？
不等式的基本性质1：
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向__________
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向＿＿＿＿
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向＿＿＿＿
2.不等式的基本性质与等式的基本性质有什么异同？
例1、将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－5＞－1; （2）－2x＞3; （3）3x＜－9.
（4） （5） （6）
说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否.
2．已知，下列不等式一定成立吗？
（1） （2） （3） （4）
议一议:
1. 讨论下列式子的正确与错误.
（1）如果a＜b，那么a+c＜b+c; （2）如果a＜b，那么a－c＜b－c;
（3）如果a＜b,那么ac＜bc; （4）如果a＜b,且c≠0,那么＞.
2.设a＞b,用“＜”或“＞”号填空. 新 课 标 第 一 网 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（1）a+1 b+1; （2）a－3 b－3; （3）3a 3b;
（4） ; （5）－ －; （6）－a －b.
变式训练：
1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－2＜3; （2）6x＜5x－1;
（3）x＞5; （4）－4x＞3.
2.设a＞b.用“＜”或“＞”号填空.
（1）a－3 b－3; （2） ; （3）－4a －4b; （4）5a 5b;
（5）当a＞0,b 0时，ab＞0; （6）当a＞0,b 0时，ab＜0;
（7）当a＜0,b 0时，ab＞0; （8）当a＜0,b 0时，ab＜0.
能力提高：
1.比较a与－a的大小. （ 说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论.）
2.有一个两位数，个位上的数 ( http: / / www.21cnjy.com )字是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大哪个小？
　　
§2.3 不等式的解集
学习目标：
1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.
2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.
3.会在数轴上表示不等式的解集.
4.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力.
5.经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.
预习作业：
1.什么叫不等式的解
能使__________成立的未知数的值，叫做不等式的解
2.什么叫不等式的解集？
一个含有未知数的不等式的___________，组成这个不等式的解集
3.什么叫解不等式？
求________________的过程叫做解不等式
4.如何将不等式的解集在数轴上表示出来？
例1：根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来.
（1）x－2≥－4;
（2）2x≤8
（3）－2x－2＞－10
说明：不等式的解集数轴上表示注意空心圆和实心圆的用法。解集不包括这个数用空心圆， 包括这个数用实心圆。21教育名师原创作品
变式训练：
1.判断正误：
（1）不等式x－1＞0有无数个解； （2）不等式2x－3≤0的解集为x≥.
2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：X|k |B | 1 . c| O |m
（1）x＞4; （2）x≤－1;
（3）x≥－2; （4）x≤6.
3.不等式的解集x＜3与x≤3有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把 这两个解集表示出来.
4．不等式x≥-3的负整数解是_________ 不等式x-1<2的正整数解是__________
能力提高：
1．给出四个命题：①若a>b,c=d, ( http: / / www.21cnjy.com ) 则ac>bd ;②若ac>bc,则a>b;③若a>b,则ac2>bc2;④若ac2>bc2,则a>b。正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.在数轴上表示:
(1)大于3而不超过6的数;
(2)小于5且不小于-4的数.
3.如果不等式(a-1)X>a-1的解集为X<1,你能确定a的范围吗 不妨试试看.
4已知不等式3x-a≤0的正整数解是1,2,3,求a的取值范围。
§2.4一元一次不等式（1）
学习目标：
3.体会一元一次不等式的形成过程；
4.会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析问题、解决问题的能力；
5.初步感知实际问题对不等式解集的影响,积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验。
1、 预习作业：
2、 1、观察下列不等式：
（1）； （2） （3）x＜4 （4）＞240
这些不等式有哪些共同特点？
3、
4、
5、
6、 2、（1）.不等式的概念：
7、 左右两边都是___ ( http: / / www.21cnjy.com )_____，只含有__________，并且未知数的最高次数是_____的不等式，叫做一元一次不等式
8、 （2）解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：
（1）____________
（2）____________
（3）____________
（4）____________
（5）____________
例1：1、下列不等式中是一元一次不等式的有____________。
(1)3x＞-9 (2)3(x+2)-4x＜x-3 (3) (4)
例2、解下列不等式，并把解集表示在数轴上。
（1）5x＜200 (2) ＜3
(3) x-4≥2(x+2) (4)＜
变式训练： 解下列不等式，并把解集表示在数轴上。
（1） （2）
（3） （4）
能力提高：
1、y取何正整数时，代数式2(y-1)的值不大于10-4（y-3）的值。
2、m取何值时，关于x的方程的解大于1。
3.是否存在整数m，使关于x的不等式与是同解不等式？如果存在，求出整数m和不等式的解集；如果不存在，请说明理由。
　　
§2.4一元一次不等式（2）
学习目标：
1.进一步熟练掌握解一元一次不等式
2.利用一元一次不等式解决简单的实际问题
9、 预习作业：
10、 1、解一元一次不等式应用题的步骤：
（1）________________
（2）________________
（3）________________
（4）________________
（5）________________
2、小红读一本500页的科普书，计划10天内 ( http: / / www.21cnjy.com )读完，前5天因种种原因只读了100页，问从第6天起平均每天至少读________________页，才能按计划完成。
例1、解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上
（1） （2）
2、一次环保知识竞赛共有25道题，规 ( http: / / www.21cnjy.com )定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？
3、小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可能买几支笔？
拓展：
1、小王家里装修，他去商店买灯，商店柜 ( http: / / www.21cnjy.com )台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分别为2元和32元，经了解，这两种灯的照明效果和使用寿命都一样，已知小王所在地的电价为每千瓦时0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算。
2、某种商品进价为800元，出售时标价为 ( http: / / www.21cnjy.com )1200元，后来由于该商品积压，商家准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，你认为该商品至多可以打几折？
3、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元。
（1）符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由。
（2）如果每辆轿车的日租金为200 ( http: / / www.21cnjy.com )元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？
§2.5.1 一元一次不等式与一次函数（一）
学习目标： 1.一元一次不等式与一次函数的关系.
2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.
3.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识.
4.训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.
预习作业：
1、形如_______形式，叫做一次函数；形如_______形式，叫做正比例函数；确定一次函数图像需要_______个点。
2、一次函数y=kx+b(k0)的图像是_______.当kx+b_______0，表示直线在x轴上方的部分，当kx+b_______0，表示直线在x轴的交点，当kx+b_______0，表示直线在x轴下方的部分。
例1、作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.
（1）x取哪些值时，2x－5=0 （3）x取哪些值时，2x－5＜0
（2）x取哪些值时，2x－5＞0 （4）x取哪些值时，2x－5＞3
变式训练：
已知一次函数与。当x取何值时，（1）
例2、兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 ( http: / / www.21cnjy.com )m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？ （2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？ （4）你是怎样求解的？与同伴交流.
能力提高:
1.某医院研究发现了一种新药， ( http: / / www.21cnjy.com )在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y（微克），随着时间x（小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）. ttp://w ww.x kb1.co
（1）分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；
（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？
2、2008年6月1日起，我 ( http: / / www.21cnjy.com )国实施“限塑令”，开始有偿使用环保购物袋，为了满足市场需求，某厂家生产A,B两种款式的布质环保购物袋，每天共生产4500个，两种购物袋的成本和售价如下表：
成本（元每个） 售价（元每个）
A 2 2.3
B 3 3.5
设每天生产A种购物袋x个，每天获利y元（1）求出y与x的函数关系式；（2）如果该厂每天最多投入成本10000元，那么每天最多获利多少元？
§ 2.5.2 一元一次不等式与一次函数（二）
学习目标：
1.进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用.
2.通过用不等式的知识去解决实际问题，以发展学生解决问题的能力.
预习作业：
1、直线y=kx+b(k0)与一元一次不等式的关系：
y,则__________ y0,则________
2、直线__________
例1、某单位计划在新年期间 ( http: / / www.21cnjy.com )组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25 人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
例2、某学校计划购买若干台电脑，现从两家商 ( http: / / www.21cnjy.com )场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%.乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.（1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式.（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？（3）什么情况下到乙商场购买更优惠？（4）什么情况下两家商场的收费相同？
变式训练：
1.某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻 ( http: / / www.21cnjy.com )录，每张需8元（包括空白光盘带）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘带），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由.
2.红枫湖门票是每位45元，20人以上（包含20人）的团体票七五折优惠，现在有18位游客买20人的团体票（1）比买普通票总共便宜多少钱？
（2）不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？
能力提高：
1、某办公用品销售商店推出两种优惠方法：（1 ( http: / / www.21cnjy.com )）购一个书包，赠送1支水性笔；（2）购书包和水性笔一律按9折优惠。书包每个定价20元，水性笔每支定价5元。小丽和同学需购4个书包，水性笔若干（不少于4支）。
（1）分别写出两种优惠方法购 ( http: / / www.21cnjy.com )买费用（y元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；（3）小丽和同学需购买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济。
2、某批发商欲将一批海产品由A地 ( http: / / www.21cnjy.com )运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时，100千米/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：
运输工具 运输费单价（元/吨·千米） 冷藏费单价（元/吨·小时） 过桥费（元） 装卸及管理费（元）
汽车 2 5 200 0
火车 1.8 5 0 1600
（1）批发商批海产品 为x吨 ，汽车和火车 的费用分别是y1、y2,求y1、y2与x的关系。
（2）海产品不少于30吨，为了节省费用，选择哪个公司承担运输业务？
注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费.
§2.6 .1 一元一次不等式组(一）
学习目标：
1．理解一元一次不等式组及其解的意义。
2. 总结解一元一次不等式组的步骤及情形.
3.通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养学生全面系统的总结概括能力.
预习作业：
1、 关于________________________的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元
一次不等式组。
1、 一元一次不等式组里各个不等死的解集的___________________，叫做这个一
元一次不等式组的解集。
3、求不等式组解集的过程叫做_____________________。新课 标第 一 网 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
填表：
不等式组
数轴表示
解集
4．两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.
设a＜b,那么
（1）不等式组的解集是x＞b; 同大取大
（2）不等式组的解集是x＜a; 同小取小
（3）不等式组的解集是a＜x＜b; 大小小大中间找
（4）不等式组的解集是无解. 大大小小找不到
这是用式子表示，也可以用语言简单表述为：
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到。
例1：解下列不等式组,把解集在数轴上表示出来，并求出其整数解
（1） （2）
例2：已知方程组的解为非负数，求的取值范围。
变式训练：
1.若有意义，求的取值范围
2.解下列不等式组
（1） （2）
（3） （4）
3.如果关于x的方程x+2m－3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的范围.
拓展训练：
1、不等式的解为_______________，的解为_______________
2、若不等式组的解集是无解，则的取值范围是________________
3、如果不等式组的解集是，则的取值范围是____________________
4、若不等式组有解，则 的取值范围____________________
5、已知方程组的解是正数。
（1）求的取值范围
（2）化简
单元复习与专题训练
专题一：利用一元一次不等式（组）有关概念及性质，解决不等式的变形和待定系数的范围
1．下列叙述①若，则； ②若，则；③若，则 ④若，则。其中正确的是（ ）
. ③④ ①③ ①② ②④
2．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为,,,。如图所示，则他们的体重大小关系是（ ）
.
3. 已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围_____________
4．一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得分，在这次竞赛中，小明获得优秀（90分或90分以上），则小明至少答对了_______道题。
5．如果关于的不等式组无解，则的取值范围是_____________
6．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是_____________
专题二：一元一次不等式（组）与方程（组）之间的内在联系
1．整数 取何值时，方程组的解满足条件：且？
2．当为什么值时，关于的方程的解为非正数？
3．和谐商场销售甲，乙两种商品，甲钟商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。
（1）若该商场同时购进甲，乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲，乙两种商品各多少件？
（2）该商场为使甲，乙两种商品共100件的总利润（利润=售价—进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案。
思路点拨：根据题意，列出方程求解，在根据条件列出不等式组求解集，最后因为未知数是正整数求出进货方案
专题三：一元一次不等式（组）是解决函数的桥梁
1、 如图 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于的不等式的解集为_______________
2．某工厂要招聘甲，乙两种工种的工人150人，甲，乙两 种工种的工人的月工资分别为600元和1000元。（1）设招聘甲种工种工人人，工厂付给甲，乙两种工种的工人工资共元，写出（元）与（人）的函数关系式（2）现要求招聘的乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲，乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少
3、某种铂金饰品在甲，乙两个商店销售，甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠；乙店标价530元/克，则超出部分可打八折出售。
分别写出到甲，乙商店购买该种铂金饰品所需费用（元）与重量（克）之间的函数关系式；w W w .x K b 1.c o M ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？
第3章 图形的平移与旋转
§3.1 生活中的平移
知识与技能目标：
1.平移的定义
2.平移的基本性质
过程与方法目标：
1.通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵.
2.探索平移的基本性质，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段和对应角分别相等的性质.
情感态度与价值观目标：
经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等 ( http: / / www.21cnjy.com )过程，经历探索图形平移的基本性质的过程以及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。
教学重点、难点
重点：平移的基本性质.
难点：平移的基本内涵的理解.
教学方法
探索、发现法.
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］同学们，还记得游乐园内的一些项目 ( http: / / www.21cnjy.com )吗？旋转木马、荡秋千、小火车、滑梯……它们曾经使我们许多人乐而忘返.不过，你想过没有：小火车在笔直的铁轨上开动时，火车头走了200米，那车尾走了多少米呢？
［生齐］也走了200米.
［师］很好.其实，数学就在我们身边 ( http: / / www.21cnjy.com )，它有很多规律等待我们去探索，去发现！无论是年代久远的老牛上的辘轳；还是刚刚耸立起的高楼大厦里的电梯，无论是微观世界里的粒子运动，还是浩翰宇宙中的行星运转.其中最简捷的运动变化形式主要是平移和旋转，让我们走进图形变换的天地，继续探索图形变换的奥秘吧！
从今天开始，我们就来探索第三章：图形的平移和旋转.
Ⅱ.讲授新课
问：下面我们来看第一节：生活中的平移：传送带上的电视机的形状、大小在运动前后是否发生了变化？手扶电梯上的人呢？
［生齐］传送带上的电视机的形状、大小在运动前后没有发生改变.手扶电梯上的人也没有变化.
在传送带上，如果电视机的某一按键向前移动了80 cm，那么电视机的其他部位向什么方向移动？移动了多少距离？
［生］电视机的其他部位也向前移动，也移动了80 cm.
四边形ABCD移动到四边形EFG ( http: / / www.21cnjy.com )H:如果把移动前后的同一台电视机的屏幕分别记为四边形ABCD和四边形EFGH(如下图)，那么四边形ABCD与四边形EFGH的形状、大小是否相同？
( http: / / www.21cnjy.com )
［生］四边形ABCD与四边形EFGH的形状、大小相同.
传送带运送电视机的过程中，电视机的形状、大小、位置等因素中，哪些没有发生改变？哪些发生了变化？手扶电梯上的人呢？
在传送电视机的过程中，电视机的形状、大小没有变化，它的位置发生了变化.
手扶电梯上的人也是位置发生了变化，人没有变化.
［师］很好，在电视机生产车间传输带运送 ( http: / / www.21cnjy.com )电视机的过程中，对同一台电视机而言，不同时间的位置之间是相互平移的关系；人在电梯上两个不同时刻之间的位置关系也是平移.
那么，什么是平移呢？在平面内，将一 ( http: / / www.21cnjy.com )个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移(translation).注意：“将一个图形沿某个方向移动一定的距离”，意味着“图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离”.
想一想：平移有什么特征呢？
1、平移不改变图形的形状和大小.;2、平移改变图形的位置.
［师］如一本书(演示)从书桌的一边平移到另一边，书的大小、形状没有改变，只是它的位置有所变化.
如图：点A、B、C、D分别平移到了点 ( http: / / www.21cnjy.com )E、F、G、H；点A与点E，点B与点F，点C与点G，点D与点H分别是一对对应点，AB与EF是一对对应线段；∠BAD与∠FEH是一对对应角.
(1)在下图中，线段AE、BF、CG、DH有怎样的位置关系？(2)在下面图中，有哪些相等的线段、相等的角？(3)由(1)、(2)两个问题，你能归纳出什么结论？ ( http: / / www.21cnjy.com )
［生］四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，由演示可知：线段AE、BF、CG、DH是互相平行的，并且这四条线段又相等.
［生］图中相等的线段：AB=EF、BC ( http: / / www.21cnjy.com )=FG、CD=GH、AD=EH、AE=BF=CG=DH.∠ABC=∠EFG、∠BCD=∠FGH、∠BAD=∠FEH、∠ADC=∠EHG
［生］∠ABC=∠ADC、∠BAD=∠BCD、∠HEF=HGF、∠EFG=∠EHG
有同学指出的这四对角是相等的，但它们是否是由平移所产生的呢？
［生］图形经过平移后，只是位置发生变化，即图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离，而线段的长短、角的大小没有发生变化.
［生］经过平移，对应线段，对应角分别相等，对应点的连线是平行的，并且相等.
平移的基本性质：
经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等.这个性质也从局部刻画了平移过程中的不变因素：图形的形状和大小.
［例1］如下图所示，△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF，找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形. ( http: / / www.21cnjy.com )
下面我们来看一例题以熟悉掌握平移的基本性质
分析：因为△CDF是由△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABE平移得到的，所以要找图中平行且相等的线段，根据平移的基本性质，需找出平移前后图形的对应点；要找出一组全等三角形，可根据平移的特征：“平移不改变图形的形状和大小”得到.
解：如图，点A、B、E的对应点分别为点C、D、F，因为经过平移，对应点所连的线段平行且相等，所以：AC∥BD∥EF，AC=BD=EF.
平移不改变图表的形状和大小，所以：
△ABE≌△CDF.
Ⅲ.课堂练习
1.如图，∠DEF是∠ABC经过平移得到的，∠ABC=33°，求∠DEF的度数.
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解：因为∠DEF是∠ABC经过平移得到的，所以∠DEF与∠ABC是对应角，根据平移的基本性质：“经过平移，对应角相等”则
∠DEF=∠ABC=33°.
2.在下面的六幅图案中，(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的哪个图案可以通过平移图案(1)得到？
答：图案(3)可以通过图案(1)平移得到.
Ⅳ.课后小结
本节课我们通过具体的实例，认识了平移，理解了平移的基本内涵，并探索了平移的基本性质.
平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离.
平移前后两个图形对应点连线平行并且相等，对应线段和对应角分别相等.
Ⅴ.课后作业
1.如图1是10枚硬币摆成的三角形，现在只许你移动3枚硬币，使图1中变成图2的倒三角形，请你移移看.
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图1 图2
过程：让学生动手拼摆，来培养学生的动手、动脑能力。结果：平移如下：
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(还有其他方法平移，略)
2.依萨克·牛顿是举世闻名的物理学 ( http: / / www.21cnjy.com )家，数学家，他曾以诗歌的形式提出一个数学问题：要栽九棵树，请你来帮忙，每行栽三棵，恰好成十行.请同学们帮他画出示意图.
过程：让学生充分发挥本领，积极行动起来，解决这个“九树栽十行”问题.
结果：如图所示
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板书设计
§3.1 生活中的平移一、平移的定义平移的特征二、平移的基本性质例1三、课堂练习四、课时小结五、课后作业
§3.2 简单的平移作图(一)
知识与技能目标：
1.简单的平移作图.
2.确定一个图形平移后的位置的条件.
过程与方法目标：
1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步的审美能力.
2.能按要求作出简单平面图形平移后的图形.
情感态度与价值观目标：
经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，增强学生对图形美欣赏的意识，培养其审美观念.
教学重点
能按要求作出简单平面图形平移后的图形.
教学难点
简单平面图形平移后的图形的作法.
教学方法
讲、练结合法.
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］通过上节课的学习，我们知道了生活中的许多现象属于平移，哪位同学能说一下什么是平移呢？平移的基本性质是什么？
［生］在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小.
平移的基本性质是：
经过平移，对应线段，对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等.
［师］很好，了解了平移的涵义及其基本性质后，能否把一些简单的平面图形进行平移呢？我们这节课就来研究：简单的平移作图.
Ⅱ.讲授新课
［师］下面来看大屏幕(出示投影片§3.2.1 A)
如图，经过平移，线段AB的端点A移到了点D，你能作出线段AB平移后的图形吗？与同伴交流. ( http: / / www.21cnjy.com )
［生甲］因为经过平移，线 ( http: / / www.21cnjy.com )段AB的端点A移到了点D，所以点A与点D是对应点；又因为对应点所连的线段平行且相等，所以连结AD，然后过点B作线段BC与线段AD平行且相等，最后连结CD，则线段CD就是线段AB平移后的图形.21教育网
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［生乙］因为平移不改变图形的形状和 ( http: / / www.21cnjy.com )大小，所以在作线段AB平移后的图形时，可过点D作DC∥AB，且DC=AB，则线段DC就是线段AB平移后的图形.
［师］很好，这个题实际是平移的基本性质的直接应用.由此可知：按要求进行平移一些简单的平面图形时，一般都是应用平移的基本性质进行的.
下面我们通过例题来进一步说明如何平移一些简单的平面图形.
(出示投影片§3.2.1 B)
［例1］经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，(如图)，作出平移后的三角形. ( http: / / www.21cnjy.com )
分析：设顶点B、C分别平移到了点E、F，根据“经过平移，对应点所连的线段平行
且相等”，可知线段BE、CF与AD平行且相等.
注意：作图时可用尺规进行作图，也可用三角板与直尺进行作图.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：如上图，过点B、C分别作线段BE、CF，使得它们与线段AD平行并且相等，连结DE、DF、EF，则△DEF就是△ABC平移后的图形.
［师］同学们想一想，议一议(出示投影片§3.2.1 C)
(1)本题还有没有其他方法作出如图所示的△DEF呢？
［生甲］过点D分别作出与AB、AC平行且相等的线段DE、DF，连接EF，则△DEF就是所要求作的三角形.
( http: / / www.21cnjy.com )
［生乙］过点B作BE∥AD且BE ( http: / / www.21cnjy.com )=AD，然后分别以D、E为圆心，以线段AC、BC的长为半径画弧 ，两弧交于F点，连结EF、DF，则△DEF就是所要求作的三角形.
( http: / / www.21cnjy.com )
……
［师］同学们找到了“△ ABC平移后的图形△DEF的其他作法”.很好，现在“大家来想一想，分组讨论.
确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要什么条件？
［生甲］确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要平移的距离.
［生乙］还需要方向，要弄清一个图形是往左平移还是往右平移，是往上平移，还是往下平移.
［师］完全正确，这就是确定一个图形平移后的位置的条件：
(1)图形原来所在的位置.
(2)图形平移的方向.
(3)图形平移的距离.
接下来我们来平移一个图形(出示投影片§3.2.1 E)
［例2］如图，将字母A按箭头所指的方向平移3 cm，作出平移后的图形. ( http: / / www.21cnjy.com )
［师生共析］平移字母A的条件：字母 ( http: / / www.21cnjy.com )A的位置，平移的方向——箭头所指，平移的距离——3 cm，三个条件都具备，所以可以确定字母A平移后的位置.那如何作图呢？一般情况下，画图时，先确定点，然后就可以作出所要求的图形.因此本题可以在原图形上找几个能反映本图形的关键的点，根据“经过平移对应点所连的线段平行且相等”，确定出这几个关键点的对应点，然后按原来的方式连接，即可得到字母A平移后的图形.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：在字母A上，找出关键的 ( http: / / www.21cnjy.com )5个点(如图所示)，分别过这5个点按箭头所指的方向作5条长3 cm的线段，将所作线段的另5个端点按原来的方式连接，即可得到字母A平移后的图形.
［师］在这个例题的解题过程中， ( http: / / www.21cnjy.com )通过确定几个关键点平移后的位置，得到字母A平移后的图形，这是一种“以局部带整体”的平移作图方法，同学们要掌握.
下面通过练习来熟悉这种“以局部带整体”的平移作图方法.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P62随堂练习.
1.将图中的字母沿水平方向向右平移3 cm，作出平移后的图形.
解：在字母N上，找出关键的4个点(如右图)， ( http: / / www.21cnjy.com )分别过这4个点沿水平方向向右作4条长3 cm的线段，将所作的线段的另4个端点按原来的方式连接，即得到字母N平移后的图形.
( http: / / www.21cnjy.com )
(二)试一试
1.图中的窗棂轮廓是由一个半圆和一个矩形组成的，试作出这个图案向左平移6格后的图案.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：分别确定矩形的四个顶点，半圆的圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心、半圆与斜线的两个交点向左平移6格后的位置(如上图)，画半圆(以“圆心”平移后的位置为圆心，以6个格的长为直径)，连线即可得到窗棂轮廓向左平移6格后的图形.
(三)看课本P61~P62，然后小结
Ⅳ.课时小结
本节课通过平移作图进一步熟悉理解了平移的基本性质，并能应用平移性质作出一些简单平面图形平移后的图形，了解了“以局部带整体”的平移作图方法.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P63习题3、2 1、2、3.
(二)1.预习内容P41.
2.预习提纲.
探索图形之间的平移关系.
Ⅵ.活动与探究
1.画六边形.
不用计算，请在一个已知的正六边形内画一个面积等于原正六边形面积九分之一的小正六边形.
过程：让学生分析、尝试后，进行画图.
结果：如下图，中间的正六边形为所求的图形.
( http: / / www.21cnjy.com )
2.添棋子
图中共有16枚棋子，这16枚棋子组成6行，每行4枚棋子.现在请你在图中再添上4枚棋子，使这些棋子共组成18行，每行仍有4枚棋子，你会添吗？
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过程：同样让学生动脑、动手，培养学生的灵活思维能力.
结果：如下图
( http: / / www.21cnjy.com )
板书设计
§3.2.1 简单的平移作用(一)一、作图例1(平移作图)二、确定一个图形平移后的位置的条件例2(平移作图)三、课堂练习四、课时小结五、课后作业
§3.2.2 简单的平移作图(二)
知识与技能目标：
图形之间的平移关系.
过程与方法目标：
1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作等过程，发展学生的审美能力.
2.能够探索图形之间的平移关系.
情感态度与价值观目标：
1.通过学生对图形的观察、分析、欣赏，以及亲手拼摆等过程，培养学生对图形欣赏的意识.
2.在探索图形之间的平移关系的过程中，使学生认识和欣赏平移在现实生活中的应用.
教学重点
探索图形之间的平移关系.
教学难点
探索图形之间的平移关系.
教学方法
探索、发现法.
教具准备
电脑演示图片，平移图形的过程.
投影片三张：
第一张：(记作投影片§3.2.2 A)；
第二张：做一做(记作投影片§3.2.2 B)；
第三张：议一议(记作投影片§3.2.2 C)；
正六边形的纸片数百张.
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］生活中经常见到一些 ( http: / / www.21cnjy.com )美丽的图案(出示投影，放图片：课本P41~P42的图；也可另外找一些平移图形的图案)，这些图案都是由基本图形平移组成的，那么怎样平移基本图形就能得到美丽的图案呢？这节课我们就来探索一些图案中的图形之间的平移关系.
Ⅱ.讲授新课
［师］现在大家来看图案1(出示投影图片：课本P41的第一幅)；观察图案，并回答.(出示投影片§3.2.2 A)【版权所有：21教育】
(1)这个图案有什么特点？
(2)它可以通过什么“基本图案”经过怎样的平移而形成？
(3)在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？你能解释其中的道理吗？
［生甲］(1)图案中的六条小狗的形状、大小完全一样，只是它们所处的位置不同，由此可知：这个图案可以通过平移“基本图案”得到.
［生乙］(2)这个图案可 ( http: / / www.21cnjy.com )把“一只小狗”看做“基本图案”，通过上下、左右平移得到，平移的距离等于左右相邻(或上下)两只小狗之间的水平距离(或垂直距离).
［生丙］这个图案还可把中间上下的“两只小狗”看做“基本图案”，通过向左、向右平移得到，平移的距离等于左右相邻两只小狗之间的水平距离.
［生丁］这个图案也可把最左边的上下的 ( http: / / www.21cnjy.com )“两只小狗”或最左边上下的“两只小狗”看成“基本图案”，通过向右(或向左)依次平移得到，平移的距离等于图案中的左右相邻两只小狗的水平距离.
［生戊］这个图案也可把水平的“三只小狗”看成是“基本图案”，通过向下(或向上)平移得到，平移的距离等于上下垂直的两只小狗的垂直距离.
［师］同学们讨论得非常精彩，(边叙述边 ( http: / / www.21cnjy.com )在电脑上演示平移过程)，这个图案既可以把一只小狗看做“基本图案”进行平移得到，又可以把两只小狗、三只小狗看做“基本图案”进行平移得到整个图案，在这些平移过程中，只是平移的距离不同而已.
接下来，大家想一想第(3)问.
［生己］在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状没有发生变化，只是位置有所改变.因为平移不改变图形的形状、大小，而改变图形的位置.
［师］很好，大家看屏幕(用电脑动画再次演 ( http: / / www.21cnjy.com )示平移过程).从平移的过程中，进一步说明了平移的特征：平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置.
了解了平移的特征后，大家分组来动手做一做.(出示投影片§3.2.2 B)
在下图中，左图是一个正六边形，它经过怎样的平移能得到右图？自己动手做做看，你能得到右图的图案吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
(学生分组后，教师把预先剪好的大小相同的正六边形分发下来，让学生进行实际拼摆，老师巡视指导)
［生］我把一个正六边形经过连续平移，就可以得到右图的图案.
［师］同学们通过拼摆，进一步理解了平移的基本内涵，接下来大家想一想，与同伴议一议下面的两个图案(出示投影片§3.2.2 C).
(1)在图(课本P64的图3—10)中，左图是一种“工”字形的砖，右图是怎样通过左图得到的？(2)图(课本P65的图3—11)可以看做什么“基本图案”通过平移得到的？
［生甲］(1)先把左图沿上下方向平移，再沿左右方向平移便可得到右图.
［生乙］也可先把左图沿左右方向平移，再沿上下方向平移得到右图.
［生丙］(2)不考虑图案颜色的情况下，可以把“一只天鹅”看成“基本图案”，通过平移可以得到如图所示的图案.
［生丁］如果把相邻的两只不同色的天鹅看做一个组合，那么“基本图案”可以是一个组合，两个组合……，直到所有的天鹅.
［生戊］如果不考虑颜色时，可以把同一行的天鹅看做是“基本图案”，通过上下平移就可得到如图所示的图案.
［生己］如果不考虑颜色时，也可以把同一列的三只天鹅看做“基本图案”，通过左右平移就可以得到如图所示的图案.
［师］很好，这是一个通过平移得到的复合图案，图案的许多部分可以通过平移而相互得到。接下来我们通过练习进一步熟悉图形之间的平移关系.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P65随堂练习
1.分析奥运五环旗图案形成的过程(不考虑图案的颜色)
( http: / / www.21cnjy.com )
解：在不考虑图案颜色的情况下，五个环之间可以通过平移而相互得到.
2.如图，在正六边形中剪去一个与其边长 ( http: / / www.21cnjy.com )相同的正三角形，并将其平移到左边，形成一个新的图案.用这个图案能否得到类似于图3—9右图的图案呢？与同伴交流.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：可以得到类似于图3—9右图的图案.如下图.
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(二)看课本P64~P65,然后小结.
Ⅳ.课时小结
本节课我们探索了图案中图形之间的平移关系，了 ( http: / / www.21cnjy.com )解了每个图案由于“基本图案”选取的不一样，则平移关系也不一样，尤其是一些复合图案，它的许多部分可以通过平移而相互得到.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P65习题3.3 1、2
(二)1.预习内容P66~P67.
2.预习提纲：
(1)旋转的定义.
(2)旋转的基本性质.
Ⅵ.活动与探究
有两个都是由十四个小方块组成的图形，你能不能沿着分格线把它们分别剪开成七块由相邻两个小方块(按水平方向或垂直方向)组成的矩形？
如果行，就请你剪剪看.如果不行，你能不能讲清楚其中的道理？
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过程：通过本题的活动——剪切，培养学生的动手能力和初步的说理能力.
结果：可以把左边的图形用好几种方法剪成七个符合题意的矩形，但对于右边的图形，不论你怎样剪都剪不出七个符合题意的矩形.
什么道理呢？
让我们来分析一下：
分别将这两个图形中的十四个小方 ( http: / / www.21cnjy.com )块按黑白相同的原则加以涂色，那么，按题目要求所剪成的七块矩形必定都是由一块黑色小方块和一块白色小方块所组成.由于左边的图形是由七块黑色小方块与七块白色小方块连成一个整体所组成，因此它可以剪出七个符合题意要求的矩形，而右边的图形中黑、白小方块的数目不相等，所以无论怎样剪都剪不出七个符合要求的矩形.
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板书设计
§3.2.2 简单的平移作图(二)一、观察图案由平移形成二、做一做(平移拼摆)议一议三、课堂练习四、课时小结五、课后作业
§3.3 生活中的旋转
知识与技能目标：
1.旋转的定义.
2.旋转的基本性质.
过程与方法目标：
1.通过具体实例认识旋转，理解旋转的基本涵义.
2.探索旋转的基本性质，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质.
情感态度与价值观目标：
1.经历对生活中与旋转现象有关的图 ( http: / / www.21cnjy.com )形进行观察、分析、欣赏以及动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识.
2.通过学习使学生能用数学的眼光看待生活中的有关问题，进一步发展学生的数学观.
教学重点
旋转的基本性质.
教学难点
探索旋转的基本性质.
教学方法
探索、发现法.
教具准备
电脑演示或图片.
投影片四张：
第一张：想一想(记作投影片§3.3 A)；
第二张：议一议(记作投影片§3.3 B)；
第三张：性质(记作投影片§3.3 C)；
第四张：例1(记作投影片§3.3 D).
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］日常生活中，我们经常见到以下情景(出示图示：钟表、汽车方向盘、辘轳或电脑演示：钟表指针的转动、汽车方向盘的转动、辘轳打水的情景).
大家想一想：(出示投影片§3.3 A)
(1)上面情景中的转动现象，有什么共同特征？(2)钟表的指针、钟摆在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？汽车方向盘的转动呢？
［生甲］在这些转动的现象中，它们都是绕着一个点转动的.
［生乙］每个物体的转动都是向同一个方向转动.
［生丙］钟表的指针、钟摆在转动过程中，它的形状、大小没有变化，只是它的位置有所改变.
汽车的方向盘在转动过程中，同样它的形状、大小没有改变，方向盘上的每点的位置有所变化.
［师］同学们观察得很仔细，我们把这样的转动叫旋转(circumrotate)，这节课我们就来探讨生活中的旋转.
Ⅱ.讲授新课
［师］在数学中，如何定义旋转呢？
在平面内，将一个图形绕着一个 ( http: / / www.21cnjy.com )定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转(circumrotate).这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度.
在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变.因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征.
好，了解了旋转的基本概念后，我们来看一钟表的指针的旋转情况(出示投影片§3.3 B)，大家分组讨论.
议一议：如下图所示，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕O点旋转得到四边形DOEF，在这个旋转过程中： ( http: / / www.21cnjy.com )(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？(2)经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？(3)AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？(4)∠AOD与∠BOE有什么大小关系？
［生甲］(1)旋转中心是O点，旋转角是∠AOD.
［生乙］旋转角还可以是∠BOE.
［生丙］(2)四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置.这时点A旋转到点D的位置，点B旋转到点E的位置.
［生丁］(3)可以把OA看作钟表的指针，它OA的位置旋转到OD的位置，指针的长短、形状没有变化，所以OA与OD是相等的.
同样，线段OB与OE是相等的.
［生戊］(4)因为四边形AOBC绕O点旋转到 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形DOEF的位置，在旋转的过程中，图形上的每个点同时都按相同的方向旋转相同的角度，所以∠AOD与∠BOE是相等的.
［生己］(4)也可以这样理解：因为四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )OBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置，所以∠AOB与∠DOE是相等的，又因为∠BOD是公共角，所以，∠AOD与∠BOE是相等的.
［师］同学们讨论得非常精彩，也合乎逻辑，看上 ( http: / / www.21cnjy.com )图，四边形DOEF是由四边形AOBC绕O点旋转得到的，经过旋转，点A移动到点D的位置，点B移动到点E的位置，点C移动到点F的位置，则点A与点D、点B与点E、点C与点F就是对应点.
从刚才大家得出的结论中，能否总结出旋转的性质呢？
［生甲］因为O是旋转中心，点A ( http: / / www.21cnjy.com )与点D是对应点，点B与点E是对应点，且OA=OD，OB=OE，所以可以知道：对应点与旋转中心所连的线段的长度是相等的.
［生乙］因为点A与点D、点B与点E是对应点，且∠AOD=∠BOE，所以由此可以知道：对应点与旋转中心的连线所成的角是互相相等的.
［师］同学们总结得很好，由此我们得到了旋转的基本性质(出示投影片§3.3 C)
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角彼此相等.对应点到旋转中心的距离相等.
［师］好，下面我们通过一例题来熟悉旋转的有关性质的应用(出示投影片§3.3 D)
［例1］钟表的分针匀速旋转一周需要60分.(1)指出它的旋转中心；(2)经过20分，分针旋转了多少度？
［师］大家可以画图表示；有的同学带表的话可以观察观察.
［师生共析］经演示(钟表实物或教具)可以知道 ( http: / / www.21cnjy.com )，分针是绕着表面盘的中心位置，即钟表的轴心旋转的，它旋转一周时的度数是360°,一周需要60分，因此每分钟分针所转过的度数是6°，这样20分时，分针逆转的角度即可求出.
解：(1)它的旋转中心是钟表的轴心.
(2)分针匀速旋转一周需要60分，因此旋转20分，分针旋转的角度为×20= 120°.
［师］同学们通过熟悉的钟表，了解了旋转性质的应用.接下来我们拿出剪刀、白纸和图钉来做一做(出示投影片§3.3 E)
(1)剪出两个边长相等的正方形纸片.(2)按下图所示用图钉钉制好. ( http: / / www.21cnjy.com )(3)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？
(学生动手制作，教师巡视指导)
［生甲］这个图案可以看做是 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD绕点O旋转45°前后的图形共同组成的，也可以看做是正方形EFGH绕点O旋转45°前后的图形共同组成的.
［生乙］我剪了一个三角形A ( http: / / www.21cnjy.com )′B′C′与三角形ABC全等，找出△A′B′C′的边 A′C′的中点，即图案中的O点，把△A′B′C′绕O点分别旋转45°、90°、135°、180°、225°，则前后所有图形共同组成了一个新图案，而这个新图案与原图案(即如图所示的图案)能够完全重合，因此，如图所示的图案可以看做是△ABC绕点O分别旋转45°、90°、135°、180°、225°前后所有图形共同组成的.
［生丙］老师，我也剪了一个三角形A′ ( http: / / www.21cnjy.com )O′B′与三角形AOB全等，然后把 △A′O′B′绕O′点分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°，前后所有的图形共同组成了一个新图案，而这个新图案同样与原图案完全重合.因此，如图所示的图案可能看做是△AOB绕点O分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、 315°前后所有图形共同组成的.
［生丁］老师，我剪了一个与正方形AQOP ( http: / / www.21cnjy.com )完全重合的正方形A′Q′O′P′，然后把正方形A′Q′O′P′绕点O′分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、 315°，前后所有的图形共同组成了一个新图案，而这个新图案与原图案完全重合，因此，如图所示的图案可以看做是正方形AQOP绕点O分别旋转45°、90°、135°、180°、 225°、270°、315°前后所有图形共同组成的.
( http: / / www.21cnjy.com )
［师］同学们做得真棒，通过动手操作、分析，找到了不同的“基本图案”，由这些不同的“基本图案”经过旋转得到了如上图所示的美丽的图案.
下面我们做练习来进一步熟悉旋转的有关性质.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P68随堂练习.
1.下图可以看做是一个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？
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解：旋转5次得到，旋转的角度分别等于60°、120°、180°、240°、300°.
(二)看课本P66~P67然后小结
Ⅳ.课时小结
这节课我们通过具体的实例认识了旋转，并由此探讨了旋转的基本性质.
旋转不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度.
旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P68习题3.4 1、2、3.
(二)(1)预习内容P69~P70
(2)预习提纲.
①如何进行做一个图形关于某个点的旋转图形.
②确定一个三角形旋转后的位置的条件有哪些？
Ⅵ.活动与探究
1.分析图中的旋转现象.
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过程：让学生画图、找规律，也可让他们通过剪切，找到旋转规律.
结果：旋转现象为：
整个图形可以看做是图形的八分之一( ( http: / / www.21cnjy.com )一组大小不等的三个“角”)绕中心位置，按照同一方向连续旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°前后的图形共同组成的.
整个图形也可以看做是图形的四分之一(两组相邻的“角”)绕中心位置连续旋转90°、180°、270°前后的图形共同组成的.
整个图形还可以看做是图形的二分之一(四组相邻的“角”)绕中心位置旋转180°前后的图形共同组成的.
2.图中是否存在这样的两个三角形，其中一个是另一个通过旋转得到的？
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过程：同样让学生在画图过程中体会图形中每个三角形之间的关系；或让学生仔细观察图形，分析图形，找出关系.
结果：图中存在这样的三角形，其中一个是另一个通过旋转得到的.
整个图形可以看做图形的四分之一(一组“楼梯”)绕中心连续旋转90°、180°、 270°.前后的图形共同组成的.
整个图形也可以看做图形的二分之一(两组“楼梯”)绕中心位置旋转180°前后的图形共同组成的.
板书设计
§3.3 生活中的旋转一、旋转的定义旋转中心旋转角二、旋转的性质例1三、做一做四、课堂练习五、课时小结六、课后作业
§3.4 简单的旋转作图
知识与技能目标：
1.简单平面图形旋转后的图形的作法.
2.确定一个三角形旋转后的位置的条件.
过程与方法目标：
1.经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图和动手操作等过程，掌握画图技能.
2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.
情感态度与价值观目标：
1.通过画图，进一步培养学生的动手操作能力.
2.在对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图过程中，进一步发展学生的审美观念.
教学重点
简单平面图形旋转后的图形的作法.
教学难点
简单平面图形旋转后的图形的作法.
教学方法
讲、议、练相结合法.
教具准备
教师给学生每人印发一张如图3—16的图案的方格纸.自制一面小旗子.
直尺