第二章一元二次方程解题策略与例题习题分析 （含解析） 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

一元二次方程的解题策略与例题讲解
▲前言：本章主要考虑的是一元二次方程的一般形式中的a,b,c与解，以及三者之间关系。因此，凡是不是一般形式的必须化成一般形式，这是解题之前必须做的准备，切记不要忘记。
一、一元一次方程:
一)基础篇
1.基本概念:
整式方程化简成§一般形式§所得：▲
⑴化简方法：含分母去分母，有小数变整数，合并向等号左边移项，使得等号右边为0.
①含有【一个】未知数（一元)；
②未知数【最高】次数为2。
③最高次项【系数】不等于0
▲④分母和根号下不能有字母。
▲判断是不是一元二次方程就看：字母是不是只有1个，次数是不是2，字母在根号下和分母没有,▲▲解题时所有不是一般式的必须整理成一般式再做题。(特重点)
⑵整式方程：等号两边都是【整式】的方程叫整式方程。
注：
①整式方程就是【分母和根号下不含字母】的所有方程。
②▲一般从初三开始，一般只有x,y,z为未知数，未知数个数可以是一个或多个，次数可为1次，2次，直到n次，可不管次数和未知数。
③一元一次方程和一元二次方程属于整式方程的一种。
▲注:判断是不是整式只需看分母和根号下有无字母及有无等号，有字母分式方程，无字母整式方程。（特重点）
1例题:判断下列方程那些是一元一次方程，那些是一元二次方程
⑴⑶⑷；
⑸；⑹；⑺。
解析:⑴⑹最高次都是2，注意⑹虽然有根号，但根号下是数不是字母，莫选错。
⑵⑷是一次函数，最高次是1，注意⑷不是一般形式，整理发现不含二次项是一次函数。
⑶有两种情况：因a是二次项系数，必有时是一元二次方程，那么当时是什么方程呢，通过观察发现是一元一次方程。
对于⑸⑺，很容易看出⑸中根号下有字母，⑹中分母有字母，所以都不是整式方程，既不是一元一次方程也不是一元二次方程。
变式练习1:
下列哪些是关于x的整式方程、一元一次方程、一元二次方程。
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹⑺；⑻；⑼⑽
整式 ；一元一次方程 ；一元二次方程
一元二次方程的一般形式及各项：
⑴一般形式：
⑵最高次项（二次项）：。
⑶一次项：
⑷常数项:。
例题2：把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数，及常数项。
⑴ ⑵
解析：⑴展开合并得到，二次项系数为5，一次项系数为1，常数项为-4；
⑵展开合并得到，二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为1。
注：▲展开的方法利用初二学习的乘法公式：
说明：一般两个括号，第一括号中第一项表示1，第二项为2，第二个括号中，第一个表示1，第二个表示2，▲【则11表示前括号第一项乘后括号第一项，以此类推,另外乘数前，先将数前符号相乘，法则：同号为正，异号为负。】
公式如下：
⑴ ；口诀:11+12+21+22。
⑵；口诀:11+12+13.
⑶；口诀：11+12+13+21+22+23
⑷口诀:11+12+13+21+22+23+31+32+33
⑸，口诀:2，仅大2表示数，
⑹，口诀：。
注：以上口诀数代表的不是数，只是代表的位数，
变式练习2：把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数，及常数项。
；(2) ；(3)
⑷（8-2x）（5-2x）=18 ； ⑸（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 （6）7x－3=2x2;（7）(2x－1)－3x(x－2)=0 ；
2x(x－1)=3(x＋5)－4.
3.中学方程分类
4.一元二次方程的根（解）有两个，如果题中已知它的根，那么直接将根值代入方程求解。
5.根据2发现a有范围要求，而c,b无范围要求的原因。
⑴关于b：
当b=0时，依然是一元二次方程，此时方程为，相当于是向上或向下平移c个单位长度.必然是一元二次方程。
⑵关于c，
当c=0时，依然是一元二次方程，此时为，时也是一样。
当b=0,c=0时，方程为，解为。
⑶时，一元二次方程变成了一元一次方程，由变成，只有时才是一元二次方程。
▲注：决定是一元二次方程是由决定，因中b,c不管是等于0还是不等于0都是一元二次方程，只有a等于0不是。
例题3：⑴已知关于x的一元二次方程的一根为0，则a的值为多少。
⑵关于x的方程有一根为0，则的值是多少。
解题关键：准确判断出二次项、一次项的系数和常数项，再由已知根带根值进方程；最后考虑二次项系数不为0
解：⑴由题知，
将x=0带入，得
即。
又由二次项系数，即
故a=1
⑵由题知，
将x=0代入，得
，即，
故当时，=3，
当时，为一元一次方程，符合题意，有=19
所以，所求代数式的值为3,19.
注:⑵中只是方程，并不像⑴中是一元二次方程。所以-2满足题意，否则舍去。要使一元二次方程变成一元一次方程的方法就是二次项系数为0.
变式练习3：⑴已知关于x的一元二次方程的一根为0，则a的值为多少。
⑵关于x的方程有一根为0，则的值是多少。
基础训练：
1．一元二次方程的定义
只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是________的 方程叫做一元二次方程.
2．一元二次方程的一般形式： ， 其中 是二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数.
3．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
5．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
6．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________.
三、巩固与应用：
1．判断下列方程是否为一元二次方程：
　　(1)1-x2=0　(2)2(x2-1)=3y　(3)2x2-3x-1=0　(4)=0
　　(5)(x+3)2=(x-3)2　　(6)9x2=5-4x
2．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
3．要使是一元二次方程，则k=_______.
4．已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值.
5、方程(x–1)(2x+1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 .
6、关于x的方程(m－3)x－x=5是一元二次方程，则m=_________.
7、关于x的方程(m2－16)x2+(m+4)x+2m+3=0是一元一次方程，则m为 。
8、写一个一元二次方程，使它的二次项系数是－3，一次项系数是2： 。
9、－1是方程x2+bx－5=0的一个根，则b=_________，另一个根是_________.
10、已知方程ax2+bx+c=0的一个根是－1，则a－b+c=___________.
11、若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 .
12、一个三角形的两边长为2和4,第三边长是方程－5x+6=0的解，则三角形的周长为
13、已知x2-2x-3与x+7的值相等，则x的值是________．
14、已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2+3mx+5=0有一根是x=－1，则m= ，
另一根为 。
15、将方程3x2+8x =3转化为 (n为常数）的形式为 。
16、已知关于的方程，（1）ax2+bx+c=0；（2）x2-4x=8+x2；（3）1+(x-1)(x+1)=0；
（4）（k2+1）x2 + kx + 1= 0中，一元二次方程的个数为（ ）个
A、1 B、2 C、3 D、4
17、方程2x2－3=0的一次项系数是（ ）
A.－3 B.2 C.0 D.3
18、若一元二次方程(m－2)x2+3(m2+15)x+m2－4=0的常数项是0，则m为（ ）
A.2 B.±2 C.－2 D.－10
19、若代数式x2+5x+6与－x+1的值相等，则x的值为（ ）
A.x1=－1，x2=－5 B.x1=－6，x2=1
C.x1=－2，x2=－3 D.x=－1
提高篇：
例题1：把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数，及常数项。
⑴； ⑵
▲解题关键：整理后找出未知数，出现未知数含次数相同的几项，需要合并（方法是提出未知数），最后判断出各项。
解：⑴由题知，
故二次项系数为，一次项系数为，常数项为
⑵由题知，
故二次项系数为，一次项系数为，常数项为；
例题2：已知都是方程的根，试求的值。
▲解题思路：运用巧解，知根带根入方程。同时还应记住另一个公式：。
解：的根，
，即
，，即
；
=
注：请用上诉公式试着写出解答过程。
提高训练：
已知是的根，则
4．．
5．若，则x＋y的值为．
如果，那么代数式的值
7．已知，求代数式的值．
已知x=1是一元二次方程的一个解，且，求的值。
方程的一个根为（ ）
A.-1 B.1 C.b-c D.-a
已知m,n是方程的两根，且，求a的值。
一元二次方程的一个根是-3，且a,b满足求abc的值。
解一元二次方程
一)直接开方法解一元二次方程：
形如或型的一元二次方程
注：等号左边是一次式子，右边是非负数。
解题时按照下面步骤书写：
的解为，即（公式法的母法）
转化为即或这两个一元一次方程继续解即可。（配方法的母法）
注：▲当m<0时，与无解，当m=0时，有两个相等实根，当m>0时，有两个不相等实根。
复习引入
问题1．填空
（1）x2－8x+______=（x－______）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；
x2+px+_____=（x+______）2．
探索新知：
⑴、36的平方根是________,的平方根是____________。
⑵若，则=______________；若，则=__________。
⑶请根据提示完成下面解题过程：
(1) 由方程 ， 得 (2) 由方程 ， 得
=_______ (_________)=2
即 ∴ ______________=_______
=____，=_____ 即 ____________, ____________
∴ =_______, =_____ ∴ =_______, =_____
例题1：解下列方程。
⑴， ⑵， ⑶
解：⑴即 ⑵ ⑶
变式练习1：解下列方程：
解题思路：寻找形式的位置，并使等号左边只含得式子，其余的可通过移项，化系数为1整理到等号右边，将方程化为再利用上面解题步骤。
⑴，⑵，⑶，
⑷，⑸。
例题2：解下列方程
解题思路：寻找形式的位置，并使等号左边只含得式子，其余的可通过移项，化系数为1整理到等号右边，再利用上面解题步骤。
⑴ ，⑵
解：⑴ ⑵
变式练习2：解下列方程
⑴，⑵，⑶，⑷，⑸
配方法解一元二次方程：（寻根求解，化简为易。）
将一元二次方程转化为的形式，在运用直接开平方就是配方法。
配方法的步骤：
1.含【未知数项】移到【等号左边】，【常数项】移到【等号右边】。
2.根据等式性质把【二次项系数化为1.】
方程【两边都加上一次项系数一半的平方】，使得【左边】成【完全平方公式】，▲（右边非负数即有实数解，负数即无实数解）。
4．探究：如何并解所得的方程，可以用直接开平方法求解吗？
我们将一元二次方程 作如下变形：
第一步，把常数项移到等号的右边，方程变形为：
第二步，等号两边同时加上一个常数，使等号左边成为一个完成平方形式：
（ ）＝ （ 想一想：等号两边应同时几呢？依据是什么 ）
即( x + )2＝
第三步，用直接开平方法解方程， ＝ ，
∴方程的解是 ， .
在上题的问题中，由于场地的宽不能是负数，所以场地的宽为 米，长为 米。
结论：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配法方。
可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
例题1,用配方法解下列方程。
⑴，⑵，⑶
解：
课堂检测1：
1、填上适当的数，使下列等式成立：
(1) (2)
(3) (4)
2、将方程配方后，原方程变形为（ ）
A. B. C. D.
6、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为 D.3y2-4y-2=0化为
8、关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是
A.有两个解x=± B.当n≥0时，有两个解x=±－m
C.当n≥0时，有两个解x=± D.当n≤0时，方程无实根
3、解下列方程：
(1) (2) (3)
检测2：
1.填空：（1）+ ＝( x+ )2 ； （2） =( x- )2
2.解方程：（1） ； （2）.
3若方程可以化为，则a的值为
4.下列将方程x2+6x+7=0配方变形正确的是（ ）
A. (x+3)2=-2 B. (x+3)2=16 C. (x+3)2=2 D. (x+3)2=-16
5.下列将方程2x2-4x-3=0配方变形正确的是（ ）
A. (2x-1)2+1=0 B.(2x-1)2-4=0 C. (x-1)2= D.(x-1)2=
6.用配方法解方程 4x2-3x-1=3x+2
7．【拓展】用配方法证明：2x2-8x+9的值恒为正。
小结： 配方法解一元二次方程的基本步骤：
（1） ，（2） ，（3） ，（4）
1.想将配成一个完全平方式，应加上下列那一个数（ ）
方程的根是（ ）
若是一个完全平方式，则为（ ）
以上均不对
若有实数解，则
试用配方法说明的值恒小于0
用公式法解一元二次方程（按部就班，系数解之）
二、合作、交流、展示：
1、【探究】一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），请用配方法的步骤求出它的两根：
【解】∵a≠0，方程两边都除以a，得
x2＋ x＋ ＝0
移项，得 x2＋ x＝－
配方，得 x2＋2·x·＋( )2＝( )2－ ， 即(x＋ ) 2＝；
∵a≠0，∴4a2＞0，当b2－4ac≥0时，直接开平方，得
x＋ ＝±
∴ x＝-±, 即 x＝.（b2－4ac≥0）
【归纳】（1）一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式： x=
确定一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解的方法叫做 .
总结：一元二次方程根的判别式定理：
（1）当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.
（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
（3）当b2－4ac<0时，方程没有实数根.
理由：这个判别式在根号下，我们讲过必为非负数，【负时必无解，零时一解，正时两解】
把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用“△”表示。
注：（1）当△≥0时，方程的根的情况如何叙述？（2）上述的叙述，反过来也成立吗？
例题讲解
⑴;⑵;⑶
：
▲注：未知数前若只有负号即为-1，若什么都没有即为1。
解题步骤：
⑴、看是否为一般式，不是第一步化为一般式。
⑵、写出的值
⑶、将的值代入，看是大于0还是小于0还是等于0.
⑷根据⑶知三种情况：
①当时，代入有求根公式有两个根不等：，
②当时，代入求根公式有两个根等:
③当时，不代的值，直接说【此方程无解】即可。
2.用公式法解下列方程：（1）x2+x-1=0； （2）x2-2x+3=0； （3）2x2-2x+1=0；
3、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2+3x－4 = 0； （2）1.6y2+0.9 = 2.4y； （3）5（x2+1）－7x = 0.
4、解下列方程
(1) x2-+2=0； (2)4x2＋4x＋10＝1－8x；
课堂小测1：
1、利用求根公式求的根时,a,b,c的值分别是( )
A.5, ,6 B.5,6, C.5,-6, D.5,-6,-
2、如果分式的值为0,则x值为( )
A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3
3、方程x2—5x—1=0( )
A、有两个相等的实数根；B、有两个不相等的实数根；C、没有实数根；D、无法确定；
4、关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值为___ __．
5、用适当的方法解下列方程：
(1) 4x2－3x－1＝x－2 (2) 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1)
6、求a的取值, 使关于x的方程，
（1）有两个实数根；（2）没有实数根；
小结： 1、求根公式；2、根的判别式；3、公式法。
课堂检测2：
1、方程的根是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. 没有实数根
2、下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
3、若a有两个不相等的实数根，则的取值范围是：
4、用公式法解下列方程：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
基础测试
用适当方法解方程：
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；
⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；
已知三角形两边长分别是1和2，第三边长为的根，则这个三角形的周长是（ ）
A.4 B. C. D.不存在
当x= 时，既是最简根式又是同类根式。（解题关键:由题知被开方数相同）
已知二次三项式是一个完全平方式，试求m的值。
注:利用一次项系数一半的平方配成的形式，只需C=0即可求出m的值
、分解因式法解一元二次方程：（提公法结合，化作一次式子乘积）
惯用做法：建立整体思想，找或构造相同整体，即找相同单项式和多项式，难度较大的是找不含数和单个字母的相同单项式和多项式，找出整体提出来即可。
常见重点模型：
⑴这个模板采用后者取相反数，观察发现，后者括号上没数即为1,1是奇数，以后遇到类似的，变化时最好变奇数次的，偶数吃负号，没有意义。
⑵这个模板采用平方差公式求解，整体变，整体换，中的为，b为即
，注意这类必须利用中括号辅助，小括号保留。
⑶采用两种思考，一完全平方公式，二十字相乘法。
课前导学：学生自学课本第 页内容，并完成下列问题
1、（1）因式分解的常用方法： 、 ；
（2）平方差公式 ( )( );
完全平方公式 (
2、分解因式： （1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
3、我们学习了解一元二次方程的三种方法是： 、 、 。
4、解下列方程：
（1） （2） （3） （4）
合作、交流、展示：
1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
解：设这个数为，由题意，可得方程
解法1：（配方法） 解法2：（公式法）
你还有其他的方法吗
解法3: 当时， =0 , 则
=0或 =0
∴ ，
【归纳】运用因式分解的方法求一元二次方程的方法叫 。
把一个一元二次方程转化为两个 方程来解，体现了一种“ ”的思想
2、例1用因式分解法解下列方程：
（1） （2） （3）
解：
▲▲▲切记：采用因式分解解此方程时，【两次观察必到位】▲。
第一次即解题时观察方程是不是有公因式，没有公因式，直接化为一般式，
第二次，一般式后观察可否是完全平方或平方差或可用十字相乘法。
【归纳】一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为 。 （2）将方程的左边进行因式分解。
（3）令每个因式为0，得两个一元二次方程。（4）解一元一次方程，得方程式的解。
3、练一练，用因式分解法解方程：
（1） （2）
（3） （4）
课堂检测1：
1、解下列方程：
（1） （2） （3）
（4） （5） (6)
2、已知，求.
3、当K取什么实数时，方程有两个不相等的正数根.
4、一个直角三角形两条直角边相差7,面积是30，求斜边长.
课堂检测2：
1、方程的根是（ ）
A. ， B.， C.， D. ，
2、下列方程适合用因式分解法的是（ ）
A. B. C. D.
3、方程的根是________________。
4、用因式分解法解下列方程：
(1) (2) (3)
综合测试
方程的根是（ ）
D.以上都不存在
若，则（ )
A. B.4 C.4或-2 D.-4或2
若为三角形ABC的三边，且a,b,c满足，则为（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或等边三角形
用分解因式解下列方程
⑴；⑵；⑶⑷；⑸
小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是
已知方程有整数根，则整数根m= (填上一个即可)
若，则的值是
变式1：a,b为实数，且满足，则
变式2：若，则x+y=
变式3：若则x+y的值是
、一元二次方程根与系数关系（韦达定理）
定理：若的两根为，则。
如：一元二次方程的两个根为，则
注：先定符号，再写数。
逆定理:若满足，则一定是方程的两根。
韦达定理的重要推论。
推论1：方程的两根是，则。
推论2：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是。
注：由转化为转化为，其中推出。
4.利用根与系数的关系，可知一元二次方程有如下结论：
⑴、两根互为相反数，则。
⑵、两根互为倒数，则。
⑶、两根互为负倒数，则。
⑷、一根为0，则
⑸、两根都为0，则
注：反看加，倒看乘，一0想乘，二0想加乘。
⑹、若有一根是1，则a+b+c=0,
⑺、若有一根是-1，则a-b+c=0.
常用变形。（主要是将一些式子转化成韦达定理）
⑴ ;⑵.；⑶.；⑷.；
⑸.▲，⑹.等。
课前导学：学生自学课本第15-16页内容，并完成下列问题
1．( 1 ) 一元二次方程的一般形式：
（2）一元二次方程的求根公式：
2．【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
【探究一】
一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
+6x-16=0
-6x+8=0
【猜想1】若方程x2+px+q=0的两根为,，则x1＋x2== ， x1 x2= 。
3．【探究二】
一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
2-3x+1=0
2+3x-5=0
【猜想2】若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为,，则x1＋x2== ， x1 x2= 。
二、合作、交流、展示：
1．利用求根公式推到一元二次方程根与系数的关系
ax2+bx+c=0的两根= , =
= =
= =
= =
2．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为,，则x1＋x2== ， x1 x2= 。
特别的，若方程x2+px+q=0的两根为,，则x1＋x2== ， x1 x2= 。
请用语言叙述上述结论。
3．【例1】求下列方程的两根之和与两根之积.
（1）-6x-15=0 （2）5x-1= 4 （3）=4 （4）2=3x
【点拨】先将方程化为一般形式
4．【例2】已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；
（与小伙伴交流你的做法）
5．【例3】、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1） （2） （3）
巩固与应用：
1．方程 则= ，= __
2．关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ，＝ 。
3．（选做）若关于的一元二次方程+ax+a+1=0的两根满足：+=6，求a的值.
4．已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
例题1:不解方程，求两根之和与两根之积。
注：先定有无解，再求解，以免做无用功。
例题2：已知方程的一根为，求另一个根及m的值。
例题3:设方程。
⑴⑵⑶、
解:根据根与系数的关系，有
综合训练：
方程的一根为，则它的另一个根等于 ， .
若0,-3是方程的两根，则 。
已知方程的两根为，则
⑴、 ，⑵、 ，⑶、 ，⑷、 。
方程两根比为3:1，则m= 。
已知方程的两根之差为3，则k= 。
设是方程的两根，不解方程，求下列各式值。
⑴、，⑵、，⑶、，⑷、。
六)、一元二次方程的解法
课前导学：学生自学课本25-27页内容，并完成下列问题
1． 解一元二次方程的基本思路是：将 方程化为 方程，即降次思想.
2.解一元二次方程的四种解法是 .
3．选择合适的方法解下列方程：
（1）4(x+5)2=16 （2）x2＋2x－8＝0 （3）x2－2x＝99；
（4）2x2-4x-1=0 （5） 3x(x+2)=5(x+2) （6）4(x+2)2=9(2x-1)2.
4．你认为下列方程你用什么方法来解更简便.
（1）12y2－25＝0； （你用_____________法）
（2）x2－2x＝0； （你用_____________法）
（3）x2－3x＝15； （你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0； （你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1； （你用_____________法）
（6） 3x2＝4x. （你用_____________法）
一元二次方程解法的选择顺序一般为： 、 、 、 .
合作、交流、展示：
1．【例1】选择合适的方法解下列方程：
(1) x2-2x+1=4； (2)x2+12x+27=0； (3)x(x-2)+x-2=0；
(4) 3x2+6x-5=0； (5) (x-4)2-(5-2x)2=0 ； (6) x2-6x=91.
2．【例2】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B．且 C． 且 D． 且
【根的判别式定理】
一般地，式子叫做方程 ，通常用希腊字母表示它，即
（1）△＞0 方程有两个 的实数根；
（2）△=0 方程有两个 的实数根
（3）△＜0 方程 实数根．
巩固与应用：
1．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＝0
C．(x＋1)2＝0 D．(x＋3)(x－1)＝0
2．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
　 A． k＜﹣2 B． k＜2 C． k＞2 D． k＜2且k≠1
3．已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是 ；
4．关于的一元二次方程为．
（1）求出方程的根；
（2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
实际问题与一元二次方程（1）
一、课前导学：学生自学课本19-20页内容，并完成下列问题
1．列方程解应用题的一般步骤 ： ；
2．【探究一】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，
⑴开始有一人患了患流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示第一轮后，共有 人患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人，用代数式表示 ，第二轮后，共有
人患流感.
⑵根据相等关系列方程：
⑶解这个方程得：
⑷平均一个人传染了 个人.
⑸如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有 人患流感.
3．【探究二】某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？
【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则
11月份的营业额为 元，12月份的营业额为 元，
由此就可列方程： .
二、合作、交流、展示：
1．【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
3．【例2】两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
【分析】（1）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本为 元；两年后，甲种药品成本为 元.
对甲种药品而言根据相等关系列方程为：
解这个方程得：
甲种药品成本的年平均下降率为 .
（2）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率，并比较哪种药品成本的平均下降率较大.
（3）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？
【归纳】若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有：（常见n=2）
三、巩固与应用：
1．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
　 A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196
　 C． 50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
2．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg.
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少
一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所行的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数.
实际问题与一元二次方程（2）
课前导学：学生自学课本20-21页内容，并完成下列问题
1．列方程解应用题的一般步骤 ： ；
2.【问题】要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.
【分析1】中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比为27︰21＝9︰7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为 ，若设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为 cm，宽为 cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的 ．
所以列出方程： ，
整理，得： ，
解方程，得：x= ，
因此，上下边衬的宽均为 cm，左、右边衬的宽均为 cm．
【分析2】（变换设未知数的方法，如何解决？）
二、合作、交流、展示：
1．【例1】要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片的四分之一，镜框边的宽度是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
【分析】“镜框所占面积为照片的四分之一”可转化为
解：
2．【例2】如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
【分析】若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2 xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为 m，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的 .
解：
三、巩固与应用：
1. 如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
2．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆没增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
《一元二次方程》的小结与复习
一、知识梳理：
1．结构框图：
2.一元二次方程的概念：等号两边都是 ，只含有 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
3.一元二次方程的一般形式是： ，其中 是二次项， 是二次项
系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项.
4.一元二次方程的解法：① 、② 、③ 、④ .
5.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= ，当⊿ 时，方程有两个不相等的实数根；当⊿ 时，方程有两个相等的实数根；当⊿ 时，方程没有实数根.（当⊿ 时，方程有实数根）
6.一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x= .
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2= ，x1 x2= .
若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：x1＋x2== ， x1 x2= .
二、基础巩固：
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是【 】
A． B． C． D．
2．方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= .
3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【 】
A． 1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
4．某市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为 ，此方程适宜用 法解.
5．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【 】
A．（x﹣1）2=4　　B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16　　D．（x+1）2=16
6．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 】
A． B． C． D．
7．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是
8．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是
9．已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则 .
三、典例剖析：
1．【例1】用适当的方法解下列方程：
⑴x2﹣4x+2=0 ⑵
⑶ ⑷
2．【例2】先化简，再求值：
，其中是方程的根．
3．【例3】已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
4．【例4】已知x1、x2是方程x2+7x－5=0的两实数根，求的值
5．【例5】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
6．【例6】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
四、巩固与应用：
1．下列方程，是一元二次方程的是 .
①3x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③， ④ x2=0， ⑤
2．已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为 -2，则实数k的值为【 】
A．1 B． C．2 D．
3．已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= ．
4．用适当的方法解下列方程：
⑴x2-2x-3=0 ⑵x(x-2)+x-2=0 ⑶ ⑷x2-3x-1=0
5．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 ．
6．已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．
7．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.
8．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0
9．已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值.