2023-2024学年湖北省重点高中智学联盟高二上学期12月联考数学试题（含解析）

2023-2024学年湖北省重点高中智学联盟高二上学期12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复平面内复数的共轭复数为，若，则复数对应的点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则( )
A. B.
C. 或 D. 与的位置关系不能判断
3.已知抛物线上的点到焦点的距离为，则
A. B. C. D.
4.已知，的夹角为，则( )
A. B. C. D.
5.是圆上的动点，若到两条直线和的距离之和与动点的位置无关，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
6.已知分别为双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为
A. B. C. D.
8.如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，，则在四棱锥中，与平面所成角的正切值为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是
A. 若事件和事件互斥，则
B. 若事件和事件对立，则
C. 若，则事件和事件独立
D. 若三个事件、、两两独立，则
10.设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与交于、两点，若 为正三角形，则下列说法正确的是
A. B.
C. 双曲线的焦距为 D. 的内切圆与轴相切于点
11.在边长为的正方体中，动点满足，则下列说法正确的是
( )
A. 若，则直线与所成的角为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 若，则直线与平面所成的角为
D. 若，则三棱锥的外接球的表面积为
12.已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上异于坐标原点的两点，则下列结论正确的是( )
A. 若直线过点，则
B. 若直线过点，则的最小值为
C. 若直线过点，则直线的斜率之和
D. 若直线过点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为____________．
14.已知样本的平均数为，若的平均数为 ，则样本的方差为_____________
15.已知圆台上、下底面的圆的半径分别为和，该圆台的体积为，则该圆台的侧面积为______________．
16.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题解决，如与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题依上思想，已知，则的最小值为______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知抛物线的焦点坐标为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于 两点，求弦长；
已知双曲线的实轴长为，且它的渐近线与圆相切，求双曲线的焦点到渐近线的距离．
18.本小题分
随机抽取名学生，测得他们的身高单位：，按照区间，，，，分组，得到频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中的值，并估计该名学生身高的分位数；
将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取人，再从这人中任选人出来，求这人来自不同小组的概率．
19.本小题分
如图：平行六面体中，，且，，记，，．
将用，，表示出来，并求；
求异面直线与所成角的余弦值．
20.本小题分
圆过、两点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
若直线在轴上的截距是轴上的截距的倍，且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
21.本小题分
如图，为圆柱底面的直径，是圆柱底面的内接正三角形，和为圆柱的两条母线，且．
求证：平面平面；
求二面角的正弦值．
22.本小题分
已知椭圆的离心率，且过点．
求椭圆的方程；
过点作椭圆的两条互相垂直的弦、，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的几何意义，复数的运算，共轭复数，属于基础题．
利用复数的运算法则化简得，进而得，求出其对应点的坐标，即可判断选项．
【解答】
解：由，
得，
所以，其对应的点为，所在的象限是第一象限．
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用直线的方向向量和平面的法向量的关系，判定线面关系，属于基础题．
观察到的直线的方向向量与平面的法向量共线，得到直线与平面的位置关系是垂直．
【解答】
解：直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
显然它们共线，所以．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的概念及标准方程，属于基础题．
求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，转化求解即可．
【解答】
解：抛物线的准线方程为 ，
抛物线上一点到其焦点的距离为，
可得 ，解得．
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量的数量积，求向量的模，属于基础题．
根据数量积的定义求出，再根据及向量数量积的运算律计算可得．
【解答】
解：因为，的夹角为，
所以 ，解得，
所以
．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
作出图形，结合图形可知当圆位于直线与之间时即为所求，根据直线与圆相切时是临界值即可求解．
【解答】
解：圆，圆心设为，半径为，
由图可知当圆位于两直线与之间时，点到直线和的距离之和与点的位置无关，
此时点到两直线和的距离之和即为与两平行直线间的距离，
当直线与圆相切时，，解得或舍去，
所以，即的取值范围是．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时要认真审题，注意双曲线定义的灵活运用，属于中档题．
设，，由双曲线的定义知，由为直角三角形，结合已知条件得出，，即可求出离心率．
【解答】
解：设，，
则由双曲线的定义知，
在以为直径的圆上，为直角三角形，
又，，则，，
，．
．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系及其应用，考查数学运算能力，属于较难题．
由题意易得，则椭圆，易求得直线的斜率为，则直线的斜率，则由题意可设直线为：，联立椭圆方程，消去，利用韦达定理并结合的中点为 可求得的值，继而可求得椭圆的标准方程．
【解答】解：由题意可知，
则，
则，
则椭圆，
又点为椭圆的下顶点，
所以，
则，
则直线的斜率，
易知直线过点，
则直线为：，
即，
与椭圆方程，
联立并消去可得，
设，，
则，
又的中点为，
则，
整理可得，
解得，
所以，
所以，
则椭圆的方程为，
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查展开图的问题，线面垂直的判定与性质定理的应用，直线与平面所成角，属于中档题．
将四棱锥的平面展开图还原为立体图，注意量之间关系的变与不变，利用线面垂直的判定定理、性质定理可得三角形为直角三角形且，再结合已知条件即可求得．
【解答】
解：在四棱锥的平面展开图中有
，
即，平面，
在四棱锥中，平面，平面，
．
如图：
其中，
．
由于四边形是矩形，
．
与是平面内两相交直线，
平面，又平面，．
所以为与平面所成角
因为，
．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，是基础题．
利用互斥、对立事件的概率公式判断选项AB；利用独立事件的乘法公式判断选项C；举反例判断选项D．
【解答】
解：对于，根据互斥事件的概率加法公式即可判断A正确；
对于，若事件和事件对立，则，故B正确；
对于，根据相互独立事件的概率公式可知C正确；
对于，例如，从，，，中随机选出一个数字，记事件 “取出的数字为或”， “取出的数字为或”， “取出的数字为或”，
则 “取出的数字为”，
显然 ，
，
满足 ， ， ，
所以事件，，两两独立，但是 ，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质及命题真假的判断，属于中档题．
由题意及为正三角形可得，的关系，进而求出离心率的值，再由双曲线的方程可得的值，然后逐一分析各选项即可．
【解答】
解：设，因为为正三角形，
所以，，
由双曲线定义可得：，
所以双曲线的离心率，
由双曲线的方程可得，，
所以由离心率可得： ，
解得：，故A错误；
，故B正确；
，所以焦距，故C错误；
设的内切圆的圆心为，与边，，相切于，，，
可得，，，
而，即，
又，解得，，
根据的坐标为可得的横坐标为，即的横坐标为，
即的内切圆与轴相切于点，所以D正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成的角，棱锥的体积，球的表面积，直线与平面所成的角，属于中档题．
若，则点与重合，所以直线与所成的角为，可判断由点到平面的距离为定值，可知三棱锥的体积为定值，可判断根据线面所成角的定义，可判断求出三棱锥的外接球的球心及半径，可判断．
【解答】
解：对于，若，则点与重合，所以，
所以直线与所成的角为，
因为为等边三角形，所以，故A错误
对于，由题意知，平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确
对于，若，则为的中点，又面，
所以直线与面所成的角为，
又，故C错误
对于，若，则为的中点，
所以，平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，所以，
则三棱锥的外接球的球心为的中点，
所以外接球半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．
对于，，，设直线方程为，与抛物线方程联立，根据根与系数的关系可判断；求得，利用基本不等式判断；根据斜率公式即可判断；对于，设直线方程为，根据以及根与系数的关系即可判断．
【解答】
解：抛物线的焦点为，，
对于，设直线方程为，
联立，可得，
可得，，故A错误；
对于，结合可得，
则，
当且仅当，即，时取等号，
则的最小值为，故B正确；
对于，结合可得：
，故C正确；
对于，设直线方程为，
联立，可得，
可得，，
则
，
即，故D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了投影向量的概念，属于基础题．
根据向量 在向量 方向上的投影向量为 ，计算坐标即可．
【解答】
解：由，，可得，
所以向量在向量方向上的投影向量的坐标为：

14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了求数据的平均数、方差问题，是一道中档题．
根据平均数以及方差的计算公式代入计算即可．
【解答】解：，，
，
即数据，，，的方差为，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆台的侧面积和体积，属于基础题．
利用圆台体积公式可得其高为，即可知母线长为，利用圆台的侧面积公式即可求解．
【解答】
解： 根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为
设圆台的高为，
由体积可得，解得，
所以可得圆台母线长为，
可得圆台侧面积为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两点间的距离公式，圆有关的最值问题，抛物线的性质，属于拔高题．
由已知表示点到距离，又点是圆上的动点，点是抛物线上的动点，所以的最小值可以转化为抛物线上点到圆心的距离减去半径，即可求解．
【解答】
解：令表示点到距离，
又点是圆上的动点，
点是抛物线上的动点，
所以的最小值可以转化为抛物线上点到圆心的距离减去半径，
设过点的作抛物线的切线方程为，联立抛物线方程，
则，则，则，
所以当点到抛物线上一点的距离最短时，此时直线与过点的切线垂直，
则，即，即，解得，
所以此时点的坐标为，
所以，
所以的最小值为，
故答案为．
17.【答案】解：由抛物线 的焦点为 ，得抛物线的方程为 ，
直线 过点 且倾斜角为 ，则直线 的方程为 ，
联立得： ，
则 ；
双曲线的实轴长为 ，
则双曲线 ，则渐近线方程为： ，
，圆心为，半径为，
故 ，
故双曲线的渐近线方程为： ，取右焦点为 ，
则双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ．

【解析】本题主要考查的是直线与抛物线的位置关系，弦长的求解，属于基础题．
先求抛物线的解析式和直线解析式，再将直线与抛物线联立，求解即可．
本题主要考查的是双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于基础题．
根据已知可得双曲线 ，进而可得渐近线方程为： ，利用直线和圆的位置关系，可得结论．
18.【答案】解：由频率分布直方图可知，
解得
身高在的人数占比为，身高在的人数占比为，
所以该名学生身高的分位数落在内，可知恰好为区间的中点，
故该名学生身高的分位数为
组人数为，组人数为，组人数为，
由题意可知组抽取人数为，组抽取人数为，
组抽取人数为，
人中任选人的方法数为，这人来自不同小组方法数为 ，
故这人来自不同小组的概率

【解析】本题主要考查概率与统计的综合问题，注意披绿分布直方图的应用以及分层抽样的特点．
因为各组的频率之和为，由此列出等式，求得的值，然后由百分位数的定义求出分位数；
先算出三个小组每组学生数，按照分层抽样的方法，即按比例抽样，即各小组按需：：进行抽取，由古典概型概率求解即可．
19.【答案】解： ，
，，，，，，
，．

， ，
，
，
， ．
异面直线与所成角的余弦值为

【解析】本题考查向量的模，异面直线所成角，属于中档题．
根据，即可求解；
分别表示出，再利用向量数量积求夹角．
20.【答案】解：过两点 ， 的直线斜率为，两点连线的中点为，
所以两点的中垂线方程为：，即 ，
联立 ，解得圆心 ，
所以 ，故圆 的方程为：
由直线 且被圆 截得的弦长为 ，故圆心 到直线 的距离为 ，
若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为： ，
，此时直线 的方程为：
若直线不过原点，设直线为： ，
，
此时直线 的方程为： ， ，
故直线 的方程为： ， ， ．

【解析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．
先求出、两点中垂线方程，与直线方程联立，求解出圆心坐标，进而确定半径，即可求解；
由已知先求出圆心到直线的距离，再对直线是否过原点，结合点到直线距离公式分类讨论求解即可．
21.【答案】证明：因为为圆柱底面的直径，所以因为为圆柱的母线，
故AD，又，，平面，故AD平面．
由和为圆柱的两条母线知四边形为矩形，
因此 ，故平面．
又因为平面，
所以平面平面
解： 由题意知，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，故BD，，，
是圆柱底面的内接正三角形，故，故AD，
过作，垂足为，，，
故点的坐标为，
由平面，可设平面的法向量为，
设平面的法向量为，
由 ，即
令 ．
则， ，
设二面角 的平面角为，
，
故二面角 的正弦值为

【解析】本题主要考查面面垂直的判定和二面角的求解，属于中档题．
先证明平面，再证明平面，即可证明平面平面
以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的正弦值．
22.【答案】解： ，
又 ，
故椭圆 的方程为 ；
当直线 的斜率不存在时，
设 ， ，
代入 ，得： ，
此时直线 ；
当直线 的斜率存在时，
设 ，联立 得： ，
，
， ，
，
，
代入整理得： ，
，
当 ，
此时 ，过定点 ，舍去．
当 ，
此时 ，过定点 ，经验证，此时满足，或由定点在椭圆内部可知直线满足与椭圆相交；
综上，直线 过定点 ．

【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆位置关系的应用、直线过定点问题，考查了推理能力和计算能力，属于较难题．
由离心率为，且经过点，结合即可得出；
当直线斜率不存在时，易得直线方程；当直线的斜率存在时，设直线方程为，，，联立，根据根与系数的关系，利用，即可求解出与的关系，即可得出直线过的定点，综合这两种情况得到结论．
第1页，共1页