2023-2024学年广西壮族自治区高一上学期12月贵百河三市联考数学试题（含解析）

2023-2024学年广西壮族自治区高一上学期12月贵百河三市联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则为
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若，则“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是
( )
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，
5.设集合，，若，则( )
A. B. C. D.
6.荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的倍，大约经过多少天参考数据：，，
( )
A. B. C. D.
7.已知函数， 的零点分别为，，，则，，的大小关系为
( )
A. B. C. D.
8.已知函数是上的减函数，那么实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下运算结果等于的是( )
A. B. C. D.
10.下列各组函数是同一函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
11.下列说法正确的是( )
A. 函数与的图象关于轴对称
B. 函数与的图象关于轴对称
C. 函数与的图象关于原点对称
D. 函数与的图象关于轴对称
12.已知函数则下列说法正确的是
( )
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 为奇函数 D. 为增函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数，且的图象恒过点____________．
14.函数反函数的定义域为_______________．
15.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ．
16.若正数，满足，则的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
已知，且，求的值．
18.本小题分
已知且．
求的定义域；
判断的奇偶性，并说明理由．
19.本小题分
已知函数
若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
当求实数的取值范围；
20.本小题分
某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，假设每箱售价不得低于元且不得高于元市场调查发现，若每箱以元的价格销售，平均每天销售箱，价格每提高元，平均每天少销售箱．
求平均每天的销售量箱与销售单价元箱之间的函数关系式
求该批发商平均每天的销售利润元与销售单价元箱之间的函数关系式
当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润最大利润是多少
21.本小题分
定义在上的函数满足，且函数在上是减函数．
求，并证明函数是偶函数；
若，解不等式．
22.本小题分
已知．
判断函数的单调性并用定义证明你的结论；
若对恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，属于基础题．
利用并集定义先求出，由此能求出．
【解答】
解：全集，集合，，
，
．
故答案选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了存在量词命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得结论．
【解答】
解：存在量词命题的否定时只需要“改量词，否结论”即可，
故为，．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分、必要、充要条件的判断，属中档题．
本题可采用多种解法判断，解法一：由题意进行等价变形即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可得等式成立，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可得成立；解法三：证明充分性可由通分后用配方法得到完全平方式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配方法得到完全平方式，再根据等式成立的条件得成立，即可得．
【解答】
解：
解法一：
因为，且，
所以等价于，即，即，
所以“，且 ”等价于“”，
所以“”是“”的充要条件．
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以．
所以必要性成立．
所以“”是“”的充要条件．
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立．
所以“”是“”的充要条件．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂函数的性质、考查幂函数的图象取决于幂指数，属于基础题．
通过的图象的对称性判断出对应的函数是偶函数；对应的幂指数大于，通过排除法得到选项．
【解答】
解：幂函数 的定义域为 ，且为奇函数，在 上单调递增，对应图象；
幂函数 的定义域为 ，且为偶函数，在 上单调递增，对应图象；
幂函数 的定义域为 ，为非奇非偶函数，在 上单调递增，对应图象；
幂函数 的定义域为 ，且为奇函数，在 上单调递减，对应图象；
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查集合的子集，属于容易题．
根据，四个选项逐一代入即可判断．
【解答】
解：对于、若，此时，，不满足题意
对于、若，此时，，满足题意．
对于、若，此时，，不满足题意．
对于、若，此时，，不满足题意．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数模型的应用、对数与对数运算，属于基础题．
设大约经过天，得，两边同时取常用对数可得结果．
【解答】
解：设经过天“进步”的值是“退步”的值的倍，
则 ，
．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数零点问题，属于基础题．
求出，画出、、的图象，由图像可得，，即可得大小关系．
【解答】
解：由得，，
由得，由得．
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．
根据函数的单调性以及一次函数，对数函数的性质，求出的范围即可．
【解答】解：由题意得：
，解得：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考了指数运算中分数指数幂的化简，是基础题
先根据指数指数幂相关公式分析此题，即可得到我们所需要答案。
【解答】
解：
对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D正确．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数三要素的理解与应用，解题的关键是判断函数的定义域和对应关系是否相同，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
根据函数的定义域、对应关系和值域等知识确定正确选项．
【解答】
解：选项，与定义域相同、对应关系相同、值域也相同，选项是同一函数．
选项，的定义域为，的定义域为，不是同一函数．
选项，和的定义域都为，，对应关系相同，值域也相同，选项是同一函数．
选项，定义域为，的定义域为，不是同一函数．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的图象的对称性的应用，考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．
根据图象关于原点对称、图象关于轴对称、图象关于轴对称、图象关于轴对称，分别写出各个函数图象对称的函数图象的解析式，再对照选项即可得出正确答案．
【解答】
解：易知函数与的图象关于轴对称，
且函数与的图象关于轴对称，
所以函数与的图象关于原点对称，
所以、、正确，错误．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数的定义域，值域，奇偶性，单调性，属于基础题．
由解析式直接得出定义域，画出函数的图象，由图象分析值域，奇偶性，单调性．
【解答】
解：函数可知定义域为，故A正确；
画出函数的图象如下：
由图象可知值域为或或故B错误；
函数的图象关于原点对称，为奇函数，故C正确；
函数在整个定义域内为增函数，故D正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数函数的图象的特征，属于基础题．
由对数函数的图象恒过定点，可令，即可得到所求定点．
【解答】
解：可令，解得，
则，
可得的图象恒过定点．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查原函数与反函数的关系，考查计算能力，是基础题．
直接根据反函数的定义，求出函数的值域，就是反函数的定义域．
【解答】
解：，可知，
所以反函数的定义域为：．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质，属基础题．
当时，，由已知表达式可求得，由奇函数的性质可得与的关系，从而可求出．
【解答】
解：当时，，
则．
又是上的奇函数，
当时，．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：正数、满足，
则，当且仅当时取等号．
的最小值是．
故答案为：．
17.【答案】解：原式
．
因为，所以，所以，，
所以，，
所以，
因为，由，
得．
【解析】本题考查指数与对数运算，属于基础题．
根据指数运算性质进行计算即可；
根据指对互化和对数运算性质即可求解．
18.【答案】解：令得：，定义域为，
令得：，定义域为，
的定义域为；
由题意得：，
．
为偶函数．
【解析】本题主要考查的是对数函数的性质及函数的奇偶性，属于基础题．
结合对数的定义域求解即可；
结合奇偶函数的定义判断奇偶性．
19.【答案】解：函数 图象的对称轴为，
又函数在上是单调函数，或 ，
解得或．
实数的取值范围为；
当，时，恒成立，
即恒成立，
令，则，
函数图象的对称轴，
，即，
的取值范围为．

【解析】本题考查二次函数的性质以及不等式恒成立问题，属于中档题．
利用二次函数的性质，得或 ，即可求出实数的取值范围；
根据题意，不等式等价于当时恒成立，通过构造函数，将问题转化为，即可求出实数的取值范围．
20.【答案】解：根据题意，得，
化简，得．
因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润．
所以．
因为，
所以当时，随的增大而增大．
又，，
所以当时，有最大值，最大值为．
所以当每箱苹果的售价为元时，可以获得最大利润，且最大利润为元．

【解析】本题考查函数的实际应用，二次函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
利用已知条件直接列出函数的解析式即可．
通过该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润，列出函数的解析式．
利用二次函数的性质求解函数的最值即可．
21.【答案】解：令，则，
得，
再令，，可得，
得，
所以，
令，可得，
又函数的定义域关于原点对称，所以是偶函数．
因为，所以．
因为函数在上是减函数，且是偶函数，
所以函数在上是增函数．
又，
所以，
等价于或，
解得或．
所以不等式的解集为．
【解析】本题考查抽象函数的图象和性质，属于中档题．
用赋值法令，得，令，，可得，令，可得，可得函数是偶函数．
，所以不等式可变为，求解即可．
22.【答案】解：任取，，且，
，
，，，
，
，
为上的增函数．
由对恒成立，
即对恒成立，
可得 ，
则 ，
，
．
设，，由知，
故原不等式可化为在恒成立，
，
当时， ，
，
的取值范围是．

【解析】本题考查函数恒成立问题，解决函数不等式恒成立问题的方法一般是转化为求函数的最值，一种方法是直接求函数最值，然后解最值满足的不等式得参数范围，另一种方法是分离参数，转化为求没有参数的函数的最值，从而得参数范围，属于中档题．
由单调性的定义证明；
设，，由知，原不等式可化为在恒成立，求出左边的最小值即得．
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