2023-2024学年浙江省北斗星盟高二上学期12月阶段性联考数学试题（含解析）

2023-2024学年浙江省北斗星盟高二上学期12月阶段性联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角的大小为
．( )
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
3.已知空间向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的前项和为，，，则其公比( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，，是上一动点，则直线的斜率的取值范围为
( )
A. B. C. D.
6.正四面体的棱长为，点、分别是棱、的中点，则点到平面的距离为
( )
A. B. C. D.
7.已知直线与抛物线交于、两点，且该直线不经过抛物线的焦点，那么以线段为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是
( )
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 与直线的位置有关
8.正方体的棱长为，是面内一动点，且，是棱上一动点，则周长的最小值为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 两异面直线所成角的取值范围是
B. 若直线与平面相交，则该直线与平面所成角的取值范围是
C. 二面角的平面角的取值范围是
D. 若，，是空间向量的一组基底，则存在非零实数，，，使得
10.已知圆：与圆：交于、两点，下列说法正确的是
( )
A. 点在圆内 B. 直线的方程是
C. D. 四边形的面积是
11.已知平面内一动点与两定点连线的斜率的乘积为定值时，若该定值为正数，则该动点轨迹是双曲线两定点除外；若该定值是负数，则该动点轨迹是圆或椭圆两定点除外如图，给定的矩形中，，，、、、分别是矩形四条边的中点，、分别是直线、的动点，，，其中，且直线与直线交于点下列说法正确的是
( )
A. 若，则的轨迹是双曲线的一部分
B. 若，则的轨迹是椭圆的一部分
C. 若，则的轨迹是双曲线的一部分
D. 若，则的轨迹是椭圆的一部分
12.数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中一类，螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠绕”如图所示，正六边形的边长为，分别取其各条边的四等分点，连接得到正六边形，再取其各条边的四等分点，连接得到正六边形，依次类推对于阴影部分，记第一个阴影的最大边长为，面积为；第二个阴影的最大边长为，面积为，第三个阴影三角形的最大边长为，面积为，依次类推下列说法正确的是
( )
A. B. 数列是以为公比的等比数列
C. 数列的前项和小于 D. 任意两个阴影三角形的最大边都不平行
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆心在轴上的圆经过点，，则该圆的半径是______．
14.如图，平行六面体各条棱长均为，，，则线段的长度为______．
15.某牧场年初牛的存栏数为头，以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛，那么在年初牛的存栏数是多少______结果保留整数，参考数据：，，
16.已知是椭圆的右焦点，是坐标原点，点是的中点，椭圆上有且只有一个动点与点的距离最近，求该椭圆的离心率的取值范围______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列满足：，．
证明：数列是等差数列；
记，，求数列的前项和．
18.本小题分
已知圆：，直线：，．
判断直线是否过定点，若过定点，请找出该定点；若不过定点，请说明理由．
若直线与圆交于、两点，且，求该直线方程．
19.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，侧面是等边三角形．
证明：平面平面；
求二面角的平面角的余弦值．
20.本小题分
已知抛物线：，．
是抛物线上一个动点，求的最小值；
过点作直线与该抛物线交于、两点，求的值．
21.本小题分
已知函数的图象与水平直线交于点，其中，，，记直线的斜率为，与轴交于点
求数列的通项公式；
记，，数列的前项和为，求．
22.本小题分
如图，双曲线的离心率为，实轴长为，，分别为双曲线的左右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于，两点，其中点在第一象限．连接与双曲线左支交于点，连接分别与，轴交于，两点．
求该双曲线的标准方程；
求面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
由，，即可得出．
【解答】
解：设直线的倾斜角为，
则，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
直接利用双曲线的标准方程，求解渐近线方程即可．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程是：，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量垂直的坐标运算、模的计算，属于基础题．
根据得到，得到 的坐标，再求向量的模即可．
【解答】
解：空间向量，，
若，
则，
解得：，
则，
所以．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的通项公式与前项和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设等比数列的公比为，根据，，可得，，进而得出．
【解答】
解：设等比数列的公比为显然不成立，
，，
，，
两式相除可得，即
解得舍去，．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．
设出直线方程，利用圆的到直线的距离小于等于半径，求解即可．
【解答】
解：由题意可知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
曲线表示圆心，半径为的圆，
因为点在圆上运动，所以直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离应小于等于半径，
所以 ，即 ，解得 ．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查点到平面的距离，属于中档题．
建立空间直角坐标系，利用点面距公式求得正确答案．
【解答】
解：将正四面体放在一个正方体内，则正方体的边长为，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
得，
设平面的法向量为，
则，记，
点到平面的距离为，
点到平面的距离为．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题以抛物线为载体，考查抛物线的定义，合理转化，属于中档题．
设为中点，在准线上射影分别为，根据抛物线的定义，可知，，从而确定圆心到准线的距离与半径大小关系，即可求．
【解答】
解：抛物线，设为中点，在准线上射影分别为，
由抛物线定义可知：，，
以线段为直径的圆的圆心为，半径，
则圆心到准线的距离，
由于直线不过焦点，则总能形成，且，
即
所以以线段为直径作圆则此圆与该抛物线的准线相离．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查翻折问题与最短路径，属于中档题．
通过翻折，得到周长的最小值为线段即得．
【解答】
解：由题意，由正方体，易得，
故，同理，又，，
故，而，是面内一动点，
故点 在线段 上运动，即动线段 在 内运动，
动线段 在 内运动，动线段 在 内运动，
将 和 翻折使其与 共面，如图所示：
其中 翻折至 ， 翻折至 ，
在四边形中， ， ，
则 ，
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的定义、二面角、直线与平面所成的角，空间向量的基本定理，属于基础题．
根据异面直线所成角的定义、二面角、直线与平面所成的角，空间向量的基本定理逐项判断即可．
【解答】
解：对于，异面直线所成的角的取值范围：，故A正确；
对于，若直线与平面相交，则该直线与平面所成角的取值范围是，故B正确；
对于，二面角的平面角的取值范围是，故C错误，
对于，若存在非零实数，，，，
则，，共面，与，，是空间向量的一组基底矛盾，故D错误，
故选AB．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查点与圆和圆与圆的位置关系，考查两圆的公共弦方程与长度，属于中档题．
将圆，圆的方程化为标准方程，即可求出圆心坐标和半径，计算并与圆的半径比较即可判断；将圆，圆的一般方程相减即可求出直线的方程，从而可判断；通过求出到直线的距离，然后利用公式计算即可判断；
因为，所以四边形的面积，由此计算即可判断．
【解答】
解：由已知，已知圆的标准方程为，圆的标准方程为，所以，．
对于，因为，所以点在圆外，A错误；
对于，由圆：与圆：的方程相减，得直线的方程是：，即，B正确；
对于，由上可知，到直线的距离，
圆的半径，所以，C正确；
对于，根据圆的性质知，，所以四边形的面积
，D正确．
故选BCD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查与椭圆有关的轨迹问题，与双曲线有关的轨迹问题．
写出，，，的坐标，结合题干定义，逐项判定即可．
【解答】
解： ， ， ； ， ， ；
对于选项， ，此时 的轨迹既不是双曲线的一部分，也不是椭圆一部分，均错；
对于选项，，则 ，为定值，此时 的轨迹是双曲线两定点除外，对；
对于选项，， ，且，为定值，此时 的轨迹是椭圆两定点除外，对．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查归纳推理，考查等比数列的判定，考查余弦定理，考查三角形面积公式，考查数形结合思想，属于较难题．
由题意并利用余弦定理和三角形面积公式即可求出和，数形结合分析可知，由此即可判断和；结合等比数列的前项和公式即可判断；利用余弦定理即可判断．
【解答】解：由题意，可知，，，
则，
，
结合上图可知，，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B错误；
结合图可知，，
．，，易得当时也成立；
则，故A正确；
易得数列为等比数列，则其前项和为，则数列的前项和小于，故C正确；
由余弦定理可得第一个阴影三角形的最小角的余弦值，
，记第一个阴影三角形的最小角为，若存在两个阴影三角形的最大边平行，即存在正整数，，使得，其中，，，显然不存在的值，使得，则任意两个阴影三角形的最大边都不平行，故D正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两点间距离公式和圆的定义，属于基础题．
设圆心为，由求得的值，通过两点间距离公式可得半径的值．
【解答】解：圆的圆心在轴上，设圆心为，
由圆过点和，
得，可得，
即，求得，
半径为，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
用向量法，，则，的夹角，的夹角，的夹角，进而求出长度．
【解答】解：在平行六面体中， ，
故
．
所以．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：设牧场从年起每年年初的存栏数依次为，，，，，，其中，
由题意，得，．
故，
即数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
当时，，
故在年初牛的存栏数是．
本题考查等比数列的实际应用，属于中等题．
结合题意，可知每年初的存栏数，故将带入计算可得答案．
16.【答案】
【解析】【分析】本题考查求椭圆离心率的取值范围，考查两点间的距离公式，属于中档题．
由题意可得，易知椭圆上只有右顶点到点的距离最小，设是椭圆上的点，，再利用两点间距离公式以及二次函数的性质即可求得离心率的取值范围．
【解答】解：由题意可得，
则，
因为椭圆上有且只有一个动点与点的距离最近，
则椭圆上只有右顶点到点的距离最小，
设是椭圆上的点，，
则
则
，
对称轴是，
定义域是，
，
即，
则，
又椭圆的离心率，
所以
故答案为：
17.【答案】解： ， ，即，
是以 为首项， 为公差的等差数列；
由 知 ， ， ，
．

【解析】本题考查等差数列的证明、裂项相消求和，属于基础题．
对递推式两边取倒数化简即可得出，结论得证；
由 知 ，得出，使用裂项相消法求出．
18.【答案】解： 直线 变形得 ，
令 ，解得
直线 过定点 ；
圆 ，圆心 到直线 的距离记为 ，
则，
，解得 或 ，
时，直线 的方程是 ；
时，直线 的方程是 ；
综上，直线 的方程是 或 ．

【解析】本题考查直线过定点问题，直线与圆的位置关系，属于中档题．
把直线变形，列方程组求解即可；
根据直线与圆的弦长公式求出，即可得到答案．
19.【答案】证明：取的中点，连接，，
在等边中，，，，
所以，
在中，，
所以，
因为，，与相交且都在平面内，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
解：以为原点，记中点为，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，
对于平面，，，
设平面的一个方向向量为，
则
令，则；
同理可得：对于平面，，，
所以平面的一个方向向量是；
则，，
所以二面角的余弦值是．
【解析】本题考查了面面垂直的判定，二面角的平面角的余弦值，属于中档题．
根据面面垂直的判定定理即可证明；
建立空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的平面角的余弦值．
20.【答案】解： 设 ， ，
当时，，此时 ；
设直线 的方程是 ，
与抛物线联立，消 得 ，
设 ， ，则 ， ，
，
，
可得．

【解析】本题考查与抛物线有关的最值问题，直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
设 ，由两点间距离公式结合二次函数的性质可得结果；
设直线 的方程是 ，与抛物线方程联立，再由向量的数量积公式可得结果．
21.【答案】解： ， ， ；
由知直线的方程为：，
令，可得 ， ，
，
得
，

【解析】本题考查数列的通项公式，错位相减法求和，属于中档题．
由斜率公式可得数列的通项公式；
由错位相减法求和即可．
22.【答案】解： ，，，
解得， ， ，双曲线方程是 ；
设 ， ，
与双曲线方程联立，消，
得，
由点在双曲线上可得，
故 ，
， ， ，
解得，同理解得，
则
，
则直线：
，
即，
令得，令，得，
即，，
则可得 ，
其与轴交于点 ， ，
，
令，则，

，
当且仅当 即 时取到最小值，此时 ．

【解析】本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的综合问题，属于较难题．
由题意可知双曲线的标准方程；
设出点坐标，并表示直线方程，与双曲线方程联立得出点坐标，同理表示出，，点坐标，并表示面积，通过换元，结合函数单调性确定面积的最小值的条件即可求解．
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