2023-2024学年山东省潍坊市东营等市高二上学期普通高中学科素养能力测评数学试题（含解析）

2023-2024学年山东省潍坊市东营等市高二上学期普通高中学科素养能力测评数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是
( )
A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 相交或重合
2.已知是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，则( )
A. B. C. D.
3.已知为抛物线：上一点．点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则( )
A. B. C. D.
4.如图，已知为圆的直径，且，垂直于圆所在的平面，且，是圆周上一点，，则二面角的大小为
A. B. C. D.
5.开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为
A. B. C. D.
6.已知圆：，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为
A. B. C. D.
7.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在轴上，点在的渐近线上．若，，则的渐近线方程为
A. B. C. D.
8.如图，在矩形中，，，，分别为，的中点，将沿直线翻折成，与，不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程所表示的曲线为，则下列命题错误的是
A. 当时，为椭圆 B. 当或时，为双曲线
C. 若为椭圆，则长轴长为 D. 若为双曲线，则焦距为
10.如图，棱长为的正方体中，为线段上动点包括端点则下列结论正确的是
A. 当点为中点时，平面
B. 当点在线段上运动时，三棱锥的体积为定值
C. 当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为
D. 点到线段距离的最小值为
11.若某个正四棱锥的相邻两个侧面所成二面角的大小为，侧棱与底面所成线面角的大小为，侧棱与底边所成的角为，则
A. B.
C. D.
12.设直线系： ，则
A. 点到中任意一条直线的距离为定值
B. 存在定点不在中任意一条直线上
C. 点到中所有直线距离的最大值为
D. 对任意的整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知抛物线的方程，则的焦点坐标为__________．
14.已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为__________．
15.在化学知识中，空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积之比，即空间利用率晶胞含有原子的体积晶胞体积．如图是某金属晶体晶胞的一种堆积方式体心立方堆积，该堆积方式是以正方体个顶点为球心的球互不相切，但均与以正方体体心为球心的球相切．晶胞为上述正方体，则该金属晶体晶胞的空间利用率为__________．
16.如图，平面与圆柱相交，而且平面与圆柱的轴不垂直，点为平面与圆柱表面交线上的任意一点，则点的轨迹为 在圆柱内部放置两个半径与圆柱底面半径相同的球，平面分别与两球切于，两点，过点作圆柱的母线，分别与两球切于，两点，记线段长度为，线段长度为在平面内的任意两条互相垂直的切线的交点为，建立适当的坐标系，则动点的轨迹方程为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知双曲线：，的其中一个焦点为，一条渐近线方程为．
求双曲线的标准方程；
已知倾斜角为的直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的纵坐标为，求直线的方程．
18.本小题分
已知直线：与圆：交于，两点，且．
求实数的值；
若点为直线：上的动点，求的面积．
19.本小题分
如图，在五面体中，底面为正方形，侧面为等腰梯形，，平面平面，，．
求直线到平面的距离；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
设椭圆：，其离心率为，且过点．
求椭圆的方程；
已知斜率为的直线与相交于，两点，线段的中点为，延长交于点，使得四边形为矩形，求的值．
21.本小题分
如图，已知在几何体中，是边长为的正三角形，，，，二面角的大小为，为线段的中点．
证明：平面；
点为线段上的动点不包括端点，求平面与平面所成角的余弦值的最大值，并说明此时点的位置．
22.本小题分
已知点，圆：，点是圆上的任意一点．动圆过点，且与相切，点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
若与轴不垂直的直线与曲线交于，两点，点为与轴的交点，且，若在轴上存在异于点的一点，使得为定值，求点的坐标；
过点的直线与曲线交于，两点，且在，两点处的切线交于点，证明：在定直线上．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与直线的位置关系，属于基础题．
两条直线斜率相等时重合，斜率不相等时必然相交．
【解答】
解：因为直线：，必过点，且在：上；
当时，两直线重合，
当时，两直线相交
综上所述两直线的位置关系为相交或重合．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量加法的几何意义，相反向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
可知，并且，，，，即可得出结果．
【解答】解：如图，
可知，
，，，，
．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线定义的理解与应用，属于基础题．
利用抛物线的定义求解即可．
【解答】
解：设抛物线焦点为，由抛物线的定义可知，
因为点到轴的距离为，
所以，解得．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：为圆的直径，
，，，
．
圆面，圆面，则，，
，、平面
平面，平面，
且平面平面
为二面角的平面角．
在中，，，，
，所以，所以
故二面角的大小为
故选C．
本题考查二面角的度数的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
根据题意求得为二面角的平面角，根据条件求出，再求出余弦故可得答案．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率公式，考查实际问题的建模方法，属于基础题．
根据已知条件，结合离心率公式，即可求解．
【解答】
解：若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，
即 ，
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆有关的最值问题，是中档题．
作出圆心关于轴的对称点，先求得的最小值，结合图象进而求得的最小值即可得出结果．
【解答】
解：圆，圆心，半径为，
则圆心关于轴的对称点为，则 ，当且仅当，，三点共线时取得最小值，
故，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，，设所在直线方
程，则，
与双曲线渐近线联立得：，得，得，
由，得
，得，
由，得
，化简
得，得，
所以，所以，
故B项正确．
故选B．
本题考查了双曲线的渐近线，是一般题．
设出所在直线方程，然后与渐近线联立求出点坐标，然后利用
从而可求解．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与平面所成角，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力，属于较难题．
由题意可发现始终垂直平面，则只需过点作出平行的直线，找到该线与平面的交点，连接该点与即可得到与平面所成角，而后通过计算研究该角的正切值即可得．
【解答】
解：连接、，设其交点为，连接，
由矩形中，，，
故四边形为正方形，且，，
又由点关于折叠而来，
故AE，
且，
又G、平面，且，，平面，
故AE平面，过点作于点，
由、，
故D，
又平面，
故D平面，
连接，
则为与平面所成角，
由平面，
故D，
故与平面所成角的正切值即为，
由，，，
故与全等，
故D，
，
过点作于点，
则有，
设，则，
当点在线段上可在点，不可在点时，
则，
有，
则，
则，
易得在上时随的增大而增大，
故，
当点在线段上不在两端时，，
则，
则，
则
易得在上时随的增大而增大，
此时，
综上所述，，
即在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了椭圆，双曲线的标准方程及其性质，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题．
根据方程 ，利用椭圆、双曲线的几何性质，即可结合选项逐一求解．
【解答】
解：当为椭圆时，则，所以且，故A错误，
当为双曲线时，所以，解得或，故B正确，
当时，表示焦点在轴上的椭圆，则长轴长为，
当时，表示焦点在轴上的椭圆，则长轴长为，故C错误，
当时，表示焦点在轴上的双曲线，则焦距为，当时，表示焦点在轴上的双曲线，则焦距为，故D错误，
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线面垂直的向量表示、棱锥的体积、线面角和点线距离的求法，属于一般题．
建系，对于利用空间向量证明线面垂直
对于结合选项A结合体积公式分析求解
对于利用空间向量求线线夹角
对于利用空间向量求点到面的距离．
【解答】
解：如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
对于选项A
则，，，，
可得，，
设平面的法向量，
则，
设，可得，，可得
当点为中点时，则，可得，
因为，即与共线，
所以平面，故A正确
对于选项B由选项A可知：点到平面的距离为，
所以三棱锥的体积定值，故B正确
对于选项C当点为中点时，则，
可得，，
因为，，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故C错误
对于选项D设，，
则，，
在方向上的投影为，且
则点到线段距离为
所以当，点到线段距离取到最小值，故D错误
11.【答案】
【解析】【分析】
【分析】本题考查了空间几何体中的二面角、线面角、线线角，属于基础题．
根据线面角和二面角的性质来沟通侧棱长和底边长的关系，从而可得不同角的关系，从而可得正确的选项．
【解答】
解：设底面边长为，则侧棱长为，如图，记斜高，则，
过作，垂足为，连接，则且，
故为相邻两个侧面的二面角，
而，故，
故，而，均为锐角，
故，
则
则
即，
，则
，
则．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线系方程的应用，涉及点到直线的距离以及直线与圆的位置关系，属于中档题．
利用点到直线的距离公式，可判定 A正确由点到的距离为，得到直线表示的是圆的所有切线，可判定B正确由直线项知直线表示的是圆的所有切线，求得，进而可判定不正确结合正多边形的性质和圆的性质，可判定D正确．
【解答】
解：对于中，由点到的距离为，所以点到中任意一条直线的距离为定值，所以A正确
对于中，由点到的距离为，可得直线表示的是圆的所有切线，所以存在定点，例如：圆内部的点，不在直线中任意一条直线上，所以B正确
对于中，由直线项知直线表示的是圆的所有切线，其中圆的圆心，半径为，又由，可得，
所以点到中所有直线距离的最大值为，所以不正确
对于中，例如：若圆是一个正三角形的内切圆，即正三角形的三边分别为圆的切线，因为直线表示的是圆的所有切线，所以三角形的三边均在直线中的直线上，所以D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了抛物线的焦点坐标，属于基础题．
先化抛物线的方程为标准方程，再确定焦点坐标．
【解答】
解：由题意，，故其焦点在轴正半轴上，，
焦点坐标为，
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线中的最值问题，属于一般题．
设，且，通过可求得最小值．
【解答】
解：设，且，，
又
又或，
所以
即的最小值为，当点为双曲线左定点时取最小值．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查球的体积公式，考查正方体的体积公式，属于中档题．
由题意空间利用率晶胞含有原子的体积晶胞体积，设出晶胞的边长，求出晶体的原子的半径，利用体积公式求得体积，相除即可．
【解答】
解：设晶胞的边长图中正方体的棱长为，设晶体的原子的半径为，
由正方体的体对角线为个晶体的原子的半径，
则，所以，
所以该金属晶体晶胞的空间利用率为．
16.【答案】椭圆答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及其应用，属于较难题．
根据圆柱体的结构特征判断轨迹形状，结合球体切线长性质得到，确定椭圆参数并写出一个椭圆方程，再利用椭圆切线垂直关系求切线交点的轨迹方程．
【解答】
解：由圆柱体的结构特征：平面与圆柱相交，而且平面与圆柱的轴不垂直，则截面为椭圆，所以点的轨迹为椭圆，
如图，，，为椭圆轨迹上三点，而，，，是两个球体上的切点，
由空间上一点作同一个球体上的切线，切线长都相等，则，，
所以，
当与重合时，
，即椭圆轨迹的焦点为，，
所以焦距，则椭圆一个标准方程为，，
如上图，设，若切线斜率都存在，则切线为，
联立椭圆可得
，
所以，
则，故，是方程的两个根，
结合切线垂直，所以，则，
所以动点的轨迹方程为．
故答案为：椭圆，答案不唯一
17.【答案】解：因为焦点为，则，
又渐近线方程为，则，即，
因为，所以，
解得，，
故双曲线的标准方程为；
因为，故直线的斜率为，设直线的方程为，
联立方程组，可得，
设，，
则有，
又线段的中点的纵坐标为，
则有，解得，
所以直线的方程为，即．
【解析】本题考查了双曲线标准方程的求解，直线与双曲线位置关系的应用，中点坐标公式的运用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．
利用焦点坐标得到的值，由渐近线方程得到和的关系，再利用，即可求出，的值，从而得到双曲线的标准方程；
由倾斜角求出直线的斜率，设直线的方程与双曲线联立，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点纵坐标，即可求出的值，从而得到直线的方程．
18.【答案】解：圆可化为，
所以圆心，半径，则圆心到直线的距离，
因为，所以，又，
所以，所以，
所以，解得，
又因为，所以．
由知，圆，，，
所以圆心到直线的距离为，
所以．
又，所以的高为，
所以．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．
根据题意求出圆心到直线的距离，结合角的关系列方程即可求解；
根据直线与圆相交求出弦长，结合，求出三角形的高，即可求面积．
19.【答案】解：因为侧面为等腰梯形，所以平面，
则直线到平面的距离就是点到平面的距离，
如图，过点作于点，连接，因为平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形为等腰梯形，，所以，所以，
又，所以，即直线到平面的距离为；
以为坐标原点，分别以，所在直线分别为，轴，过点作平面垂线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，令，则，
设直线与平面的夹角为，
则，．
【解析】本题考查了线面距离的求解，线面角正弦值的求法，属于中档题．
由于平面，则直线到平面的距离就是点到平面的距离，结合已知条件进行求解即可；
建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，利用向量法即可求线面夹角的正弦值．
20.【答案】解：因为且，
所以，
又因为点在椭圆上，所以，即，
解得，，
所以的方程为．
由题意知设直线，，，，
由得，
，．
所以，
所以，
所以，
所以，，
又在椭圆上，
所以，
所以，
又因为，
所以
，
所以，
联立
所以直线的斜率为．
【解析】本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的关系的综合题，属于中档题．
由题意，结合，可得椭圆的方程；
设直线与椭圆方程联立，利用根与系数关系结合，可得的值．
21.【答案】解：因为，，，
由余弦定理得：，
取线段的中点，连接，，，
所以，，，，
所以，
为二面角的平面角，
即，
易知点、、、共面，
所以，
又因为，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
取线段的中点，连接，
所以，，
以点为坐标原点，以，，方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
所以
令，则，，
则，
又因为，，
设，，
又因为，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，，
所以，
设平面与平面所成角为，
则，
令，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以平面与平面所成角的余弦值的最大值为，此时．


【解析】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面所成角的向量求法，考查数学运算能力，属于较难题．
由余弦定理可得，取线段的中点，连接，，，易得四边形是平行四边形，则有，再利用线面平行的判定即可证得平面；
取线段的中点，连接，易得，，可以点为坐标原点，以，，方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解平面与平面所成角的余弦值的最大值即可．
22.【答案】解：由题意知点点的轨迹是以为焦点的抛物线，
所以的方程为
设，直线的方程为，
联立方程组得，得，
所以，，
，
即，
将代入得，
因为，所以，
所以点坐标为，
设，，则，
，
使为定值，需满足，
即，
因为，所以，
则，所以点坐标为．
设直线方程为，设，，
联立方程组得，
则，，
设曲线在，处的切线方程分别为，，
由得，
，
因为，
所以，
即，
所以，同理，
联立方程组，
将代入得，
所以点坐标为，
所以点在定直线上．
【解析】本题考查了抛物线的标准方程、抛物线的几何性质以及直线与抛物线位置关系，是较难题．
由题意知点点的轨迹是以为焦点的抛物线，可得曲线的方程；
设，直线的方程为，与抛物线联立，由题意，整理可得，所以点坐标为，设，，则，计算，化简即可；
设直线方程为，设，，与抛物线联立，设曲线在，处的切线方程分别为，，联立计算可得点坐标为，所以点在定直线上．
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