兴平市南郊高级中学
2023-2024学年度第一学期第三次质量检测
高二数学试题
（时间:120分钟 满分:150分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知数列的通项公式是,,则是这个数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2. 双曲线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3. 若直线的一个方向向量为,平面的一个法向量,则( )
A. B. C. D. 或
4. 在等差数列中,,则( )
A. B. C. D.
5. 已知抛物线:,焦点为,点到在抛物线上,则( )
A. B. C. D.
6. 已知椭圆的弦的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图,四棱雉的底面是边长为的正方形,,且,为上靠近点的三等分点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
8. 已知分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线右支上一点,若,,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知离心率为的双曲线方程为,则( )
A. 渐近线方程为 B. 焦点坐标为
C. 焦点到渐近线的距离为 D. 焦点到渐近线的距离为
10. 下列命题正确的是( )
A. 直线方向向量,直线方向向量,则与垂直
B. 直线,方向向量为,,若,,则直线,相交
C. 无论取何实数,直线恒过一定点
D. 平面经过三点,,,向量是平面的法向量,则
11. 点在函数的图象上,当,则可能等于( )
A. B. C. D.
12. 1202年,斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,该数列的是前两项为1,从第三项起,每一项都等于它前面两项的和,人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列,19世纪以前并没有认真研究它,但在19世纪末和20世纪,这一问题派生出广泛的应用,从而活跃起来,成为热门的研究课题,记为该数列的前项和,则下列结论正确的是( )
A. B. 为偶数
C. D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在数列中,,,则__________.
14. 设,向量,,,且,,则__________.
15. 已知数列的通项公式为,,且为单调递增数列,则实数的取值范围是__________.
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为,,为椭圆上一个动点,为圆上一个动点,则的最大值为__________.
四、解答题（本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知数列满足.
(1)写出数列的前3项;
(2)求数列的通项公式.
18. 已知点,,动点满足.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)设(1)中所求轨迹与直线交于点、两点 ,求证(为原点).
19. 如图,在四棱锥中,面,,,点分别为的中点,,.
(1)证明:直线平面;
(2)求二面角的余弦值.
20. 圆的圆心为,且过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)直线与圆交于两点,且,求.
21. 如图,在棱长为的正方体中,点,分别是线段,的中点.
(1)求直线与直线间的距离;
（2）求三棱锥的体积.
22. 已知为坐标原点,是椭圆:的左焦点,点是椭圆的上顶点,以点为圆心且过的圆恰好与直线相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率为的直线交椭圆于两点,求面积的最大值.一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. B
2. B
3. C
4. C
5. D
6. A
7. C
8. A
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. A,B,D
10. A,C,D
11. A,D
12. A,C,D
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 3
14.
15.
16.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. (1)由数列满足,可得:时,;
当时,;当时,;
(2)由可得,
两式相减可得,也适合该式,
故数列的通项公式.
18. (1)
(2)证明见解析
1)∵,
∴即,
(2)由得∴,
∵
∴
19.
(1)点分别为的中点,,
,,平面,平面,
平面.
(2),,
连接,由得,
,,
所以,,
底面,底面,,
是平面内两相交直线,平面,
平面,
二面角得平面角为,
,,,
所以二面角的余弦值为, 即二面角的余弦值为.
20. (1)设圆的半径为,则,
故圆的标准方程为:;
(2)设圆心到直线的距离为,则,
由垂径定理得:,
即,解得:或.
21.
(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
,
所以,显然,易知两者不共线,
所以有,因此四点共面,
由勾股定理可得:,因此四边形是菱形,
,所以可得,
设直线与直线间的距离为,
于是由菱形的面积公式可得:;
(2)由(1)可得:,
所以,
设平面的法向量为,
所以有,
因此点到平面的距离为,
在等腰三角形中,,
所以等腰三角形的面积为,
所以三棱锥的体积为.
(1)由已知得,,则,∴椭圆的方程为;
(2)设,,直线:,联立方程,得,∵直线交椭圆于两点 ∴,得， ,,
∴弦长,又点到直线的距离,∴,当,即时取得等号,∴.
