(共18张PPT)
3.2.1
单调性与最大(小)值（1）
第三章 函数的概念与性质
创设情境
二十四节气歌是我国古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，古代人能够通过它直观的清楚的了解一年中季节的气候变化规律，以此把握农时，合理安排农时活动。下图是某县一年的气温变化图，观察图象，您能得到什么信息？
思考：观察下列函数图象，你发现了函数图象的哪些特征，你觉得它们反映了函数哪方面的性质？
探索新知
思考：如何用数学语言表达函数的单调性？
单调递增
单调递减
单调递增
单调递减
单调递减
单调递减
x1
x2
f(x1）
f(x2）
问题：如何用解析式描述函数在单调递增？（数学符号语言）
图象从左至右上升
图象直观感知
自然语言描述
数学符号
语言描述
x 1 2 3 4 5 6 7 ...
f(x) ...
x 1 2 3 4 5 6 7 ...
f(x) 1 4 9 16 25 36 49 ...
x x1 ... x2
f(x) f(x1) ... f(x2)
你是如何判断的呢？
探索新知
单调递增 单调递减
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，
图示
如果 x1，x2∈D, 当x1f(x2),
则称函数f(x)在区间D上单调递减,
单调性是局部性质
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，
我们就称它是增函数
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，
我们就称它是减函数
如果 x1，x2∈D, 当x1增（减）函数
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D, 当x1f(x2)
结论 则称函数f(x)在区间D上单调递增 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 则称函数f(x)在区间D上单调递减
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是减函数
图示
增（减）函数
任取 x1、x2 ∈(-∞,0]，当x1f(x2)，
即函数f(x)在(-∞,0]上是单调递减的。
任取 x1、x2 ∈[0,+∞)，当x1即函数f(x)在(-∞,0]上是单调递增的。
-
(1)对于函数f(x)=|x|，取集合A={-1,2,3}，
则 x1,x2∈{-1,2,3}，当x1但f(x)=|x|在(-4,4)上并不单调递增.
(2)函数的单调性是函数的“局部”性质。
增（减）函数
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D, 当x1f(x2)
结论 则称函数f(x)在区间D上单调递增 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 则称函数f(x)在区间D上单调递减
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是减函数
定义等价变形
思考：函数的单调递增除了用如果 x1，x2∈D, 当x1条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D, 当x1f(x2)
结论 则称函数f(x)在区间D上单调递增 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 则称函数f(x)在区间D上单调递减
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是减函数
定义等价变形
增（减）函数
2.根据函数图象说出函数的单调区间，以及在该区间的单调性。
1.根据函数单调性的定义，完成概念辨析
（1）若,则在[2,3]上单调递增；
（2）在R上单调递增，则
（3）所有函数都具备单调性
（4）函数的单调递减区间为
小试牛刀
单调递增区间：[0，2]和[4，5]
单调递减区间：[-1，0]和[2，4]
注意：
（1）单调区间不能用并集连接，而应该用“和”或“，”连接
（2）不是所有函数都具备单调性
（3）具有任意性，不能用几个特殊值代替判断
√
×
×
×
典例分析
证明： x1,x2 ∈R , 且x1f(x1)－f(x2)=(3x1+7)－(3x2+7)
=3x1 － 3x2
=3(x1 － x2)
∵x1∴f(x)=3+7在R上单调递增，且为R上的增函数.
∴ f(x1)< f(x2)
用定义法证明函数单调性的一般步骤
（1）取值:任取x1，x2∈D，且x1（2）作差:求f(x1)－f(x2)；
（3）化简:因式分解，变形为因式相乘除的形式；
（4）定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；
（5）下结论:根据单调性定义，指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.
归纳总结
例2 根据定义，研究函数
则
①当k>0时，
于是
②当k<0时，
于是
取值
定号
作差
下结论
化简
定号
下结论
体现了数学中分类讨论的思量
典例分析
例3 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明.
证明： V1，V2∈(0，+∞)且V1由V1，V2∈ (0，+∞)且V10, V2- V1 >0
又k>0,于是
所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
取值
定号
作差
下结论
化简
典例分析
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
2、函数单调性的定义；
3、判断函数单调性：
（1）方法：图像法，定义法
（2）定义法证明步骤：
取数，做差，化简，定号，下结论
1、单调函数的图象特征；
课后练习
必做题：
P79：例3，练习：2，3题
选做题：
P86：8题(共32张PPT)
3.2.1
函数的单调性与最值（2）
第三章 函数的概念与性质
复习回顾
一
实际问题
单调性与最值
复习回顾
复习回顾
一
1.常见函数的定义域与值域
2.判断函数单调递增的方法
3.判断函数单调递减的方法
4.判断函数单调性的方法步骤
情景导入
二
画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：
1.说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
2.指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
(1) (2)
x
y
o
o
x
y
最大值
三
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值
思考：最小值怎么定义的
最小值
四
2．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
最值
四
注意
2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
例题
五
例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）
例题
五
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最
佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的
最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.
o
t
h
4
3
2
1
5
10
15
20
例题
五
例2.求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1由于20,(x1-1)(x2-1)>0,于是
所以，函数 是区间[2,6]上的减函数.
课堂练习
六
课堂练习
六
实际问题
单调性与最值
课堂小结
七
1. 最大（小）值的定义
例1 证明函数 在区间 上单调递减.
方法指导
题型1 函数的单调性
[解析] 设 ， 是区间 上的任意两个实数，且 ，则 .
，
, ，则 ，
，即 ，
在区间 上单调递减．
例2 （1）定义在区间 上的函数 的图象如图所示，根据图象写出函数的单调区间，以及在每一单调区间上的单调性.
（2）作出函数 的图象，并指出函数 的单调区间．
题型2 函数的单调区间
[解析] （1） 的单调区间有 ， ， ， ，其中 在区间 ， 上单调递减，在区间 ， 上单调递增．
（2） 的图象如图所示，
由图可知，函数 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ．
方法总结
（1）函数单调区间的两种求法
①图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法，即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“ ” ；在单调区间 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
1.函数 的单调递减区间是____________________．
，
[解析] 函数 的定义域为 ，
设 ， ，且 ，则 ．
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ．
所以函数 在 上单调递减，同理函数 在 上单调递减．
综上，函数 的单调递减区间是 ， ．
2.函数 的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．
[解析] 的单调区间有 ， ， ， ，其中单调递减区间是 ， ；单调递增区间是 ， .
例3 （1） 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是___________.
[解析] 的图象开口向下，要使 在 上单调递增，只需 ，即 .∴实数 的取值范围为 ．
（2） 已知函数 在 上单调递增，且 ，则实数 的取值范围为__________．
[解析] 在 上单调递增，且 ，
，即 ，∴实数 的取值范围为 ．
题型3 函数单调性的应用
若 是定义在 上的减函数，则不等式 的解集是
_ _______．
[解析] 依题意，得不等式组 解得 ．
一、图象法求函数的最值
例1 已知函数 求 的最大值、最小值.
[解析] 作出函数 的图象（如图）.
由图象可知，当 时， 取最大值，最大值为 .
当 时， 取最小值，最小值为 ，
故 的最大值为1，最小值为0.
题型4 函数的最大值、最小值
方法总结 图象法求函数最值的一般步骤
二、利用函数的单调性求最值
例2 已知函数 ， .
（1）判断函数 的单调性并证明；
（2）求函数 的最大值和最小值.
[解析] （1） 是增函数，证明如下：
任取 ， 且 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 .所以 在 上单调递增.
（2）由（1）可知， 在 上单调递增，则 ， .
方法总结 （1）若函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为 ，最小值为 .
（2）若函数 在区间 上单调递减，则 的最大值为 ，最小值为 .
（3）若函数 有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大（小）值.函数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值.
（4）若函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
三、函数最值的实际应用
例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到有关生产销售的统计规律：每生产产品
（百台），其总成本为 （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本＝固定成本 生产成本）.销售收入 （万元）满足： 假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数 的解析式（利润＝销售收入－总成本）.
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
[解析] （1）由题意得 ，
所以
（2）当 时，因为函数 单调递减，所以 （万元），
当 时，函数 ，当 时， 有最大值，最大值为3.6（万元），
所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大，最大盈利为3.6万元.
方法总结 （1）解实际应用题时，要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围.
（2）在实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.
1.已知函数 ，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域.
[解析]
图象如图所示，
由图象知，函数 的最大值为2，没有最小值，
所以其值域为 .
2.已知函数 ，求函数 的最大值和最小值.
[解析] 设 ， 是 上任意两个实数，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增，
所以 ， .
3.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
[解析] 设售价为 元，利润为 元，单个涨价 元，销量减少 个，销量为 个，则 .
故当 时， .即售价为70元时，利润获得最大，最大利润为9000元.(共19张PPT)
3.2.2
函数奇偶性及其应用
第三章 函数的概念与性质
知识点复习
1
1.从“形”上认识函数的奇偶性
x
y
O
y=x
x
y
O
y=x2
图象关于y轴对称
图象关于原点对称
A(x1,y1)
A'(-x1,y1)
A(x1,y1)
A'(-x1,-y1)
偶函数
奇函数
知识点复习
1
（2）奇函数
2.函数的奇偶性的定义：
设函数y = f (x)的定义域为I
（1）偶函数
②f (x) = f (-x)
=f (|x|)
②-f (x) = f (-x)
①对于 x∈I，都有-x∈I
①对于 x∈I，都有-x∈I
定义域关于原点对称
定义域关于原点对称
图象关于y轴对称
图象关于原点对称
对于奇函数y=f(x)，若0∈I，则必有f(0)=0；
巩固概念
判断正误．①函数 f (x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( )②对于函数y＝f (x)，若存在 x，使f (-x)＝－f (x)，则函数y＝f (x)一定是奇函数．( )③不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )④若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.( )
√
×
×
×
题型一 ——函数奇偶性的判断
一看
二算
三判
例1 判断下列函数的奇偶性．
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
[解析] （1） 的定义域为 .
，
是奇函数．
（2） 的定义域为 . ， 是偶函数．
（3） 的定义域为 ．
∵定义域不关于原点对称， 既不是奇函数，也不是偶函数．
（4） 的定义域为 .
，
既是奇函数，又是偶函数．
方法总结 判断函数奇偶性的方法
（1）定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定 与 的关系．
（2）图象法．
奇、偶函数图象的应用
例2 定义在 上的奇函数 在 上的图象如图所示．
（1）画出 的图象；
（2）解不等式 ．
[解析] （1）先描出 ， 关于原点的对称点 ， ，连线可得 的图象如图．
（2） 即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知， 的解集是 ．
【变式探究】 把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
[解析] （1） 的图象如图所示，
（2） 的解集是 ．
方法总结 可以利用奇（偶）函数的图象关于原点（ 轴）对称这一特性去画图、求值、解不等式等．
1.判断下列函数的奇偶性．
（1） ；
（2） ；
（3）
[解析] （1）函数 的定义域为 ，不关于原点对称，所以 是非奇非偶函数．
（2） 的定义域为 ，关于原点对称．
，所以 为奇函数．
（3） 的定义域为 ，关于原点对称，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，
所以 是偶函数．
2.已知奇函数 的定义域为 ，且在区间 上的图象如图所示．
（1）画出函数 在区间 上的图象；
（2）写出使 的 的取值集合．
[解析] （1）如图，在 上的图象上选取5个关键点 ， ， ， ， ．
分别描出它们关于原点的对称点 ， ， ， ， ，再用光滑曲线连接即得．
（2）由（1）图可知，当且仅当 时， ．
∴使 的 的取值集合为 .
例3 （1）若函数 是偶函数，定义域为 ，则 _ ___， ____．
（2）已知函数 是奇函数，则实数 ____．
0
[解析] （1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 ，解得 ．又函数 为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 ．
（2）由奇函数定义有 ，得 ，故 ．
题型二 ——函数奇偶性的应用
方法总结 利用奇偶性求参数的常见类型
（1）定义域含参数：奇偶函数 的定义域为 ，根据定义域关于原点对称，利用 求参数．
（2）式含参数：根据 或 列式，利用待定系数法求解．
1.若函数 为偶函数，则实数 ____．
0
[解析] （法一）显然 ，
由已知得 ．
又 为偶函数，所以 ，即 ，即 .
又 ，所以 ．
（法二）由题意知 ，则 ，解得 ．
2.已知函数 是奇函数，当 时， .若 ，则 的值为_ ___．
[解析] ， ， ．
小结
4
1.函数的奇偶性的定义及图象：
2.判断函数的奇偶性的方法：
3.函数的奇偶性的应用：(共14张PPT)
3.2.2
函数的奇偶性
第三章 函数的概念与性质
观察图像特点
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2 … …
g(x)=2-|x| … …
f(-3)= 9 =f(3);
f(-2)= 4 =f(2);
f(-1)= 1 =f(1);
9
-1
4
1
0
1
4
9
0
1
2
1
0
-1
实际上，x∈R，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),
这时称f(x)=x2为偶函数。
一般地，设f(x)的定义域为I,如果 任意x∈I，
都有-x∈I,且f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数
f(-x)=f(x);
描点作图
答 ：说明x,-x必须同时属于定义域，f(x)与f(-x)都有意义
结论：偶函数的图像关于y轴对称，偶函数的定义域关于原点对称
定义中，任意一个 x∈I，都有-x∈I成立，说明了什么？
定义：一般地，设f(x)的定义域为I,如果 任意x∈I，
都有-x∈I,且f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数
定义明晰
牛刀小试
解：
(1).x
且f(-x)=(-x)2+1=(x)2+1=f(x)
由偶函数定义知f(x)是偶函数
判断下列函数是否为偶函数？
(1).f(x)=x2+1 ,x
(2).g(x)=x2 ,x
(2).x
例如：x=-1时，-x
由偶函数定义知g(x)不是偶函数
图像法
解析式法
牛刀小试
观察函数 f(x)=x和g(x)= 的图象，并完成函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x … …
f(-3)= -3 =-f(3);
f(-2)= -2 =-f(2);
f(-1)= -1 =-f(1);
实际上，x∈R，都有f(-x)= -x = -f(x),
这时称f(x)=x为奇函数。
f(-x)=-f(x)
一般地，设f(x)的定义域为I,如果 任意x∈I，
都有-x∈I,且f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数
观察函数图像
定义明晰
偶函数 奇函数
定义 一般地，设f(x)的定义域为I,如果任意x∈I，都有-x∈I,且f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数 一般地，设f(x)的定义域为I,如果任意x∈I，都有-x∈I,且f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数
定义中任意x∈I，都有-x∈I成立 定义域对称性
图像对称性
注：函数是奇函数或者偶函数称为函数的奇偶性
x,-x必须同时属于定义域，f(x)与f(-x)都有意义
关于原点对称
关于原点对称
关于y轴对称
关于原点对称
定义明晰
判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 是定义在 上的函数，若 ，则 一定是偶函数.( )
×
（2） 对于函数 ，若存在 ，使 ，则函数 一定是奇函数.( )
×
（3） 不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )
×
（4） 若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数.( )
×
定义明晰
两个函数图都关于y轴对称
例1：
解：（1）函数f(x)=x4的定义域是R.因为对于任意的x∈R，有-x∈R
且f(-x)=(-x)4 =（x）4= f(x),所以函数f(x)=x4是偶函数。
（2）函数f(x)=x5的定义域是R.因为对于任意的x∈R，有-x∈R
且f(-x)=（-x）5 = -（x5） = -f(x),所以函数f(x)= x5是奇函数。
判断函数奇偶性
两个函数图都关于y轴对称
例1：
（3）函数f(x)=x+的定义域是{x|x},因为对于任意的x{x|x}，有-x{x|x}
且f(-x)= -x+ = -(x+)= -f(x),所以函数f(x)=x+是奇函数。
（4）函数f(x)=的定义域是{x|x}，因为对于任意的x{x|x}，有-x{x|x}
且f(-x)= = = f(x),所以函数f(x)=是偶函数。
总结：利用解析式法判断函数奇偶性的步骤：
1、确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称
2、确定f(-x)与f(x)的关系
3、得出结论，若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数
若f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数
判断函数奇偶性
例2：（1）f(x)=3x2+4x
（2）g(x)=x+1
（3）h(x)=0
非奇非偶函数
非奇非偶函数
既奇又偶函数
判断函数奇偶性
思考
（1）判断函数f（x）= x3+x 的奇偶性
（2）如图，是函数f（x）= x3+x 图像的一部分，你
能根据函数的奇偶性画出他在y轴左边的图像吗？
思考
偶函数：一般地，设f(x)的定义域为I,如果任意x∈I，都有-x∈I,且f(-x)=f(x)，那
么f(x)就叫做偶函数
奇函数：一般地，设f(x)的定义域为I,如果任意x∈I，都有-x∈I,且f(-x)=-f(x)，那
么f(x)就叫做奇函数
图像法：偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称
解析式法：若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数
若f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数
前提是定义域关于原点对称
判断函数奇偶性
特殊的：非奇非偶函数
既奇又偶函数
针对易画出图像的函数
针对复杂的，不易画出图像的函数
课堂小结
P85页练习题
作业：
课本第85页
习题3.2，练习册本节习题
布置作业
