第2讲 因数和倍数（寒假预习讲义）2023-2024学年五年级数学下册重难点（人教版）
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| 名称 | 第2讲 因数和倍数（寒假预习讲义）2023-2024学年五年级数学下册重难点（人教版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-03 19:20:20 | ||
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人教版五年级数学下册预习重难点知识点
第2讲 因数和倍数
同学们，经过上个学期的学习，你一定进步了吧！今天，我们迎来了寒假生活，为了能够在新的学期中能够胸有成竹，借助这寒假的时间，让我们共同预习一下新的知识吧！每个人的成功都要经历无数次历练，无论成功还是失败对我们都十分重要。加油！
1.掌握因数和倍数的概念，知道因数和倍数的相互依存关系。
2.会判断一个数是不是另一个数的因数或倍数。
3.掌握求一个数的因数和倍数的方法。
重点：
1.理解因数和倍数的意义。
2.掌握求一个数的因数和倍数的方法。
难点：
理解因数与倍数的关系。
正确解答与因数和倍数有关的问题。..
知识点一：认识因数和倍数
1.在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。
2.根据因数和倍数的意义来判断算式中三个数之间的关系，即除数和商是被除数的因数；反过来，被除数是除数和商的倍数。因数和倍数是相互依存的，二者不能单独存在。
3.为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）。
4.如果a×b=c(a,b,c都是不为0的自然数)，那么a和b就是c的因数， c就是a和b的倍数。
知识点二：找一个数的因数、倍数
1.一个数的最小因数是1，最大因数是这个数本身。因数的个数是有限的。
2.一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。倍数的个数是无限的。
3.找一个数的因数从最小因数找起，一直找到它本身，哪两个数相乘的积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。
4.找一个数的倍数，用这个数分别去乘自然数1,2,3，…所得的积都是这个数的倍数。
例1：第24届冬奥会于2月4日20：04在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词民谚，24秒，24种惊艳，中国队24分出场，“24”诉说着中国独有文化魅力。那么24有（ ）个因数。
A．6 B．8 C．10
答案:B
分析:求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此解答。
详解:24÷1＝24
24÷2＝12
24÷3＝8
24÷4＝6
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24，一共8个因数。
故答案为：B
点睛:掌握求一个数因数的方法是解答题目的关键。
例2：《西游记》是我国古典文学四大名著之一，书中唐僧师徒四人去西天取经，历经了“九九八十一难”。81的因数有( )个，81的最小倍数是( )。
答案: 5 81
分析:列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此求出81的所有因数，数出个数即可。
一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身。
详解:81＝1×81＝3×27＝9×9，81的因数有1、3、9、27、81，共5个，81的最小倍数是81。
点睛:关键是理解因数和倍数的意义，掌握一个数的因数和倍数的求法。
例3：一个非0自然数的最小倍数就是它的最大因数。( )
答案:√
分析:一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身；
一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。
详解:如：3的倍数：3，6，9，…；
3的因数：1，3；
3的最小倍数和最大因数都是它本身。
所以，一个非0自然数的最小倍数就是它的最大因数。
原题说法正确。
故答案为：√
点睛:本题考查因数和倍数的知识，明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。
例4：欣欣到文具店买钢笔，钢笔上的标价为整数但模糊不清，她买了3支相同的钢笔，售货员说应付22元，欣欣认为不对，请你说明欣欣是如何作出判断的。
答案:售货员的说法错误。
分析:根据单价×数量＝总价，所以总价应该是数量的倍数，22不是3的倍数，据此解答。
详解:钢笔上的标价为整数，买了3支相同的钢笔，付的钱应该是3的倍数，但22不是3的倍数。所以售货员的说法错误。
点睛:本题考查了3的倍数的特征在生活中的应用。
一、选择题
1．有四种包装盒子（如下图）。现在有68瓶消毒液，应该选（ ）包装盒子来分装，恰好能装完。
A． B． C． D．
2．北京2022年冬奥会，我国体育代表团取得了16金、8银、13铜共37枚奖牌的佳绩，位列奖牌榜第一。奖牌枚数16、8、13都含有因数（ ）。
A．1 B．2 C．3 D．5
3．安老师在文具店买了一些一样的文具，他付给售货员50元，找回2元。安老师买的肯定不是（ ）。
A．橡皮：2元/块 B．钢笔：5元/支 C．直尺：4元/把 D．削笔器：6元/个
4．某商店要把24瓶枇杷膏装进若干个箱子里，使每箱枇杷膏的瓶数同样多且数量大于1，有（ ）种不同的装法。
A．5 B．6 C．7 D．8
5．小明爸爸要给一个长180cm、宽120cm的长方形浴室地面铺瓷砖。如果要求用整块的瓷砖正好铺满（不切割），那么下面几种瓷砖中，不符合要求的是（ ）。
A． B． C． D．
6．一种长方形瓷砖的尺寸是5分米×4分米。下面的（ ）地面能用这种瓷砖刚好铺满。
A．8m×3.2m B．5m×1.7m C．6m×1.9m D．7m×2.6m
二、填空题
7．植树节，李老师带领五年四班参加“我爱绿色”植树活动，他们一共种植了123棵小树苗，其中李老师和同学们每人种的棵数是一样的，五年四班可能有( )个学生。
8．在找48的因数时，淘气记录的过程是：1，2，3，4，6，8，12，24，48，按照他找的方法，遗漏了排在( )后面的( )。笑笑的记录过程是：1，48，2，24，3，4，12，6，8，按照她找的方法，她漏写了排在( )后面的( )。
9．27的因数除了1和它本身外，还有( )和( )。
10．同学们报名参加“冬奥会知识知多少”抢答赛，参赛人数是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有( )人报名参加。
11．14、21都是7的倍数，14和21的和35也是7的倍数；是因为，，。推想：（a、b、c都为非0自然数）的和一定是( )的倍数。
12．一个自然数，它有6个因数，从小到大依次设为a、b、c、d、e、f，已知a＋f＝33，那么b＋e＝( )。
三、判断题
13．在9÷6＝1.5的算式中，6能够整除9。( )
14．因为77÷7＝11，所以7和11都是77的因数。( )
15．一个数越大，它的因数就越多。( )
16．一个数的倍数一定大于这个数，一个数的因数一定小于这个数。( )
17．若，则42一定是和的倍数。( )
四、解答题
18．有48个蛋糕装要装在袋子里，每个袋子装同样多，正好装完，没有剩余；每袋至少装4个，至少装4袋，有几种装法？分别写出来。
19．一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由）
20．实验小学学校植物园里种植了若干行的月季花，每行的月季花的棵数是相同的。如表是几位一年级同学数出的月季花总棵数，其中只有一位同学数对了，聪明的你知道他是谁吗？说明理由。
陈明 王一 许强 张雪
41棵 43棵 45棵 47棵
21．有一组图片，比40张多，比50张少，如果按4张分为一组，剩1张；如果按5张分为一组，还剩4张，这些图片有多少张？
22．五（2）班买了57本书和44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？
23．四年（1）班48名同学进行队列表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？请聪明的你写出两种方案。（要求每行每列不少于3人）
24．水果店进来一批苹果，每箱有35～40个。售货员想把一箱苹果分装成盒卖，装的时候发现6个装一盒刚好装完，这箱苹果有多少个？
参考答案
1．B
分析：据题意，要把68瓶消毒液恰好能装完，就是选能装68瓶的因数的盒子，据此判断即可。
详解：由题目可知：
A．68÷3＝22……2，所以3不是68的因数，不符合题意；
B．68÷4＝17，4是68的因数，符合题意；
C．68÷5＝13……3，所以5不是68的因数，不符合题意；
D．68÷6＝11……2，所以6不是68的因数，不符合题意。
故答案为：B
点睛：本题主要考查因数的求法，熟练掌握因数的特征是解题的关键。
2．A
分析：通过列乘法算式找一个数的因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此分别写出16、8、13的因数，即可得解。
详解：16＝1×16＝2×8＝4×4
16的因数有1、2、4、8、16；
8＝1×8＝2×4
8的因数有1、2、4、8；
13＝1×13
13的因数有1、13；
所以奖牌枚数16、8、13都含有因数1。
故答案为：A
点睛：此题的解题关键是掌握求一个数的因数的方法。
3．B
分析：由题意可知，他付给售货员50元，找回2元，则买这些东西共花了50－2＝48元，所以买的东西的单价应该是48的因数，据此解答即可。
详解：50－2＝48（元）
48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24、48
则老师买的肯定不是钢笔：5元/支。
故答案为：B
点睛：本题考查一个数的因数，明确求一个数因数的方法是解题的关键。
4．B
分析：根据题意，每箱装的数量同样多且数量大于1，先找出24所有的因数，再舍去1和24；剩下的因数中，两两相乘，积为24的两个因数，即可写成每箱装几瓶装几箱，数出不同的装法。
详解：24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；
要使每箱枇杷膏的瓶数同样多且数量大于1，舍去因数1和24；
那么可以这样装：
每箱装2瓶装12箱；每箱装12瓶装2箱；
每箱装3瓶装8箱；每箱装8瓶装3箱；
每箱装4瓶装6箱；每箱装6瓶装4箱。
有6种不同的装法。
故答案为：B
点睛：本题考查因数的实际应用，掌握求一个数的因数的方法是解题的关键。
5．B
分析：正方体瓷砖的棱长，长方体瓷砖的长和宽，只要是浴室地面长和宽的因数即可；
详解：A．180÷30＝6、120÷30＝4，符合要求；
B．180÷50不能整除，120÷50不能整除，不符合要求；
C．180÷60＝3、120÷40＝3，符合要求；
D．180÷60＝3、120÷30＝4，符合要求。
故答案为：B
点睛：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
6．A
分析：根据题意可知，地面的长、宽必须是长方形瓷砖的长和宽的倍数。根据长度单位相邻单位之间的进率，1米＝10分米，把用米作单位的数化成用分米作单位的数，再根据求一个数的倍数的方法进行解答即可。
详解：A．8米＝80分米，3.2米＝32分米，80是5的倍数，32是4的倍数，所以能用这种瓷砖刚好铺满；
B．5米＝50分米，1.7米＝17分米，50是5的倍数，但是17不是4的倍数，所以不能用这种瓷砖刚好铺满；
C．6米＝60分米，1.9米＝19分米，60是5的倍数，但是19不是4的倍数，所以不能用这种瓷砖刚好铺满；
D．7米＝70分米，2.6米＝26分米，70是5的倍数，但是26不是4的倍数，所以不能用这种瓷砖刚好铺满；
故答案为：A
点睛：此题考查的目的是理解掌握长方形的特征及应用，倍数的意义及应用，长度单位相邻单位之间的进率及换算的方法的应用。
7．40
分析：由李老师和每名同学植树的棵数一样多，可知：植树的总棵数＝每人植树的棵数×总人数，每人植树棵数和人数都应该是整数，将植树总棵数分解质因数，123＝3×41，依此可知学生是41－1＝40（人），每名同学植树3棵；据此解答即可。
详解：123＝41×3
41－1＝40（人）
则五年四班可能有40个学生。
点睛：做题的关键是学生要先正确的把123写成123＝41×3，然后再求出学生的人数及每名同学植树的棵数。
8． 12 16 3 16
分析：找出48的所有因数，再和淘气和笑笑的记录做比对，找出漏写的因数。据此解盘。
详解：48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8
淘气记录的过程是：1，2，3，4，6，8，12，24，48，按照他找的方法，遗漏了排在（12）后面的（16）。笑笑的记录过程是：1，48，2，24，3，4，12，6，8，按照她找的方法，她漏写了排在（3）后面的（16）。
点睛：找出48所有的因数是解答本题的关键。
9． 3 9
分析：根据求一个数因数的方法，求出27的因数即可。
详解：27的因数有：1、3、9、27
则27的因数除了1和它本身外，还有3和9。
点睛：本题考查求一个数的因数，明确求一个数的因数的方法是解题的关键。
10．36
分析：先找出72的因数，4和9的倍数，再找出其中最小的相同数即可。
详解：72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝7×9
所以，72的因数有1，2，3，4，7，9，18，24，36，72。
4和9的倍数有：36，72……
所以，既是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有36人报名参加。
点睛：本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数求法是解题的关键。
11．c
分析：结合倍数的定义，以及从题目的例子中可以看出，如果两个数分别是同一个数的倍数，那么它们的和也是这个数的倍数，据此解答即可。
详解：因为ac＋bc＝（a＋b）×c，ac是c的倍数，bc也是c的倍数，ac＋bc的和一定是c的倍数。
点睛：本题的关键理解倍数的定义以及根据例子总结出规律。
12．18
分析：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，根据a＋f＝33求出这个数，再用除法求出这个数的所有因数，最后求出b＋e的和。
详解：分析可知，a＝1，则f＝33－1＝32
32÷1＝32
32÷2＝16
32÷4＝8
32的因数有：1，2，4，8，16，32。
b＝2，e＝16
b＋e＝2＋16＝18
点睛：根据这个数最大因数和最小因数的和求出这个数本身是解答题目的关键。
13．×
分析：根据整除的概念，结合9÷6＝1.5的算式特点，分析判断即可。
详解：整除是整数除法运算范围内的概念，在9÷6＝1.5的算式中，9和6是整数，但是商1.5是小数，所以不能说6能够整除9。
故答案为：×
点睛：本题考查了整除，掌握整除的概念和特点是解题的关键。
14．√
分析：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
详解：由分析可知：因为77÷7＝11，所以7和11都是77的因数；原题干说法正确。
故答案为：√
15．×
分析：根据“质数的因数只有两个：它本身和1；而合数：至少有3个因数”进而判断即可。
详解：由分析可得：质数不管有多大，都只有l和自身共2个因数，如：101只有1个101两个因数；而合数不管有多小，至少有3个因数，如：4有1、2和4共三个因数；所以原题说法错误。
故答案为：×
16．×
分析：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，据此判断。
详解：一个整数，比如5，它的最大因数是5，最小倍数也是5；所以一个数的因数可能小于或等于这个数，倍数可能等于这个数，原题说法错误。
故答案为：×
17．×
分析：因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。据此解答。
详解：如：a＝84，b＝0.5，84×0.5＝42，0.5是小数，42不是a和b的倍数。
如：a＝6，b＝7，6×7＝42，6、7是整数，42是a和b的倍数。
若a×b＝42，则42不一定是a和b的倍数。
原题干说法错误。
故答案为：×
点睛：明确因数与倍数的意义是解答本题的关键。
18．有四种装法：每袋装4个，装12袋；每袋装6个，装8袋；每袋装8个，装6袋；每袋装12个，装4袋
分析：要使每个袋子装同样多，正好装完，没有剩余，求每个袋子装多少个，就是求48的因数，且大于或等于4，根据求因数的方法，先将48拆分为两个大于或等于4的整数相乘，即48＝4×12＝6×8，据此有4个符合的因数，所以有4种装法。
详解：48＝4×12＝6×8
答：有四种装法：每袋装4个，装12袋；每袋装6个，装8袋；每袋装8个，装6袋；每袋装12个，装4袋。
19．28米
分析：根据题意可知，这根绳子的长度是20~30之间的4的倍数。可以列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。
详解：4×5＝20，4×6＝24，4×7＝28，4×8＝32，所以在20~30之间4的倍数有24、28。24＜28，即这根绳子最多有28米。
答：这根绳子最多有28米。
点睛：找一个数的倍数用“列乘法算式”的方法较为简单。在给出的一些自然数找一个数的倍数，或判断一个数是不是另一个数倍数时，用除法计算较为简单。
20．这位同学是许强。
分析：根据找一个数的因数的方法：找配对如：41＝1×41，所以41的因数有：1、41；43＝1×43，所以43的因数有：1、43；45＝1×45、45＝5×9，所以45的因数有：1、5、9、45；47＝1×47，所以47的因数有：1、47；结合题意可知只有许强数对了。
详解：经过查找，只有45÷5＝9，表示共5行，每行植9棵；或共9行，每行植5棵，故这位同学是许强。
答：这位同学是许强。
点睛：此题考查了找一个数的因数的方法的应用。
21．49张
分析：比40张多，比50张少，如果按4张一组来数，剩1张，符合条件的数有41，45， 49三个，再找出符合5张一组来数，剩4张的数即可解答。
详解：因为如果按4张一组来数，剩1张，且图片张数比40张多，比50张少，则图片的张数是4的倍数且多1张；
所以这些图片可能有41，45，49三个；
45是5的倍数，不符合题意，
41÷5＝8……1，不符合题意；
49÷5＝9……4，符合题意；
答：这些图片有49张。
点睛：本题考查倍数，明确图片的张数是4的倍数且多1张是解题的关键。
22．14个
分析：用本数减去余下的本数，用铅笔的支数减去余下的支数。求出两个得数的最大公因数，即为最多有多少个同学得到奖品。
详解：57－1＝56（本）
44－2＝42（支）
56＝2×2×2×7
42＝2×3×7
56和42的最大公因数是：2×7＝14
答：最多有14个同学得到奖品。
点睛：本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。
23．每行4人，排12列；每行6人，排8列
分析：根据长方形的面积公式：长×宽，先把48写成两个因数相乘的形式；根据题意每行每列不少于3人，可以确定出每种队形的行数和列数，据此解答。
详解：48＝4×12＝6×8
排成的长方形有：每行4人，排12列
每行6人，排8列（答案不唯一）。
答：每行4人，排12列；或每行6人，排8列
点睛：本题考查求一个数因数的方法，再根据题意，确定要排成长方形的行数和列数。
24．36个
分析：一箱苹果分6个装一盒，刚好装完，说明这箱苹果的个数是6的倍数，只要求出35～40之间6的倍数即可。据此解答。
详解：40÷6＝6……4
6×6＝36
答：这箱苹果有36个。
点睛：本题考查了倍数的认识和求法，关键是利用最小的倍数翻倍。
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人教版五年级数学下册预习重难点知识点
第2讲 因数和倍数
同学们，经过上个学期的学习，你一定进步了吧！今天，我们迎来了寒假生活，为了能够在新的学期中能够胸有成竹，借助这寒假的时间，让我们共同预习一下新的知识吧！每个人的成功都要经历无数次历练，无论成功还是失败对我们都十分重要。加油！
1.掌握因数和倍数的概念，知道因数和倍数的相互依存关系。
2.会判断一个数是不是另一个数的因数或倍数。
3.掌握求一个数的因数和倍数的方法。
重点：
1.理解因数和倍数的意义。
2.掌握求一个数的因数和倍数的方法。
难点：
理解因数与倍数的关系。
正确解答与因数和倍数有关的问题。..
知识点一：认识因数和倍数
1.在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。
2.根据因数和倍数的意义来判断算式中三个数之间的关系，即除数和商是被除数的因数；反过来，被除数是除数和商的倍数。因数和倍数是相互依存的，二者不能单独存在。
3.为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）。
4.如果a×b=c(a,b,c都是不为0的自然数)，那么a和b就是c的因数， c就是a和b的倍数。
知识点二：找一个数的因数、倍数
1.一个数的最小因数是1，最大因数是这个数本身。因数的个数是有限的。
2.一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。倍数的个数是无限的。
3.找一个数的因数从最小因数找起，一直找到它本身，哪两个数相乘的积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。
4.找一个数的倍数，用这个数分别去乘自然数1,2,3，…所得的积都是这个数的倍数。
例1：第24届冬奥会于2月4日20：04在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词民谚，24秒，24种惊艳，中国队24分出场，“24”诉说着中国独有文化魅力。那么24有（ ）个因数。
A．6 B．8 C．10
答案:B
分析:求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此解答。
详解:24÷1＝24
24÷2＝12
24÷3＝8
24÷4＝6
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24，一共8个因数。
故答案为：B
点睛:掌握求一个数因数的方法是解答题目的关键。
例2：《西游记》是我国古典文学四大名著之一，书中唐僧师徒四人去西天取经，历经了“九九八十一难”。81的因数有( )个，81的最小倍数是( )。
答案: 5 81
分析:列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此求出81的所有因数，数出个数即可。
一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身。
详解:81＝1×81＝3×27＝9×9，81的因数有1、3、9、27、81，共5个，81的最小倍数是81。
点睛:关键是理解因数和倍数的意义，掌握一个数的因数和倍数的求法。
例3：一个非0自然数的最小倍数就是它的最大因数。( )
答案:√
分析:一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身；
一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。
详解:如：3的倍数：3，6，9，…；
3的因数：1，3；
3的最小倍数和最大因数都是它本身。
所以，一个非0自然数的最小倍数就是它的最大因数。
原题说法正确。
故答案为：√
点睛:本题考查因数和倍数的知识，明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。
例4：欣欣到文具店买钢笔，钢笔上的标价为整数但模糊不清，她买了3支相同的钢笔，售货员说应付22元，欣欣认为不对，请你说明欣欣是如何作出判断的。
答案:售货员的说法错误。
分析:根据单价×数量＝总价，所以总价应该是数量的倍数，22不是3的倍数，据此解答。
详解:钢笔上的标价为整数，买了3支相同的钢笔，付的钱应该是3的倍数，但22不是3的倍数。所以售货员的说法错误。
点睛:本题考查了3的倍数的特征在生活中的应用。
一、选择题
1．有四种包装盒子（如下图）。现在有68瓶消毒液，应该选（ ）包装盒子来分装，恰好能装完。
A． B． C． D．
2．北京2022年冬奥会，我国体育代表团取得了16金、8银、13铜共37枚奖牌的佳绩，位列奖牌榜第一。奖牌枚数16、8、13都含有因数（ ）。
A．1 B．2 C．3 D．5
3．安老师在文具店买了一些一样的文具，他付给售货员50元，找回2元。安老师买的肯定不是（ ）。
A．橡皮：2元/块 B．钢笔：5元/支 C．直尺：4元/把 D．削笔器：6元/个
4．某商店要把24瓶枇杷膏装进若干个箱子里，使每箱枇杷膏的瓶数同样多且数量大于1，有（ ）种不同的装法。
A．5 B．6 C．7 D．8
5．小明爸爸要给一个长180cm、宽120cm的长方形浴室地面铺瓷砖。如果要求用整块的瓷砖正好铺满（不切割），那么下面几种瓷砖中，不符合要求的是（ ）。
A． B． C． D．
6．一种长方形瓷砖的尺寸是5分米×4分米。下面的（ ）地面能用这种瓷砖刚好铺满。
A．8m×3.2m B．5m×1.7m C．6m×1.9m D．7m×2.6m
二、填空题
7．植树节，李老师带领五年四班参加“我爱绿色”植树活动，他们一共种植了123棵小树苗，其中李老师和同学们每人种的棵数是一样的，五年四班可能有( )个学生。
8．在找48的因数时，淘气记录的过程是：1，2，3，4，6，8，12，24，48，按照他找的方法，遗漏了排在( )后面的( )。笑笑的记录过程是：1，48，2，24，3，4，12，6，8，按照她找的方法，她漏写了排在( )后面的( )。
9．27的因数除了1和它本身外，还有( )和( )。
10．同学们报名参加“冬奥会知识知多少”抢答赛，参赛人数是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有( )人报名参加。
11．14、21都是7的倍数，14和21的和35也是7的倍数；是因为，，。推想：（a、b、c都为非0自然数）的和一定是( )的倍数。
12．一个自然数，它有6个因数，从小到大依次设为a、b、c、d、e、f，已知a＋f＝33，那么b＋e＝( )。
三、判断题
13．在9÷6＝1.5的算式中，6能够整除9。( )
14．因为77÷7＝11，所以7和11都是77的因数。( )
15．一个数越大，它的因数就越多。( )
16．一个数的倍数一定大于这个数，一个数的因数一定小于这个数。( )
17．若，则42一定是和的倍数。( )
四、解答题
18．有48个蛋糕装要装在袋子里，每个袋子装同样多，正好装完，没有剩余；每袋至少装4个，至少装4袋，有几种装法？分别写出来。
19．一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由）
20．实验小学学校植物园里种植了若干行的月季花，每行的月季花的棵数是相同的。如表是几位一年级同学数出的月季花总棵数，其中只有一位同学数对了，聪明的你知道他是谁吗？说明理由。
陈明 王一 许强 张雪
41棵 43棵 45棵 47棵
21．有一组图片，比40张多，比50张少，如果按4张分为一组，剩1张；如果按5张分为一组，还剩4张，这些图片有多少张？
22．五（2）班买了57本书和44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？
23．四年（1）班48名同学进行队列表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？请聪明的你写出两种方案。（要求每行每列不少于3人）
24．水果店进来一批苹果，每箱有35～40个。售货员想把一箱苹果分装成盒卖，装的时候发现6个装一盒刚好装完，这箱苹果有多少个？
参考答案
1．B
分析：据题意，要把68瓶消毒液恰好能装完，就是选能装68瓶的因数的盒子，据此判断即可。
详解：由题目可知：
A．68÷3＝22……2，所以3不是68的因数，不符合题意；
B．68÷4＝17，4是68的因数，符合题意；
C．68÷5＝13……3，所以5不是68的因数，不符合题意；
D．68÷6＝11……2，所以6不是68的因数，不符合题意。
故答案为：B
点睛：本题主要考查因数的求法，熟练掌握因数的特征是解题的关键。
2．A
分析：通过列乘法算式找一个数的因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此分别写出16、8、13的因数，即可得解。
详解：16＝1×16＝2×8＝4×4
16的因数有1、2、4、8、16；
8＝1×8＝2×4
8的因数有1、2、4、8；
13＝1×13
13的因数有1、13；
所以奖牌枚数16、8、13都含有因数1。
故答案为：A
点睛：此题的解题关键是掌握求一个数的因数的方法。
3．B
分析：由题意可知，他付给售货员50元，找回2元，则买这些东西共花了50－2＝48元，所以买的东西的单价应该是48的因数，据此解答即可。
详解：50－2＝48（元）
48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24、48
则老师买的肯定不是钢笔：5元/支。
故答案为：B
点睛：本题考查一个数的因数，明确求一个数因数的方法是解题的关键。
4．B
分析：根据题意，每箱装的数量同样多且数量大于1，先找出24所有的因数，再舍去1和24；剩下的因数中，两两相乘，积为24的两个因数，即可写成每箱装几瓶装几箱，数出不同的装法。
详解：24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；
要使每箱枇杷膏的瓶数同样多且数量大于1，舍去因数1和24；
那么可以这样装：
每箱装2瓶装12箱；每箱装12瓶装2箱；
每箱装3瓶装8箱；每箱装8瓶装3箱；
每箱装4瓶装6箱；每箱装6瓶装4箱。
有6种不同的装法。
故答案为：B
点睛：本题考查因数的实际应用，掌握求一个数的因数的方法是解题的关键。
5．B
分析：正方体瓷砖的棱长，长方体瓷砖的长和宽，只要是浴室地面长和宽的因数即可；
详解：A．180÷30＝6、120÷30＝4，符合要求；
B．180÷50不能整除，120÷50不能整除，不符合要求；
C．180÷60＝3、120÷40＝3，符合要求；
D．180÷60＝3、120÷30＝4，符合要求。
故答案为：B
点睛：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
6．A
分析：根据题意可知，地面的长、宽必须是长方形瓷砖的长和宽的倍数。根据长度单位相邻单位之间的进率，1米＝10分米，把用米作单位的数化成用分米作单位的数，再根据求一个数的倍数的方法进行解答即可。
详解：A．8米＝80分米，3.2米＝32分米，80是5的倍数，32是4的倍数，所以能用这种瓷砖刚好铺满；
B．5米＝50分米，1.7米＝17分米，50是5的倍数，但是17不是4的倍数，所以不能用这种瓷砖刚好铺满；
C．6米＝60分米，1.9米＝19分米，60是5的倍数，但是19不是4的倍数，所以不能用这种瓷砖刚好铺满；
D．7米＝70分米，2.6米＝26分米，70是5的倍数，但是26不是4的倍数，所以不能用这种瓷砖刚好铺满；
故答案为：A
点睛：此题考查的目的是理解掌握长方形的特征及应用，倍数的意义及应用，长度单位相邻单位之间的进率及换算的方法的应用。
7．40
分析：由李老师和每名同学植树的棵数一样多，可知：植树的总棵数＝每人植树的棵数×总人数，每人植树棵数和人数都应该是整数，将植树总棵数分解质因数，123＝3×41，依此可知学生是41－1＝40（人），每名同学植树3棵；据此解答即可。
详解：123＝41×3
41－1＝40（人）
则五年四班可能有40个学生。
点睛：做题的关键是学生要先正确的把123写成123＝41×3，然后再求出学生的人数及每名同学植树的棵数。
8． 12 16 3 16
分析：找出48的所有因数，再和淘气和笑笑的记录做比对，找出漏写的因数。据此解盘。
详解：48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8
淘气记录的过程是：1，2，3，4，6，8，12，24，48，按照他找的方法，遗漏了排在（12）后面的（16）。笑笑的记录过程是：1，48，2，24，3，4，12，6，8，按照她找的方法，她漏写了排在（3）后面的（16）。
点睛：找出48所有的因数是解答本题的关键。
9． 3 9
分析：根据求一个数因数的方法，求出27的因数即可。
详解：27的因数有：1、3、9、27
则27的因数除了1和它本身外，还有3和9。
点睛：本题考查求一个数的因数，明确求一个数的因数的方法是解题的关键。
10．36
分析：先找出72的因数，4和9的倍数，再找出其中最小的相同数即可。
详解：72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝7×9
所以，72的因数有1，2，3，4，7，9，18，24，36，72。
4和9的倍数有：36，72……
所以，既是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有36人报名参加。
点睛：本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数求法是解题的关键。
11．c
分析：结合倍数的定义，以及从题目的例子中可以看出，如果两个数分别是同一个数的倍数，那么它们的和也是这个数的倍数，据此解答即可。
详解：因为ac＋bc＝（a＋b）×c，ac是c的倍数，bc也是c的倍数，ac＋bc的和一定是c的倍数。
点睛：本题的关键理解倍数的定义以及根据例子总结出规律。
12．18
分析：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，根据a＋f＝33求出这个数，再用除法求出这个数的所有因数，最后求出b＋e的和。
详解：分析可知，a＝1，则f＝33－1＝32
32÷1＝32
32÷2＝16
32÷4＝8
32的因数有：1，2，4，8，16，32。
b＝2，e＝16
b＋e＝2＋16＝18
点睛：根据这个数最大因数和最小因数的和求出这个数本身是解答题目的关键。
13．×
分析：根据整除的概念，结合9÷6＝1.5的算式特点，分析判断即可。
详解：整除是整数除法运算范围内的概念，在9÷6＝1.5的算式中，9和6是整数，但是商1.5是小数，所以不能说6能够整除9。
故答案为：×
点睛：本题考查了整除，掌握整除的概念和特点是解题的关键。
14．√
分析：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
详解：由分析可知：因为77÷7＝11，所以7和11都是77的因数；原题干说法正确。
故答案为：√
15．×
分析：根据“质数的因数只有两个：它本身和1；而合数：至少有3个因数”进而判断即可。
详解：由分析可得：质数不管有多大，都只有l和自身共2个因数，如：101只有1个101两个因数；而合数不管有多小，至少有3个因数，如：4有1、2和4共三个因数；所以原题说法错误。
故答案为：×
16．×
分析：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，据此判断。
详解：一个整数，比如5，它的最大因数是5，最小倍数也是5；所以一个数的因数可能小于或等于这个数，倍数可能等于这个数，原题说法错误。
故答案为：×
17．×
分析：因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。据此解答。
详解：如：a＝84，b＝0.5，84×0.5＝42，0.5是小数，42不是a和b的倍数。
如：a＝6，b＝7，6×7＝42，6、7是整数，42是a和b的倍数。
若a×b＝42，则42不一定是a和b的倍数。
原题干说法错误。
故答案为：×
点睛：明确因数与倍数的意义是解答本题的关键。
18．有四种装法：每袋装4个，装12袋；每袋装6个，装8袋；每袋装8个，装6袋；每袋装12个，装4袋
分析：要使每个袋子装同样多，正好装完，没有剩余，求每个袋子装多少个，就是求48的因数，且大于或等于4，根据求因数的方法，先将48拆分为两个大于或等于4的整数相乘，即48＝4×12＝6×8，据此有4个符合的因数，所以有4种装法。
详解：48＝4×12＝6×8
答：有四种装法：每袋装4个，装12袋；每袋装6个，装8袋；每袋装8个，装6袋；每袋装12个，装4袋。
19．28米
分析：根据题意可知，这根绳子的长度是20~30之间的4的倍数。可以列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。
详解：4×5＝20，4×6＝24，4×7＝28，4×8＝32，所以在20~30之间4的倍数有24、28。24＜28，即这根绳子最多有28米。
答：这根绳子最多有28米。
点睛：找一个数的倍数用“列乘法算式”的方法较为简单。在给出的一些自然数找一个数的倍数，或判断一个数是不是另一个数倍数时，用除法计算较为简单。
20．这位同学是许强。
分析：根据找一个数的因数的方法：找配对如：41＝1×41，所以41的因数有：1、41；43＝1×43，所以43的因数有：1、43；45＝1×45、45＝5×9，所以45的因数有：1、5、9、45；47＝1×47，所以47的因数有：1、47；结合题意可知只有许强数对了。
详解：经过查找，只有45÷5＝9，表示共5行，每行植9棵；或共9行，每行植5棵，故这位同学是许强。
答：这位同学是许强。
点睛：此题考查了找一个数的因数的方法的应用。
21．49张
分析：比40张多，比50张少，如果按4张一组来数，剩1张，符合条件的数有41，45， 49三个，再找出符合5张一组来数，剩4张的数即可解答。
详解：因为如果按4张一组来数，剩1张，且图片张数比40张多，比50张少，则图片的张数是4的倍数且多1张；
所以这些图片可能有41，45，49三个；
45是5的倍数，不符合题意，
41÷5＝8……1，不符合题意；
49÷5＝9……4，符合题意；
答：这些图片有49张。
点睛：本题考查倍数，明确图片的张数是4的倍数且多1张是解题的关键。
22．14个
分析：用本数减去余下的本数，用铅笔的支数减去余下的支数。求出两个得数的最大公因数，即为最多有多少个同学得到奖品。
详解：57－1＝56（本）
44－2＝42（支）
56＝2×2×2×7
42＝2×3×7
56和42的最大公因数是：2×7＝14
答：最多有14个同学得到奖品。
点睛：本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。
23．每行4人，排12列；每行6人，排8列
分析：根据长方形的面积公式：长×宽，先把48写成两个因数相乘的形式；根据题意每行每列不少于3人，可以确定出每种队形的行数和列数，据此解答。
详解：48＝4×12＝6×8
排成的长方形有：每行4人，排12列
每行6人，排8列（答案不唯一）。
答：每行4人，排12列；或每行6人，排8列
点睛：本题考查求一个数因数的方法，再根据题意，确定要排成长方形的行数和列数。
24．36个
分析：一箱苹果分6个装一盒，刚好装完，说明这箱苹果的个数是6的倍数，只要求出35～40之间6的倍数即可。据此解答。
详解：40÷6＝6……4
6×6＝36
答：这箱苹果有36个。
点睛：本题考查了倍数的认识和求法，关键是利用最小的倍数翻倍。
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