广东省惠州市大亚湾区第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题
文档属性
| 名称 | 广东省惠州市大亚湾区第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 248.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-04 23:53:26 | ||
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文档简介
大亚湾一中2023-2024学年度第一学期高二第一次月考
数学试卷
本试卷共4页，22题，满分150分。考试用时120分钟。
单选选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
命题“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
已知向量满足（ ）
A.5 B.-5 C.6 D.13
容量为8的样本：3.5，3.8，4.2，4.8，5，5，5.5，6.3，其第75百分数是（ ）
A.6 B.5.25 C.5 D.5.5
为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，甲：中位数为8，众数为7；乙：中位数为8，平均数为8.4；丙：平均数为8，方差小于2。据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定
已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC线段上的点，且满足PN=2NC，AM=2MB，PA=AB=1，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
在空间直角坐标系中，A（-1,2,0），点B（-1,1，2）关于y轴的对称点为C，则=（ ）
A. B. C.3 D.
如图，在四棱锥中，⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面ABCD上的一个动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数。设事件A=“第一次为偶数”，B=“第二次为奇数”，C=“两次点数之和为偶数”，则（ ）
A.A与B互斥 B.P（A）=P（B） C.A与C相互独立 D.
10. 如图，在三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB=OC。给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）
A. B.
C.° D.三棱锥O-ABC的体积为
第10题 第12题
11. 大数据时代为媒体带来了前所未有的丰富数据资源和先进的数据科学技术，在AI算法的驱动下，无论是图文编辑、视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易。已知某数据库有视频a个，图片b张（a，bN且a>b>1）。从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是（ ）
A.P（A）=P（B）+P（C） B.P（A）=P（B）·P（C）
C. D.
12. 已知正方体ABCD-的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
A.直线与直线所成的角为90°
B.直线与平面所成角的余弦值为
C.⊥平面 D.点A到平面的距离为
三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分）
13. 已知点A（0,0,1），B（0,1,0），C（1,0,0）。若点P（x，1,2）在平面ABC内，则x= 。
14. 如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为P（A）=0.8，P（B）=P（C）=0.6，则该电路正常工作的概率为 。
15. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点。若PA=4，AB=2，则 。
16. 已知空间中有三点A（9,1,2）、B（8，0，1）、C（5,0,1）。则直线AB与CA的夹角的余弦值为 ，点A到直线BC的距离为 。
第14题 第16题
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
17. （10分）如图，在三棱柱ABC-中，M，N分别是，上的点，且2BM=，=2，设，，。
（1）试用表示向量；
（2）若∠BAC=90°，∠=∠=60°，AB=AC==2，求线段MN的长。
18. （12分）甲、乙、丙三人独立地破译一份密码。已知他们能破译该密码的概率分别是。
（1）求三人都成功破译该密码的概率；
（2）求恰有一人成功破译该密码的概率。
19. （12分），如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，AB=AD=2，CA=CB=CD=BD=。
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AD与BC所成角的余弦值的大小；
（3）求点D到平面ABC的距离。
20. （12分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：。（e为自然对数的底数，e=2.71828……）。
（1）解方程：；
（2）证明：两角和的双曲正弦公式
21. （12分）中国北京世界园艺博览会在北京市延庆区举行，组委会为方便游客游园，特推出“导引员”服务，“导引员”的日工资方案如下：
A方案：由三部分组成，如下表：
底薪 150元
工作时间 6元/时
行走路程 11元/千米
B方案:由两部分组成，①根据工作时间20元/小时计费; ②行走路程不超过4千米时,按10元/千米计费;超过4千米时,超出部分按15元/千米计费。已知“导引员”每天上班8小时,由于各种因素,“导引员”每天行走的路程是一个随机变量。试运行期间,组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计,为了计算方便对日行走路程进行取整处理.例如行走1.8千米按1千米计算,行走5.7千米按5千米计算.统计数据如表所示:
行走路程/千米
人数 5 10 15 45 25
分别写出两种方案的日工资y（单位：元）与日行走路程x（单位：千米）（）的函数关系式；
（Ⅰ）现按照分层随机抽样的方式从，中抽取5人组成爱心服务队，再从这5人中抽取3人当小红帽，求小红帽中恰有1人来自的概率；
（Ⅱ）“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12千米，如果仅从日工资的角度考虑，请你帮小张选择合适的方案使他的日工资更高？
22. （12分）如图所示的矩形ABCD，E,F分别为线段AB，BC上的动点。
（1）若E为靠近A的三等分点，F为BC的中点，且，求x+y的值；
（2）若△DEF是边长为1的正三角形
（Ⅰ）令△DCF、△ADE、△FEB的面积分别为,证明：；
（Ⅱ）求矩形ABCD面积的最大值。
数学试卷
本试卷共4页，22题，满分150分。考试用时120分钟。
单选选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
命题“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
已知向量满足（ ）
A.5 B.-5 C.6 D.13
容量为8的样本：3.5，3.8，4.2，4.8，5，5，5.5，6.3，其第75百分数是（ ）
A.6 B.5.25 C.5 D.5.5
为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，甲：中位数为8，众数为7；乙：中位数为8，平均数为8.4；丙：平均数为8，方差小于2。据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定
已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC线段上的点，且满足PN=2NC，AM=2MB，PA=AB=1，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
在空间直角坐标系中，A（-1,2,0），点B（-1,1，2）关于y轴的对称点为C，则=（ ）
A. B. C.3 D.
如图，在四棱锥中，⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面ABCD上的一个动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数。设事件A=“第一次为偶数”，B=“第二次为奇数”，C=“两次点数之和为偶数”，则（ ）
A.A与B互斥 B.P（A）=P（B） C.A与C相互独立 D.
10. 如图，在三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB=OC。给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）
A. B.
C.° D.三棱锥O-ABC的体积为
第10题 第12题
11. 大数据时代为媒体带来了前所未有的丰富数据资源和先进的数据科学技术，在AI算法的驱动下，无论是图文编辑、视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易。已知某数据库有视频a个，图片b张（a，bN且a>b>1）。从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是（ ）
A.P（A）=P（B）+P（C） B.P（A）=P（B）·P（C）
C. D.
12. 已知正方体ABCD-的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
A.直线与直线所成的角为90°
B.直线与平面所成角的余弦值为
C.⊥平面 D.点A到平面的距离为
三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分）
13. 已知点A（0,0,1），B（0,1,0），C（1,0,0）。若点P（x，1,2）在平面ABC内，则x= 。
14. 如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为P（A）=0.8，P（B）=P（C）=0.6，则该电路正常工作的概率为 。
15. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点。若PA=4，AB=2，则 。
16. 已知空间中有三点A（9,1,2）、B（8，0，1）、C（5,0,1）。则直线AB与CA的夹角的余弦值为 ，点A到直线BC的距离为 。
第14题 第16题
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
17. （10分）如图，在三棱柱ABC-中，M，N分别是，上的点，且2BM=，=2，设，，。
（1）试用表示向量；
（2）若∠BAC=90°，∠=∠=60°，AB=AC==2，求线段MN的长。
18. （12分）甲、乙、丙三人独立地破译一份密码。已知他们能破译该密码的概率分别是。
（1）求三人都成功破译该密码的概率；
（2）求恰有一人成功破译该密码的概率。
19. （12分），如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，AB=AD=2，CA=CB=CD=BD=。
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AD与BC所成角的余弦值的大小；
（3）求点D到平面ABC的距离。
20. （12分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：。（e为自然对数的底数，e=2.71828……）。
（1）解方程：；
（2）证明：两角和的双曲正弦公式
21. （12分）中国北京世界园艺博览会在北京市延庆区举行，组委会为方便游客游园，特推出“导引员”服务，“导引员”的日工资方案如下：
A方案：由三部分组成，如下表：
底薪 150元
工作时间 6元/时
行走路程 11元/千米
B方案:由两部分组成，①根据工作时间20元/小时计费; ②行走路程不超过4千米时,按10元/千米计费;超过4千米时,超出部分按15元/千米计费。已知“导引员”每天上班8小时,由于各种因素,“导引员”每天行走的路程是一个随机变量。试运行期间,组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计,为了计算方便对日行走路程进行取整处理.例如行走1.8千米按1千米计算,行走5.7千米按5千米计算.统计数据如表所示:
行走路程/千米
人数 5 10 15 45 25
分别写出两种方案的日工资y（单位：元）与日行走路程x（单位：千米）（）的函数关系式；
（Ⅰ）现按照分层随机抽样的方式从，中抽取5人组成爱心服务队，再从这5人中抽取3人当小红帽，求小红帽中恰有1人来自的概率；
（Ⅱ）“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12千米，如果仅从日工资的角度考虑，请你帮小张选择合适的方案使他的日工资更高？
22. （12分）如图所示的矩形ABCD，E,F分别为线段AB，BC上的动点。
（1）若E为靠近A的三等分点，F为BC的中点，且，求x+y的值；
（2）若△DEF是边长为1的正三角形
（Ⅰ）令△DCF、△ADE、△FEB的面积分别为,证明：；
（Ⅱ）求矩形ABCD面积的最大值。
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