苏科版九年级下册第5章 二次函数 学案

九下
二次函数
5.1 二次函数
学习目标
1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；
2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
学习重点和难点：
体会二次函数意义，确定二次函数关系式中各项的系数
问题导学：
（一）情景
1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是____________。
2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大
设长方形的长为x米，则宽为____________米，如果将面积记为y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为________________________.
3．要给边长为x米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y为多少元？
在这个问题中,地板的费用与____________有关,为____________元,踢脚线的费用与 有关,为____________元;其他费用固定不变为____________元,所以总费用y（元）与x（m）之间的函数关系式是________________________。
（二）新知探索
上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？
________________________________________________________________________ 。
一般地，我们称________________________表示的函数为二次函数。其中____________是自变量，____________函数。
一般地，二次函数中自变量x的取值范围是____________ ，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？
知识点1 二次函数的定义
一般地，形如y=a+bx+c (a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量，y是x的函数。
通常，二次函数y=a+bx+c的自变量x可以是任意实数。
如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个数量，那么它的取值范围受到实际意义的限制。
典例分析
例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c的值.
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8)
例2．当k为何值时，函数为二次函数？
例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
⑴正方体的表面积S（cm2）与棱长a（cm）之间的函数关系；
⑵圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
⑷菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
练习与作业
（1）如图，学校准备将一块长为20m、宽为14m的矩形陆地扩建。如果长、宽都增加xm，则扩建面积S(m2)与 x（m）之间的函数关系式为_____________。
(2)如图，把一张长为30cm、宽为20cm的矩形纸片的一角渐趋一个正方形，则剩余扩建面积S(cm2) 与所剪正方形边长x（cm）之间的函数关系式为_____________。
（3）圆柱的高14cm，则圆柱的体积V（cm3）与底面半径r之间的函数关系式为 .
（4）某化肥厂10月份生产某种化肥200t，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量y(t)与x之间的函数关系式为_____________。
课后作业（1）：
1.已知函数是二次函数，则m=_________.
2. 已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y=_________.
3.一个长方形的长是宽的1.6倍，这个长方形的面积S与宽x之间函数关系式为_________。
4. 如图，用50m长的护栏围成一块靠墙的矩形花园，则花园的面积y（m2）与边长x（m）之间的函数关系式为_____________，x的取值范围是___________。
5.如图，在长200m，宽80m的矩形广场内修建等宽的十字形道路，则陆地面积y（m2）与路宽边长x（m）之间的函数关系式为_____________。
6.一个圆柱的高与底面直径相等，它的表面积S与底面半径r之间的函数关系式为 .
7.用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．
8. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m．
⑴求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；
⑵求当上部半圆半径为2 m时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1 m2）
课后作业（2）：
1.下列函数：（1）y=3x2++1;(2)y=x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x-,属于二次函数的是 (填序号).
2.函数y=(a-b)x2+ax+b是二次函数的条件为 .
3.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )
A.圆的周长与圆的半径之间的关系 B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系
C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系
D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系
4.某超市1月份的营业额为200万元,2、3月份营业额的月平均增长率为x，第一季度营业额y（万元）与x的函数关系式为 .
5、一块直角三角尺的形状与尺寸如图，若圆孔的半径为，三角尺的厚度为16，求这块三角尺的体积V与n的函数关系式为 .
6.某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛2000头。后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。如果养殖场减少x个，求该地区奶牛总数y（头）与x（个）之间的函数关系式.
7.圆的半径为2cm，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加到y(cm2).
(1)写出y与x之间的函数关系式；
（2）当圆的半径分别增加1cm、时，圆的面积分别增加多少？
（3）当圆的面积为5πcm2时,其半径增加了多少
8.已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2).
(1)证明y是x的二次函数;
(2)当k=-2时,写出y与x的函数关系式
5.2 二次函数的图像和性质
学习目标：1、会用列表描点法画二次函数的图像；
2、理解与二次函数的有关概念（抛物线、对称轴、顶点等 ），体会研究问题的数学途径和方法。
学习重点与难点：会画二次函数的图像和理解相关概念是本节课的学习重点也是难点；对二次函数研究的途径和方法的体悟也是本节课的难点
二、问题导学：
1.思考：利用 “描点法”画函数图像要经过哪些步骤？在第一步：“ ” 时，自变量x的取值需要注意什么？
2.思考：二次函数有很多，课本上从研究且入手的，你是怎样理解的？
三、知识梳理
1.图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴。
当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
2.二次函数的性质：
（1）a＞0时，
当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大；
当x＝0时，y有最小值，最小值为0．
（2）a＜0时，
当x＜0时，y随x的增大而增大；
当x＞0时，y随x的增大而减小；
当x＝0时，y有最大值，最大值为0．
二次函数y＝a＋bx＋c 的图像是一条抛物线，顶点是（ -，）,对称轴是过顶点平行于y轴的直线．
a＞0时，抛物线开口向上，当x=-时，函数y＝a＋bx＋c有最小值，=；
a＜0时，抛物线开口向下，当x=-时，函数y＝a＋bx＋c有最大值，=；
四、例题点评：
例1：在一个坐标轴里画出 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图象,把你观察到的信息全部写出来。
例2：A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则点A、B的坐标为
五、当堂检测
⒈分别说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标与对称轴：
， ，
， .
2．点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上．
3．函数y=x2的顶点坐标为 ．若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ．
4．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象 绕 旋转得到．
5．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．
六、课后练习
⒈抛物线y=ax2与y=2x2形状相同，则a= 。
⒉已知函数y=ax2当x=1时y=3，则a= , 对称轴是 ，顶点是 , 抛物线的开 口 ，
3.抛物线y=－x2的顶点坐标为 ；若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ；若点A（3，m）是此抛物线上一点，则m= ．
4．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为函数y=－x2的图象，是函数y=x2的图象绕 旋转得到的．
5.已知函数y=ax2的图象过点,则此图象上纵坐标为时的点的坐标为 .
6.对于二次函数y=ax2, 已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是
7.若抛物线y=ax2经过点P ( l，-2 )，则它也经过 （ ）
A. P1(-1，-2 ) B. P2(-l, 2 ) C.P3( l, 2) D.P4(2, 1)
8.对于的图象下列叙述正确的是 （ ）
A 的值越大，开口越大 B 的值越小，开口越小
C 的绝对值越小，开口越大 D 的绝对值越小，开口越小
9.已知关于的函数关系式（ 为正常数，为时间）如图，则函数图
象为 ( )
h h h h
o
o t t o t o t
t
A B C D
10.已知二次函数y=ax2的图像经过点P(2，3)，你能确定它的开口方向吗？你能确定a的值吗
11.若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
12.已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2
13.一个函数的图象是一条以y轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A（2,-8).
(l）求这个函数的解析式； (2）画出函数图象； (3）观察函数图象，写出这个函数所具有的性质。
5.3 用待定系数法确定二次函数表达式
知识回顾
二次函数关系式有哪几种表达方式？
一般式： y＝ax2 ＋ bx＋c (a≠0)
顶点式：y ＝ a(x ＋ h)2 ＋ k (a≠0)
还记得我们是怎样求一次函数和反比例函数的表达式吗？
用待定系数法求解．
活动一
由一般式y＝ax2 ＋ bx＋c 确定二次函数的表达式。
例1　已知二次函数y＝ax2 的图像经过点(－2,8),
求a的值．
例2 已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图像经过点（－2，8）和（－1，5），求a、c的值．
例3 已知二次函数y＝ax2 ＋ bx ＋c经过点
（－3，6）、（－2，－1）和（0，－3），求这个二次函数的表达式．
对比三个例题的区别和联系，总结用一般式确定二次函数表达式的方法．
活动二
由顶点式y＝a(x ＋ h)2 ＋ k 确定二次函数的表达式．
例4　已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求抛物线的表达式．
你能总结用顶点式求函数表达式的优点及方法吗？
知识点总结
求二次函数y＝ax2 ＋ bx＋c的表达式，关键是求出待定系数a，b，c的值，由已知条件列出关于a，b，c的方程或方程组，求出a，b，c，就可以写出二次函数的表达式．
2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式
y ＝ a(x ＋ h)2 ＋ k，将h、k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值．
当堂练习
1.根据下列已知条件，选择合适的方法求二次函数的表达式：
　　1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图像经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
　　2．已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，
y有最小值－1， 求这个二次函数的表达式．
如图所示，已知抛物线的对称轴是过（3，0）的直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A 、C的坐标分别是(8，0) 、(0，4)，求这个抛物线的表达式。
5.4 二次函数与一元二次方程
回顾旧知
（1）解一元一次方程x＋1＝0；
（2）画一次函数y ＝x ＋1的图像，并指出函数y ＝ x ＋1的图像与x轴有几个交点；
（3）一元一次方程x ＋1＝ 0与一次函数y ＝x ＋1有什么联系？
探索新知
观察总结
归纳总结
例题讲解
已知二次函数y＝－4x＋k＋2与x轴有公共点，求k的取值范围．
打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）之间具有关系：y＝－5 ＋ 20x，想一想：球的飞行高度能否达到40m？
随堂练习
方程+4x-5=0的根是-5,1；则函数y=+4x-5的图像与x轴的交点有 个，其坐标是(-5,0) (1,0).
方程-+10x-25=0的根是==5；则函数y=-+10x-25 的图像与x轴的交点有1个，其坐标是 (5,0) .
下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是（ D ）．
A、y=-2 B、y=-x
C、y=-+6x-9 D、y=-x+2
知识点：取中间值逼近的方法去求它的近似根
函数y＝x2－2x－1的图像如图所示，你能看出方程x2－2x－1＝0的解吗？
用线段表示逼近的过程：
例题1利用函数图像求方程x2 ＋2x－10＝3的近似根．
练习题：
（2014年江苏南京改编）已知二次函数y＝ax2 ＋ bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示：
（1）当y＜5时，x的取值范围是 ；
（2）方程的两个根（ ）
A．－1和0，0和1之间．　 B．0和1，1和2之间．　　　
C．1和2，2和3之间 ．　　 D． 2和3，3和4之间
5.5 用二次函数解决问题
思考：
用 16 m 长的篱笆围成矩形的养兔场饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围最大？
河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少（精确到0.1m）？
例题1：
某种粮大户去年种植优质水稻360亩，平均每亩收益440元．他计划今年多承租若干亩稻田．预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益少2元．该种粮大户今年应多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？
去年鱼塘里饲养鱼苗10千尾．平均每千尾鱼的产量为1000kg．今年计划继续向鱼塘里投放鱼苗，预计每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50kg．今年应投放鱼苗多少千尾，才能使总产量最大？最大总产量是多少？
3.闻名中外的赵州桥是我国隋朝工匠发明并建造的一座扁平抛物线形石拱桥，石拱桥跨径36m，拱高约8m．试在恰当的平面直角坐标系中求出与该抛物线对应的二次函数解析式．
练习
某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为10米．求当x等于多少米时，窗户的透光面积最大，最大面积是多少？
2.某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
　　（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
（3）请画出上述函数的大致图像．
3.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
　　(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
　　(2)求这条抛物线的解析式；
　　(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
综合练习
同步基础
第1题(2014苏州,8,3分)二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),则代数式1-a-b的值为(　　)
A.-3　　B.-1　　C.2　　D.5
第2题(2014甘肃兰州,11,4分)把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为(　　)
A.y=-2(x+1)2+2　　B.y=-2(x+1)2-2　　C.y=-2(x-1)2+2　　D.y=-2(x-1)2-2
第3题(2014山东青岛,8,3分)函数y=与y=-kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
第4题(2013徐州,8,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标满足下表:
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
则该函数图象的顶点坐标为(　　)
A.(-3,-3)　　B.(-2,-2)　　C.(-1,-3)　　D.(0,-6)
第5题(2011无锡,9,3分)下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1)的是(　　)
A.y=(x-2)2+1　　B.y=(x+2)2+1　　C.y=(x-2)2-3　　D.y=(x+2)2-3
第6题(2013河南,8,3分)在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是(　　)
A.x<1　　B.x>1　　C.x<-1　　D.x>-1
第7题(2013湖南长沙,10,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列关系式错误的是(　　)
A.a>0　　B.c>0　　C.b2-4ac>0　　D.a+b+c>0
第8题(2013内蒙古呼和浩特,8,3分)在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是(　　)
第9题(2014南京,16,2分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x … -1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当y<5时,x的取值范围是________.
第10题(2014扬州,16,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a-2b+c的值为________.
第11题(2014浙江杭州,15,4分)设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数解析式为__________________.
第12题(2012南京,12,2分)已知下列函数:①y=x2;②y=-x2;③y=(x-1)2+2.其中,图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有________(填写所有正确选项的序号).
第13题(2013北京,10,4分)请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式,如y=________.
第14题(2014甘肃兰州,14,4分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为x=1.下列结论中错误的是(　　)
A.abc<0　　B.2a+b=0　　C.b2-4ac>0　　D.a-b+c>0
第15题(2014山东济南,15,3分)二次函数y=x2+bx的图象如图,对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1A.t>-1　　B.-1第16题(2013苏州,6,3分)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是(　　)
A.x1=1,x2=-1　　B.x1=1,x2=2　　C.x1=1,x2=0　　D.x1=1,x2=3
第17题(2013江西南昌,12,3分)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1A.a>0　　B.b2-4ac≥0　　C.x1第18题(2012甘肃兰州,14,4分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(　　)
A.k<-3　　B.k>-3　　C.k<3　　D.k>3
第19题(2011扬州,17,3分)如图,已知函数y=-与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P,点P的纵坐标为1,则关于x的方程ax2+bx+=0的解为________.
参考答案
1-5：BCBBC 6-8：ADD 9.013.+1 14-19: DCBDD 20.x=-3
专题
1．（2014 威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（　　）
A .1 B. 2 C . 3 D . 4
　2．（2014 仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（　　）
　 A． ③④ B． ②③ C． ①④ D． ①②③
3．（2014 南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：
①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（　　）
A .1 B. 2 C . 3 D . 4
4．（2014 襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：
①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确结论的个数为（　　）
A .1 B. 2 C . 3 D . 4
5．（2014 宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：
①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是（　　）
A． ①② B． ②③ C． ②③④ D． ①②④
（2014 莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（　　）
A． m＞2 B． m＜3 C． m＞3 D． 2＜m＜3
7．（2014 玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．
其中正确结论的个数是（　　）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
8．（2014 乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与
y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．
其中正确的是（　　）
A． ①② B． ③④ C． ①③ D． ①③④
9．（2014 齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（　　）
①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
10、（2011 重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）
A、a＞0 B、b＜0 C、c＜0 D、a+b+c＞0
11、（2011 雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（　　）
A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤
12、（2011 孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（　　）
A、1 B、2 C、3 D、4
参考答案
1.由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．
2.由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0∴a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．
3.：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；
②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；
③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；
④∵对称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项正确；
综上所述，正确的结论有4个．
故选D
4.∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①正确；
当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0，
故②错误
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，
∴3b+c+6=0；
③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
故选C
5.∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远，
∴y1＞y2，所以④正确．
故选D
6.∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，
∴m﹣3＜0，
解得m＜3，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴x=，
解得m＞2，
∴2＜m＜3．
故选：D
7.∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；
由图象可知：对称轴x==﹣1，
∴2a=b，2a+b=4a，
∵a≠0，
∴2a+b≠0，②错误
∵图象过点A（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c=0，2a=b，
所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0
由图象可知：当x=1时y=0，
∴a+b+c=0，④正确．
故选C
8.①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；
②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x==1，
∴b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1×3=﹣3，
=﹣3，则a=．
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴﹣1≤≤，即﹣1≤a≤．
故③正确；
④根据题意知，a=，=1，
∴b=﹣2a=，
∴n=a+b+c=c．
∵2≤c≤3，
≤≤4，≤n≤4．
故④正确．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选D
9.①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，
∴对称轴在y轴的右侧，
即：﹣＞0，
∵a＞0
∴b＜0，故①正确；
②显然函数图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0正确；
③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，
即a+c=b，
∵b＜0，
∴a+c＜0正确；
④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，
∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，
故④正确，
故选D
11. 12.
能力提升题
1.二次函数中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ）
A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）
2.函数与（a0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
图13-3-13
3.如图13-3-14，抛物线与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，
C两点，且BC=3，S△ABC=6，则b的值是（ ）
A.b=5 B.b=-5 C.b=±5 D.b=4
图13-3-14
4.二次函数（a0），若要使函数值永远小于零，则自变量x的取值范围是（ ）
A．X取任何实数 B.x0 C.x0 D.x0或x0
5.抛物线向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为
（ ）
A. B.
C. D.
6.二次函数（k0）图象的顶点在（ ）
A.y轴的负半轴上 B.y轴的正半轴上
C.x轴的负半轴上 D.x轴的正半轴上
7.四个函数：（x0），（x0），其中图象经过原
点的函数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.不论x为值何，函数（a≠0）的值永远小于0的条件是（ ）
A.a0，Δ0 B.a0,Δ0
C．a0,Δ0 D.a0,Δ0
三、解答题
1.已知二次函数和的图象都经过x
轴上两上不同的点M，N，求a，b的值.
2.已知二次函数的图象经过点A（2，4），顶点的横坐标为，它
的图象与x轴交于两点B（x1，0），C（x2，0），与y轴交于点D，且，试问：y轴上是否存在点P，使得△POB与△DOC相似（O为坐标原点）？若存在，请求出过P，B两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.
3.如图13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该
抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB的解析式；（2）抛物线的解析式.
4.中图13-3-16，抛物线交x轴正方向于A，B两点，交y轴正方
向于C点，过A，B，C三点做⊙D，若⊙D与y轴相切.（1）求a，c满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tgα；（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙O的位置关系并证明.
5.如图13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示
意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD＇部分为一段抛物线，顶点C的高度为8米，AD和A＇D＇是两侧高为5.5米的支柱，OA和OA＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C＇D＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.
求（1）桥拱DGD＇所在抛物线的解析式及CC＇的长；
（2）BE和B＇E＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A＇B＇为两个方
向的行人及非机动车通行区，试求AB和A＇B＇的宽；
（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车
载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA（或OA＇）区域安全通过？请说明理由.
图13-3-17
6.已知：抛物线与x轴交于两点（ab）.O
为坐标原点，分别以OA，OB为直径作⊙O1和⊙O2在y轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.
7.如果抛物线与x轴都交于A，B两点，且A点在x轴
的正半轴上，B点在x同的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b.
求m的取值范围；
若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；
设（2）中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存 在 点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请 说明理由.
8.已知：如图13-3-18，EB是⊙O的直径，且EB=6，在BE的延长线上取点P，使EP=EB.A
是EP上一点，过A作⊙O的切线AD，切点为D，过D作DF⊥AB于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于H，连结ED和FH.
图13-3-18
若AE=2，求AD的长.
当点A在EP上移动（点A不与点E重合）时，①是否总有？试证 明 你的结论；②设ED=x，BH=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
9.已知二次函数的图象与x轴的交点为
A，B（点A在点B右边），与y轴的交点为C.
若△ABC为Rt△，求m的值；
在△ABC中，若AC=BC，求∠ACB的正弦值；
设△ABC的面积为S，求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值.
10.如图13-3-19，在直角坐标系中，以AB为直径的⊙C交x轴于A，交y轴于B，
满足OA∶OB=4∶3，以OC为直径作⊙D，设⊙D的半径为2.
图13-3-19
求⊙C的圆心坐标.
过C作⊙D的切线EF交x轴于E，交y轴于F，求直线EF的解析式.
抛物线（a≠0）的对称轴过C点，顶点在⊙C上，与y轴交点为B，求抛物线的解析式.
11.已知直线和，二次函数图象的顶点为M.
若M恰在直线与的交点处，试证明：无论m取何实数值，
二次函数的图象与直线总有两个不同的交点.
在（1）的条件下，若直线过点D（0，-3），求二次函数
的表达式，并作出其大致图象.
图13-3-20
在（2）的条件下，若二次函数的图象与y轴交于点C，与x同
的左交点为A，试在直线上求异于M点P，使P在△CMA的外接圆上.
12.如图13-3-20，已知抛物线与x轴从左至右交于A，B两点，
与y轴交于点C，且∠BAC=α，∠ABC=β，tgα-tgβ=2,∠ACB=90°.
求点C的坐标；
求抛物线的解析式；
若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积.
参考答案
1.B 2.D 3.B 4.D 5.C 6.C 7.A 8.D
二、解答题
1.解法一：依题意，设M（x1，0），N（x2，0），且x1≠x2，则x1，x2为方程x2+2ax-2b+1=0
的两个实数根，
∴ ，·.
∵x1，x2又是方程的两个实数根，
∴ x1+x2=a-3，x1·x2=1-b2.
∴
解得 或
当a=1,b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴a=1，b=0舍去.
当a=1；b=2时，二次函数和符合题意.
∴ a=1，b=2.
解法二：∵二次函数的图象对称轴为，
二次函数的图象的对称轴为，
又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N，
∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.
∴ .
解得 .
∴两个二次函数分别为和.
依题意，令y=0，得
，
.
①+②得
.
解得 .
∴ 或
当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴a=1，b=0舍去.
当a=1，b=2时，二次函数为和符合题意.
∴ a=1，b=2.
32.解：∵的图象与x轴交于点B（x1，0），C（x2，0），
∴ .
又∵即，
∴ . ①
又由y的图象过点A（2，4），顶点横坐标为，则有
4a+2b+c=4， ②
. ③
解由①②③组成的方程组得
a=-1,b=1,c=6.
∴ y=-x2+x+6.
与x轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.
与y轴交点D坐标为（0，6）.
设y轴上存在点P，使得△POB∽△DOC，则有
当B（-2，0），C（3，0），D（0，6）时，有
.
∴OP=4，即点P坐标为（0，4）或（0，-4）.
当P点坐标为（0，4）时，可设过P，B两点直线的解析式为
y=kx+4.
有 0=-2k-4.
得 k=-2.
∴ y=-2x-4.
或 .
∴OP=1，这时P点坐标为（0，1）或（0，-1）.
当P点坐标为（0，1）时，可设过P，B两点直线的解析式为
y=kx+1.
有 0=-2k+1.
得 .
∴ .
当P点坐标为（0，-1）时，可设过P，B两点直线的解析式为
y=kx-1，
有 0=-2k-1，
得 .
∴ .
当B（3，0），C（-2，0），D（0，6）时，同理可得
y=-3x+9，
或 y=3x-9，
或 ，
或 .
3.解：（1）在直线y=k(x-4)中，
令y=0，得x=4.
∴A点坐标为（4，0）.
∴ ∠ABC=90°.
∵ △CBD∽△BAO，
∴，即OB2=OA·OC.
又∵ CO=1，OA=4，
∴ OB2=1×4=4.
∴ OB=2（OB=-2舍去）
∴B点坐标为（0，2）.
将点B（0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得.
∴直线的解析式为：.
（2）解法一：设抛物线的解析式为，函数图象过A（4，0），B（0，
2），得
解得
∴抛物线的解析式为：.
解法二：设抛物线的解析式为：，又设点A（4，0）关于x=-1的对
称是D.
∵ CA=1+4=5，
∴ CD=5.
∴ OD=6.
∴D点坐标为（-6，0）.
将点A（4，0），B（0，2），D（-6，0）代入抛物线方程，得
解得 .
∴抛物线的解析式为：.
4.解：（1）A，B的横坐标是方程的两根，设为x1,x2（x2x1），C的
纵坐标是C.
又∵y轴与⊙O相切，
∴ OA·OB=OC2.
∴ x1·x2=c2.
又由方程知
，
∴，即ac=1.
（2）连结PD，交x轴于E，直线PD必为抛物线的对称轴，连结AD、BD，
图13-3-22
∴ .
.
∵ a0,x2x1，
∴ .
.
又 ED=OC=c，
∴ .
（3）设∠PAB=β，
∵P点的坐标为，又∵a0，
∴在Rt△PAE中，.
∴ .
∴ tgβ=tgα. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.
∵ ∠ADE+∠DAE=90°
∴PA和⊙D相切.
5.解：（1）设DGD＇所在的抛物线的解析式为
，
由题意得G（0，8），D（15，5.5）.
∴ 解得
∴DGD＇所在的抛物线的解析式为.
∵且AD=5.5,
∴ AC=5.5×4=22(米).
∴ ）
=74（米）.
答：cc＇的长为74米.
（2）∵ ，
∴ BC=16.
∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）.
答：AB和A＇B＇的宽都是6米.
在中，当x=4时，
.
∵ 0.
∴该大型货车可以从OA（OA＇）区域安全通过.
6.解:（1）∵⊙O1与⊙O2外切于原点O，
∴A，B两点分别位于原点两旁，即a0，b0.
∴方程的两个根a，b异号.
∴ab=m+20，∴m-2.
（2）当m-2，且m≠-4时，四边形PO1O2Q是直角梯形.
根据题意，计算得（或或1）.
m=-4时，四边形PO1O2Q是矩形.
根据题意，计算得（或或1）.
（3）∵ 0
∴方程有两个不相等的实数根.
∵ m-2，
∴
∴ a0，b0.
∴⊙O1与⊙O2都在y轴右侧，并且两圆内切.
7.解：（1）设A，B两点的坐标分别是（x1，0）、（x2，0），
∵A，B两点在原点的两侧，
∴ x1x20，即-（m+1）0，
解得 m-1.
∵
当m-1时，Δ0，
∴m的取值范围是m-1.
（2）∵a∶b=3∶1，设a=3k，b=k（k0），
则 x1=3k，x2=-k，
∴
解得 .
∵时，（不合题意，舍去），
∴ m=2
∴抛物线的解析式是.
（3）易求抛物线与x轴的两个交点坐标是A（3，0），B（-1，0）
与y轴交点坐标是C（0，3），顶点坐标是M（1，4）.
设直线BM的解析式为，
则
解得
∴直线BM的解析式是y=2x+2.
设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是（0，2），
∴
设P点坐标是（x,y），
∵ ，
∴ .
即 .
∴ .∴.
当y=4时，P点与M点重合，即P（1，4），
当y=-4时，-4=-x2+2x+3，
解得 .
∴满足条件的P点存在.
P点坐标是（1，4），.
8.（1）解：∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，
∴ AD2=AE·AB=2×（2+6）=16.
∴ AD=4.
图13-2-23
（2）①无论点A在EP上怎么移动（点A不与点E重合），总有.
证法一：连结DB，交FH于G，
∵AH是⊙O的切线，
∴ ∠HDB=∠DEB.
又∵BH⊥AH，BE为直径，
∴ ∠BDE=90°
有 ∠DBE=90°-∠DEB
=90°-∠HDB
=∠DBH.
在△DFB和△DHB中，
DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB，∠DBE=∠DBH，
∴ △DFB∽△DHB.
∴BH=BF， ∴△BHF是等腰三角形.
∴BG⊥FH，即BD⊥FH.
∴ED∥FH，∴.
图13-3-24
证法二：连结DB，
∵AH是⊙O的切线，
∴ ∠HDB=∠DEF.
又∵DF⊥AB，BH⊥DH，
∴ ∠EDF=∠DBH.
以BD为直径作一个圆，则此圆必过F，H两点，
∴∠DBH=∠DFH，∴∠EDF=∠DFH.
∴ ED∥FH.
∴ .
②∵ED=x，BH=，BH=y，BE=6，BF=BH，∴EF=6y.
又∵DF是Rt△BDE斜边上的高，
∴ △DFE∽△BDE，
∴，即.
∴，即.
∵点A不与点E重合，∴ED=x0.
A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，这时连结OD，则OD⊥PH.
∴ OD∥BH.
又 ，
，
∴ ，
由ED2=EF·EB得
，
∵x0，∴.
∴ 0x≤.
（或由BH=4=y，代入中，得）
故所求函数关系式为（0x≤）.
9.解：∵,
∴可得.
（1）∵△ABC为直角三角形，∴，
即，
化得.∴m=2.
（2）∵AC=BC，CO⊥AB，∴AO=BO，即.
∴.∴.
过A作AD⊥BC，垂足为D，
∴ AB·OC=BC·AD.
∴ .
∴ .
图13-3-25
（3）
∵ ，
∴当，即时，S有最小值，最小值为.
10.解：（1）∵OA⊥OB，OA∶OB=4∶3，⊙D的半径为2，
∴⊙C过原点，OC=4，AB=8.
A点坐标为，B点坐标为.
∴⊙C的圆心C的坐标为.
（2）由EF是⊙D切线，∴OC⊥EF.
∵ CO=CA=CB，
∴ ∠COA=∠CAO，∠COB=∠CBO.
∴ Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO.
∴ .
∴ .
E点坐标为（5，0），F点坐标为，
∴切线EF解析式为.
（3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为，可得
∴ .
②当抛物线开口向上时,顶点坐标为，得
∴ .
综合上述，抛物线解析式为或.
11.（1）证明：由
有 ，
∴ .
∴交点.
此时二次函数为
.
由②③联立，消去y，有
.
∴无论m为何实数值，二次函数的图象与直线总有两个
不同的交点.
图13-3-26
（2）解：∵直线y=-x+m过点D（0，-3），
∴ -3=0+m，
∴ m=-3.
∴M（-2，-1）.
∴二次函数为
.
图象如图13-3-26.
（3）解：由勾股定理，可知△CMA为Rt△，且∠CMA=Rt∠，
∴MC为△CMA外接圆直径.
∵P在上，可设，由MC为△CMA外接圆的直径，P在这个圆上，
∴ ∠CPM=Rt∠.
过P分别作PN⊥y，轴于N，PQ⊥x轴于R，过M作MS⊥y轴于S，MS的延长线与PR的
延长线交于点Q.
由勾股定理，有
，即.
.
.
而 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
.
∴ .
而n2=-2即是M点的横坐标，与题意不合，应舍去.
∴ ，
此时 .
∴P点坐标为.
12.解：（1）根据题意，设点A（x1，0）、点（x2，0），且C（0，b），x10，x20，b0，
∵x1，x2是方程的两根，
∴ .
在Rt△ABC中，OC⊥AB，∴OC2=OA·OB.
∵ OA=-x1,OB=x2，
∴ b2=-x1·x2=b.
∵b0,∴b=1，∴C（0，1）.
（2）在Rt△AOC的Rt△BOC中，
.
∴ .
∴抛物线解析式为.
图13-3-27
（3）∵，∴顶点P的坐标为（1，2），
当时，.
∴.
延长PC交x轴于点D，过C，P的直线为y=x+1，
∴点D坐标为（-1，0）.
∴