浙江省温州市温州中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年浙江省温州市温州中学高二上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是
( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点到准线的距离
( )
A. B. C. D.
3.已知直线上有两点，，平面的一个法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线，焦距为，若，，成等比数列，则该双曲线的离心率为
( )
A. B. C. D.
6.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为，，则数列的前项和为
( )
A. B. C. D.
7.动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是
( )
A. B. C. D.
8.若，，，则
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，已知点，则( )
A. 点关于轴的对称点是
B. 点关于平面的对称点是
C. 点关于轴的对称点是
D. 点关于原点的对称点是
10.已知，下列说法正确的是
( )
A. 在处的切线方程为
B. 的单调递减区间为
C. 在处的切线方程为
D. 的单调递增区间为
11.设等差数列的前项和为，若，且，则
( )
A. 数列为递增数列 B. 和均为的最小值
C. 存在正整数，使得 D. 存在正整数，使得
12.已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为，，的面积为，离心率为，点是上除长轴和短轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，则
( )
A. 椭圆的焦距等于短轴长 B. 面积的最大值为
C. D. 的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线被圆截得的弦长为 ．
14.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：有一个人走了里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了天后到达目的地，则此人第三天走的路程为 ．
15.已知函数，则使得成立的的取值范围是 ．
16.已知点是抛物线：与椭圆：的公共焦点，点是椭圆的另一焦点，点是抛物线上的动点，当取得最小值时，点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知正项等差数列的前项和为，，，，成等比数列．
求数列的通项公式
令，求的前项和．
18.本小题分
如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．
证明：平面
若，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，线段长度的最小值为．
求的方程
过点作一条直线，交于，两点，试问在准线上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由．
20.本小题分
已知函数有两个极值点，，
当时，求的值
若为自然对数的底数，求的最大值．
21.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．
求的方程
过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．
22.本小题分
已知函数，
讨论函数的单调性
当时，设，求证：函数存在极大值点，且．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．
先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．
【解答】
解：直线的斜率，
直线的倾斜角．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单性质，属于基础题．
利用抛物线方程中的几何意义即可得答案．
【解答】
解：由题意，得抛物线的标准方程，可知，
所以焦点到准线的距离为，
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的垂直，以及线面平行的向量表示，属于基础题．
根据直线与平面平行等价于直线的方向向量与面的法向量垂直，根据数量积运算求出 的值．
【解答】
解：因为直线 上有两点 ，所以直线的一个方向向量为
又因为 ，平面 的一个法向量为 ，所以 ，
即 ，解得 ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数的运算，属于基础题．
求出，代入即可求解．
【解答】
解：，
故，解得．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的离心率、等比数列的性质，属于较易题．
根据等比数列的性质得，代入，化简可得离心率．
【解答】
解：由双曲线知：，又，，成等比数列，
则，，
，即，
又，解得，
则该双曲线的离心率为．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的通项公式，裂项相消法求和，数列中的新定义，属于中档题．
由等方差数列的定义得：，求出，判断出数列是以为首项、以公差的等差数列，代入等差数列的通项公式求出，则，利用裂项相消法求和即可．
【解答】
解：由等方差数列的定义可知：，，
又，，则，解得，
数列是以为首项、以公差的等差数列，
则，
，，
，
则数列的前项和为
．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线面角的取值范围的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
先得到动点的在三角形的边长线上运动，设正方体的棱长为，直线与平面所成角为，可得，数形结合进而求得答案．
【解答】
解：由动点从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则平面，
易得，点的轨迹为，则有平面平面，
所以动点的在三角形的边长线上运动，
设正方体的棱长为，直线与平面所成角为，
由正方体性质易知平面，平面，且点到平面的距离为定值，
所以，
由图形可知时，取得最小值为，点与点重合时，取得最大值为，即，
所以，即动直线与平面所成角的正弦值的取值范围是
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查比较大小，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
构造与，利用导数即可求解．
【解答】
解：构造，则，
故单调递增，且，
从而当时，恒成立，及恒成立，
所以；
设 ，则 ，
故 为减函数，
故 ，即 ，
故 ，即 ．
故，
故．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间中点的对称问题，属于基础题．
根据空间坐标的对称性进行判断即可．
【解答】
解：点关于轴的对称点是，故A正确；
点关于平面的对称点是，故B错误；
点关于轴的对称点是，故C错误；
点关于原点的对称点是，故D正确．
故选AD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，同时考查导数的几何意义，属于中档题．
求出导数，利用导数的几何意义及导数与单调性的关系，逐一分析求解即可．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
由及，知 在 处的切线方程为 ，所以A错误，C正确
令 ，解得，令，得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为故B正确，D错误．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，属于中档题．
由得到，结合，得到，求出，A正确；
由得到，从而求出，得到，，求出为的最小值，B错误；
，令，解方程，求出，C正确；
求出，，列出方程，求出，D正确．
【解答】
解：设等差数列的公差为，
因为时，，
即，故，
因为，
所以，
即，
因为恒成立，所以，
故等差数列为递增数列，A正确；
由，则，
即，
故，
由选项知，故，，
所以，故为的最小值，B错误；
，
因为，故当时，，
所以存在正整数，使得，C正确；
，，
令，因为，
解得：，
所以存在正整数，使得，D正确．
故选ACD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程及其简单的几何性质，属于较难题．
由的面积为，离心率为列方程组，进而可求，，的值，则可判断，选项可根据点位置是除长轴和短轴端点外的任意一点直接排除对于选项，由的平分线交长轴于点，得到，化简可得，结合椭圆的定义，得到，进而求得的取值范围可判断．
【解答】
解：对由的面积为，离心率为可得，
又，所以得，，即焦距为，椭圆的短轴长为，故A正确
对当点在长轴端点位置时的面积才能取到最大值，
但是点是除长轴和短轴端点外的任意一点，故的面积无法取到最大值，故B错误
对所以椭圆的方程为，故，，
由的平分线交长轴于点，显然，，
又，
所以，即，
由，，得，故C正确
对设，且，则，而，且，
即，且，也就是，即，，
所以，，
所以，故D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
在解直线与圆相交的有关问题时，通常从圆心向弦引垂线，利用弦心距，半径和弦长的一半构成的直角三角形来求解．写出圆的标准方程，求出弦心距，再利用弦长公式求得弦长．
【解答】
解：根据圆的方程可得圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为 ，
所以直线被圆截得的弦长为
故答案为．
14.【答案】里
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的前项和，属于基础题．
由题意可知，每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第天走的路程，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，记每天走的路程里数为，可知是以 为公比的等比数列，
又由，得 ，
解可得，则 ；
故答案为里．
15.【答案】
【解析】解：由向右平移个单位，得
，
由，定义域为，得为偶函数，
所以的图象关于轴对称，
所以的图象关于直线对称，
当时，，
当时，因为，所以，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由，得，
即，解得，
所以使得成立的的取值范围是
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求椭圆的离心率、抛物线的几何性质、直线与抛物线位置关系及其应用、抛物线的定义，属于较难题．
由抛物线的定义分析推出，当直线与抛物线相切时，取得最小值．设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，求出切点的坐标．根据点在椭圆上结合、、之间的关系式求出的值，进而求出椭圆的离心率．
【解答】
解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，如图所示，
则，所以，
显然当直线与抛物线相切时，最小，即取得最小值．
设直线的方程为，联立抛物线：，
得，令，得，
不妨设点在第一象限，点的坐标为，
抛物线：，则，所以，即，
因为点在椭圆：上，且点为椭圆的焦点，
所以，解得或舍去，
所以，所以椭圆的离心率为．
故答案为：．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，因为，
所以，因为，，成等比数列，
所以，
解得
所以．
，
所以，
所以，
两个等式相减得，，
所以，
所以．
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式，错位相减法求和，是中档题．
根据题意先求出首项和公差，即可得通项为；
由于，利用错位相减法求和即可．
18.【答案】证明：是正三角形，为的中点，．
三棱柱是直三棱柱，
平面，又平面，．
又，、平面，
平面．
解：连接，由知平面，
以为坐标原点，，所在直线为，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则
令，可得，
故平面的一个法向量为．
，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，
故平面的一个法向量为．
设平面与平面夹角为，
则．
故平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】本题考查线面垂直的判定，二面角的向量求法，属中档题．
由等边三角形证得，由直棱柱证得，故可得结论；
建系，用向量法求解即可．
19.【答案】解：由题意可知：，准线的方程为，
已知当点在轴上时，线段的长度最小，
即，解得，
所以的方程为；
假设存在点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方，
由得，抛物线的准线的方程为，
设直线的方程为，，，，
联立，得，
所以，，，
因为，
，
所以，解得或，
故存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方，其坐标为或．
【解析】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系及其应用，属于中档题．
根据题意写出焦点坐标和准线方程，根据线段长度最小即可求，进而得的方程；
假设存在这样的点，设直线的方程为，，，，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，又，，得到关于的方程，求出的值，即可得解．
20.【答案】解：由，
则，
令，得或；令，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，的极小值为．
，
又，
所以，是方程的两个实根，
由韦达定理得：，，
设，令，，
．
在上是减函数，，
故的最大值为．
【解析】本题考查导数的综合应用，极值，最值，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
对求导得，分别令，，求得单调递增区间和单调递减区间，可得函数的极值，即可得答案．
求出，则，是方程的两个实数根，由韦达定理可得，，，设，令，，转化为求的最大值即可．
21.【答案】解：由题意，得
又因为，则，故E的方程为．
根据题意，直线，的斜率都存在且不为，
设直线，，其中，
因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以，
将的方程与联立，可得，
设，，则，，
所以
．，
用替换，可得，
所以
．
．
令，，
，
则
当，即时，等号成立，故四边形面积的最小值为．
【解析】本体考查了求双曲线的标准方程及双曲线中多边形面积最值问题，属于一般题．
根据点在双曲线上，可得，结合，则双曲线方程可求；
根据弦长公式分别求出，，可得令，，，则四边形面积最小值可求．
22.【答案】由函数 的定义域为 ，
则 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时，当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
故当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，由可知 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ；
故当 时， ，
则 ，
令 ，
则 ，
仅当 时等号成立，
故 在 上单调递增，
且 ，即存在唯一 ，使得 ，
当 时， ；当 时， ；
则当 时， ；当 时， ，当 时， ，
即 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，
故函数 存在极大值点，即为 ；
由 ，即 ，
故 ，
由于 ，故 ，且 ，
即 ．

【解析】本题考查了导数的综合应用问题，涉及到判断函数的单调性以及函数极值问题，是较难题．
求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可判断函数单调性；
求出函数 的导数，由此构造函数，利用导数判断其单调性，确定函数 的极值点 ，并判断其范围，进而化简 的表达式，即可证明结论．
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