2023-2024学年江苏省宿迁市部分校高二第一学期第三次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省宿迁市部分校高二第一学期第三次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程是
A. B. C. D.
2.已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为
( )
A. B. C. D.
3.如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成，此时杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
4.意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即，，，，，，，，，，，，，在实际生活中，很多花朵如梅花，飞燕草，万寿简等的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用已知斐波那契数列满足：，，，若，则正整数的值为
A. B. C. D.
5.“青花出晕染，胜却人间无数”，青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面若该花瓶的瓶口直径是，瓶身最小的直径是，瓶高是，则该双曲线的离心率为
( )
A. B. C. D.
6.偶函数为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为
( )

函数的图象
A. B.
C. D.
7.笛卡尔在信中用一个能画出心形曲线的方程向公主表达爱意的故事广为流传，其实能画出心型曲线的方程有很多种．心形曲线如图所示，其方程为，若为曲线上一点，的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上有唯一的极值点，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程表示的曲线为，则以下四个判断正确的为
( )
A. 当时，曲线表示椭圆
B. 当或时，曲线表示双曲线
C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
D. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
10.在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则
( )
A. 为单调递增数列 B.
C. 为的最大项 D. 无最大项
11.已知双曲线：，的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是
( )
A. 若，且轴，则的方程为
B. 若的一条渐近线方程是，则的离心率为
C. 若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为
D. 若，则的离心率的取值范围是
12.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数在处取得最大值为
B. 函数有两个不同零点
C.
D. 若在上恒成立，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设函数，则的值为 _______
14.我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前项依次为，，，，则该数列的第项为_________．
15.抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点点在轴的下方，则的最小值为___________
16.函数，，若对任意的，，使得成立，则实数的范围是________
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知的顶点，边上的高所在直线的方程为， 边上中线所在的直线方程为．
求直线的方程；
求点的坐标．
18.本小题分
已知圆的圆心在直线上．
若圆与轴的正半轴相切，且该圆截轴所得弦的长为，求圆的标准方程；
在的条件下，直线与圆交于两点，，若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值．
19.本小题分
已知数列的前项和为，．
求；
若，求数列的前项和．
20.本小题分
请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设．
若广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？
若广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
21.本小题分
已知椭圆左、右焦点分别为，，在椭圆上且活动于第一象限，垂直于轴交轴于，为中点；连接交轴于，连接并延长交直线于．
求直线与的斜率之积；
求的取值范围．
22.本小题分
已知函数，其中为大于零的常数．
当时，求函数的单调区间；
求函数在区间上的最小值；
求证：对于任意的时，都有成立．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的方程及其性质，属于基础题．
将该抛物线方程化为标准方程，求出，则可得其准线方程．
【解答】
解：抛物线可化为，可知，开口向上，
则准线方程为．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角及两直线垂直的性质．
根据题意可得直线的斜率为，进而可得，解方程即可求得结果．
【解答】
解：直线的斜率为，
直线与垂直，
，
解得．
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法，属于中档题．
设椭圆方程为，由题意可得椭圆短轴长与圆柱底面直径相等，，由此能求出该椭圆的离心率．
【解答】
解：不妨设椭圆方程为，
由题意得，圆柱底面直径椭圆短轴长，
，
即，即，
则，
该椭圆的离心率．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列递推式的应用，知后，熟练应用是解决问题的关键，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于基础题．
由，，可得，从而求出的值．
【解答】解：斐波那契数列满足：，，
，则，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质在实际问题中的应用，考查运算能力和方程思想在解题中的体现，属于较易题．
设双曲线方程为：，由已知可得，并求得双曲线上一点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程，求解，即可得到双曲线的离心率．
【解答】
解：以花瓶最细处所在直线为轴，花瓶的竖直对称轴为轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
设双曲线的方程为：．
花瓶的最小直径，则，
由已知可得，
故，解得，
该双曲线的离心率为，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的判断，结合函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键属基础题．
根据函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性即可．
【解答】
解：为偶函数，易知为奇函数，
由可得有两个零点，，，且，
当，或时，，即函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
即当，函数取得极大值，当，函数取得极小值，
故只有符合
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，考查基本不等式，属于中档题．
易知曲线关于轴对称，不妨设，则，分，与讨论，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：将换成方程不变，所以曲线关于轴对称．
不妨设，则．
当时，，解得，当且仅当时等号成立．
又，所以．
当时，，则
当时，
，
所以，当且仅当时等号成立．
又，所以．
综上可得，即，
所以的取值范围为．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数求函数的单调性、极值、最值，考查函数的零点，属于中档题．
求导得 ， ，由题意得 在 上只有一个变号零点，利用函数的单调性得 的取值范围．
【解答】
解：设是函数的极值点，满足的实数有且只有一个，
即导函数在区间有且只有一个变号零点，
，在上单调递减，在上单调递增，
则，解之得．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了双曲线和椭圆的标准方程的定义及其运用，属于基础题．
根据双曲线和椭圆的标准方程的定义结合选项进行分析即可得到答案．
【解答】
解：由，得，
此时方程表示圆，故A选项错误；
由双曲线的定义可知时，即或时，
方程表示双曲线，故B选项正确；
由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在轴上时，
满足，解得，
故C选项正确；
当曲线表示焦点在轴上的双曲线时，
则，解得，故D选项正确．
综上所述，正确的选项为
故选BCD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
先由题设条件和等比数列的性质得到，再逐个选项验证其正误即可．
【解答】
解：设的公比为，由，得，显然，
若，由，得，与已知矛盾，故
若，由，得，与已知矛盾，故，
又，所以是单调递减数列，且，故A错误，B正确
由，及，得，
所以为的最大项，故C正确，D错误．
故选BC．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的定义及标准方程，及离心率渐近线，属于中档题．
根据双曲线的标准方程及定义逐项判断即可得到答案．
【解答】
解：对于，若，且轴，则，，
，所以，，所以的方程为，所以A正确
对于，若的一条渐近线方程是，则，，所以，所以B错误
对于若的离心率为，则，，
若点在的右支上，为等腰三角形，则，连接，
则是直角三角形，
设，
由勾股定理可得，
由双曲线定理可得，两边平方可得，
则，可得，
则，故 C错误
对于由及正弦定理，可得，
可知点在双曲线的左支上，，可得，
又，，，，，
的离心率的取值范围是，故D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值和最值，同时考查函数零点及不等式恒成立问题，属于较难题．
求出函数的导数判断单调性，根据选项逐一判断即可求解．
【解答】
解： ，
，
令，得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值也即最大值 ，所以A正确；
由，解得，
所以只有一个零点，所以B错误；
由于，根据函数在上单调递减，
所以 ，故 C正确；
在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即D正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的运算，属于基础题．
先化简函数 ，再对函数求导，进而代值计算即可．
【解答】
解：因为
，
所以 ，
则 ．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查了数列的新定义问题以及数列递推公式应用，属于基础题．
结合题意求解数列的前项即可．
【解答】解：由题意可知，，
故是首项为，公差为的等差数列，
故数列前项为，，，，，，，，，，
该数列的第项为
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的性质，基本不等式的性质及运算，找出与的关系是关键，属于中档题．
先画出抛物线，作出辅助线，设，，利用三角形相似得出关于、的式子，化简得到 ，则借助乘“”法，从而利用基本不等式求出最小值．
【解答】解：抛物线 的焦点，准线方程为，
如图所示，分别过、作垂直于准线的线，垂足分别为、，过点作于，交轴于，
由抛物线的定义，设，，
则，，
，化简得： ，

，
当且仅当时等号成立．
所以的最小值为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是转化为，属于中档题．
求导函数，由函数的单调性求得函数的最小值，由二次函数的单调性求得的最大值，由题意得，即可求出的取值范围．
【解答】
解：求导函数，可得在上恒成立，
函数在上单调递增，
在的最小值为，
在上单调递增，
在上的最大值为，
对任意的，，使得成立，
，
，即
即实数的取值范围为
故答案为．
17.【答案】解：，且直线的斜率为，
直线的斜率为，
直线的方程为，即．
设，则，
，解得，
．
【解析】【分析】本题考查直线方程、点的坐标的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，属于基础题．
由，且直线的斜率为，得直线的斜率为，由此能求出直线的方程；
设，则，列出方程组，能求出点的坐标．
18.【答案】解：因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心为．
因为圆与轴的正半轴相切，所以，半径．
又因为该圆截轴所得弦的长为，
所以，解得．
因此，圆心为，半径．
所以圆的标准方程为．
由直线：与圆，消去，得．
整理得．
由，得，
设，，则，，
因为以为直径的圆过原点，可知，
即，
化简得，即．
整理得，解得，
当时，，，
由，得，从而，
可见，时满足不等式，
则实数的值是．
【解析】本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．
设圆心为，通过圆与轴的正半轴相切，得到半径利用该圆截轴所得弦的长为，列出方程求解即可．
设，，利用韦达定理以及判别式，结合直线的斜率关系，即可求出的值．
19.【答案】解由题意，数列满足，当时，可得，
两式相减，可得，整理得，即，
当时，可得，解得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以．
由知，则
设，数列的前项和分别为，
则
，
两式相减得，
所以，又由，所以数列的前项和．
【解析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，以及错位相减与分组求和，属于中档题．
求出首项和公比，利用等比数列的通项公式和求和公式即可求解
先求出，再利用错位相减法分组法求和即可．
20.【答案】解：设包装盒的高为，底面边长为
由已知得，
则，
当时，取得最大值；
根据题意有，
，
令得，舍或，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时取得极大值，也是最大值，
此时包装盒的高与底面边长的比值为，
所以包装盒容积最大时，，此时包装盒的高与底面边长的比值为
【解析】本题考查导数在实际问题中的应用，长方体的结构特征，属于中档题．
先设包装盒的高为，底面边长为，写出，与的关系式，并注明的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积关于的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；
利用体积公式表示出包装盒容积关于的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值从而即可求出比值．
21.【答案】解：椭圆：左右焦点分别为，，
设点为，则点为，，
点在椭圆上，满足方程，即，
所以；
设，直线方程为，
，直线方程为，
则点坐标为，点坐标为，
，
即，
由问知，点为直线与直线的交点，
则有关系式，
代入式可得
；
因为点在第一象限，则，
则的取值范围为．

【解析】本题考查椭圆中的定值问题和向量与椭圆的综合，考查二次函数的值域问题，属于较难题．
设点为，则点为，结合椭圆方程及斜率公式即可求解；
设直线方程为，直线方程为，求得，的坐标，结合的结论可将问题转化为二次函数的值域问题，注意点在第一象限，即可得解．
22.【答案】解：，
当时，．
当时，；当时，．
的增区间为，减区间为．
当时，在上恒成立，
这时在上为增函数，．
当，在上恒成立，
这时在上为减函数，．
当时，令，得．
又对于有，
对于有，
，
综上，在上的最小值为
当时，；
当时，．
当时，；
由知函数在上为增函数，
当时，，，
即，对于且恒成立．
，
对于，且时，恒成立．
【解析】先确定函数的定义域，然后求导数，在函数的定义域内解不等式和；
研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值．
由知函数在上为增函数，构造与的递推关系，可利用叠加法求出所需结论．
本题是函数的综合题，综合考查了利用导数求函数的单调区间，求函数的最值，以及证明不等式，有一定的难度，是一道很好的压轴题．
第1页，共1页