2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高一上学期12月联合调研数学试题（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高一上学期12月联合调研数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域为
( )
A. B.
C. D.
2.已知点是第二象限的点，则的终边位于
( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为
( )
A. B. C. D.
4.函数的大致图象是
( )
A. B.
C. D.
5.设，则的大小关系是
( )
A. B. C. D.
6.神舟十二号载人飞船搭载名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用净化水的过程中，每过滤一次可减少水中杂质，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为参考数据：( )
A. B. C. D.
7.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，则满足的的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
8.已知定义在上的偶函数满足，当时，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知，则正确的有
( )
A. B.
C. D.
11.若函数，则下列说法正确的是
( )
A. 若，则为偶函数
B. 若的定义域为，则
C. 若，则的单调增区间为
D. 若在上单调递减，则
12.已知函数的定义域为，若存在区间，使得同时满足下列条件：
在上是单调函数；在上的值域是．
则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有
( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的图象必过定点__________．
14.函数的单调递减区间是___________．
15.已知正数，满足，则的最大值为__________．
16.如果函数在其定义域内，存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”设函数为“可拆分函数”，则实数的取值范围是 _________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合，．
当时，求集合；
若是的必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知．
化简，并求的值；
若，且，求的值．
19.本小题分
已知函数
若，求实数的值；
若，求函数的值域．
20.本小题分
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比已知各投资万元时，两类产品的年收益分别为万元和万元．
分别写出两种产品的年收益与投资金额的函数关系式；
该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，设投资债券等稳健型产品的金额为万元如何分配资金才能使投资获得最大年总收益？其最大年总收益是多少万元？
21.本小题分
已知函数．
是否存在实数使函数为奇函数；
判断并用定义法证明的单调性；
在的前提下，若对，不等式恒成立，求的取值范围．
22.本小题分
函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数均成立，则称为“圆锥托底型”函数．
判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；
若是“圆锥托底型”函数，求出的最大值；
问实数满足什么条件，是“圆锥托底型”函数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考函数定义域掌握好对数中真数大于零，零次幂底数不能为零等基础知识是解此题的关键，属于基础题．
函数有意义，可得 ，解不等式组即可得到所求定义域．
【解答】
解：要使函数有意义，
应有，解得且，
所以函数的定义域是．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
由题意利用三角函数在各个象限中的符号，判断角的终边所在的象限．
【解答】解：已知点在第二象限，
，，
则角的终边在第二象限．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了弧长公式与扇形面积公式，属于基础题．
由扇形面积公式代入已知条件，可得结果．
【解答】
解：一个扇形的圆心角为，弧长为 ，
，
．
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的性质是解决函数图象的关键，是基础题．
利用函数的奇偶性以及特殊值进行判断即可．
【解答】
解：函数的定义域为，
，
函数为奇函数，
图象关于原点对称，所以排除，，
当时，，故排除．
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用幂函数以及对数函数的单调性比较大小，属于基础题．
利用的单调性比较大小，再比较与的大小即可得出答案．
【解答】
解：，则，
因为函数在上单调递增，则，
又，
所以．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数模型的应用，属于中档题．
由题意列出不等式，然后利用指数对数的运算进行求解可得．
【解答】解：设过滤的次数为，原来水中杂质为，
则，即，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以的最小值为，则至少要过滤次．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了幂函数及其性质，属于中档题．
由条件知，，可得再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式．
【解答】
解：幂函数在上单调递增，
故，解得又，故或．
当时，的图象关于轴对称，满足题意；
当时，的图象不关于轴对称，舍去，
故．
不等式化为，
函数在和上单调递减，
故或或，解得或．
故选：．
8.【答案】
【解析】本题考查了函数的奇偶性，对称性，属于中档题．
偶函数的图像直线对称，可得与的图象的位置关系，即可知两个函数图象所有交点的横坐标之和．
【解答】
解：根据题意，偶函数满足 ，
则的图象关于直线对称，
函数 的图象也关于直线对称，
函数的图象与函数 的图象的位置关系如图所示，
可知两个图象有个交点，两两关于直线对称，
则结合中点坐标公式可得两个函数图象所有交点的横坐标之和为．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数幂的运算和对数运算，属于基础题．
利用指数幂的运算性质和利用对数的运算性质逐个判断即可．
【解答】
解：对于、，故A错误；
对于、 ，故B正确；
对于、 ，故C正确；
对于、，故D错误
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了同角公式，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
根据已知利用同角公式判断利用诱导公式判断．
【解答】
解： 由 ，可得 ，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选BC．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的性质、复合函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于中档题．
对于，将代入得，求出定义域，再根据偶函数的定义判断即可；
对于，由题意可得的解集为，根据一元二次不等式解法求解即可；
对于，根据对数函数的性质及复合函数的单调性求解即可．
【解答】解：对于，当时，，
定义域为：，所以，
所以为偶函数，故正确；
对于，由题意可得的解集为，
所以，
解得，故正确；
对于，当时，，
由可得或，
即的定义域为，
由复合的单调性可得的单调递增区间为，故错误；
对于，是复合函数，，
在正实数集上单调递增，
故在上函数值为正数，单调递减，
则
所以选项正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数概念与性质的新定义问题．
逐一分析选项，判断每个函数是否满足两个条件，依据方程实数根或是函数零点个数判断是否正确．
【解答】解：函数中存在“倍值区间”，则在内是单调函数，或
对于，，函数在单调递增，若存在“倍值区间”，则
，存在“倍值区间”；
对于，，若存在“倍值区间”，当时，函数单调递减，，故只需，即可，故存在；
对于，，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若存在“倍值区间”
不符题意；
若存在“倍值区间”不符题意，故此函数不存在“倍值区间”；
对于，当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，若存在“倍值区间”，，，，，即存在“倍值区间”；
故选ABD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题．
利用即可得出答案．
【解答】
解：当时，，
函数的图象必过定点
故答案为：
14.【答案】．
【解析】【分析】
本题主要考查复合函数的单调性，属于较易题．
由根式内部的代数式大于等于求出函数的定义域，然后求出内层函数的减区间即得答案．
【解答】解：，解得，
函数的定义域为，
令函数，对称轴为直线，
则函数在上单调递减，
又函数在定义域上单调递增，
函数的单调递减区间是．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
已知正数 满足，，化简可得，则 ，再利用基本不等式求最值．
【解答】
解：已知正数 满足， ，
化简可得 ，
则
．
当且仅当 时，取到等号．
故 的最大值为 ．
16.【答案】
【解析】【分析】本题考查了函数新定义问题，涉及函数的单调性的应用，属于中档题．
根据新定义可得，令则，可得，根据函数单调性即可求出．
【解答】
解：因为函数存在“可拆点”，所以存在实数，使得，
则，且，
所以，
令则，所以，，
由得为减函数，所以，
即的取值范围是，
故答案为：．
17.【答案】解：时，集合，
，
；
若“”是“”的必要条件，则，
，
实数的取值范围是．
【解析】【分析】本题考查集合的运算，考查交集、子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
时，求出集合，，再根据交集的定义求出；
由“”是“”的必要条件，得到，从而有或，由此求出实数的取值范围．
18.【答案】解：由题知，
，，
，
又，
，，
．

【解析】【分析】
本题考查诱导公式化简，三角函数关系式，属于中档题．
先根据诱导公对进行化简，再将代入，算出结果即可
将代入可求，根据的正负及，可判断正负，从而判断正负，对平方再开方，代入即可得所求．
19.【答案】解：
，
即，
，解得：或，
即或；
令，
则原函数可化为，，
易知在单调递增，在单调递减，
当时，当时，，
所以函数当的值域为
【解析】化简，由题意可得出或，即可解出的值；
令，
则原函数可化为，，然后根据二次函数的性质，即可求解．
本题考查了对数式的运算性质，考查复合函数值域的求法，考查了计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：设投资债券等稳健性产品的年收益为，投资股票等风险型产品的年收益为，
由题意得，，，，
因为各投资万元，两类产品的年收益分别为万元和万元，所以，，
所以，，，；
因为投资债券等稳健型产品的金额为万元，则投资股票等风险型产品的金额为万元，
设年投资总收益为，则，，
令，，则，则，，
当即时，有最大值，即当投资债券金额为万元，投资股票金额为万元时，能获得最大年总收益为万元．
【解析】【分析】本题考查了函数模型的应用，二次函数的最值，属于中档题．
根据题意，设出函数关系式，进行求解即可；
写出年投资总收益的函数表达式，利用二次函数的最值即可得到最大收益．
21.【答案】解：假设存在实数使函数为奇函数，
此时，解得，
故存在实数，使函数为奇函数．
当时，函数满足，即为奇函数；
函数的定义域为，
，，且，
，
，，，
即函数在上单调递增；
当时，，
是奇函数，
，
又在上单调递增，，
，对恒成立，
，，，
，
．
【解析】本题考查了函数的基本性质：奇偶性、单调性、值域，还考查了恒成立问题，是较难题．
假设存在实数使函数为奇函数，由，可得的值；
运用作差法，由单调性的定义判定单调性即可；
当时，是奇函数，则，又在上单调递增，则，分离变量，结合指数函数性质可得的取值范围．
22.【答案】解：由题意，当时，恒成立，
故是“圆锥托底型”函数
对，考虑时，恒成立，即恒成立，
因为，故不存在常数使得对一切实数均成立，
故不是“圆锥托底型”函数。
由题意，若是“圆锥托底型”函数，
则对一切实数均成立．
当时，显然成立，
当，又，当且仅当时，取等号。
故的最大值为．
若是“圆锥托底型”函数则：
当时，恒成立，即即可，
故当时，即可满足条件
当时，若，则为常数，不满足恒成立
若时，令，解得，此时不成立，
故当时，不是“圆锥托底型”函数．
综上，当，时，是“圆锥托底型”函数．
【解析】本题主要考查与函数有关的新定义，考查学生的推理能力和运算能力，综合性较强，难度较大．
根据条件对一切实数均成立进行判断，即可得到结论．
根据对一切实数均成立，建立条件关系，即可求出结论，
利用函数是“圆锥托底型”函数．则满足条件对一切实数均成立，即可得到结论．
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