2023-2024学年山东省东营市利津县高二上学期12月阶段性检测数学试题（含解析）

2023-2024学年山东省东营市利津县高二上学期12月阶段性检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过点，，则直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为( )
A. B. C. D.
3.已知圆与圆，则两圆的位置关系是
( )
A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离
4.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是
( )
A. B. C. D.
5.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则( )
A. B. C. D.
6.已知，抛物线的焦点为，是抛物线上任意一点，则周长的最小值为
( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线，点为其右焦点，点，若所在直线与双曲线的其中一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点若直线经过的中点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于双曲线：与双曲线：，下列说法正确的是
( )
A. 它们有相同的渐近线 B. 它们有相同的顶点
C. 它们的离心率不相等 D. 它们的焦距相等
10.已知曲线的方程为，则下列结论正确的是
( )
A. 当时，曲线为圆
B. 曲线为椭圆的充要条件是
C. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
D. 存在实数使得曲线为抛物线
11.已知椭圆，则下列结论正确的是
( )
A. 若，则椭圆的离心率为
B. 若椭圆的离心率越趋近于，椭圆越接近于圆
C. 若点分别为椭圆的左右焦点，直线过点且与椭圆交于，两点，则的周长为
D. 若点分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于点的任意一点，则直线的斜率之积为．
12.已知正方体的棱长为，点，，分别是，，的中点，则( )
A. 异面直线与所成的角的正切值为
B. 平面截正方体所得截面的面积为
C. 四面体的外接球表面积为
D. 三棱锥的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若坐标原点到抛物线的准线距离为，则 ．
14.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ．
15.直线与双曲线相交于、两点，若点为线段的中点，则直线的方程是 ．
16.已知抛物线的方程为：，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知在平面直角坐标系中，圆：．
Ⅰ过点作圆的切线，求切线方程；
Ⅱ求过点的圆的弦长的最小值，并求此时弦所在的直线的方程．
18.本小题分
焦点在轴上的椭圆过点，离心率，求椭圆的标准方程；
已知双曲线过点，它的渐近线方程为，求双曲线的标准方程．
19.本小题分
如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
证明：；
若，求二面角的大小．
20.本小题分
已知椭圆：经过点，．
求椭圆的方程；
若直线：交椭圆于两个不同的点，，是坐标原点，求的面积．
21.本小题分
如图，在五面体中，平面平面，， ，且，．
求证：平面平面．
线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值等于？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知椭圆：过点，且与双曲线有相同的焦点．
求椭圆的方程；
设，是椭圆上异于的两点，且满足，试判断直线是否过定点，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线的斜率公式、直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．
根据斜率公式求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，求得倾斜角的值．
【解答】
解：因为直线过点，，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角等于，则有．
再由可得．
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义，椭圆的简单性质的应用，属于基础题．
利用椭圆方程求解，通过椭圆的定义求解三角形的周长即可．
【解答】
解：椭圆：可得，
由椭圆的定义得：，，
所以的周长为：．
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题．
求得两圆的圆心和半径，比较圆心距与两半径的关系得出结论．
【解答】
解：对圆 ，其圆心 ，半径 ；
对圆 ，其圆心 ，半径 ；
又 ，故两圆外切．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
利用空间向量的三角形法则运算即可．
【解答】
解：因为在平行六面体 中， ，
所以
．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线与双曲线的焦点，属于基础题．
先求出双曲线的右焦点，由此焦点是抛物线的焦点，求出
【解答】
解：在双曲线中，，所以右焦点，
又是抛物线的焦点，
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合思想，属于基础题．
由题意画出图形，过作准线的垂线，交抛物线于，则此时的周长最小，然后结合两点间的距离公式即可求解．
【解答】
解：如图，
抛物线：的焦点为，准线方程为．
过作准线的垂线，交抛物线于，则的周长最小．
最小值为．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求双曲线的离心率，属于基础题．
由题意可知直线与该双曲线的渐近线垂直，可得，再由双曲线的离心率公式可得结果．
【解答】
解：设双曲线的右焦点，
又，可得直线的斜率为，
由题意可知直线与该双曲线的渐近线垂直，
可得，可得，则，
即，又，
可得．
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法、直线的点斜式、中点坐标公式及三点共线问题，由题意可得，，的坐标，利用点斜式设直线的方程为，分别令，，可得，的坐标，再由中点坐标公式可得的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．
【解答】
解：由题意可设，，，
令，
代入椭圆方程可得，
不妨设，
设直线的方程为，
令，
可得，
令，可得，
设的中点为，可得，
由，，三点共线，可得，
即，
化简可得，即，
可得．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质及几何意义，属于较易题．
根据双曲线的性质及几何意义的知识逐项判断．
【解答】
解：双曲线化成标准方程，得，
故双曲线的渐近线分别为，，故A错误；
双曲线的顶点坐标分别，故B错误；
双曲线的离心率分别为，故C正确；
易求得双曲线的焦距均为，D正确．
故选CD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程，属于中档题．
根据圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程的特征即可逐项判断求解．
【解答】
解：对于，当时，曲线的方程为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，所以A正确；
对于，若曲线为椭圆，则，且，
即，所以B错误；
对于，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，，解得，所以C正确；
对于，曲线不存在，的一次项，所以曲线不可能是抛物线，所以D错误．
故选AC．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义，标准方程和椭圆的几何性质，属于中档题．
根据椭圆的定义，方程和几何性质判断即可．
【解答】
解：，且，解得离心率 ，选项A错误；
根据椭圆离心率的性质“离心率越小椭圆越圆”，选项B正确；
根据椭圆的定义，
所以的周长为，选项C正确；
根据题意，，设点 ，，则，
所以，选项D正确．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】
利用空间向量求异面直线所成的角判断选项A；延长，交于点，连接交于点，连接，，说明平面截正方体所得截面为等腰梯形，求其面积判断选项D；求四面体的外接球表面积判断选项B；利用等体积法求三棱锥的体积判断本题考查空间几何体的结构特征应用问题，也考查了空间几何体外接球的表面积计算问题，是中档题．
【解答】
解：对于，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，
，，
所以异面直线与所成角的余弦值是，
正弦值是，正切值是，选项A正确；
对于，延长，交于点，连接交于点，连接，，
因为，为的中点，所以，是为的中点，
又因为，所以为的中点，所以，
又因为，，所以是平行四边形，所以，
所以，平面截正方体所得截面为等腰梯形，
在等腰梯形中，，，，
所以梯形高为，
所以等腰梯形的面积为，选项B正确；
对于，画出以为对角线的长方体，
则该长方体的外接球是四面体的外接球，
外接球的直径为，
所以外接球的表面积为，选项C正确；
对于，连接，，则，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又因为为的中点，
所以三棱锥的高为，，
所以，选项D错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法和运用，属于基础题．
求得抛物线即，准线方程为，再由原点到准线的距离为可求得．
【解答】
解：抛物线即，准线方程为，
由题意可得，
解得．
故答案为．
14.【答案】 或
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线离心率，考查双曲线的渐近线，属于基础题．
【解答】
解：当双曲线为 时， ， ．
当双曲线为 时， ， ．
故答案为 或 ．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与双曲线的位置关系，“点差法”的应用，属于基础题．
设出，的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知和的值，进而求得直线的斜率，根据点斜式求得直线的方程．
【解答】
解：设，，则，，
，，
两式相减可得，
，
直线的斜率，
直线的方程为，即．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的性质，以及抛物线的弦长公式，属基础题．
联立方程组，根据根与系数的关系和抛物线的定义计算的值．
【解答】
解：，直线的方程为．
联立方程组，消元得：，
设，，所以，
则．
故答案为：．
17.【答案】解：Ⅰ平面直角坐标系中，圆：的圆心，
且点在圆上，
直线的斜率是，
所求切线的斜率为，
切线方程是，
化简为；
Ⅱ圆心，且半径为，
则圆心到点的距离是，
则点在圆内，
所以过点的圆的弦长的最小值是：
，
又直线的斜率为，
此时弦所在直线的斜率为，
弦所在直线的方程为，化简得．
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，属于拔高题．
Ⅰ根据点在圆上，求出直线的斜率，即可得出所求切线的斜率与方程；
Ⅱ根据圆心到点的距离，判断点在圆内，进而求出过点的圆的弦长最小值，再根据垂直关系得出所求弦所在直线的斜率，从而得到此时弦所在直线方程．
18.【答案】解：设椭圆标准方程为：，
过点，则，
又 ，，
联立解得，
所以椭圆标准方程为：；
由双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为：，
又双曲线过点，所以，解得，
所以双曲线的标准方程为：．

【解析】本题考查椭圆的简单性质，椭圆标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．
设椭圆方程，利用离心率，且过点，结合求出，的值，即可得出椭圆标准方程．
本题考查双曲线的渐近线以及双曲线标准方程的求法，考查计算能力，是基础题．
根据双曲线渐近线方程为，设双曲线方程，代入点的坐标算出，即可得到双曲线的标准方程．
19.【答案】证明：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，，则，，，
，，，
，D.
，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的法向量，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角
则，，
二面角的大小为．
【解析】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D.
求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．
20.【答案】解：由题意得，解得
所以椭圆的方程为．
记，，
由，消去得．
所以，或，
直线与轴的交点为，记为点，
则．

【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，关键是求出椭圆的标准方程．属于中档题．
根据题意，将两个点的坐标代入椭圆的方程，可得
，解可得、的值，即可得椭圆的方程；
记，，联立直线与椭圆的方程，，可解得的值，即可得直线与轴交点的坐标，结合三角形面积公式计算可得答案．
21.【答案】解：如图，设中点为，过作，
由于，所以，
由于，则有．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
又，故，，三条直线两两垂直．
如图，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，，
设平面的法向量，
则有，即，令，得，
取平面的一个法向量，
因为，所以平面平面；
设，
由知，，，，，
所以，
则，
设平面的法向量，则有
因为，
所以，即
令，可得，则．
因为平面与平面的夹角的余弦值等于，
所以，
化简得，解得成舍去，所以．
所以线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值等于，此时．
【解析】本题考查了面面垂直的向量表示，平面与平面所成角的向量求法，属于较难题．
设中点为，根据面面垂直的性质可得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，可得，从而可证明；
设，求出平面的法向量，根据，求出即可．
22.【答案】解：因为双曲线的方程为，
所以，
因为椭圆过点，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为．
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
联立，解得，
因为，
所以，
解得，
所以直线的方程为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
，，
联立，得，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以直线的方程为，
所以，
所以直线过定点，
综上所述，直线过定点
【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
根据题意可得双曲线的，又椭圆过点，得，则，即可得出答案．
分两种情况：当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，联立椭圆的方程，又，解得；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由于，得，写出直线的方程为，化简即可得出答案．
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