2023-2024学年安徽省江南十校高一上学期12月分科诊断模拟联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年安徽省江南十校高一上学期12月分科诊断模拟联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 112.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-05 07:51:37 | ||
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文档简介
2023-2024学年安徽省江南十校高一上学期12月分科诊断模拟联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系中，正确的是( )
A. B.
C. D.
2.设命题，，则“命题的否定”是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.，恒成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
4.已知，，下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.如图是杭州年第届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的有( )
A. 是幂函数，且在单调递减，则
B. 的单调递增区间是
C. 的定义域为，则
D. 的值域是
10.下列选项中，结果为正数的有( )
A. B. C. D.
11.已知正数，满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
12.高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家。他被计认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉。高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则( )
A. 的值域是 B. 方程有无数组解
C. 是单调函数 D. 方程有个根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域是，则的定义域是 ．
14.已知，则 ．
15.若对恒成立，则的最大值为 ．
16.，若有六个根，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，且为第二象限角
求，
求．
18.本小题分
已知集合，集合
若，求和
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数是上的奇函数
求，的值
判断并证明在上的单调性．
20.本小题分
某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某珍惜水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：╔╔ W(x)= \ begin{cases}4(x^{2}+3),0 \ leqslant x \leqslant 2\\\dfrac{70x}{2x+1},2
写出单株利润元关于施用肥料千克的关系式：
当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大最大利润是多少
21.本小题分
已知定义在上的函数满足，
求，并证明为奇函数
若是上的单调递增函数，且，解不等式：．
22.本小题分
若在上的值域是的子集，则称函数在上是封闭的．
若在上是封闭的，求实数的取值范围
若在上是封闭的，求实数的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查元素与集合，集合间的关系的判断，属于基础题．
利用元素与集合，集合与集合之间的关系一一判断即可．
【解答】
解：对于中，，所以A正确；
对于， 是集合，不能属于，故B错误
对于，，故C错误；
对于中，由，可得，所以D错误．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题，更改量词、否定结论即可求解．
【解答】
解：命题，的否定是，
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的真假判定和充分条件、必要条件与充要条件，属中档题．
先要找出命题为真命题的充要条件为，从集合的角度充分不必要条件应为的真子集，观察选择项即可解答．
【解答】
解：“，”恒成立，
可化为，恒成立，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以．
．
“，”恒成立的充要条件为
“，”恒成立的一个充分不必要条件即为 的真子集，
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．
采用特值法和不等式的性质逐一进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于，令，，则，故错误；
对于，令，，，则，故错误；
对于，令，则，故错误；
对于，由不等式的性质可知，正确；
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查弧长公式，扇形面积公式，属于基础题．
通过弧长比可以得到与的比，接着再利用扇形面积公式即可求解．
【解答】解：设，则，，所以，
即，
所以．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图像与性质，涉及函数奇偶性判断以及特殊值法的运用，运用排除法进行解题，属于基础题．
根据函数特点，判断奇偶性，再通过函数在时的函数值以及特殊值，进行判断，得到答案．
【解答】解：函数定义域为，
又，
为偶函数，故排除，
当时，，排除，
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】
解：，，，
，．
故选B
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数函数的图象与性质，考查换元法的应用，注意对数函数的定义域．
由得，令，求出不等式的解集．
【解答】
解：
令，则
．
即不等式的解集为
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域、值域，考查幂函数、对数函数的单调性，属于中档题．
根据幂函数、对数函数的单调性及函数的定义域、值域逐项计算判断即可．
【解答】
解：是幂函数，则，得或，
又在单减，，故A正确；
B.且，所以单增区间是，故B错误；
C.定义域为，则或，故C错误；
D.令，，故D正确．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数值的符号特征，属于基础题．
根据角的范围结合三角函数值的符号特征对选项逐个判断即可．
【解答】
解：A.，正确；
又，，故B正确，C错误；
D.，，故D错误．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，属于中档题．
根据基本不等式的性质一一判断即可．
【解答】解：因为正数，满足，
所以
，或当时取等，故A正确，
，，当时取等，故B错误
，当时取等，故C正确：
，，当，时取等号，故D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查新定义问题，考查函数单调性以及方程问题，属于较难题．
理解新定义是本题关键，结合选项逐项分析即可．
【解答】
解：因为表示不超过的最大整数，所以，A正确
当，，，且时，
，，
方程有无数组解，故B正确；
当时，此时故C错误
由，得
，
可取，，，，分别代入得，，，故D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的定义域，是基础题根据抽象函数定义域的求法求解即可．
【解答】
解：由题意可得当时，，
所以的定义域为，
令，解得，
所以的定义域为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
令，得出，代入求解即可．
【解答】
解：令，
则，
所以．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式恒成立问题和由基本不等式求最值，是中档题．
令，易得：，即得，由基本不等式可得的最大值．
【解答】
解：令，
由对恒成立，
知：，即得，
故，
又，故当且仅当时取等，
所以的最大值为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数，考查函数零点与方程根的关系，考查函数图象的应用及数形结合思想，考查分析与计算能力，属于难题．
作出函数的图象，令，结合图象可得，要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两不同实数根，再由一元二次方程的根分别列不等式组求解．
【解答】
解：作出函数的图象如图，
令，则方程化为，
要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两不同实数根，
解得，则实数的取值范围为，
故答案为．
17.【答案】解：由得，
代入得，
又为第二象限角，
， ；
由，
再由可知，原式．
【解析】本题考查同角三角函数的关系式的应用，关键是化归思想的应用，注意三角函数的符号，属于基础题．
由已知及同角三角函数关系式，即可求以及的值；
由诱导公式化简后代入已知，即可求值．
18.【答案】解：当时，，
所以，或，
所以；
当时，即，即，满足；
当时，即，
由得或，
解得或
综上，
【解析】本题主要考查集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，属于基础题．
由时求出集合，再根据交集、并集和补集的定义计算即可
根据，讨论时和时，求出对应实数的取值范围．
19.【答案】解：由是上的奇函数，所以，得，
又恒成立，
所以，即，，
检验，当，时，函数是上的奇函数，
所以，；
是上的递增函数；
证明如下：由知，，在上任取，，
不妨令，则
，因为，所以
，所以，
所以是上单调递增函数。
【解析】本题主要考查函数奇偶性，单调性和判断和应用，属于基础题．
根据函数是奇函数，利用，解方程即可求实数的值，然后利用恒成立，求出
根据函数单调性的定义即可证明函数的单调性；
20.【答案】解：．
由得
当时，，
此时，的最大值为；
当时，，
当即时有最大值元
因为，所以当施肥量为千克时，利润最大，最大利润是元
【解析】本题考查了分段函数模型的应用和基本不等式在实际中的应用，属于中档题．
用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
分段判断的单调性，利用基本不等式求出在时最大值即可．
21.【答案】解：令，得，
令，得，所以，
即，所以是奇函数；
因为，
所以原不等式等价于，
又，所以，，
即，
又是上的递增函数，
所以，
原不等式的解集为
【解析】本题考查了判断函数的奇偶性和函数单调性、奇偶性的综合应用，是基础题．
令，得，令，得，即，即可得证；
原不等式等价于，解出即可．
22.【答案】解：函数开口向上，对称轴是，
当时，，，
则有，得，
当时，有舍去，
综上，的取值范围是．
当时，有
，解得，所以，
当时，，
所以
即舍去
综上，．
综上，的最大值是
【解析】本题考查了函数的新定义问题，涉及利用值域求参，是中档题
分可得、可得可得答案
当时可得，当时，故可求得答案
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系中，正确的是( )
A. B.
C. D.
2.设命题，，则“命题的否定”是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.，恒成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
4.已知，，下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.如图是杭州年第届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的有( )
A. 是幂函数，且在单调递减，则
B. 的单调递增区间是
C. 的定义域为，则
D. 的值域是
10.下列选项中，结果为正数的有( )
A. B. C. D.
11.已知正数，满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
12.高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家。他被计认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉。高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则( )
A. 的值域是 B. 方程有无数组解
C. 是单调函数 D. 方程有个根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域是，则的定义域是 ．
14.已知，则 ．
15.若对恒成立，则的最大值为 ．
16.，若有六个根，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，且为第二象限角
求，
求．
18.本小题分
已知集合，集合
若，求和
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数是上的奇函数
求，的值
判断并证明在上的单调性．
20.本小题分
某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某珍惜水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：╔╔ W(x)= \ begin{cases}4(x^{2}+3),0 \ leqslant x \leqslant 2\\\dfrac{70x}{2x+1},2
写出单株利润元关于施用肥料千克的关系式：
当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大最大利润是多少
21.本小题分
已知定义在上的函数满足，
求，并证明为奇函数
若是上的单调递增函数，且，解不等式：．
22.本小题分
若在上的值域是的子集，则称函数在上是封闭的．
若在上是封闭的，求实数的取值范围
若在上是封闭的，求实数的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查元素与集合，集合间的关系的判断，属于基础题．
利用元素与集合，集合与集合之间的关系一一判断即可．
【解答】
解：对于中，，所以A正确；
对于， 是集合，不能属于，故B错误
对于，，故C错误；
对于中，由，可得，所以D错误．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题，更改量词、否定结论即可求解．
【解答】
解：命题，的否定是，
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的真假判定和充分条件、必要条件与充要条件，属中档题．
先要找出命题为真命题的充要条件为，从集合的角度充分不必要条件应为的真子集，观察选择项即可解答．
【解答】
解：“，”恒成立，
可化为，恒成立，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以．
．
“，”恒成立的充要条件为
“，”恒成立的一个充分不必要条件即为 的真子集，
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．
采用特值法和不等式的性质逐一进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于，令，，则，故错误；
对于，令，，，则，故错误；
对于，令，则，故错误；
对于，由不等式的性质可知，正确；
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查弧长公式，扇形面积公式，属于基础题．
通过弧长比可以得到与的比，接着再利用扇形面积公式即可求解．
【解答】解：设，则，，所以，
即，
所以．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图像与性质，涉及函数奇偶性判断以及特殊值法的运用，运用排除法进行解题，属于基础题．
根据函数特点，判断奇偶性，再通过函数在时的函数值以及特殊值，进行判断，得到答案．
【解答】解：函数定义域为，
又，
为偶函数，故排除，
当时，，排除，
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】
解：，，，
，．
故选B
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数函数的图象与性质，考查换元法的应用，注意对数函数的定义域．
由得，令，求出不等式的解集．
【解答】
解：
令，则
．
即不等式的解集为
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域、值域，考查幂函数、对数函数的单调性，属于中档题．
根据幂函数、对数函数的单调性及函数的定义域、值域逐项计算判断即可．
【解答】
解：是幂函数，则，得或，
又在单减，，故A正确；
B.且，所以单增区间是，故B错误；
C.定义域为，则或，故C错误；
D.令，，故D正确．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数值的符号特征，属于基础题．
根据角的范围结合三角函数值的符号特征对选项逐个判断即可．
【解答】
解：A.，正确；
又，，故B正确，C错误；
D.，，故D错误．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，属于中档题．
根据基本不等式的性质一一判断即可．
【解答】解：因为正数，满足，
所以
，或当时取等，故A正确，
，，当时取等，故B错误
，当时取等，故C正确：
，，当，时取等号，故D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查新定义问题，考查函数单调性以及方程问题，属于较难题．
理解新定义是本题关键，结合选项逐项分析即可．
【解答】
解：因为表示不超过的最大整数，所以，A正确
当，，，且时，
，，
方程有无数组解，故B正确；
当时，此时故C错误
由，得
，
可取，，，，分别代入得，，，故D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的定义域，是基础题根据抽象函数定义域的求法求解即可．
【解答】
解：由题意可得当时，，
所以的定义域为，
令，解得，
所以的定义域为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
令，得出，代入求解即可．
【解答】
解：令，
则，
所以．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式恒成立问题和由基本不等式求最值，是中档题．
令，易得：，即得，由基本不等式可得的最大值．
【解答】
解：令，
由对恒成立，
知：，即得，
故，
又，故当且仅当时取等，
所以的最大值为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数，考查函数零点与方程根的关系，考查函数图象的应用及数形结合思想，考查分析与计算能力，属于难题．
作出函数的图象，令，结合图象可得，要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两不同实数根，再由一元二次方程的根分别列不等式组求解．
【解答】
解：作出函数的图象如图，
令，则方程化为，
要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两不同实数根，
解得，则实数的取值范围为，
故答案为．
17.【答案】解：由得，
代入得，
又为第二象限角，
， ；
由，
再由可知，原式．
【解析】本题考查同角三角函数的关系式的应用，关键是化归思想的应用，注意三角函数的符号，属于基础题．
由已知及同角三角函数关系式，即可求以及的值；
由诱导公式化简后代入已知，即可求值．
18.【答案】解：当时，，
所以，或，
所以；
当时，即，即，满足；
当时，即，
由得或，
解得或
综上，
【解析】本题主要考查集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，属于基础题．
由时求出集合，再根据交集、并集和补集的定义计算即可
根据，讨论时和时，求出对应实数的取值范围．
19.【答案】解：由是上的奇函数，所以，得，
又恒成立，
所以，即，，
检验，当，时，函数是上的奇函数，
所以，；
是上的递增函数；
证明如下：由知，，在上任取，，
不妨令，则
，因为，所以
，所以，
所以是上单调递增函数。
【解析】本题主要考查函数奇偶性，单调性和判断和应用，属于基础题．
根据函数是奇函数，利用，解方程即可求实数的值，然后利用恒成立，求出
根据函数单调性的定义即可证明函数的单调性；
20.【答案】解：．
由得
当时，，
此时，的最大值为；
当时，，
当即时有最大值元
因为，所以当施肥量为千克时，利润最大，最大利润是元
【解析】本题考查了分段函数模型的应用和基本不等式在实际中的应用，属于中档题．
用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
分段判断的单调性，利用基本不等式求出在时最大值即可．
21.【答案】解：令，得，
令，得，所以，
即，所以是奇函数；
因为，
所以原不等式等价于，
又，所以，，
即，
又是上的递增函数，
所以，
原不等式的解集为
【解析】本题考查了判断函数的奇偶性和函数单调性、奇偶性的综合应用，是基础题．
令，得，令，得，即，即可得证；
原不等式等价于，解出即可．
22.【答案】解：函数开口向上，对称轴是，
当时，，，
则有，得，
当时，有舍去，
综上，的取值范围是．
当时，有
，解得，所以，
当时，，
所以
即舍去
综上，．
综上，的最大值是
【解析】本题考查了函数的新定义问题，涉及利用值域求参，是中档题
分可得、可得可得答案
当时可得，当时，故可求得答案
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