睢宁中学高一数学12月考试卷
一、单选题
1．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
2．若实数满足，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．2
3．“”是“为第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（ ）
A．f（2）C．f（2）5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，若，，，则，，的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．“不等式对一切实数x都成立”的充分不必要条件是（ ）
A．或 B． C． D．
10．已知正实数x，y满足，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为8
C．的最大值为 D．没有最大值
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数是定义在R上的偶函数
B．函数在定义域内既是奇函数又是减函数
C．C．若，为奇函数，则
D．若的值域为
12．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数，，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知函数．若的值域是，则实数的取值范围是 ．
14．已知，用表示为 ．
15．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
16．已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为 ．
四、解答题
17．化简求值：
(1)；
(2).
18．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
19．已知函数，，．若不等式的解集为.
(1)求的值及；
(2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论.
20．已知函数.
(1)若的解集是或，求实数的值；
(2)当时，若时函数有解，求的取值范围.
21．新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本）
(2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
21(备选)．使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏产业”.某农产品加工合作社每年消耗电费万元.为了节约成本，决定修建一个可使用年的光伏电站，并入该合作社的电网.修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下.当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，为常数）.记该合作社修建光伏电站的费用与年所消耗的电费之和为（单位：万元）.
(1)求常数的值，并用表示；
(2)该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值.
(3)要使不超过万元，求的取值范围.
22．设函数.
（1）若是偶函数，求k的值；
（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围；
（3）设函数，若在有零点，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页高一数学月考试卷
一、单选题
1．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．若实数满足，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据对数运算化简条件得，再利用基本不等式求的最小值，
【详解】因为，所以，
实数、满足，
所以（当且仅当，时等式成立），
故选：B．
3．“”是“为第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】判断，即判断，根据在象限中恒成立即可判断出所在象限，最后根据充分条件和必要条件定义即可得出答案.
【详解】，若为第一象限角或第三象限角，则，即；
若为第二象限角或第四象限角，则，即.
故“”是“为第一象限角”的必要不充分条件.
故选：B.
4．若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（ ）
A．f（2）C．f（2）【答案】D
【分析】根据函数奇偶性得，进而得，从而利用函数的单调性及正负可比较大小.
【详解】函数分别是上的奇函数、偶函数,
，
由，得，
，
，
解方程组得，
易知在上单调递增，所以，
又
所以.
故选：D
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的基本关系求解.
【详解】从可得，，所以，
因为，
故选:A.
6．设函数，若，，，则，，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得为偶函数，且在上为增函数，由此可得，然后利用对数函数和指数函数的性质比较的大小，从而可比较出，，的大小
【详解】解：因为，所以为偶函数，
所以，
当时，在上为增函数，
因为，，
所以，
因为在上为增函数，
所以，
所以，
故选：A
【点睛】此题考查对数函数和指数函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查转化能力，属于基础题.
7．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．
【详解】解：依题意，设．
则．
，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据方程有两个不相等的实数根，转化为有两个交点，利用数形结合法求解.
【详解】的图象如下图所示：
因为方程有两个不相等的实数根，
所以，
解得．
故选：B．
【答案】A
【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.
【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故选：A.
二、多选题
9．“不等式对一切实数x都成立”的充分不必要条件是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】CD
【分析】先求命题的充要条件，当时，不等式等价于，恒成立，满足条件；当时，若使对一切实数x都成立，则应满足，，解得k的范围，从而判断原命题的充分不必要条件即可.
【详解】当时，不等式等价于，恒成立，满足条件；
当时，若使对一切实数x都成立，
则应满足，，
解得；
综上所述，“不等式对一切实数x都成立”的充要条件是，
根据充分不必要条件的定义，CD满足条件，
故选：CD
10．已知正实数x，y满足，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为8
C．的最大值为 D．没有最大值
【答案】AC
【分析】将代入，根据二次函数的性质即可判断A；根据及基本不等式可判断B；，根据基本不等式可判断C；，，根据基本不等式可判断D.
【详解】因为x，y为正实数，且，所以.
所以，
当时，的最小值为，故A正确；
，
当且仅当时等号成立，故B错误；
，
当且仅当时等号成立，
故，即的最大值为，故C正确；
，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
所以有最大值，故D错误.
故选:AC.
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数是定义在R上的偶函数
B．函数在定义域内既是奇函数又是减函数
C．C．若，为奇函数，则
D．若的值域为
【答案】CD
【分析】对于A：利用奇偶性的定义进行证明；
对于B：取特殊值即可否定结论；
对于C：利用周期公式进行计算即可；
对于D：直接利用单调性法求值域即可.
【详解】对于A：的定义域为R，因为，所以函数是定义在R上的奇函数，故A错误.
对于B：取则，，与减函数不符，故B错误.
C：由题设，，且，
故，即，故，对；
D：由，则，
所以在上有零点即可，
只需，即，即值域为，
此时，对称轴，故在上有零点，对.
故选：CD
12．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数，，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】先作函数和的图象，在数轴上标出实数，，，，利用特殊值验证A错误，再结合对数性质和二次函数的对称性，计算判断BCD的正误即可.
【详解】函数，
时，，是开口向上、顶点为的抛物线的部分图象，如图；
时，，是由对数函数的图象先向左平移1个单位得到，再保留x轴及x轴上方部分，将x轴下方部分关于x轴对称到上方而得到，如图.
关于的方程有四个不同的实数，，，满足，如图作直线图象，即得到，，，.
当时，，即，解得，此时，故A错误；
当时，，即，
故，即，所以，
故，即，所以，故B正确；
结合图象知，，当时，可知是方程，即的二根，故，，端点取不到，故C正确，D错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点个数求参数值(取值范围)或相关问题，常先分离参数，再作图象，将问题转化成函数图象的交点问题，利用数形结合法进行分析即可.
三、填空题
13．已知函数．若的值域是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】复合函数求值域，先求真数范围大于零，再求二次函数大于零，求出即可.
【详解】因为函数的值域是，则为二次函数值域的子集．
当时，内层函数为，不合题意；
当时，则有，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：
14．已知，用表示为 ．
【答案】
【解析】由指数与对数运算的关系可得，再由对数运算的运算法则及换底公式运算即可得解.
【详解】由题意，，
利用换底公式得：，
，
所以.
故答案为：.
15．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以
【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.
16．已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为 ．
【答案】A
【解析】可证为奇函数且为增函数，从而可得恒成立，参变分离后可求m的取值范围.
【详解】因为恒成立，故恒成立，故的定义域为.
令，则，
故，故为上的奇函数.
在上，均为增函数，故在上为增函数，
故在上增函数，由可得：
即也就是，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
故，
【点睛】思路点睛：函数不等式的恒成立问题，注意利用函数的奇偶性和单调性去掉对应法则，从而把函数不等式转化为指数不等式，后者可参变分离，结合基本不等式可求最值，从而得到参数的取值范围.
四、解答题
17．化简求值：
(1)；
(2).
【答案】(1) (2)2
【分析】（1）根据根式和指数幂直接计算得到答案.
（2）利用对数的运算法则计算得到答案.
【详解】（1）
.
（2）
．
18．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】(1) ;(2) .
【分析】（1）利用三角函数的基本关系式转化为齐次式即可得解；
（2）利用三角函数的平方关系式与完全平方公式得到关于的方程组，解之求得，从而求得的值．
【详解】(1)因为，
所以.
(2)因为，所以，即，则，
又因为，所以，
又，所以，
联立，解得，
所以.
19．已知函数，，．若不等式的解集为.
(1)求的值及；
(2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论.
【详解】（1），即，
因为不等式解集为，所以，解得： ，
所以；
（2）函数在区间上单调递增，证明如下：
在上任取，且，
则，
因为，所以，
又，，
所以，
即当时，，
所以函数在区间上单调递增；
20．已知函数.
(1)若的解集是或，求实数的值；
(2)当时，若时函数有解，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值.
（2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，的解集是或，
所以，解得.
（2）时，在有解，
即在有解，
因为的开口向上，对称轴，
①即，时，函数取得最小值，即，
∴.
②即时，当取得最小值，此时，
解得.
③当即时，当时取得最小值，此时，
解得，
综上，或.
所以：的范围为.
21．新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本）
(2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元.
【分析】（1）根据利润销售量售价成本，表示出利润关于产量的关系式即可，注意单位的统一；
（2）分段函数的最值问题，先分别求出两个范围内的最大值，然后比较哪个最大哪个就是整个分段函数的最大值.
【详解】（1）每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元，
总成本为，
所以
.
所以年利润.
（2）由（1）当时，
（百辆）时（万元），
当时，
当且仅当（百辆）时，
因为2820万元万元,
所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元.
22．设函数.
（1）若是偶函数，求k的值；
（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围；
（3）设函数，若在有零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由代入即可求解；
（2）由已知代入可得，分类可得，换元后利用二次函数的性质可求；
（3）结合已知，代入可求，然后结合在有零点利用换元法，结合二次函数的性质可求.
【详解】（1）若是偶函数，则，即，
即，
则，即；
（2）存在，使得成立，即，
则，
设，∵，
∴，
设，则，
∵，∴当时，函数取得最大值，
则.
（3），，
则，
则，
设，当时，函数为增函数，
则，
若在有零点，
即在上有解，
即，即，
∵在递增，∴，
即的取值范围是.
【点睛】本题主要综合考查了函数的性质及函数与方程思想的相互转化，培养了学生的逻辑思维能力，属于中档题.
试卷第1页，共3页
