河南省驻马店开发区高级中学2023-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试题（含解析）

开发区高中高二上学期第二次质量检测
考试范围：第一章~第三章第三节 ；考试时间：120分钟；总分150
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡
一、单选题。（共8题，共40分）
1．如图，在四面体中，是中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
7．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题（共4题，共20分）
9．下列结论不正确的是（ ）．
A．过点，的直线的倾斜角为
B．直线恒过定点
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是5
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．向量与的夹角是60°
C．AC1⊥DB D．BD1与AC所成角的余弦值为
11．已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A． B．在方向上的投影向量为
C． D．在方向上的投影数量为
12．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
三、填空题（共4题，共20分）
13．下列关于空间向量的命题中，正确的有 ．
①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则；
②若非零向量、、满足，，则有；
③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面；
④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底．
14．若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是 .
15．已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
16．已知双曲线(，)的左、右焦点分别为，.点A在C上.点B在y轴上，，，则C的离心率为__________.
四、解答题（共6题，共70分）
17．（10分）已知圆和直线相切于点.
(1)求圆的标准方程及直线的一般式方程；
(2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
18．（12分）已知三个顶点是.
(1)求边中线所在直线方程；
(2)求边上的高线所在方程；
(3)求的重心的坐标.
19．（12分）（1）已知向量.
①计算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求实数；
②若，求实数.
20．（12分）已知抛物线是抛物线上的点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程.
21．（12分）已知正三棱柱，底面边长，，点、分别是边、的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)若为的中点，试用基底表示向量；
(3)求与夹角的余弦值．
22．（12分）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
参考答案：
1．B
【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得．
【详解】解：，
，
．
故选：B．
2．D
【分析】考虑截距是否为0，分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案.
【详解】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为，
当时，直线过原点，斜率为，故方程为；
当时，直线的斜率，
故直线方程为，即，
故选：D
3．C
【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直.
【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，
则，
即点A坐标为.
故选：C
4．D
【分析】分、两种情况讨论，求出对应的的取值范围，综合可得结果.
【详解】由题意可知，，当时，则为钝角，且；
当时，此时，.
综上所述，直线的倾斜角的取值范围为.
故选：D.
5．D
【分析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.
【详解】已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
故选：D.
6．D
【分析】先求，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算，模的坐标运算公式求解.
【详解】因为，，，
所以，
所以，，
，
所以向量在上的投影向量是，
所以向量在上的投影向量的坐标是，
故选：D.
7．B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．
8．C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.
【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
9．ABC
【分析】A选项，求出过点，的直线的斜率，进而得到倾斜角不为；B选项，变形后得到方程组，求出恒过点；C选项，直线变形为，利用两平行线间距离公式求出答案；D选项，在坐标系中画出点的坐标，利用对称性求出的最小值.
【详解】A选项，过点，的直线的斜率为，
设直线倾斜角为，则，由于，
故过点，的直线的倾斜角不为，A错误；
B选项，直线变形得到，
令，解得，
故直线恒过点，B错误；
C选项，直线变形为，
故与直线之间的距离是，故C错误；
D选项，在平面直角坐标系中画出，，两点都在轴上方，
画出关于轴的对称点，连接，与轴交于点，
则即为的最小值，
则，D正确.
故选：ABC
10．AC
【分析】选择{、、}作为一组基底，分别表示各选项中的向量，运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断.
【详解】对于A选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项A正确；
对于B选项，，
所以，
，
则，
∴向量与的夹角是，所以选项B不正确；
对于C选项，，
又因为，
所以
，
∴，所以选项C正确；
对于D选项，设与所成角的平面角为，
因为，，
所以
，
，
，
∴，所以选项D不正确.
故选：AC.
11．ABD
【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模的运算及向量的数量积和向量的投影分别判断即可.
【详解】已知空间向量，，
对于：，故正确；
对于：由于，，所以，
，，则，
在方向上的投影向量为，故正确；
对于：空间向量，，使, ,则不存在实数，，故错误；
对于：在方向上的投影数量为，故正确．
故选：．
12．AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

13．①③④
【分析】利用反证法可判断①④；利用空间向量的位置关系可判断②；利用共面向量的基本定理可判断可判断③.
【详解】对于①，假设、不共线，则存在空间向量，使得当与、不共线，
此时，、、能构成空间向量的一组基底，与题设矛盾，假设不成立，
所以，若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基，则，①对；
对于②，若非零向量、、满足，，则与不一定共线，②错；
对于③，若、、是空间向量的一组基，且，
则，
即，
所以，、、、四点共面，③对；
对于④，因为向量、、是空间向量的一组基底，
假设、、共面，若，不妨设，设存在、，使得，，
所以，，，，
此时，向量、、共线，与题设矛盾；
若、、共面，且、不共线，则存在、，使得，
则，，
所以，、、共面，与题设矛盾，故、、也是空间向量的一组基底，④对.
故答案为：①③④.
14．
【分析】由目标式表示在上点与所成直线的斜率范围，应用数形结合法及两点斜率公式求范围即可.
【详解】由题设，表示上对应点与所成直线的斜率范围，

如图，，则，，故的取值范围是.
故答案为：
15．
【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
16．答案：
解析：解法一：由题意可知，，，设，，所以，，因为，所以，即，所以.
，，因为，所以，
即，解得.
因为点在双曲线C上，所以，又，所以，即，化简得，所以，所以.
解法二：由前面解法一得，，所以，
，
由双曲线的定义可得，即，即，所以双曲线的离心率.
解法三：由可得A，B，三点共线，且在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得.设，则，所以，，由可得，所以，所以，即.过作，垂足为D，则，即，所以，所以，所以，则，即，所以.
17．(1)；
(2)
【分析】（1）将点的坐标代入圆的方程，求出实数的值，可得出圆的标准方程，求出直线的斜率，由圆的几何性质可得，可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，化为一般式即可；
（2）分析可知直线过圆心，求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】（1）把点代入圆的方程，可得，解得，
得的方程为，即，
圆心为，所以，直线的斜率为，
由圆的几何性质可知，则直线的斜率为，
直线的方程为，即.
（2）由（1）可知，圆的直径为，故直线经过圆心，
且直线的斜率为，直线的方程为，即．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出线段的中点的坐标，即可由直线的截距式方程求得答案；
（2）求直线AB的斜率，可得AB边上的高的斜率，由直线的点斜式方程可得答案；
（3）方法一，由三角形的重心坐标公式直接求得答案；方法二，求得，边中线所在直线方程，联立边中线所在直线方程，即可求得答案.
【详解】（1）线段的中点，即,
因此直线的横纵截距均为2，其方程为：，
即.
所以边中线所在直线方程为.
（2）直线的斜率：，所以所求直线的斜率：，
又该直线过点，
所以边上的高线所在方程为：，即.
（3）方法一：由重心坐标公式，的重心，
即.
方法二：线段的中点，即.
因此，直线的方程为：，
即，
故边中线所在直线方程为.
由方程组，解得，
所以的重心坐标.
19．（1）①，；②；（2）①；②
【分析】（1）由空间向量的坐标运算求解，
（2）由空间向量平行与垂直的坐标表示求解，
【详解】（1）①向量，
，，
②，即
，，
（2）因为向量，
，
①，
，解得，
②，
，解得.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据的长，由几何知识即可求出抛物线的方程；
（2）设出两点坐标和直线的斜率，将两点代入抛物线方程，由点差法求出斜率，根据的中点即可求出直线的方程.
【详解】（1）由题意，
在抛物线中，，
由几何知识得，
，
解得：，
故抛物线的方程为：.
（2）由题意及（1）得，
直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则，
两式相减得，
整理得，
因为的中点为，
∴，
∴直线的方程为：，
即，经检验，满足题意.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据求出的值，即可得出该三棱柱的侧棱长；
（2）设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出关于基底的表达式；
（3）利用空间向量法可得出与夹角的余弦值.
【详解】（1）设，则、、、、
、，
，，
因为，则，解得，
故正三棱柱的侧棱长为.
（2）由（1）可知，，，，
易知点，则，
设，
即，
所以，，解得，因此，.
（3）由（1）可知，，，
则，
因此，与夹角的余弦值为.
22．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.