北京市牛栏山第一中学2022-2023学年上学期高一分班考数学试卷（含解析）

2023北京牛栏山一中高一分班考
数 学
本试卷共100分.考试时90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
一、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）
1. 等于（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
3. 一次函数，的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，则（ ）
A. B. C. D.
4. 一元二次方程有两个实根，，且，则是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______.
6. 将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式是______.
7. 计算的值是______.
8. 设，，则化简为______.
9. 已知点，O为坐标原点，点B在第一象限且在反比例函数的图象上，若为等边三角形，则此反比例函数的解析式是______.
10. 对任意两个实数a，b，规定一种新运算“*”：，若已知，则实数a的值是______.
11. 若多项式的一个因式为，则______.
12. 若方程与，有一个公共根，则______.
13. 已知关于x的方程，只有一个实根，则______.
14. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则（如，）.
给出下列关于的结论：
①若x，y为非负实数，则；
②若，则实数x的取值范围为；
③当，m为非负整数时，有.
其中，正确的结论有______（填写所有正确的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知平面直角坐标系，抛物线过点、
（1）求该抛物线的表达式；
（2）画出该抛物线的图像；
（3）根据抛物线图像写出时x的取值范围.
16. 设函数与的两个交点为，，点.求的面积.
17. （1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
18. 满足关于x的不等式组的x的取值范围是，求m的取值范围.
19.已知平面直角坐标系，抛物线（）
（1）求证：抛物线经过两个定点；
（2）若，，为抛物线上三点，且满足，求实数m的取值范围.
20. 在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“＋”“－”号，如果可以使其代数和为n，就称数n是“可被表出的数”，否则，就称数n是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为是1的一种可能被表出的方法）.
（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；
（2）求25可被表出的不同的方法种数.
参考答案
一、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）
1. 【答案】A
【分析】直接因式分解即可.
【详解】.
故选：A
2. 【答案】C
【分析】变换，，得到答案.
【详解】，，故.
故选：C
3. 【答案】B
【分析】确定，，计算得到，得到答案.
【详解】，取，则，即，取，则，即.
，，故.
故选：B
4. 【答案】C
【分析】确定，得到，解得答案.
【详解】一元二次方程有两个实根，，故，
，即，即，
，故.
故选：C
二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
5. 【答案】
【分析】确定，计算得到答案.
【详解】，即，，解得.
故答案为：.
6. 【答案】
【分析】配方得到顶点式，利用左加右减得到答案.
【详解】，
向右平移2个单位得到.
故答案为：
7. 【答案】
【分析】直接计算得到答案.
【详解】.
故答案为：.
8. 【答案】
【分析】根据根式的性质即可求解.
【详解】由于，，所以
故答案为：
9. 【答案】
【分析】设反比例函数为，确定，代入计算得到答案.
【详解】设反比例函数为，，，为等边三角形，故，
，故解析式方程为.
故答案为：.
10. 【答案】或
【分析】直接根据公式计算即可.
【详解】，解得或.
故答案为：或.
11. 【答案】
【分析】设，取计算得到答案.
【详解】，其中是一个二次多项式，
取得到，解得.
故答案为：
12. 【答案】2
【分析】联立方程即可求解.
【详解】，
若，则两个方程均为，而该方程无解，与题设矛盾，
所以，所以，
进而将代入可得，
故答案为：2
13. 【答案】，或
【分析】变换得到，考虑和两种情况，考虑方程两个根中有一个是增根，计算得到答案.
【详解】，即，整理得到，
①若，解得，此时方程的解为，满足；
②若，解得，此时方程有解或者，
若有解，则，此时方程的解为（增根）或，满足；
若有解，则，此时方程的解为（增根）或，满足；
综上所述：，或.
故答案为：，或.
14. 【答案】②③
【分析】取验证①错误，根据定义确定，解得②正确，m为非负整数时，不影响四舍五入，③正确，得到答案.
【详解】对①：取，则，，错误；
对②：，则，解得，正确；
对③：，m为非负整数时，不影响四舍五入，正确；
故答案为：②③
三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 【答案】（1）
（2）图像见解析 （3）或
【分析】（1）将点代入抛物线方程，解得答案；
（2）直接画出函数图像即可；
（3）根据图像直接得到答案.
【小问1详解】
抛物线过点、，
故，，解得，，故；
【小问2详解】
函数图像如图所示：
【小问3详解】
根据图像知：当或时，.
16.【答案】
【分析】计算交点得到，，再计算面积得到答案.
【详解】，解得或，故，，
，画出函数图像，如图所示：
.
17. 【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意，化简原式，代入即可求解；
（2）先化简原式，代入即可求解.
【详解】解：（1）由，
因为，所以，
即.
（2）由，
因为，可得，
即
18. 【答案】
【分析】解不等式得到，确定且，解得答案.
【详解】，故，解得，
不等式组的x的取值范围是，故，
得到，且，解得，
综上所述：m的取值范围为.
19. 【答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根据题意得到从而确定定点;
（2）利用绝对值的几何意义，离对称轴的距离越远，函数值越大,从而得到不等式，解出即可.
【小问1详解】
结合题意：
当时，即或，此时
所以抛物线经过两个定点.
【小问2详解】
所以对称轴，
因为，，为抛物线上三点，且满足，
所以，即，
将上式用平方法解得： 或.
20. 【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）直接列举，再考虑计算结果为奇数，得到证明.
（2）计算，故减号后的数和为10，列举得到答案.
【小问1详解】
，故7是可被表出的数，
5个奇数和4个偶数相加减，结果为奇数，故结果不可能为8，即8是不可被表出的数.
【小问2详解】
，要使结果为25，
则加号后的数和为35，减号后的数和为10，
考虑减号，不同的方法有9种：
，，，，，，，，，
故25可被表出的不同的方法种数为.