北京清华大学附属中学朝阳学校2023-2024学年上学期高一10月月考数学试卷（含解析）

2023北京清华附中朝阳学校高一10月月考
数 学
（清华附中朝阳学校 望京学校） 2023年10月
一、单选题（只有一个正确答案，每小题4分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．与函数表示同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2
6．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．已知集合，则 ．
12．函数的定义域是 ．
13．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过 后池水中药品的浓度达到最大.
14．已知集合，，则集合B的子集共有 个．
15．已知命题p：“，”，则p为真命题的一个必要不充分条件是 ．
16．有下列命题：
①不等式的解集为；
②若，函数的最小值是；
③对于，恒成立，则实数a的取值范围是；
④已知p：，q：（），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.
其中真命题的序号为 ．（把所有正确答案的序号填写在横线上,多选、错选不给分）
三、解答题（共6个小题，共80分）
17．（本小题满分12分）已知，为常数，且，，，方程有两个相等实根．
(1)求函数的解析式；
(2)当 时，求函数的值域．
18．（本小题满分13分）已知集合，，，．
(1)求，；
(2)若，求的取值范围．
19．（本小题满分14分）已知、是方程的两个实数根.
(1)求的取值范围；
(2)求、.（结果用表示）
(3)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分14分）已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若，且时，恒成立，求实数b的取值范围；
(3)若且，解关于x的不等式．
21．（本小题满分13分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
22．（本小题满分14分）对非空数集，，定义，记有限集的元素个数为.
（1）若，，求，，；
（2）若，，，当最大时，求中最大元素的最小值；
（3）若，，求的最小值.
参考答案
1．B
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B
2．A
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.
【详解】由于特称命题的否定为全称命题，
故命题“”的否定为“”
故选：A．
3．D
【分析】由不妨取特殊值将选项A,B,C排除,关于D,由,即有,取倒数即可证明选项正误.
【详解】解:由题知,
不妨取
则有,
,
故选项A,B错误;
关于选项C,
不妨取
,
故选项C错误;
关于选项D,
,
,
故选项D正确.
故选:D
4．D
【分析】根据函数与函数之间的相等的定义，逐个选项进行判断求解即可.
【详解】的定义域为，
对于A，的定义域为，定义域不一致，A错误；
对于B，的定义域为，定义域不一致，B错误；
对于C，，其解析式不一致，C错误；
对于D，，其定义域和解析式与一致，故D正确；
故选：D
5．B
【分析】根据基本不等式即可求解最值.
【详解】由于，故，所以，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，
故选：B
6．A
【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【详解】因为的解集为，
所以方程的两根分别为和1，且，
则变形可得
故函数的图象开口向下，
且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.
故选：A
7．B
【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】等价于，故推不出；
由能推出．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
8．B
【分析】列出集合、，可判断两者之间的关系.
【详解】∵集合，
，
∴.
故选：B.
9．C
【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
故选：C
10．C
【分析】利用二次函数配方得的最小值，再由基本不等式得到关于ab的范围，将所求平方即可代入求解
【详解】由题意不等式对任意恒成立
又∴a+b≤6则 当且仅当 成立
故
故选：C
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，综合考查基本不等式与不等式的解法，恒成立的问题一般与最值有关．
11．
【分析】分别解出集合，由并集运算求解.
【详解】,则.
故答案为：.
12．
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
13．2
【详解】C＝＝5
当且仅当且t＞0，即t＝2时取等号
考点：基本不等式，实际应用
14．8
【分析】利用集合的定义及子集的定义即可求解.
【详解】由题意可知，当时，；,
当时，或；或，
所以，
所以集合B的子集共有个.
故答案为：.
15．（答案不唯一）
【分析】根据已知命题为真求对应参数a的范围，再结合充分、必要性定义写出一个必要不充分条件.
【详解】由得：，所以p为真命题的充要条件是，
故一个必要不充分条件是．
故答案为：（答案不唯一）
16.①③④
17．(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意得到，，再分别解方程即可得到答案.
（2）首先根据题意得到，再结合单调性求解值域即可.
【详解】（1）因为方程有两个相等实根，
所以，，即.
又因为，解得.
所以.
（2）因为，
所以 函数是开口向下的抛物线，对称轴是，
所以当时，取得最大值；
当时，，
所以的值域是.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）利用集合的交、并、补运算即可求解.
（2）利用集合的包含关系列不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】（1）因为集合，，
所以或，
故，；
（2）因为，且，
则，解得，
所以m的取值范围为．
19．17．(1)
(2)，
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得出且，可求出实数的取值范围；
（2）根据韦达定理可得出、关于的表达式；
（3）根据结合韦达定理定理可得出关于的等式，求出的值，结合可得出结论.
【详解】（1）解：因为、是方程的两个实数根，
则，且，解得.
所以，实数的取值范围是.
（2）解：因为、是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，，
所以，，
.
（3）解：若存在实数，使，
即，解得，不合乎题意，舍去.
因此，不存在实数的值，使得.
20．(1);
(2);
(3)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得到，解之即可得到结果；
（2）原题等价于时，恒成立，进而求出在上的最小值即可得出结果；
（3）首先求出方程的两根，进而根据两根的大小进行分类讨论即可求出结果.
【详解】（1）由题意可得，且和1是关于x的方程的根，即，解得，
（2）由题意可得，即
方程的两根为，
当时，即，不等式的解集为，
当时，即，不等式的解集为或，
当时，即，不等式的解集为或，
综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.
21．(1)当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
(2)大于且小于．
【分析】（1）根据基本不等式即可求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．
（2）在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，解不等式即可求出的范围．
【详解】（1）依题意，由于,
所以
当且仅当，即时，上式等号成立，
∴（千辆/时）．
当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
（2）由条件得,
整理得，即，解得，
所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于．
22．（1）；（2）13；（3）15
【解析】（1）根据新定义求出，进而可得答案；
（2）设，，当A中元素与B中元素的差均不相同时，可取到最大值，进而可求出最大值，再通过得到，可得中最大元素的最小值；
（3）对非空数集T，定义运算，首先确定A中不同的元素的差均不相同，B中不同的元素的差均不相同，由可得的最小值，然后验证最小值可以取到即可.
【详解】解：（1），，
，
;
（2）设，，
①，
，当A中元素与B中元素的差均不相同时等号成立，
所以最大值为16；
②当时，A中元素与B中元素的差均不相同，
，
又因为，
，
，
则，
综上，最大值为16，A中最大元素的最小值为13；
（3）对非空数集T，定义运算，
①,
，当且仅当时取等号，
又因为，
所以A中不同的元素的差均不相同，
同理，B中不同的元素的差均不相同，
若
因为，
，
②令，，
所以，A中不同元素的差均不相同，B中不同元素的差均不相同，
所以，
经检验，符合题意，
综上的最小值为15.
【点睛】本题考查集合的新定义问题，正确理解题意是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力，是一道难度较大的题目.