北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年上学期高一（上）统练一数学试卷（含解析）

2023北京人大附中高一（上）统练一
数 学
一、选择题（每小题5分，共50分）
1. 命题：“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2.设全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下图中的阴影部分，可用集合符号表示为（ ）
A. B.
C. D.
5. 设集合，，且，则满足条件的实数的个数是
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个.
6. 命题甲：或；命题乙：，则甲是乙的
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D.既不充分又不必要条件
7. 设，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 若命题“，”为假命题，则实数可取的最小整数值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 3
9. 对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与集合B的差集，记作．现已知集合，，则下列说法不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有；其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______．
12. 能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.
13. 若存在性命题: x∈R，使得是假命题，且全称命题: 是真命题，则实数m的取值范围是_____.
14. 已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是______.
15.设非空集合满足：当时，有，给出如下四个命题：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则或；
其中正确命题的序号为____________
三、解答题（共35分）
16. 设集合，，.
（1），求；
（2）若 ，求的取值范围.
17. 设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根．
（1）若为真，求实数的取值范围；
（2）若且为假，或为真，求实数的取值范围．
18. 给定整数，如果非空集合满足：
一：，，
二：，，若，则，那么称集合为“减集”.
（1）是否为“减0集”？是否为“减1集”？
（2）是否存在“减2集”？如存在，求出所有“减2集”；如不存在，请证明.
（3）是否存在“减1集”？如存在，求出所有“减1集”；如不存在，请证明.
参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
1. 【答案】C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，改量词，否结论即得.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题：“”的否定是“”.
故选：C.
2. 【答案】C
【分析】根据补集的概念，即可求出，再根据并集运算，即可求出结果.
【详解】由题意可知，
所以.
故选：C.
3. 【答案】B
【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，
所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件.
故选：B
4. 【答案】C
【分析】图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集.
【详解】图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集，所以图中阴影部分，可以用表示.
【点睛】本题考查了用韦恩图表示集合间的关系，考查了学生概念理解，数形结合的能力，属于基础题.
5. 【答案】C
【分析】根据集合元素的互异性，得x≠±1且x≠4．再由A∪B={1，4，x}，得x2=x或x2=4，可解出符合题意的x有0，2，-2共3个．
【详解】，，
所以由集合的互异性可得且，
，则或
解之得或
满足条件的实数有共3个，
故选C.
【点睛】本题给出含有未知数x的集合A、B，在已知它们并集的情况下求实数x值，着重考查了集合元素的基本性质和集合的运算等知识，属于基础题．
6. 【答案】B
【详解】试题分析：若或则的逆否命题为：若则且为假命题，则原命题不成立，即充分条件不成立；若则或的逆否命题为：若且则为真命题，则原命题为真命题.即必要条件成立.所以甲成立是乙成立的必要不充分条件.故选B.
考点：四种命题.
7. 【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的定义结合题意求解即可.
【详解】若，则，所以，
所以，所以是的充分条件；
若，不妨取，不满足，
所以不是的必要条件，故是的充分不必要条件．
故选：A.
8. 【答案】A
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“，”为真命题，分离参数转化为在上有解，构造函数求解最小值即可.
【详解】因为命题“，”为假命题，
所以命题“，”为真命题，即在上有解，
即在上有解，记，，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，所以实数可取的最小整数值是.
故选：A
9. 【答案】C
【分析】由差集的定义对比选项判断即可得出答案.
【详解】因为，，
则 ，故A正确；
，故B正确；
,故C不正确；
，故，故D正确.
故选：C
10. 【答案】A
【分析】根据题目中给的新定义，对于或，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．
【详解】∵对于，定义，
∴对于①，例如集合是正奇数集合，是正偶数集合，，，故①正确；
对于②，若，则，则且，或且，或且；；
若，则，则且； ；
∴任取的两个不同子集，对任意都有；正确，故②正确；
对于③，例如：，当时，；；； 故③错误；
∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A．
【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 【答案】
【分析】根据子集的定义求解．
【详解】因为，，，所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查集合的包含关系，掌握子集定义是解题基础．
12. 【答案】（答案不唯一）
【详解】分析：举出一个反例即可．
详解：当时，
不成立，
即可填．
点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．
13. 【答案】
【分析】
由全称、特称命题的真假结合一元二次不等式恒成立即可得解.
【详解】若，使得是假命题，则在R上恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则，解得；
所以若该命题是假命题，则；
若是真命题，则，解得；
所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
14. 【答案】
【分析】先求出集合，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解.
【详解】对于集合，不失一般性我们不妨设，
此时由的定义可知，有，
所以，
若是的充分不必要条件，则 ，
所以的取值范围是.
故答案为：.
15. 【答案】①②③④
【分析】由题分析：，若则，对每个选项列不等式组分析.
【详解】非空集合满足：当时，有，
若，则，，所以，
若，则，，所以，
所以，
且当时，有，
非空集合满足：当时，有，
①若，根据，则，所以；
②若，，则；
③若， ，解得：；
④若，，解得：或；
故答案为：①②③④
【点睛】此题考查集合中元素特征的辨析，其中涉及解不等式及相关知识辨析.
三、解答题（共35分）
16. 【答案】（1）
（2）或
【分析】（1）先利用补集运算求出，再利用集合的交集求解即可；
（2）由 ，分类讨论和两种情况，列出不等式组，求解即可．
【小问1详解】
当时，，故或，
又，故
【小问2详解】
当时，，∴，符合题意；
当时，需满足或，解得，
综上所述，的取值范围为或
17. 【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)根据题意，若为真，即即可求解；
(2) 因且为假，或为真，所以、一真一假，分别讨论两种情况即可.
【详解】(1)对于命题，因关于的方程无实数根，
所以，即.
因为真，故，即.
(2) 对于命题，因关于的方程有两个不相等的实数根，
所以，即或.
因且为假，或为真，所以、一真一假，
当真假时， ，即或；
当假真时， ，即.
综上所述：.
18. 【答案】（1）是“减0集”，不是“减1集”
（2）不存在“减2集”，证明见解析
（3）存在“减1集”：
【分析】（1）已知，，，由此即可判断是 “减0集”，同理可判断不是 “减1集”.
（2）假设存在“减2集”，根据“减2集”的性质可以推出矛盾，从而求解.
（3）假设存在“减1集”，根据“减1集”的性质可以一个个判断前面几个正整数是否在“减1集”中，由此即可发现规律.
【小问1详解】
因为，，，
所以是“减0集”，
同理因为，，，
所以不是“减1集”.
【小问2详解】
假设存在“减2集”，
则，那么，
分以下两种情形来讨论：
情形一：当时，有，
注意到，所以中有一个是2，有一个是4，
所以集合中除1以外的最小元素为6，
但是，，
而这与集合是“减2集”矛盾.
情形二：当时，则或，
（因为若为负整数，则，即此时），
若，有，
注意到，所以中有一个是2，有一个是3，
所以集合中除1以外的最小元素为5，
但是，，
而这与集合是“减2集”矛盾；
若，有，
不妨设，，
且此时集合中除1以外的最小元素为，
但是，所以,
而这与集合是“减2集”矛盾.
综上所述：不存在集合是“减2集”.
【小问3详解】
假设存在是“减1集”，.
假设，则中除了元素1以外，必然还含有其他元素.
假设，则，但，因此，
假设，则，且，因此，
因此可以有,
假设，则，但，因此，
假设，则，且，因此，
因此可以有,
依次类推有：.
【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，第二问的关键是利用“减2集”的性质分两种情况和证出矛盾
（至于为什么结果是矛盾的可以首先举出几个特例然后猜想，最后演绎推理），
第三问的关键也是一样的，假设存在然后根据“减1集”的性质即可求解.