北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年上学期高一10月月考数学试卷（含解析）

2023北京人大附中高一10月月考
数 学
一 选择题（每题4分，共10道题）
1. 下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 6
2. 若，则下列不等式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知集合，，若，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
4. 设计如图所示的四个电路图，条件p：“灯泡L亮”；条件q：“开关S闭合”，则p是q的必要不充分条件的电路图是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列命题不正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是“”
C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要不充分条件
6. 若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知集合，，且有个子集，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8.如果正数满足，那么（　　）
A. ，且等号成立时的取值唯一
B. ，且等号成立时的取值唯一
C. ，且等号成立时的取值不唯一
D. ，且等号成立时的取值不唯一
9. “”是“在上恒成立”的（ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 已知集合，集合满足：①每个集合都恰有3个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（ ）
A. 60 B. 63 C. 56 D. 57
二 填空题（每题4分，共5道题）
11. 若a，b同时满足下列两个条件：
①；②．
请写出一组a，b的值____________．
12. 已知集合，则集合的所有子集的个数是________.
13. 设命题：实数满足，其中：命题：实数满足.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________.
14. 下列说法正确的是__________.
①是的充分不必要条件；
②是的必要不充分条件
③是的充分不必要条件；
④是的必要不充分条件
15. 对非空有限数集定义运算“min”：表示集合中的最小元素．现给定两个非空有限数集，，定义集合，我们称为集合，之间的“距离”，记为．现有如下四个命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④对任意有限集合，，，均有．
其中所有真命题的序号为__________．
三 解答题（每题8分，共5道大题）
16. 已知集合，．
（1）当时，求集合；
（2）若，满足：①，②，从①②中任选一个作为条件，求实数的取值范围．
17. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米
（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；
18. 已知命题，集合A为命题为真命题时实数的取值集合. 集合.
（1）求集合A；
（2）若，求实数的值；
（3）若是的充分条件，求实数的取值范围.
19. 已知集合．
（1）设，求的取值范围；
（2）对任意，证明：．
20. 已知关于的不等式的解集为或.
（1）求，的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
参考答案
一 选择题（每题4分，共10道题）
1. 【答案】C
【分析】利用集合相等的概念可判定①，③，④；利用集合之间的包含关系可判定②，⑤，利用元素与集合的关系可判定⑥.
【详解】①正确，集合中元素具有无序性；
②正确，任何集合是自身的子集；
③错误，表示空集，而表示的是含这个元素的集合，所以不成立.
④错误，表示空集，而表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以不成立；
⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；
⑥正确，由元素与集合的关系知，．
故选：C.
2. 【答案】D
【分析】由不等式性质可判断A，C；利用作差法判断B；举反例可判断D，即得答案.
【详解】对于A，，则，正确；
对于B，因为，则，
故，即，B正确；
对于C，因为，则，故，C正确；
对于D，取满足，但，D错误，
故选：D
3. 【答案】B
【分析】化简集合A，再利用并集运算求解
【详解】对于集合，，解得.由于故.
故选：B
4. 【答案】A
【分析】根据各电路的特点，判断两个命题之间的逻辑关系，即可判断出答案.
【详解】对于A，灯泡L亮，可能是闭合，不一定是S闭合，
当S闭合时，必有灯泡L亮，故p是q的必要不充分条件，A正确；
对于B，由于S和L是串联关系，故灯泡L亮，必有S闭合，
S闭合，灯泡L亮，即p是q的充要条件，B错误；
对于C，灯泡L亮，则开关和S必都闭合，
当开关S闭合打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要条件，C错误；
对于D，灯泡L亮，与开关S闭合无关，故p是q的既不充分也不必要条件，D错误，
故选：A
5. 【答案】C
【分析】根据充分不必要条件以及必要不充分条件的概念可判断A，C，D；根据含有一个量词的命题的否定判断B，即可得答案.
【详解】对于A，当时，成立；
当时，适合该式，但推不出，
故“”是“”的充分不必要条件，A正确；
对于B，命题“有些实数的绝对值是正数”为存在量词命题
它的否定是“”，正确；
对于C，当且时，可得到；
取，满足，但推不出且，
故“且”是“”的充分不必要条件，C错误；
对于D，当，时，，推不出；
当时，推出且，
故“”是“”的必要不充分条件，D正确，
故选：C
6. 【答案】B
【分析】由，根据基本不等式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，，
因此，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
7. 【答案】D
【分析】由有个子集可得中元素仅有个，从而得，即可求得的范围.
【详解】解：有个子集，
中的元素个数为个，
，
，即，
或，即实数的取值范围为，
故选：D.
8. 【答案】A
【详解】正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A．
9. 【答案】A
【分析】先由不等式恒成立求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】由在上恒成立，得
在上恒成立，
令，由对勾函数的性质可知在上单调递增，
所以，
所以，
所以“在上恒成立”的充要条件为，
所以“”是“在上恒成立”的充分不必要条件，
故选：A
10. 【答案】A
【分析】由集合中最小值1与最大值9构成集合中两个元素，若使取得最大值，则将，从而依次确定、、，同理求最小值，从而解得．
【详解】集合中最小值为1，最大值为9，
①若使取得最大值，
不妨设，，则，则，2，，
则剩余的数中最小值为3，最大值为8，
令，4，，则，
则，6，，，
则的最大值为，
②若使取得最小值，
则，8，，则，
则剩余的数中最小值为2，最大值为7，
令，6，，则，
则，4，，，则此时的最小值为，
故的最大值与最小值的和为60，
故选：．
二 填空题（每题4分，共5道题）
11. 【答案】或其他任意合理答案
【分析】根据不等式的性质，判断a和b的正负及绝对值的大小即可.
【详解】容易发现，若将①式转化为②式，需使
即与异号，显然应使，
当时，需使，则，可取；
当时，需使，则，可取.
综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.
故答案为：或其他任意合理答案.
12. 【答案】32
【分析】
根据条件求出集合B中的元素即可．
【详解】因为集合，则集合，
所以集合B的所有子集的个数是个，
故答案为：.
13. 【答案】
【分析】设命题相应的集合为，根据是的必要不充分条件可得B A，由此列不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知命题：实数满足，其中，
则，设其对应集合为；
命题：实数满足，设其相应集合为，
因为是的必要不充分条件，故B A，
则且，即，
当时，，满足B A，当时，，满足B A，
故实数的取值范围是，
故答案为：
14. 【答案】①②④
【分析】根据充分不必要条件以及必要不充分条件的概念一一判断各小题，即可得答案.
【详解】对于①，由是R的真子集，故是的充分不必要条件，正确；
对于②，取，满足，但推不出；
当时，必有，故是的必要不充分条件，正确；
对于③，取满足，但推不出，
当时，必有，故是的必要不充分条件，错误；
对于④，取满足，但推不出，
当时，必有，故是的必要不充分条件，正确，
故答案为：①②④
15. 【答案】①③
【分析】
根据题意可得①③正确，通过举反例可得②④错误.
【详解】对于结论①，若，则，中最小的元素相同，故①正确；
对于结论②，取集合，，满足，但，故②错误；
对于结论③，若，则中存在相同的元素，则交集非空，故③正确；
对于结论④，取集合，，，可知，，，
则不成立，故④错误.
故答案为：①③．
三 解答题（每题8分，共5道大题）
16. 【答案】（1）
（2）选①，；选②，
【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案.
（2）选择条件后，根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，求集合，
.
【小问2详解】
若选择条件①，，
当时，，解得，
当时，
由可得或，
解得或，
综上的取值范围是.
若选择条件②，则集合是集合的子集，
当时，，解得，
当时，有，
解得，
综上的取值范围是.
17. 【答案】（1）
（2），最小面积为48平方米
【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，时解出不等式，即可知AN的取值范围.
（2）令，将式子化成对勾函数后求最值.
【小问1详解】
解：设的长为米（）
是矩形
由，得
，解得或
即的取值范围为
【小问2详解】
令，（），则
当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米
18. 【答案】（1）；
（2）；
（3）
【分析】（1）命题为真命题时等价于，求解即可；
（2）结合（1）的结论，由得，即为的根，代入解出，再由求得方程另一个根，检验是否依然成立；
（3）是的充分条件等价于，分别讨论、，其中由韦达定理列不等式组求解
【小问1详解】
命题为真命题时等价于，即，故集合A为；
【小问2详解】
由得，即，解得或，
设的另一根根为，则，即，
当时，，则，不符合题意；
当时，，则，符合题意；
故实数的值为；
【小问3详解】
由是的充分条件得，
i. 当时，即，解得；
ii. 当时，设的根为，则，解得.
故实数的取值范围为
19. 【答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）依题意可得，，再根据二次函数的性质计算可得；
（2）依题意，再结合（1）即可证明.
【小问1详解】
解：若，又，
则，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
故的取值范围为．
【小问2详解】
证明：
，当且仅当时取等号．
20. 【答案】（1），
（2）
【分析】（1）由不等式的解集为或，得到1和是方程的两个实数根求解.
（2）根据，由，利用基本不等式求得最小值即可.
【小问1详解】
解：因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根，且，
所以，解得，
即，.
【小问2详解】
由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
依题意有，即，
得，即，
所以的取值范围为.