(共22张PPT)
27.1图形的相似(3)
人教版 九年级 下册
教材分析
通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维。掌握“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
教学目标
教学目标：1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定
理.
2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计
算.
教学重点:“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判
定方法．
教学难点:运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”
的判定方法解决简单问题．
新知导入
情境引入
想一想：
到目前为止我们学习了几种相似三角形的判定方法？
符号语言：
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
判定方法一：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
判定方法二：三边成比例的两个三角形相似.
符号语言：
∵
∴ △ ABC ∽ △A′B′C′
类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？下面来探究一下！
A
B
C
A′
B′
C′
新知讲解
合作学习
利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，
量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与△A′B′C′ 有何关系？
两个三角形相似
思考1：改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
有同样的结论！
思考2：你能证明这一结论吗？
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
证明：
在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵ A′D=AB，
∴
提炼概念
相似三角形的判定定理（三）：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
归纳总结：
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 ∠B=∠B′，
这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
A
B
C
思考3：
A′
B′
B″
C′
两个三角形两边对应成比例，相等的角一定要是两条对应边的夹角才能证明相似！
典例精讲
例1、根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，
∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
解：∵
∴
又 ∠A′ = ∠A，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
归纳概念
利用三角形两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法：
首先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列 找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似.
课堂练习
必做题
必做题
1.如图，D是△ABC的边AC上一点，那么下面四个命题中错误的是 ( )
D
选做题
3. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=65°，AC = 2 cm，BC = 3 cm，DF =1.2 cm，EF =1.8 cm. 求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：
∵ AC = 2 cm，BC = 3 cm，
DF = 1.2 cm，EF = 1.8 cm，
又 ∵∠C =∠F = 65°，
∴ △DEF ∽△ABC.
∴
综合拓展题
4、如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，
∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：
∵ △ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，
∴ AD =AE，AB = AC，
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，
∴△ABC ∽ △ADE.
A
B
C
D
E
作业布置
必做题
1、如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 ( )
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B
C
D
选做题
知识点拨：当 △ADP ∽△ACB 时，
AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
△ADP 和 △ABC 相似．
2、如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
4 或 9
P
P
综合拓展题
3、 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB=6，BC=4，
AC=5，CD= ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ ，
∴
课堂总结
说一说:
1、本节课我们学习哪个相似三角形的判定方法？
2、需要注意的事项是什么？
本节课你有哪些收获？
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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兼职招聘：
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分课时教学设计
第5课时《 27.2.1 相似三角形的判定（3） 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维。掌握“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
学习者分析 培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力，感受两个三角形全等的两种判定方法SSS和SAS与三角形相似定理的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系． 让学生经历从试验探究到归纳证明的过程，发展学生合理的推理能力．
教学目标 理解并掌握“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似” 的判定定理． 会运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．
教学重点 “两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
教学难点 运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 判定两三角形相似的方法 1.定义法: 对应角相等，对应边的比相等 的两个三角形相似. 2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 相似 . 3. 三边 对应成比例的两个三角形相似. 学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等、对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。 类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和2来判断两个三角形相似呢？ 学生活动1： 通过探究活动理解． 从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情. 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发，联系生活实际初步认识相似图形，让学生经历从试验探究到归纳证明的过程，发展学生合理的推理能力． 进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： 如图，小方格的边长都是1.任意画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A ,=k ，动手计算它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？ 这两个三角形另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？ ∵小方格边长都是1 ∴=k，B′C′=，BC=3 ∴=k ∵ ∴ △ABC ∽△A′B′C′. ∴ ∠B=∠B'，∠C=∠C′. 探究结果： 如果∠A=∠A ,=k 那么△ABC ∽△A′B′C′. 教师提问：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，，∠A＝∠A′. 求证:△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△A′B′C′的边A′B′ (或延长线)上截取A′D=AB, 过点 D 作 DE∥B′C′. ∵ DE∥B′C′ ∴△A′DE∽△A′B′C′. ∴ 又∵ ，A′D=AB ∴ A′E=AC 在△ABC和△A′DE中，A′D=AB，∠A＝∠A′，A′E=AC ∴ △A′DE ≌△ABC ∴ △ABC ∽△A′B′C′. 利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似.简称“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．” 符号语言： ∵, ∠B=∠B′ ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 【想一想】思考：对于△ABC和△A′B′C′，如果，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？ 不会。如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等。 教师归纳：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 学生活动2： 学生相互交流． 理解并掌握“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似” 的判定定理. 活动意图说明： 引导学生建立模型，培养学生学以致用的能力，培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力，感受两个三角形全等的两种判定方法SSS和SAS与三角形相似定理的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 【例】根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm． 解：，=， ∴ 又 ∠A′ = ∠A ∴ △ABC ∽△A′B′C′. 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题． 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，D是△ABC的边AC上一点，那么下面四个命题中错误的是 ( ) A．如果∠ADB＝∠ABC，则△ADB∽△ABC B．如果∠ABD＝∠C，则△ABD∽△ACB C．如果＝，则△ABC∽△ADB D．如果＝，则△ADB∽△ABC 答案：D 选做题： 3. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=65°，AC = 2 cm，BC = 3 cm，DF =1.2 cm，EF =1.8 cm. 求证：△DEF∽△ABC. 证明： ∵ AC = 2 cm，BC = 3 cm， DF = 1.2 cm，EF = 1.8 cm， 又 ∵∠C =∠F = 65°， ∴ △DEF ∽△ABC. 【综合拓展类作业】 4、如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC， ∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 证明： ∵ △ABC 与 △ADE 都是等腰三角形， ∴ AD =AE，AB = AC， 又 ∵∠DAB = ∠CAE， ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC， ∴△ABC ∽ △ADE.
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1、如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC D 选做题： 2.如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. 4或9 【综合拓展类作业】 3、 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB=6，BC=4， AC=5，CD= ，求 AD 的长．
教学反思 三角形相似的判定方法 定理：__________________，且____________的两个三角形相似． 两边对应成比例 夹角相等 注意：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似．
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 九年级下册 第27章
课标要求 1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑艺术上的实例了解黄金分割； 2）通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比； 3）掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 4）了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明； 5）了解相似三角形的性质定理，相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方； 6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小； 7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．
内容分析 中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，全等是一种特殊的相似.本章将在前面对全等形研究的基础上，借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究.本章研究的主要问题是相似图形的定义、性质和判定方法，研究的主要载体是三角形.此外，教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和旋转三种图形的全等变换，本章将介绍一种新的图形变换-位似．
学情分析 本章有很多内容需要让学生用量角器、刻度尺来测量，锻炼学生动手能力，并体会数学知识是从实践中产生出来的，确认数学是有用的。所以教师在课堂要给学生充裕的时间，重视对学生技能的训练与培养． 识图能力的培养:教师在教学中应当引导学生认识基本图形，并使学生会描述基本图形的对应关系，以及在复杂图形中分离出基本图形．
单元目标 （一）教学目标 1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质; 2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律. （二）教学重点、难点 教学重点:1）利用相似三角形的知识解决实际的问题； 2）位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形. 教学难点:把实际问题抽象为相似三角形、位似图形这一数学模型并求解．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： 1.从实际间题引入数学内容，通过对实际问题的分析解决得出结论，认识相似图形的特征与性质，让学生充分感受到数学与现实世界的联系． 2.通过观察、测量、画图、推理等方法让学生探索得出结论，强调发现结论的过程，加强合情推理。3.逐步渗透一些逻辑思维方法，体现数学的理性特征． 4.教材中给学生留下适当的探索空间，也给教师的教学留有一定的余地，有助于学生的思维活动，有助于教师的创造性教学，也有助于教师与学生的合作． 5.强调相似三角形在现实生活中的应用． 6.加强了坐标与现实生活的联系． 7.通过用坐标来研究图形变换的内容，让学生初步体会数形间的关系． 2.本章教学中应注意的问题： 相似图形是现实生活中广泛存在的现象，探索并证明相似图形的一些重要性质，不仅可以使学生更好地认识、描述物体的形状体会、理解图形的相似在刻画现实世界中的作用意义，而且可以通过解决现实世界中的具体问题，提高学生应用数学知识的能力，在判定图形的关系和证明图形性质的过程中，还可以提高学生的逻辑思维和推理能力，因此，本部分知识在中考中非常重要，相似三角形是中考的必考内容，位似图形在全国各地中考题中也经常出现． 3.本章教学建议： 1.在"用坐标来确定位置"中，首先要让学生认识到现实生活中可以利用直角坐标系来确定方位，教学中可以让学生查找城市地图中的某地点(一些地图用字母A、B、C.....和数字1、2、3.....来确定某个地点的位置，方便人们查找)，让学生体会他的实际应用.然后要求学生能根据实际问题和背景建立怡当的坐标系来描述物体的位置． 2.教材中小明通过角度和距离来表述物体的位置，实际上是极坐标方，教材中没有明确，但教学时可以告诉学生，这也是一种用坐标来表示物体位置的方法，这种方法在军事和地理中常常用到，也要求学生掌握． 3.到本章为止，我们己经学过平移、旋转、对称、相似等变换在本节中都可以让学生去体会图形经过这些变换后坐标的变化情况，这样对图形的变换有史深的认识而H初步渗透数形结合的思想.突出了以下三点:(1)图形变换的数学思想方法:(2)探索图形性质的有效工具:(3)合情推理和演绎推理的有机结合． 4.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数27.1.1图形的相似(1) 127.1.227.1图形的相似(2) 127.2.1 (1)27.2.1 相似三角形的判定（1） 127.2.1 (2)27.2.1 相似三角形的判定（2） 127.2.1(3)27.2.1 相似三角形的判定（3） 127.2.1 (4)27.2.1 相似三角形的判定（4） 127.2.227.2.2相似三角形的性质127.2.3 27.2.3 相似三角形应用举例127.3.1（1）27.3.1位似（1）127.3.1（2）27.3.1位似（2）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务27.1图形的相似(1) 1.理解并掌握两个图形相似的概念． 2.学会判断相似图形，在动手操作中认识相似图形． 3.联系生活实际初步认识相似图形，在观察、操作、比较、交流中，探索并发现相似图形的规律． 1.对相似图形概念的理解． 2.正确地运用相似图形的特征解决生活中实际问题．活动一：学生自主探索出相似图形的基本特征． 活动二：观察、操作、比较、交流中，探索并发现相似图形的规律.27.1图形的相似(2) 1.了解比例线段的定义． 2.掌握相似多边形的判定和相似多边形的性质． 3.学会根据相似多边形判定来识别两个多边形是否相似，会运用其性质进行相关的计算． 4.经历相似图形的认识过程，观察相似图形的关系，得到相似多边形对应边成比例，对应角相等的性质． 1.会根据相似多边形判定来识别两个多边形是否相似，会运用其性质进行相关的计算． 2.掌握相似多边形的判定和相似多边形的性质. 活动一：学生思考、交流 ． 活动二：共同探究关于相似多边形的判定． 活动三：探究巩固例题． 27.2.1 相似三角形的判定（1） 1.了解相似三角形的概念； 2.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似； 3.应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题； 经历平行线分线段成比例的认识过程，得到利用平行线法判定三角形相似的方法． 1.掌握相似三角形的概念质． 2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似．活动一：学习关于相似三角形的知识，熟记相似的表示符号． 活动二：回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识． 活动三：探究巩固例题．27.2.1 相似三角形的判定（2） 1.理解并掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法． 2.会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题． 3.经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力. 1.会“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法． 2．运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题． 活动一：学生自己动手、动脑，掌握三边成比例的两个三角形相似的知识. 活动二：完成例题学习巩固知识点．27.2.1 相似三角形的判定（3） 1.理解并掌握“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似” 的判定定理． 2.会运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题． . 1.“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法. 2.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验.活动一：从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情. 活动二：共同探究关于两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的知识. 活动三：完成例题学习巩固知识点．27.2.1 相似三角形的判定（4） 1.理解并掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 2.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理． 3.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法. 2.运用两个三角形相似的判定方法解决简单问题.活动一：学生观察导入中的图片，认真思考问题. 活动二：共同探究关于两角分别相等的两个三角形相似的知识. 活动三：完成例题学习巩固知识点．27.2.2相似三角形的性质1.掌握相似三角形对应高线、中线和角平分线的比与相似比之间的关系． 2.理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质． 3.能够运用相似三角形的性质解决相关问题1.掌握相似三角形的性质． 2.会运用相似三角形的性质解决相关问题．活动一：从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。 活动二：完成例题学习巩固知识点．27.2.3 相似三角形应用举例1.进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题． 2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力． 运用相似三角形解决实际问题． 2.把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，在实际问题中建立数学模型．活动一：回顾相似三角形的内容，起到以旧引新，建立新旧知识间的联的作用． 活动二：完成例题学习巩固知识点．27.3.1位似（1）1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质． 2、掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．1.了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质． 2.利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．活动一：学生观察，认真、积极思考，回答问题． 活动二：学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导．27.3.1位似（2）1.掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，掌握对应点的坐标变化的规律． 2.学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换． 3.学会在平面直角坐标系中画一个图形的位似图形1.会在平面直角坐标系中画一个图形的位似图形． 2.掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．活动一：学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导． 活动二：共同探究在平面直角坐标系中的位似图形坐标变换的规律． 活动三：完成例题学习巩固知识点．
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