2024年长沙市中考数学一轮模拟卷（二）（含解析）

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2024年长沙市中考数学一轮模拟卷（二）
一、单选题
1．下列运动图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．国家卫健委通报：截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗101000万余剂次，建立免疫屏障，我们一起努力！将数字101000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
5．如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V
C．当时， D．当时，
7．温州是盛产瓯柑之乡，某超市将进价为每千克5元的瓯柑按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了减少库存且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售瓯柑的利润为120元，则可列方程为（ 　 ）
A． B．
C． D．
8．若一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则函数y=ax2+bx的图象只可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，边长为6的等边三角形中，是对称轴上一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转60度得到，连接，则在点运的过程中，最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
11．直线与坐标轴组成的三角形的面积是 ．
12．已知一次函数与的图像在y轴上相交于同一点，则 ．
13．函数 的自变量x的取值范围是 ．
14．已知一次函数，如果y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围为 ．
15．一次函数经过点，，则解析式为 ．
16．如图，正方形ABCD的对角线AC．BD交于点O，E在BC上，F为DE的中点，△CEF的周长为18，且CE＝5，则OF＝ ．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简再求值：，其中．
19．如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是，底部C点的俯角是，求教学楼的高度是多少？（结果保留根号）．

20．幸福成都，美在文明！为助力成都争全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：A．宣传单宣传，B．电子屏宣传，C．黑板报宣传，D．志愿者宣传．每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，“D．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为______；
(3)本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
(1)若∠A＝35°，则∠CBE＝ °；
(2)若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面积．
22．受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料公司的利润逐年增高，据统计，该公司2020年的利润为30亿元，2022年的利润为36.3亿元．
(1)求该企业从2020年至2022年利润的年均增长率；
(2)若2023年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2023年的利润能否超过39.9亿元？
23．如图，在菱形中，对角线交于点O，点E，F分别为边上的中点，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求菱形的周长．
24．如图，四边形内接于，对角线交于点E且为直径，延长交于点F，连接，若，请回答下列问题：

(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)设，与四边形的面积之比为h，请求出h关于t的函数关系式．
25．对于以x为自变量的两个函数y与g，令，我们不妨把函数w称之为函数y与g的“辅助函数”例如：以x为白变量的函数与，它们的“辅助函数”为，同时，由于恒成立，所以借助该辅助函数可以证明：不论自变量x取何值，恒成立．
(1)已知以x为白变量的函数与，请求出函数y与g的“辅助函数”，并证明：不论自变量x取何值，恒成立；
(2)已知以x为自变量的函数与，当时，对于x的每一个值，函数y与g的“辅助函数”恒成立，求n的取值范围；
(3)已知以x为自变量的函数与（a、b、c为常数且，），点、、是它们的“辅助函数”w的图象上的三点，且满足，求函数w的图象截x轴得到的线段长度的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】A．不是轴对称图形，不符合题意，
B．是轴对称图形，符合题意，
C．不是轴对称图形，不符合题意，
D．不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为：（其中为整数）．确定n的值，要看把原数变为a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n为非负整数；当原数绝对值<1时，n为负整数．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．掌握科学记数法的表示形式（其中为整数）是解题关键．
3．C
【分析】根据合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
4．A
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由两角互余的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．

【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
5．C
【分析】根据等积法求出点到直线的距离即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
即点到直线的距离为，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形面积计算，点到直线的距离，解题的关键是根据等积法求出．
6．C
【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．
【详解】解：设，将代入可得，故A错误；
∴蓄电池的电压是36V，故B错误；
当时，，该项正确；
当当时，，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
7．B
【分析】当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为（3-x）元，平均每天的销售量为（50+10x）千克，利用超市每天销售瓯柑获得的利润=每千克的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为8-x-5=（3-x）元，
平均每天的销售量为（50+10x）千克，
依题意得：（3-x）（50+10x）=120．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．D
【分析】根据一次函数y=ax+b的图象位置确定a、b的符号，根据a、b的符号确定二次函数y=ax2+bx图象的位置即可得．
【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，
对称轴x=->0，在y轴右边，
∴函数y=ax2+bx的图象只可能是D，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数解析式的系数与图象位置的关系．图象的所有性质都与解析式的系数有着密切关系．
9．D
【分析】要使△ABC的面积S=BC h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，
∵A'D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
sinθ= ，cosθ=，
∴BD=sinθ，OD=cosθ，
∴BC=2BD=2sinθ，
A'D=A'O+OD=1+cosθ，
∴S△A'BC=AD BC= 2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
10．C
【分析】取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解．
【详解】解：取线段的中点，连接，如图所示．
为等边三角形，且为的对称轴，
，，
，
．
在和中，
，
，
．
当时，最短，即最短．
点为的中点，
此时．
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．
11．
【分析】分别令和，可求出与坐标轴的交点，从而可以求解．
【详解】解：当时，；
当时，；
直线与坐标轴的交点分别为：，，
直线与坐标轴所围成的三角形面积：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点围成面积问题，掌握与坐标轴交点坐标求法是解题的关键．
12．
【分析】通过已知的一次函数求出其与y轴交点，得到未知函数经过的点，代入求解出参数即可．
【详解】中代入，
得：，
的图像与y轴交点为，
一次函数与的图像在y轴上相交于同一点，
故也经过点，
代入得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数交点，能够理清楚函数与函数交点，函数与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．
13．
【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
解得．
故答案为．
【点睛】本题主要考查函数的自变量取值范围，掌握二次根式有意义的条件，是解题的关键．
14．/
【分析】利用一次函数中一次项系数正负性与y随自变量x的增大而变化的情况列不等式计算即可．
【详解】y随自变量x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查一次函数的性质，一次函数中一次项系数，y随自变量x的增大而增大；，y随自变量x的增大而减小．熟悉此函数图像性质是解题的关键．
15．
【分析】根据待定系数法求解函数解析式即可．
【详解】解：把，代入得：
，
解得，
所以一次函数解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
16．
【分析】取的中点，连接，根据正方形对角线交点是对角线的中点及F为DE的中点可得是的中位线，是的中位线，在根据正方形的性质得，可得和为直角三角形，根据直角三角形斜边的中线性质利用△CEF的周长为18可求出，再利用勾股定理即可求得，则利用中位线的性质即可求解．
【详解】解：取的中点，连接，
正方形ABCD的对角线AC．BD交于点O，且F为DE的中点，
是的中位线，是的中位线，
又四边形是正方形，
，
和为直角三角形，
，
又△CEF的周长为18，且CE＝5，
，，
，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形中位线性质、直角三角形斜边的中线性质、勾股定理、正方形的性质，解题的关键熟练掌握中位线性质及直角三角形斜边的中线性质．
17．
【分析】原式分别化简，然后再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：
=
=．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．；1
【分析】先把分式化简后，再把的值代入求出分式的值即可．
【详解】原式
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
19．米
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，

由题意得：，米，
在中，，
，即，
解得：米，
在中，，
，即，
解得：米，
米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．(1)50，图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据C项目的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数A、C、D项目的人数即可解决问题；
（2）用乘以 “D.志愿者宣传”的学生所占的比例即可；
（3）列出表格，共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）本次调查的学生共有：（人），
喜欢B．电子屏宣传的人数有：（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：50
（2）“D．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为；
故答案为：；
（3）列表得：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中恰好是甲和乙的有2种，
∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．(1)20；
(2)
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得到∠EBA＝∠A＝35°，计算即可；
（2）根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：∵∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝90°﹣35°＝55°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝35°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣EBA＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20；
（2）解：∵EB＝EA＝3，EC＝1，
∴BC＝ ，AC＝AE＋EC＝4，
∴△ABC的面积＝×AC×BC＝4．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的面积计算，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
22．(1)10%
(2)能
【分析】（1）设年均增长率为x，根据“公司2020年的利润为30亿元，2022年的利润为36.3亿元”列方程求解即可；
（2）根据（1）中的增长率求出2023年的利润，再与39.9亿元比较即可．
【详解】（1）设该公司从2020年至2022年利润的年均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该企业从2020年至2022年利润的年均增长率为10%．
（2）（亿元）
∴该企业2023年的利润能超过39.9亿元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质以及三角形中位线的性质，求证即可；
（2）根据中位线的性质，求得，再根据三角函数求得，勾股定理求得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴；
（2）解：点为中点，
∴，
∴
∵四边形为菱形
∴
在中，
∴，
由勾股定理得：
∴菱形的周长为
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
24．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等得，结合可证明结论；
（2）设，则，，由，可得再证明即可得出结论；
（3）证明得即设的半径为，则证明可得出进一步可得出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
又∵
∴；
（2）由（1）知，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∵设，则，，
由（1），
∴
∴
∵
∴
∴
∴
（3）∵四边形内接于，
∴
又
∴
∵
∴
∵与四边形的面积之比为h，
设四边形的面积为，则
∴
∴
∴
设的半径为，则
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，灵活判定三角形相似是解答本题的关键．
25．(1)见解析
(2)
(3)且
【分析】（1）直接根据辅助函数的定义，可得，即可求解；
（2）直接根据辅助函数的定义，可得辅助函数，再由当时，对于x的每一个值，函数y与g的“辅助函数”恒成立，可得恒成立，即可求解；
（3）直接根据辅助函数的定义，可得辅助函数，再把点、、代入可得，，再由，可得且，不妨令，则，利用根与系数的关系可得函数w与x轴交于，则是方程的两根，从而得到的值，即可求解．
【详解】（1）解：函数与，
∴辅助函数，
∵，
∴恒成立，即恒成立；
（2）解：∵函数与，
∴辅助函数，
∵当时，对于x的每一个值，函数y与g的“辅助函数”恒成立，
∴恒成立，
当时，，
当时，恒成立，
所以；
（3）解：∵函数与，
∴，
将点、、代入解析式得：
，，
∴，
∵，
∴，
解不等式得：且，
不妨令，则，
设函数w与x轴交于，
所以是方程的两根，
∴，，
∴
∵，
∴且，
即且．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，理解新函数的定义，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
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