2024年深圳市中考数学一轮模拟卷（一）（含解析）

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2024年深圳市中考数学一轮模拟卷（一）
一、单选题
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A． B．2 C．0 D．
2．下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为
A．6.5×107 B．6.5×10－6 C．6.5×10－8 D．6.5×10－7
4．下列运算中，正确的是（　　）
A．（ab2）2=a2b4 B．a2+a2=2a4 C．a2 a3=a6 D．a6÷a3=a2
5．在不透明布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球，其中白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数约为（　　）
A．15个 B．20个 C．25个 D．30个
6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）

A．随x的增大而减小
B．
C．当时，
D．关于x，y的方程组的解为
8．通过如下尺规作图，能确定是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇，行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列二元一次方程组为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点A，B，C，D是上的四点，为的直径，，，垂足为，则和和四边形的面积之比为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处．树折断之前有 米．
13．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝ ．
14．如图，是直角三角形，，点，点，双曲线经过点A．将△ABC沿BC方向平移得到，点在反比例函数上，边与边相交于点D，若点D在的三等分点，则 ．

15．如图，中，，若，则 .
三、解答题
16．计算：
17．化简求值：，其中．
18．某校组织学生开展了“2020新冠疫情”相关的手抄报竞赛．对于手抄报的主题，组织者提出了两条指导性建议：
（1）A类“武汉加油”、B类“最美逆行者”、C类“万众一心抗击疫情”、D类“如何预防新型冠状病毒”4个中任选一个；
（2）E类为自拟其它与疫情相关的主题．
评奖之余，为了解学生的选题倾向，发掘出最能引发学生触动的主题素材，组织者随机抽取了部分作品进行了统计，并将统计结果绘制成了如下两幅尚不完整的统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次抽样调查的学生总人数是　 ，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，“C”对应的扇形圆心角的度数是　 　，x＝　 　，y﹣z＝　 　；
（3）本次抽样调查中，“学生手抄报选题”最为广泛的是　 　类．（填字母）
19．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，作DE//BC交AC于点E，连接BE．
（1）求证：四边形DEBC是菱形；
（2）若∠CDE＝2∠EDA，CE＝2，求AD的长；
20．因“抗击疫情”需要，学校决定再次购进一批医用一次性口罩及KN95口罩共1000只，已知1只医用一次性口罩和10只KN95口罩共需113元；3只医用一次性口罩和5只KN95口罩共需64元．问：
（1）一只医用一次性口罩和一只KN95口罩的售价分别是多少元？
（2）参照上次购买获得的需求情况后，校长给出了一条建议：医用一次性口罩的购买量不能多于KN95口罩数量的2倍，请你遵循校长建议给出最省钱的购买方案，并说明理由．
21．数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程（Pappus，约300﹣350）把△AOB三等分的操作如下：
（1）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系； （2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数的图象； （3）以点为圆心，为半径作弧，交函数； （4）分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，； （5）作射线，交于点，得到．
(1)判断四边形的形状，并证明；
(2)证明：、、三点共线；
(3)证明：．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象，经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，过点C，D（﹣3，0）的直线与抛物线的另一交点为E．
（1）请你直接写出：
①抛物线的解析式　 　；
②直线CD的解析式　 　；
③点E的坐标（　 　，　 　）；
（2）如图1，若点P是x轴上一动点，连接PC，PE，则当点P位于何处时，可使得∠CPE＝45°，请你求出此时点P的坐标；
（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，作QH⊥x轴于H，连接QA，QB，当QB平分∠AQH时，请你直接写出此时点Q的坐标．
参考答案：
1．A
【分析】先根据实数的大小比较方法比较各数大小，进而可求解．
【详解】解：根据实数大小的比较方法，得，
∴最小的数是，
故选：A．
【点睛】本题考查实数的大小比较，解答的关键是要熟知比较方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．B
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故答案为D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．A
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则和同底数幂的乘除运算法则分别分析得出答案.
【详解】解：A、（ab2）2=a2b4，故此选项正确；
B、a2+a2=2a2，故此选项错误；
C、a2 a3=a5，故此选项错误；
D、a6÷a3=a3，故此选项错误；
故选A.
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项和同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5．B
【分析】根据频率估计概率问题可直接进行求解．
【详解】∵通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，
∴摸到红色球的概率为0.25，
∵布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球两种，
∴摸到白色球的概率为，
∵有白色球60个，
∴球的总个数为：，
∴红球个数约为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键．
6．A
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出m的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
∵，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
7．B
【分析】结合图象，根据一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息进行判断即可．
【详解】解：A．由图象得随x的增大而减小，故选项正确；
B．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的上方，即，故选项错误；
C．由图象得：当时，，故选项正确；
D．由图象可知，两条直线的交点为，
∴的解为：，故选项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
8．C
【分析】根据线段垂直平分线的作法即可进行判断．
【详解】解：根据线段垂直平分线的作法可知：C选项符合题意，
的垂直平分线交于点D，
∴，
∴是等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
9．B
【分析】利用总价=单价×数量，结合用30钱共买2斗酒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设能买醇酒x斗，行酒y斗．
∵买2斗酒，
∴x+y=2；
∵醇酒1斗，价格50钱；行酒1斗，价格10钱，且共花费30钱，
∴50x+10y=30．
联立两方程组成方程组．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
10．B
【分析】过点作的垂线与的延长线交于点，根据圆内接四边形的性质，得出，再根据圆的基本概念，得出，再根据等边对等角，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据图形的面积，得出，进而得出，再根据比的性质，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作的垂线与的延长线交于点，

∵点A，B，C，D是上的四点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴和和四边形的面积之比为．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆的基本概念、等边对等角、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、比的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理，并正确作出辅助线．
11．．
【分析】直接运用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题关键．
12．8
【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
【详解】解：，，，
树折断之前的高度为8米．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是善于观察题目的信息，利用勾股定理求解．
13．2
【分析】把代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：，
去括号得：，
解得：，
故答案为：2
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
14．
【分析】先求出点A的纵坐标，再利用平行线分线段成比例定理求出的长，进而可求出k的值．
【详解】解：当时，，
∴．
∵点，点，
∴．
∵，
∴，
∴点D在的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行线分线段成比例定理，待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
15．8
【分析】先证明出△AFB∽△AEC，进而证明△AEF∽△ACB，从而得到，再证明AB=2AF，从而进一步求解即可.
【详解】∵，
∴∠AFB=∠AEC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AFB∽△AEC，
∴，即,
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∵，，
∴∠ABF=30°，
∴AF=AB，
∴，
∴,
∴=4=8.
所以答案为8.
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定及性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
16．-2
【分析】由绝对值的意义、特殊角的三角函数、零指数幂、负整数指数幂进行化简，然后合并同类项，即可得到答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
17．，1
【详解】利用分式的混合运算法则进行化简，再将带入即可求解．
解：原式
，
当时，．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18．（1）120；补全条形统计图见解析；（2）72°，30，5；（3）B．
【分析】（1）利用扇形统计图结合条形统计图，进而得出调查的总人数和C，E两组的人数；
（2）根据（1）中所求总人数，进而结合条形统计图可得答案；
（3）利用（2）中所求得出B类所占比例最多，进而得出答案．
【详解】解：（1）调查的学生总人数：30÷25%＝120（人），
120×20%＝24（人），
120﹣30﹣36﹣24﹣18＝12（人），
如图所示：
（2）“C”对应的扇形圆心角的度数是：360°×20%＝72°，
x%＝×100%＝30%，y%＝×100%＝15%，z%＝1﹣30%﹣15%﹣25%﹣20%＝10%，
故x＝30，y﹣z＝10﹣5＝5，
故答案为：72°，30，5；
（3）由（2）中所求，可得出：“学生手抄报选题”最为广泛的是B类．
故答案为：B．
【点睛】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，关键是正确从图中获取信息．
19．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接BD交AC于点G．根据题意结合等腰三角形的“三线合一”性质可得AG⊥BD，且DG=GB，即AG垂直平分BD．根据角平分线性质可得DE=EB，即利用“ASA”易证△BGC≌△BGE，可得CG=EG，即CE、BD互相垂直平分，即可得四边形DEBC是菱形；
（2）由∠CAD=45°可知△GDA是等腰直角三角形，要求AD长，只需求AG长．由CE=2，可得CG=GE=，故只需求AE长即可．由∠CAD=45°，必构等腰直角三角形，故需作EQ⊥AD于点Q．由∠CDE=2∠EDA，∠CDE=2∠GDE，可得∠EDA=∠GDE，则由“AAS”可证△DEG≌△DEQ，可得GE=EQ=，则可得AE=2，AG=+2，则AD=AG=2+2．
【详解】（1）如图，连接BD交AC于点G，
∵AB=AD，AC平分∠DAB，
∴AG⊥BD，且DG=GB．
由AC平分∠DAB，可得∠BAC=∠DAC，
又∵AB=AD，AE=AE，
∴△ADE≌△ABE，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴在和中， ，
∴，
∴，
综上可知线段CE和线段BD互相垂直平分，即四边形DECB是菱形．
（2）作EQ⊥AD于点Q，
∵四边形DECB是菱形，
∴∠CDE=2∠GDE．
∵∠CDE=2∠EDA，
∴∠EDA=∠GDE．
∵在△DEG和△DEQ中，，
∴，
∴，
∵AC平分∠DAB，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴．
∴．
【点睛】本题为四边形综合题，考查角平分线的性质、平行线的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的作出辅助线是解答本题的关键．
20．（1）一只医用一次性口罩的售价为3元，一只KN95口罩的售价为11元；（2）最省钱的购买方案是：购买666只医用一次性口罩，334只KN95口罩．理由见解析．
【分析】（1）设一只医用一次性口罩的售价为x元，一只KN95口罩的售价为y元，然后根据题意列出方程求解即可；
（2）设购买m只医用一次性口罩，则购买（1000﹣m）只KN95口罩，根据题意求出m的取值范围，再根据总价=单价×数量得出关于总价的解析式，即可根据解析式求出最值，从而得出解决方案．
【详解】（1）设一只医用一次性口罩的售价为x元，一只KN95口罩的售价为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：一只医用一次性口罩的售价为3元，一只KN95口罩的售价为11元；
（2）设购买m只医用一次性口罩，则购买（1000﹣m）只KN95口罩，
依题意，得：m≤2（1000﹣m），
解得：m≤666，
设学校再次购进1000只口罩的总费用为w元，
则w＝3m+11（1000﹣m）＝﹣8m+11000．
∵﹣8＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m是整数，
∴m的最大值为666，
∴当m＝666时，w取得最小值，最小值为5672，此时1000﹣m＝334，
答：最省钱的购买方案是：购买666只医用一次性口罩，334只KN95口罩．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用——销售问题，一次函数的实际应用，根据题意得出等量关系是解题关键．
21．(1)四边形是矩形；证明见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）通过矩形的判定可证四边形是矩形；
（2）根据函数的解析式得出直线的解析式，进而解答即可；
（3）由矩形的性质可得，可得，由，可求，可得结论．
【详解】（1）∵轴，轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵轴轴，轴
∴
∴四边形是矩形
（2）设点，点
∴点，点
∴直线的解析式为：
当时，
∴点在直线上
即、、三点共线
（3）∵、、三点共线
∵四边形是矩形
∴
∴
∴
∵轴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明四边形是矩形是解题的关键．
22．（1）①y＝x2﹣4x+3，②y＝x+3，③（5，8）；（2）P1（1，0），P2（9，0）；（3）Q（3+，3+2）．
【分析】（1）①假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将A，B代入，即可求出抛物线的解析式；
②设直线CD的解析式为y＝kx+b，将C，D代入可得直线CD的解析式；
③联立两个解析式可得E点坐标；
（2）过点E作EH⊥x轴于H，由已知可推出CD＝，DE＝，EC＝，△ECP∽△EPD，由此可得PE2，根据勾股定理可得PH，由此即可求出点P的坐标；
（3）延长QH到M，使得HM＝1，连接AM，BM，延长QB交AM于N，设Q（t，t2﹣4t+3），由题意得点Q只能在点B的右侧的抛物线上，则QH＝t2﹣4t+3，BH＝t﹣3，AH＝t﹣1，由此可推出△QHB∽△AHM，据此可得QN⊥AM，当BM＝AB＝2时，QN垂直平分线段AM，此时QB平分∠AQH，根据勾股定理可得t值，即可推出点Q坐标．
【详解】（1）①∵抛物线经过A（1，0），B（3，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得到a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
②设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝x+3；
③由，解得或，
∴E（5，8），
故答案为：y＝x2﹣4x+3，y＝x+3，（5，8）；
（2）如图1中，过点E作EH⊥x轴于H，
∵C（0，3），D（﹣3，0），E（5，8），
∴OC＝OD＝3，EH＝8，
∴∠PDE＝45°，CD＝，DE＝，EC＝，
当∠CPE＝45°时，∵∠PDE＝∠EPC，∠CEP＝∠PED，
∴△ECP∽△EPD，
∴，
∴PE2＝EC ED＝80，
在Rt△EHP中，PH＝＝＝4，
∴把点H向左或向右平移4个单位得到点P，
∴P1（1，0），P2（9，0）；
（3）延长QH到M，使得HM＝1，连接AM，BM，延长QB交AM于N，
设Q（t，t2﹣4t+3），由题意得点Q只能在点B的右侧的抛物线上，则QH＝t2﹣4t+3，BH＝t﹣3，AH＝t﹣1，
∴＝＝t﹣3＝，
∵∠QHB＝∠AHM＝90°，
∴△QHB∽△AHM，
∴∠BQH＝∠HAM，
∵∠BQH+∠QBH＝90°，∠QBH＝∠ABN，
∴∠HAM+∠ABN＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴QN⊥AM，
∴当BM＝AB＝2时，QN垂直平分线段AM，此时QB平分∠AQH，
在Rt△BHM中，BH＝＝＝，
∴t＝3+，
∴Q（3+，3+2）．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了相似三角形的性质和判定，用待定系数法求解析式，掌握知识点是解题关键．
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