2024年长沙市中考数学一轮模拟卷（一）（含解析）

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2024年长沙市中考数学一轮模拟卷（一）
一、单选题
1．下列函数中，一定是一次函数的是　　
A． B． C． D．
2．函数的图像经过点，则k的值为（　　）
A．1 B． C． D．
3．一次函数不经过第二象限，则k的值（　　）
A．+1 B．0 C． D．不存在
4．已知一次函数不经过第三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣2 B．＝1 C．（2﹣）（2+）＝1 D．＝x
6．直线y＝﹣x+1不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量 Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系是( )
A．Q＝0.2t B．Q＝20﹣0.2t
C．t＝0.2Q D．t＝20﹣0．2Q
8．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
9．如图，将一张三角形纸片ABC折叠，使点A落在BC边上，折痕EF//BC，得到△EFG；再继续将纸片沿△BEG的对称轴EM折叠，依照上述做法，再将△CFG折叠，最终得到矩形EMNF，若△ABC中，BC和AG的长分别为4和6，则矩形EMNF的面积为（　　）
A．5 B．6 C．9 D．12
10．一次函数与图象如图：则下列结论①k<0;②a>0;③不等式x+aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．要使代数式有意义，则x应满足的条件是 ．
12．不等式组的解集是 ．
13．若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ．（结果保留）
14．如图，在矩形中，对角线、交于点，已知，，则的长为 ．
15．为了解某校学生对于“社会主义核心价值观”的知晓情况，从该校全体3000名学生中，随机抽取了300名学生进行调查，结果显示有280名学生能熟练背诵，由此，估计该校全体学生中能熟练背诵“社会主义核心价值观”的学生有 名．
16．五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元．
三、解答题
17．计算：﹣2cos30°+（1﹣π）0+|﹣|．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，于点．
(1)尺规作图：作的平分线交于点(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在（1）所作的图形中，求的度数．
20．某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．
身高分组 频数 频率
152≤x＜155 3 0.06
155≤x＜158 7 0.14
158≤x＜161 m 0.28
161≤x＜164 13 n
164≤x＜167 9 0.18
167≤x＜170 3 0.06
170≤x＜173 1 0.02
根据以上统计图表完成下列问题：
（1）统计表中m= ，n= ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）在这次测量中两班男生身高的中位数在： 范围内；
（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
22．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元），
x（元kg）
y（kg）
(1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为________；（不用写自变量的取值范围）
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？
23．已知：如图，是半圆O的直径，C是延长线上的一点，，交CD的延长线于点E，交半圆O于点F，且D为弧的中点．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，，求的长．
24．阅读理解：如果一个角与一条折线相交形成一个封闭图形，那么这条折线在封闭图形上的部分就称为这个角的“组合边”．
例如：图①中∠BAC的两边与直线l相交构成一个封闭图形，直线l在封闭图形上的部分线段ED就称为∠BAC的“组合边”；再例如：图②中∠QPK的“组合边”有3条，分别是线段MN、NG和GH．
解决问题：在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点M在线段AD上且AM=1．射线MP在直线AD的下方，将PM绕着点M逆时针旋转90°得到射线MQ，∠PMQ的两边MP和MQ分别交矩形的边于点E和点F．设∠AMP为β，0≤β≤90°．
(1)如图③，若β=30°，求∠PMQ“组合边”的所有边长和；
(2)当射线MP经过点B时，请判断点F落在矩形ABCD的哪条边上，并说明理由；
(3)若∠PMQ“组合边”的所有边长和为4.5，求AE的值．（直接写出此小题的答案）
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，．
(1)如图（1）求抛物线的解析式．
(2)如图（2）点R在第一象限的抛物线上，连接，，点R的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写自变量t的取值范围）
(3)如图（3）在（2）的条件下，当时，点Q是第四象限抛物线上一点，交于点P，交射线于点N，点F在线段上，作交射线于点M，连结，交于点D，若，的面积为，求点Q的坐标．
参考答案：
1．A
【分析】根据一次函数的定义，逐一分析四个选项，此题得解．
【详解】解：、，
是一次函数，符合题意；
、自变量的次数为，
不是一次函数，不符合题意；
、自变量的次数为2，
不是一次函数，不符合题意；
、当时，函数为常数函数，不是一次函数，不符合题意．
故选．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，牢记一次函数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】将图像上的点代入解析式求解即可．
【详解】一次函数的图像经过点，
，
解得．
故选B．
【点睛】本题考查函数图像的性质，图像上的点的横纵坐标符合解析式方程．将点的坐标代入解析式方程求解参数是解题的关键．
3．D
【分析】根据题意可知经过第一、三象限或第一、三、四象限，据此根据一次函数的性质列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵一次函数不经过第二象限，
∴经过第一、三象限或第一、三、四象限，
∴，
此时不等式组无解
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键．
4．D
【分析】根据一次函数的图象与k、b的关系列不等式组求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
5．D
【分析】根据二次根式的性质一一化简即可；
【详解】解：A．错误．；
B．错误．；
C．错误．；
D．正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次根式的计算，熟练掌握二次根式的加减乘除计算法则是解题的关键．
6．C
【分析】由k＝﹣1＜0，b＝1＞0，即可判断出图象经过的象限．
【详解】解：∵直线y＝﹣x+1中，k＝﹣1＜0，b＝1＞0，
∴直线的图象经过第一，二，四象限．
∴不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象,掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
7．B
【分析】根据“油箱中剩余的油量=原有存油量-流出的油量”结合题中已知条件列式表达即可．
【详解】由题意可得：Q=20-0.2t．
故选B．
【点睛】读懂题意，知道“油箱中剩余的油量=原有存油量-流出的油量”是解答本题的关键．
8．A
【分析】根据菱形的面积公式直接求解即可得．
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为3和4，
∴S菱形=．
故选A．
【点睛】题目主要考查菱形的面积公式，熟练掌握运用这个知识点是解题关键．
9．B
【分析】根据翻转变换的性质得到EM＝FN＝3，MN＝BC＝2，根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】解：由翻折的性质：△AEF≌△GEF，
∴EM＝FN＝AG＝3，
同理：△EBM≌△EGM，△FCN≌△FGN，
∴，，
∴，
∴S矩形EMNF＝MN EM＝3×2＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10．C
【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用两函数图象的位置对③进行判断，联立方程解答即可．
【详解】∵一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限，
∴k<0，所以①正确；
∵一次函数y=x+a的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴a<0，所以②错误；
∵x<3时,一次函数y=kx+b的图象都在函数y=x+a的图象下方，
∴不等式kx+b∵a=y x，b=y kx，
∴a b=3k 3，正确；
故选C
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题关键.
11．
【分析】直接利用二次根式有意义条件和分式有意义求出x的取值范围．
【详解】解：代数式有意义，
可得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义与分式有意义的条件是解题的关键．
12．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：；
所以不等式组的解集为：．
故答案为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．
【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】根据圆锥的侧面积公式：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
14．
【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟知矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
15．2800
【分析】用全校总人数乘以样本中能熟练背诵“社会主义核心价值观”的学生所占的比例求解即可．
【详解】解：（名），
∴估计该校全体学生中能熟练背诵“社会主义核心价值观”的学生有2800名，
故答案为：2800．
【点睛】本题考查用样本估计总体，理解题意，熟练掌握用样本估计总体是解答的关键．
16．25.2
【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可．
【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶
合计费用为：元
第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶
合计费用为：元
故选择第二种更划算，最低费用为25.2元
故答案为：25.2．
【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键．
17．4．
【分析】先计算算术平方根、三角函数值、计算零指数幂和绝对值，再计算乘法，最后计算加减可得．
【详解】解：原式＝3﹣2×+1+
＝3﹣+1+
＝4．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．，
【分析】先进行化简得，再将代入进行计算即可得．
【详解】解：原式=
=
=
=
当时，原式=．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题的关键是掌握分式化简求值．
19．(1)见解析
(2)11°
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图解答即可；
（2）根据三角形内角和定理及角平分线定义求出∠CAE，根据直角三角形的性质求出∠CAD，即可得到的度数．
【详解】（1）如图，AE即为所求；
（2）解：∵∠B=46°，∠C=68°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=33°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=22°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=33°-22°=11°．
【点睛】此题考查了角平分线的作图，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，正确掌握角平分线的作图及直角三角形的性质是解题的关键．
20．(1) 14，0.26．补图见解析；(2) 161≤x＜164．（3）．
【分析】（1）设总人数为x人，则有=0.06，解得x=50，再根据频率公式求出m，n．画出直方图即可；
（2）根据中位数的定义即可判断；
（3）画出树状图即可解决问题；
【详解】解：（1）设总人数为x人，则有=0.06，解得x=50，
∴m=50×0.28=14，n==0.26．
频数分布直方图：
（2）观察表格可知中位数在 161≤x＜164内，
（3）将甲、乙两班的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2树状图如图所示：
所以P（两学生来自同一所班级）=．
考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴ ∠AEF＝90°，
∴ 四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10－4＝6，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得:，
在Rt△ACE中，
由勾股定理得：，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练运用菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键．
22．(1)；
(2)当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元；
(3)当时，日获利w不低于元．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
（3）由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
把和代入得：
解得：，
；
（2）解：由题意得：
∵，对称轴为直线．
∵，
∴当时，w有最大值为元
∴当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元；
（3）解：当元时，
有：，
解得：或，
∵，
∴当时，，
又∵，
∴当时，日获利w不低于元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用；理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）连接，根据D是弧的中点可以得到，根据直径所对的圆周角是直角可以得到，则，因而可以证得，从而证得是半圆O的切线；
（2）先证明，求出的长，再证明，求出的长即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵D为弧的中点，
∴，
又∵AB是半圆O的直径，
∴，又，
∴，
∴，
∴是半圆O的切线；
（2）解：∵切半圆O于点D，
∴，又，
，，
，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论、相似三角形的性质与判定以及切线的判定，判定切线的问题常用的方法是转化成证明垂直问题．
24．(1)∠PMQ“组合边”的所有边长和为3+
(2)点F落在矩形ABCD的CD边上，理由见解析
(3)AE的值为1.5或2
【分析】（1）运用特殊角三角函数值可求出AE和PH的长，即可根据“组合边”的定义求得答案；
（2）假设点F落在矩形ABCD的BC边上，求得AG=5>AD，证明点F落在矩形ABCD的CD边上；
分三种情况讨论：当E、F分别在AB、BC上时，当E、F分别在AB、CD上时，当E、F分别在BC、CD上时，运用相似三角形性质建立方程求解即可；
【详解】（1）解：∵Rt△APE中，β=30°，AM=1，
∴AE=，
∴BE=2-；
作FH⊥AD，
∴Rt△FMH中，∠FMH=60°，FH=2，
∴MH=，
∴AH=BF=1+，
∴∠QPK“组合边”的所有边长和=2-+1+=3+；
（2）解：假设点F落在矩形ABCD的BC边上，
作FG⊥AD，
∵∠A=∠EMF=∠MGF=90°，
∴∠AME+∠AEM=∠AME+∠GMF=90°，
∴∠AEM=∠GMF，
∴，
∴，即，
∴GM=4
∴AG=5>AD，
∴点F落在矩形ABCD的BC边上不符合题意，
∴点F落在矩形ABCD的CD边上；
（3）解：当E、F分别在AB、BC上时，如图，作FH⊥AD，设AE=x，
则BE=2-x，BF=4.5-(2-x)=2.5+x，MH=2.5+x-1=1.5+x，
∵∠A=∠EMF=∠MGF=90°，
∴∠AME+∠AEM=∠AME+∠FMH=90°，
∴∠AEM=∠FMH，
∴，
∴，即，
解得：x=1.5；
当E、F分别在AB、CD上时，如图2-2，设AE=x，
则BE=2-x，CF=4.5-4-(2-x)=-1.5+x，DF=2-(-1.5+x)=3.5-x，
∵∠EMF=∠A=∠D=90°，
∴∠AME+∠AEM=∠AME+∠FMD=90°，
∴∠AEM=∠FMD，
同理：，即，
解得x1=1.5（舍去），x2=2；
即射线MP经过点B；
当E、F分别在BC、CD上时，如图，设DF=y，
作EH⊥AD于点H，
∴∠EHA=∠EHM=∠A=∠B=∠FME=90°，
∴四边形ABEH是矩形，
∴EH=AB=2，
∵∠EMH+∠DMF=∠EMH+∠MEH=90°，
∴∠DPF=∠PEH，
同理：，
∵CF+CE=4.5，DF=y，
∴AH=BE=6-4.5-y=1.5-y，
∴MH=AM-AH=1-（1.5-y）=y-0.5，
∴，解得y=1.5，
BE=1.5-y=0，即射线MP经过点B；
综上所述，AE的值为1.5或2．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形性质，解直角三角形，勾股定理等，综合性强，难度大；理解并运用“组合边”新定义，合理添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想、方程思想、数形结合思想解决问题是解题关键．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，再根据，可得，即有，问题随之得解；
（2）过点R作轴于点H，根据当时，即有，解方程可得，，即有，设，即，，进而有，根据列式即可；
（3）设，为锐角，先求出，即有，再证明接着证明：当时，，再根据，可得，进而可得，得等腰；证明四点共圆，即有，即可证明平分，根据角分线分线段成比例，得，即有，，，，即：，过点M作于点W，过点P作于点S，过点Q作于点L，解，设，即有，，利用，解得，则，可得，在中，设，即有，可得，把代入抛物线解析式中，解方程即可求解．
【详解】（1）当时，，
∴，，
∴，
∴，
把代入中，
得抛物线解析式为；
（2）过点R作轴于点H，
当时，即有，
解得，，
∴，，
∴，
∵R在抛物线上，其位于第一象限，点R的横坐标为t，
∴设，
即，，
∴，
∴；
（3）设，为锐角，
∵，
∴，，，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图：
由上图可知：当时，，
∵，
∴，
在中，
有，
即，
∴，得等腰，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即有四点共圆，
∴，
∴，
即有：，
∴平分，
根据角分线分线段成比例，得，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
即：，
过点M作于点W，过点P作于点S，
过点Q作于点L，
解，设，
∵，，
∴，，
∴，
解得，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，利用勾股定理得，
∴，可得，
在中，设，，
∴，
∴根据Q在第四象限，可得，
把代入抛物线解析式中，
得，
解得，（结合Q在第四象限）
∴．
【点睛】本题是一道二次函数与几何的综合题，属于中考压轴题．本题考查了解直角三角形、二次函数的性质、角分线分线段成比例、圆周角定理等知识．题中已知量较多，构筑合理的辅助线，灵活运用相关知识，是解答本题的关键．
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