19.2 菱形课件（共50张PPT） 华东师大版数学八年级下册

(共50张PPT)
19.2 菱形
1.菱形的性质
华师大版数学八年级下册
第19章 矩形、菱形与正方形
新课导入
回顾复行四边形有哪些特征 矩形与平行四边形比较有哪些特殊的特征
平行四边形
对边平行且相等
对角相等邻角互补
对角线互相平分
矩形
四个角是直角
对角线相等
观察图案，有没有你熟悉的图形
进行新课
做
一
做
将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？
四边形的四条边相等
结论：这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形.
A
B
C
D
C
D
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形是平行四边形.
几何语言：如图， 对于平行四边形ABCD，若AB=BC，则这个平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
作为一种特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊的性质.
对称性 边 角 对角线
平行四边形的一般性质
菱形的特殊性质
中心对称
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称
轴对称
四条边都相等
对角相等
对角线互相平分且垂直
观察所示的菱形，将你的发现填入下表.
菱形有几条对称轴？
对称中心在哪里？
如图，我们发现，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线.
由此，很容易猜想菱形所具有的特殊性质：
菱形的性质定理1: 菱形的四条边都相等.
菱形的性质定理2: 菱形的对角线互相垂直.
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形∴DA=DC(菱形的定义)∵DA=BC，AB=DC.∴AB=BC=DC=DA.
已知：四边形ABCD是菱形，求证：(1)AB=BC=CD=DA. (2)AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和∠ABC.
(2)在△DAC中，∵AO=CO∴DB⊥AC，DB平分∠ADC(三线合一).同理：DB平分∠ABC；AC平分∠DAB和∠DCB.
例1 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形.
A
D
C
B
解 在菱形ABCD中，∵∠B+∠BAD=180°，∠BAD=2∠B，
∴ ∠B=60°
在菱形ABCD中，∵AB=BC(菱形的四条边都相等)，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形.
感受生活
例2 如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=
120°，对角线AC、BD相交于点O.试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长.(结果保留根号)
A
B
C
D
O
解 ∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AB=AD(菱形的四条边都相等)
在△ABO和△ADO中，∵AB=AD,AO=AO,OB=OD，
∴△ABO≌△ADO，
∴∠BAO=∠DAO= ∠BAD=60°
在△ABC中，∵AB=BC，∠BAC=60°，∴△ABC为全等三角形，∴AC=AB=2.
在菱形ABCD中，∵AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，∴△AOB为直角三角形，
∴BO= = =
∴BD=2BO= (cm).
例3 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E.求∠BCD的大小.
A
D
C
B
E
解 ∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=CB=BA(菱形的四条边都相等).
又∵AE垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴AC=AD=DC=CB=BA，
即△ADC与△ABC都为等边三角形，
∴∠ACD=∠ACB=60°.
∴∠BCD=120°.
平行四边形的性质 矩形的性质 菱形的性质
对边相等 对边相等 四边相等
对角相等 四个角都是直角 对角相等
对角线互相平分 对角线互相 平分且相等 两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
S菱形ABCD= AC · BD
随堂练习
1. 一个菱形的周长为8cm，一条对角线长为2 cm.则这个菱形的四个内角的度数为 _________________ .
60°120°60°120°
2.菱形具有而平行四边形不一定具有的特征是（ ）
A.对角线互相平分 B.对边相等且平行
C.对角线平分一组对角 D.对角相等
C
3. 已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是____cm.
4. 菱形ABCD的周长为40cm，两条对角AC∶BD=4：3，那么对角线AC=____cm，BD=____cm.
5
16
12
5. 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，C
D上的点，且BE=DF. 求证：∠AEF=∠AFE.
证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠ECA=∠FCA.
又∵BE=DF，∴EC=FC.
∴△AEC≌△AFC，
∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE.
6. 如图，已知菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC的长为8cm，求菱形的面积.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
解：∵菱形的周长为24cm，
∴AB=6cm，又AC=8cm，∴OA=4cm，
因为AC⊥BD，∴OB= 2 （cm），
∴BD=4 ，
∴菱形ABCD的面积= AC·BD
= ×8×4
=16 （cm2）
19.2 菱形
2.菱形的判定
华师大版数学八年级下册
第19章 矩形、菱形与正方形
复习导入
回顾复习
什么是菱形？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
几何语言：如图， 对于平行四边形ABCD，若AB=BC，则这个平行四边形叫做菱形.
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
A
B
C
D
O
菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点.
1. 菱形的四条边都相等.
2. 菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
进行新课
我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这是菱形的定义.我们可以根据定义来判定一个四边形是否是菱形.除此之外，还能找到其他的判定方法？
思考
对于一般的四边形，如何寻找判定它是不是菱形的方法呢？
由菱形的性质“四条边都相等”，你可能会想到：如果一个四边形的四条边都相等，那么它肯定是一个菱形.
结论成立吗？
试
一
试
如图，作一个四条边都相等的四边形.
1.画两条相等的线段AB、AD；
2.分别以点B和点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点C；
3.连结BC、CD，即得到一个四条边都相等的四边形ABCD.
A
B
C
D
它是一个菱形吗？
菱形的判定定理1 四条边都相等的四边形是菱形.
由此可以得到判定矩形的一种方法：
有三个内角是直角的四边形是矩形.
有三条边相等的四边形是菱形吗？
四条边都相等的四边形是菱形.
例4 如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么图形？并说明理由.
A
B
D
C
E
H
F
G
A
B
D
C
E
H
F
G
分析：四边形EFGH的四条边分别属于矩形四个角上的三角形，如果能够证明这四个三角形全等，那么就可以利用菱形的判定定理1，得出四边形EFGH是菱形.
探索：如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形.转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于90°时，得到的是什么图形？
试
一
试
作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.
1.作2条互相垂直的直线m、n，记交点为点O；
2.以点O为圆心、适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC；
3.以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，在直线n上截取相等的两条线段OB、OD；
4.顺次连结所得的四点，即得一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD，显然它是一个对角线互相垂直的平行四边形.
A
C
D
B
O
它是一个菱形吗？
菱形的判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
这就是判定菱形的另一种方法：
已知：四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，
求证：平行四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，又∵AC⊥BD,
∴AB=BC（线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等）
∴平行四边形ABCD是菱形.（菱形的定义）
思考：若四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则四边形ABCD是不是菱形？
D
C
A
B
A
B
C
D
O
注： 对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形.
例5 如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形.
A
B
D
C
E
F
O
1
2
A
B
D
C
E
F
O
1
2
分析：要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知EF⊥AC，所以只需要证明四边形AFCE是平行四边形，又知EF垂直平分AC，所以只需证明OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC，
∴∠1=∠2.
∵EF平分AC，∴OA=OC.
又∵∠AOE=∠COF=90°，
∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形.)
A
B
D
C
E
F
O
1
2
菱形的判定方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
A
D
C
B
O
随堂练习
1.判断下列说法是否正确：
(1)有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
(2)对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
(3)对角线相等且互相平分的四边形是菱形
(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形
×
×
×
√
2. 平行四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，则平行四边形ABCD____(填“是”或“不是”)菱形.
3. 四边形ABCD是平行四边形，请补充一个条件：________，使它是菱形.
是
AB=BC
4.如图所示，下列条件中能说明四边形ABCD是菱形的有（ ）
①BD⊥AC
②OA=OC，OB=OD，AB=BC
③AC=BD
④AB=BC，AB∥CD
A.① B.①② C.② D.③④
A
B
C
D
O
C
5.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BO平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AE∥BF，∴∠EAC=∠ACB.
又∵AC平分∠BAD，
∴∠ACB=∠BAC=∠EAC,∴AB=BC.
同理：AB=AD，∴AD=BC，而AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
谢谢观看