福建省长汀县重点中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题（含答案）

长汀一中分校2023-2024学年第一学期第三次月考
高一数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．的值为（　　）
A． B． C． D．
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的值域是
C．直线是函数图像的一条对称轴
D．的递减区间是，
7 . 若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．以下四个命题，其中是真命题的有（ ）．
A．命题“”的否定是“”
B．若，则
C．函数且的图象过定点
D.幂函数在上为减函数，则的值为1
10．已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是2 B．的最大值是1
C．的最小值是4 D．的最大值是
11．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（ ）
A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
12．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A．函数不存在跟随区间
B．若为的跟随区间，则
C．二次函数存在“3倍跟随区间”
D．若函数存在跟随区间，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13． ．
14．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
15．已知，则 ．
16．已知函数，．对任意，存在，使得，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合，.
分别求，；
已知集合，若，求实数的取值范围.
18．(12分）（1）化简：.
（2）已知，且在同一象限，求的值.
19．（12分）已知函数（且）.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)求不等式的解集.
20．（12分）某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调研研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数大于等于80时听课效果最佳.
(1)试求的函数关系式；
(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由.
21．（12分）已知函数，
(1)求函数在上的单调递增区间；
(2)求不等式的解集；
(3)若方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
22．（12分）已知函数在上为奇函数，，.
(1)求实数的值；
(2)指出函数的单调性；
(3)设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值.
长汀一中分校2023-2024学年第一学期第三次月考
高一数学参考答案：
单项选择题
1．B 2.A 3．C 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D
二、多项选择题
9．ACD 10．ABD 11．AC 12．BC
三、填空题
13．6 14． 15． 16．
四、解答题：
17．【详解】（1）因为解得，即，-------------------------------1分
而解得，即，---------2分；---3分
所以，-----4分； .--------------------------------5分.
（2）当，即时，此时，符合条件；---------------------------7分
当，即时，，
要使，只需，即.------------------------------------------------------9分
故要使，实数的取值范围是或.--------------------------------------10分
18．（1）0；（2）.
【详解】（1）.----------------------------------------------------6分
（2）∵，且在同一象限，则为第二象限角，
∴，------------------------------------------8分
故.---------------12分
19．（1）要使函数有意义，则，解得 ，即函数的定义域为 .-------------------------------------------------------------------------------------------------3分
（2）是奇函数，理由如下：
由(1)知函数的定义域关于原点对称，------------------------------------------------------4分
，
即函数是奇函数。------------------------------------------------------------------------------7分
（3）若，则，即，
若，则 ， 解得；------------------------------------------------9分
若，则 ，解得--------------------------------------------11分
即当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为------------------------------------------------------------12分
20．
【详解】（1）当，时，设，
将点代入得，
当，时，；------------------------------------------------2分
当，时，将点代入，得，------------------------4分
所以；------------------------------------------------------6分
（2）当，时，，
解得，所以，，-----------------------------------------8分
当，时，，
解得，所以，，-----------------------------------------------------------------10分
综上，时学生听课效果最佳，
此时，
所以，教师能够合理安排时间讲完题目．-------------------------------------------------------12分
21．【详解】（1）由，则，
令或，
解得或，
所以函数在上的单调递增区间为和.-------------------------4分
（2）由，即，
所以，所以，，---------------------5分
解得，，-------------------------------------------------------------7分
所以不等式的解集为.--------------------------------------------8分
（3）由，则，-----------------------------------------------------9分
所以，--------10分；故------------------------11分
因为方程在上有两个不同的实数解，
所以与在上有两个不同的交点，
所以，即实数的取值范围为.---------------------------------------------12分
22．【详解】（1）因为函数在上为奇函数，所以恒成立，
即恒成立，
所以，又，所以；---------------------------------------------------------3分
（2）由（1）知
因为在是减函数，又，
所以在上为减函数；------------------------------------------6分
（3）因为对任意都有,
所以对任意都有，---------------7分
由在上为减函数；
所以对任意都有，
所以对任意都有，
因为，-----------------------------------------------------------8分
所以即，解得----------------------------------------------9分
因为，
令，则，
令，它的对称轴为，
当，即时，在上是增函数，
，
解得舍去，--------------------------------------------------------------------10分
当即时，
此时，
解得，所以.----------------------------------------------------------------------12分