2022-2023学年陕西省西安市蓝田县九年级（下）期末数学定位试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市蓝田县九年级（下）期末数学定位试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程的解为( )
A. B. ，
C. D.
2.一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是( )
A. 主视图与俯视图相同
B. 主视图与左视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三个视图完全相同
3.已知反比例函数，下列各点中，在此函数图象上的点的是( )
A. B. C. D.
4.一只苍蝇飞到如图所示的一面墙上，最终停在白色区域上的概率是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在中，、分别是、上的点，且，如果，，若的面积为，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，中，，点在上，若，，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
7.两张全等的矩形纸片、按如图方式交叉叠放在一起．若，，则图中重叠阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线下列结论：
；
；
；
为实数．
其中结论正确的为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.若，则的值为______．
10.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
11.已知，在二次函数的图象上，比较 ______ 填、或
12.如图，在四边形中，，平分若，，则 ．
13.已知正方形的边长为，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
14.计算：．
四、解答题：本题共12小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二次函数，当时，函数的最小值为，它的图象经过点，求这个二次函数的表达式．
16.本小题分
小强在地面处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，此时米，米．已知眼睛距离地面的高度米，请计算出教学楼的高度．根据光的反射定律，反射角等于入射角
17.本小题分
如图，平行四边形的对角线，相交于点，是等边三角形求证：平行四边形是矩形．
18.本小题分
如图要测量古塔的高度，在塔前平地上点、处观测塔尖，仰角分别为和，、之间的距离为，求古塔的高度结果取整数参考数据：，，
19.本小题分
如图，点是的边上一点，．
求证：∽；
当，时，求的长．
20.本小题分
某超市销售一种矿泉水，进价为每箱元，现在的售价为每箱元，每月可销售箱．经市场调查发现：若这种矿泉水的售价每降价元，则每月的销量将增加箱．如果该超市想要每月销售这种矿泉水的利润为元，那么每箱矿泉水需要降价多少元？
21.本小题分
有三把不同的钥匙，，和两把不同的锁，，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁．
随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率是______ ；
随机取出一把钥匙开任意一把锁，请利用画树状图或列表的方法，求一次打开锁的概率．
22.本小题分
如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影高为米，求旗杆的高度．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为．
求一次函数与反比例函数的解析式；
若点是轴上一点，且，求点坐标．
24.本小题分
如图，已知中，是的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接、．
求证：四边形是菱形；
若，，，求的长．
25.本小题分
如图，抛物线经过、两点，点是线段上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点．
求抛物线的解析式；
求线段的最大值．
26.本小题分
如图，在矩形中，，点，分别在边，上均不与端点重合，且，以和为邻边作矩形，连接，．
【问题发现】
如图，当时，与的数量关系为______，与的数量关系为______．
【类比探究】
如图，当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图说明理由．
【拓展延伸】
在的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则，
解得：，．
故选：．
利用直接开平方法解方程得出答案．
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，
所以主视图与左视图相同，
故选：．
根据圆锥的三视图进行判定即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的关键．
3.【答案】
【解析】解：反比例函数中，，
只需把各点横纵坐标相乘，结果为的点在函数图象上，
四个选项中只有选项符合．
故选：．
只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是的，就在此函数图象上．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
4.【答案】
【解析】解：设每小格的面积为，
整个方砖的面积为，
黑色区域的面积为，
白色区域的面积为，
最终停在白色区域上的概率为：．
故选：．
设每小格的面积为，易得整个方砖的面积为，黑色色区域的面积，则白色区域的面积为，然后根据概率的定义计算即可．
本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积，再计算出其中某个区域的几何图形的面积，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率．
5.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
，，，
，
，
，
故选：．
先判断∽，再根据相似三角形的面积之比相似比的平方即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，注意：相似三角形的面积之比相似比的平方．
6.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
故选：．
在中，由锐角三角函数求得，再由勾股定理求得，证明∽，求得．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的应用，解决本题的关键是得到∽．
7.【答案】
【解析】解：设交于，交于，如图所示：
四边形、四边形是全等的矩形，
，，，，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
≌，
，
四边形是菱形，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
菱形的面积，
即图中重叠阴影部分的面积为，
故选：．
先证四边形是平行四边形，再证≌，得，则四边形是菱形，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程得出的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，故正确．
时，，故不正确．
，
且，，
，故不正确．
时，为最小值，
，故正确．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断，由与的关系及时可判断，利用，根据时，时可判断，由时取最小值可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
9.【答案】
【解析】解：
．
故答案为．
；因为，直接代入计算．
解答本题不仅要会通分，还要将当做一个整体看待．
10.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
11.【答案】
【解析】解：由抛物线可知对称轴，
抛物线开口向上，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
．
故答案为：．
先得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，根据题意作辅助线构造直角三角形，应用解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
过点作，垂足为，如图，由已知，可得，由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，则可得，根据矩形的性质可得，即可得，在中，根据勾股定理，在中，根据勾股定理可得，根据正弦三角函数的定义进行求解即可得出答案．
【解答】
解：过点作，垂足为，如图，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，
，，
在和中，
≌，
，
，
，
，
点为的中点，
，
、，
，
，
故答案为：．
根据正方形的四条边都相等可得，每一个角都是直角可得，然后利用“边角边”证明≌得，进一步得，从而知，利用勾股定理求出的长即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
14.【答案】解：原式
．
【解析】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂、二次根式的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键．
利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质及特殊角的三角函数值分别化简各数，再合并即可．
15.【答案】解：依题意，可得二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，
它的图象经过点，
代入上式得，
解得．
故该二次函数的解析式为：．
【解析】设抛物线顶点式，然后将代入解析式求解．
本题考查求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的三种解析式．
16.【答案】解：根据题意得，，
∽，
，
即，
解得：米．
答：教学楼的高度为米．
【解析】根据反射角等于入射角可得，则可判断∽，根据相似三角形的性质得，即可求出．
本题考查了相似三角形的应用，利用入射与反射构造相似三角形是解决问题的关键．
17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形
，
，
，
平行四边形为矩形．
【解析】由平行四边形的性质得，，再由是等边三角形得出则，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及菱形的性质，熟练掌握平行四边形的在和菱形的性质，证明是解题的关键．
18.【答案】解：根据题意可知：，，，
在中，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，
，，
，
解得，
答：该古塔的高度约为米．
【解析】先根据题意得出、的度数及的长，再在中可得出，利用锐角三角函数的定义可得出的长．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，涉及到等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．
19.【答案】解：证明：，，
∽；
∽，
，即，
．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质．
利用，加上，则根据相似三角形的判定方法可得到结论；
由于∽，则利用相似比可求出的长．
20.【答案】解：设每箱矿泉水需要降价元，则每箱的利润为元，每月的销量为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每箱矿泉水需要降价元．
【解析】设每箱矿泉水需要降价元，则每箱的利润为元，每月的销量为，根据总利润每箱的利润每月的销量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：有三把不同的钥匙，，，
随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率．
故答案为．
如解图，树状图如下：
共有种等可能的结果，一次打开锁的结果有种，
一次打开锁的概率．
根据概率公式直接求解即可；
画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式即可求解．
本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：过作于，
，，
，
四边形为矩形，
，，
设，
，
解得：，
旗杆的高米．
【解析】过作于，首先证明四边形为矩形，可得，，设，则，求出即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：将点代入，得，
反比例函数的解析式为，
点的横坐标为，
将代入，得，
．
将，代入，
得，
解得，
一次函数的解析式为；
由可知，
，
，
或．
【解析】把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
根据求得，进而即可求得的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式．
24.【答案】解：证明：如图，
在中，点是的中点，
，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，点是的中点，即垂直平分，
，
平行四边形是菱形．
如图，过点作于点，
由知四边形是菱形，又，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【解析】由题意可得≌，则，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形是平行四边形；又垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，根据“有一组临边相等的平行四边形是菱形”可得结论；
过点作于点，根据题意可得，，则，．
本题主要考查菱形的性质与判定，含角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据，等特殊角作出正确的垂线是解题关键．
25.【答案】解：把、代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
解：设，设直线的解析式为，
代入点、，得，
解得，
直线的解析式为，
轴，
，
，
当时，取得最大值为．
【解析】利用待定系数求函数解析式即可；
设，利用待定系数法求直线的解析式为，由轴，可得，从而可得，即可求解．
本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数最值，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：，，
理由如下：
当，则，，
，
，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
故答案为：，；
与之间的数量关系发生变化，，
理由如下：如图在矩形和矩形中，
当，，
，，
，
如图连接，
矩形绕点顺时针旋转，
，
∽，
，
；
如图，当点在线段上时，
，，
，
，
，，
，
，
；
如图，当点在线段上时，
同理可求，
；
综上所述：线段的长为或．
由线段的和差关系可得，由正方形的性质可得；
通过证明∽，可得，即可求解；
分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
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