洛阳市2022——2023学年高二质量检测
数学试卷（理）
本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．
2．考试结束，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的定义即可求解.
【详解】由，所以，
所以，
故选：C
2. 已知随机变量，若，则（ ）
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】由可知正态分布曲线的对称轴为,故由对称性可知，
因此,
故选：B
3. 已知两条直线：，：，若，则（ ）
A. -1或0或3 B. -1或3 C. 0或3 D. -1或0
【答案】D
【解析】
【分析】由可得解得或或，代入检验即可得出答案.
【详解】：，：，
若，则，即
，解得：或或，
当时，：，：，则；
当时，：，：，则；
当时，：，：，则与重合，舍去；
故选：D.
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列，根据即可求出.
【详解】解：设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列，
所以，由题可得，解得，
所以，塔的顶层的灯数是3.
故选：A.
5. 已知随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.3 0.4
则（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由均值和方差的公式求出，再由方差的性质求解即可.
【详解】，
，
所以.
故选：C.
6. 已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点差法以及两点斜率公式可得，即可求解.
【详解】设,则，相减得，
由于,所以，
所以,将其代入中可得，
所以 ,故,
故选：C
7. 曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求导，再利用导数的几何意义求解.
【详解】解：因为，
所以，
则，
所以曲线在点处的切线方程是，
即，
故选：A
8. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.5；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.9．请问王同学第2天去A餐厅用餐的概率是（ ）
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.45
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合全概率公式可求得结果.
【详解】记事件表示“第1 天去餐厅用餐”，事件表示“第1天去餐厅用餐”，事件表示“第2 天去餐厅用餐”，
由题意得，,
所以由全概率公式得王同学第2天去A餐厅用餐的概率为
故选：B
9. 已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由的最小值为的最小值求解.
【详解】解：圆：与圆：的圆心分别为：，
由题意得的最小值为的最小值，
设关于直线的对称点为，
则，解得，则，
如图所示：
当三点共线时，取得最小值，
最小值为，
所以的最小值为，
故选：B
10. 平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为（ ）
A. 14 B. 48 C. 91 D. 420
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中条件，从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，由分步乘法计数原理，即可得出结果.
【详解】因为平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，且这两组平行线相交，
因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，
所以构成不同的平行四边形个数为.
故选：D.
11. 如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用切线长定理求得双曲线的半实轴长，再由，求得双曲线的半焦距长，进而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】设内切圆与切于点，
与切于点，
则，，，
又由，
，
，
，
又，
则，，
又，，
所以，
所以此双曲线的渐近线方程为.
故选：A
12. 已知是定义在R上的函数的导函数，对于任意的实数x，都有，当时，．若，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，根据，可得，即为偶函数，再根据当时，，利用导数判断函数在上得单调性，再根据，即，即，再根据函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
令，则，
所以为偶函数，
当时，，
所以，
所以函数在上单调递增，
根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，
因为，
所以，
所以，即，即，
即，则，
解得.故数a的取值范围为：
故选：B.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 将5名大学生分配到4个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有__________种（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】先将5名大学生分成4组，再将4组分派到4个乡镇，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，先将5名大学生分成4组，共有种不同的分法，
再将4组分派到4个乡镇当村干部，有种分派方式，
结合分步计数原理，共有不同的分配方案.
故答案为：.
14. 投掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，记在30次试验中成功的次数为X，则______．
【答案】10
【解析】
【分析】由随机变量X服从于二项分布，利用期望公式求解.
【详解】由题意,成功概率，，所以.
故答案为：10.
15. 已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为______．
【答案】15
【解析】
【分析】应用等差数列定义得出等差数列,根据差数列通项公式及求和公式求解计算即得.
【详解】因为，所以，
即，且，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
可求得，
所以，即且单调递增,.
则n的最大值为15.
故答案为:15.
16. 在正方体中，点P满足，其中，，现有如下四个命题：
①存在，，使得平面；
②当时，平面；
③当时，与平面所成角的最小值为 ；
④若点P到直线与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹是线段．
其中所有真命题的序号是______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，由法向量与直线的关系即可判断①②，由线面角的几何法即可求解③，由抛物线的定义即可判断④.
【详解】以，，所在直线分别为，，轴，建系如图，
不妨设正方体的棱长为1，则根据题意可得：
，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，
，,
，,
设平面的法向量为，则，
取 则，所以法向量为，
对于①, ，若平面，则，
所以，得 ，故存在，，使得平面，故①正确，
对于②，当时，，故平面；②正确，
对于③，当时，此时点在线段上运动，由于平面 平面,
所以与平面所成角即为与平面所成角，
由于平面，所以即为与平面所成角，
由于,
故当在线段端点处，此时 最大为1，此时最小，
所以的最小值为1，此时；故③正确，
对于④，由于 ,故点P到直线距离为长度，
所以与点P到直线AD的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．故④错误，
故答案为：①②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项．
【答案】（1）7 （2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件表示展开式第2项、第3项、第4项的二项式系数，再运用等差数列的相关性质求解即可；
（2）写出展开式后代入求解即可.
【小问1详解】
在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为，
因为的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，
所以，即，
化简得：，因为，所以，
解得或
时，展开式只有3项，不符合题意；
所以.
【小问2详解】
由（1）知，通项公式为，
令，得，则.
所以展开式中含的项为.
18. 已知是等比数列，前n项和为，且.
（Ⅰ）求通项公式；
（Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由，解得，分别代入，得，；（Ⅱ）先根据等差中项得，再利用分组求和法求和：.
试题解析：（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以.
（Ⅱ）解：由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列.
设数列的前项和为，则.
【考点】等差数列、等比数列及其前项和公式
【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：
（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
（2）通项公式为的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，且直线PB与CD所成角的大小为．
（1）求BC的长；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系．由已知求得，，，的坐标，再由直线与所成角大小为列式求得值，则的坐标可求，即可求得的长；
（2）分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
【小问1详解】
由于平面ABCD，，所以两两垂直，故分别以,,所在直线为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系．
，,0,，,0,，,1,，,0,．
设,,，则,0,，,,．
直线与所成角大小为，
，
即，解得或（舍，
,2,，则的长为2；
【小问2详解】
设平面的一个法向量为,,．
,0,，,1,，,
，令，则，，,1,．
平面的一个法向量为，
，令，则，，,
，
由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为．
20. 已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据几何关系得到，结合椭圆定义即可求解方程；
（2）设并联立方程组，进而易得点坐标，根据点在椭圆上代入方程即可求解.
【小问1详解】
圆S：，即，
由题意得，，，是的中垂线，所以，
所以，
所以点G的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，焦距为，
则，得，所以曲线C的方程为.
【小问2详解】
由题意知，直线l的斜率不为0，设，，，设与交于点.
联立，得，
当时，，则，
所以，
因为是中点，所以，
因为在曲线C：上，
所以，
化简得，，
得或（舍），所以，
所以直线l的方程为，
即或.
21. 第40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一．其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取7家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：
体验店 A B C D E F G
广告支出/万元 3 4 6 8 11 15 16
销售额/万元 6 10 15 17 23 38 45
对进入G体验店的400名游客进行统计得知，其中女性游客有280人，女性游客中体验汉服的有180人，男性游客中没有体验汉服的有80人．
（1）请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为体验汉服与性别有关联；
性别 是否体验汉服 合计
体验汉服 没有体验汉服
女 180 280
男 80
合计 400
（2）设广告支出为变量x（万元），销售额为变量y（万元），根据统计数据计算相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；
（3）建立y关于x的经验回归方程，并预测广告支出为18万元时的销售额（精确到0.1）．
附：参考数据及公式：，，，，，，
相关系数，
在线性回归方程中中，，．
，．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）见解析 （2）与有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合，说明答案见解析；
（3），并预测广告支出为18万元时的销售额为万元．
【解析】
【分析】（1）根据题设条件可得列联表，根据公式计算可认为体验汉服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过.
（2）由题中数据及公式计算相关系数，即可作出判断；
（3）由题中数据及（1）中结果计算出，即可得出关于的回归方程，再把代入即可求解．
【小问1详解】
根据题意，列联表完成如下：
性别 是否体验汉服 合计
体验汉服 没有体验汉服
女 180 100 280
男 40 80 120
合计 220 180 400
假设为：性别与体验汉服之间无关联.
根据列联表数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立.
即认为体验汉服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过.
【小问2详解】
由数据可知，
因为，
，
，因为，
所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系.
【小问3详解】
由数据及公式可得：，
，
故关于的经验回归方程为，
当万元时，销售额预计为万元.
22. 已知函数（a为常数）．
（1）若函数是增函数，求a的取值范围；
（2）设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）转化为对任意恒成立，由基本不等式求出最值，得到答案；
（2）根据函数有两个不相等的极值点得到，故，变形得到函数，求导得到其单调性，得到的值域为，得到答案.
【小问1详解】
的定义域为，
，
若函数为增函数，则在上恒成立，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，解得，
故a的取值范围是；
【小问2详解】
若在定义域内有两个极值点，则是方程，即的两个不相等的实数根，
从而得到，即，
又，故，
，
令，则，
，
所以在上单调递增，
所以，即的值域为，
所以的范围是.
【点睛】分离参数法基本步骤为：
第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.洛阳市2022——2023学年高二质量检测
数学试卷（理）
本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．
2．考试结束，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D. -1
2. 已知随机变量，若，则（ ）
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
3. 已知两条直线：，：，若，则（ ）
A. -1或0或3 B. -1或3 C. 0或3 D. -1或0
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 已知随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.3 0.4
则（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 9
6. 已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（ ）
A. B. C. D.
7. 曲线在点处切线方程是（ ）
A. B. C. D.
8. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.5；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.9．请问王同学第2天去A餐厅用餐的概率是（ ）
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.45
9. 已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
10. 平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为（ ）
A. 14 B. 48 C. 91 D. 420
11. 如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知是定义在R上的函数的导函数，对于任意的实数x，都有，当时，．若，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 将5名大学生分配到4个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有__________种（用数字作答）．
14. 投掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，记在30次试验中成功的次数为X，则______．
15. 已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为______．
16. 在正方体中，点P满足，其中，，现有如下四个命题：
①存在，，使得平面；
②当时，平面；
③当时，与平面所成角最小值为 ；
④若点P到直线与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹是线段．
其中所有真命题的序号是______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项．
18. 已知是等比数列，前n项和为，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若对任意是和的等差中项，求数列的前2n项和.
19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，且直线PB与CD所成角的大小为．
（1）求BC的长；
（2）求二面角的余弦值．
20. 已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．
21. 第40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一．其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取7家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：
体验店 A B C D E F G
广告支出/万元 3 4 6 8 11 15 16
销售额/万元 6 10 15 17 23 38 45
对进入G体验店的400名游客进行统计得知，其中女性游客有280人，女性游客中体验汉服的有180人，男性游客中没有体验汉服的有80人．
（1）请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为体验汉服与性别有关联；
性别 是否体验汉服 合计
体验汉服 没有体验汉服
女 180 280
男 80
合计 400
（2）设广告支出为变量x（万元），销售额为变量y（万元），根据统计数据计算相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；
（3）建立y关于x经验回归方程，并预测广告支出为18万元时的销售额（精确到0.1）．
附：参考数据及公式：，，，，，，
相关系数，
在线性回归方程中中，，．
，．
0.05 0.01 0.001
3841 6.635 10.828
22. 已知函数（a为常数）．
（1）若函数是增函数，求a的取值范围；
