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专题05 复数
【题型一】复数的概念
【典例分析】
已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，则实数m的值为（ ）
A．4 B．-1
C．-1或4 D．-1或6
【答案】B
【分析】
根据已知得，从而有，再利用复数相等可得方程组，即可得到答案；
由于,故,必有,所以即得.故选：B
【提分秘籍】 基本规律 复数 1.定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. 2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． 复数集 1.定义：全体复数所构成的集合叫做复数集． 2.表示：通常用大写字母C表示．
【变式训练】
1.的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意列出方程，利用倍角公式转化，求解即可.
由题意得：,，解得：或,,
或或.故选：B.
2.已知复数，复数的实部等于的虚部，的虚部等于的实部，求复数.
【答案】
【分析】
由复数，写出实部，虚部，即可得复数.
由复数，实部为，虚部为，设复数，所以 所以.
3.实数取什么值时，复数是
（1）实数；
（2）纯虚数.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
依据复数的概念分别列等式求解即可.
解：（1）当复数是实数时，只需，即或；
（2）当复数是纯虚数时，，解得：.
【题型二】复数的分类
【典例分析】
复数的知识结构图如图所示，其中四个方格中的内容分别为（ ）
A．实数.纯虚数 无理数 有理数
B．实数 虚数 负实数 正实数
C．实数 虚数 无理数 有理数
D．实数 虚数 有理数 无理数
【答案】C
【分析】
由复数与实数 有理数 无理数的包含关系即可求解.
由复数与实数 有理数 无理数的包含关系知正确.
故选：.
【提分秘籍】 基本规律 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【变式训练】
1.如果则实数m的值为________．
【答案】2
【分析】
根据复数的性质，列出方程，即可得答案.
由题意得，解得．故答案为：2
2.下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据范围的大小关系得到答案.
根据范围的大小关系得到：.
故选：C.
3.判断正误．
（1）若a，b为实数，则为虚数．( )
（2）复数是纯虚数．( )
（3）若a为实数，则一定不是虚数．( )
【答案】 × × √
（1）当时，不是虚数，故错误
（2）当时，不是纯虚数，故错误
（3）若a为实数，则是实数，故正确
【题型三】复数与点的关系
【典例分析】
复数在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意，表示出复数在复平面上对应的点的坐标，分别讨论横纵坐标的取值范围，即可得到正确选项.
【详解】根据题意可知，复数的实部，虚部.
当时，，，故点可能在一、四象限；
当时，，，故点在第三象限.
综上，复数在复平面上对应的点不可能位于第二象限.
故选：B.
【提分秘籍】 基本规律 复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
【变式训练】
1.若m为实数，则复数在复平面内所对应的点可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABD
【分析】由复数的实部、虚部之和大于0，可排除C，再应用特殊值法：令、、判断复数对应点可能出现在哪个象限.
【详解】若m为实数，则的实部为，虚部为．
∵实部与虚部相加为，
∴该复数在复平面内对应的点的横、纵坐标不可能都为负，即该复数在复平面内对应的点不可能位于第三象限，排除C；
取，则，∴该复数在复平面内对应的点在第二象限，可选B；
取，则，∴该复数在复平面内对应的点在第一象限，可选A；
取，则，
∴该复数在复平面内对应的点在第四象限，可选D．
故选：ABD．
2.已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
根据三角函数的诱导公式，求得复数，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由
即复数，
所以复数对应的点为位于第二象限.故选：B
【题型四】复数与向量的关系
【典例分析】
已知复数所对应的向量为，把依逆时针旋转得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是________．
【答案】
【分析】确定复数对应点在第一象限，旋转后在轴的正半轴上，计算复数模得到答案.
【详解】，对应的点为在第一象限，
逆时针旋转最小正角时，对应的点在轴的正半轴上，，故纯虚数为.
故答案为：.
【提分秘籍】 基本规律 复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
【变式训练】
1.复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转，所得点对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出复数在复平面对应的点，写出点的坐标，求出旋转后复数对应的点的坐标，利用复数的几何意义即可得解.
【详解】复数在复平面内对应的点为，因为，则，
将点绕着原点逆时针旋转，得到的点与点关于轴对称，即点，
因此，所求复数为.故选：C.
2.在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是_____.
【答案】
【分析】根据复数的几何意义写出点的坐标，求出旋转后对应点的坐标，得其对应复数．
【详解】复数对应的点，如图，绕原点按逆时针方向旋转到位置，，，∴，，即，点对应复数为．
故答案为：．
【题型五】复数的模计算
【典例分析】
设复数满足，则的虚部为( )
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】设复数，结合已知条件，利用复数相等求出即可．
【详解】设复数，，，由，得，
即，解得，，故的虚部为1故选：D．
【提分秘籍】 基本规律 1．向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． 2．复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|.|z|＝|a＋bi|＝.
【变式训练】
1.在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，点C与点D关于虚轴对称，若圆M经过A，B，C，D四点，则圆M的半径为_________．
【答案】
【分析】根据题意依次求出点A，B，C，D的坐标，进而根据复数的几何意义即可求出结果.
【详解】因为向量所对应的复数为，所以，
又向量所对应的复数为，所以，
因为点C所对应的复数为，所以,
又因为点C与点D关于虚轴对称，所以，
设所对应的复数为，
则，故点A，B，C，D四点在以为圆心，为半径的圆上，即圆M，故圆M的半径为.故答案为：.
2.已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．复数在复平面内对应的点在第一象限
C． D．
【答案】C
【分析】因为为纯虚数，所以，可求出，进而可得，判断各个选项即可．
【详解】对于A，因为为纯虚数，所以，所以，故A错误；
对于B，当时，，复数在复平面内对应的点在第二象限，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D错误．
故选：C．
【题型六】复数加减法几何意义
【典例分析】
设及分别与复数及复数对应，计算，并在复平面内作出．
【答案】，作图见解析.
根据复数几何意义以及复数加法直接计算，并作图.
【详解】．如图所示：
【提分秘籍】 基本规律 如图，设复数z1，z2对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．
【变式训练】
1.设复数，满足，，，求.
【答案】
设复数,在复平面内所对应的点分别是，向量，的夹角为
向量的夹角为，利用余弦定理在中求出，进而得到，再利用余弦定理在求出即可.
【详解】设复数,在复平面内所对应的点分别是，
向量，的夹角为,则向量的夹角为，
在中，，即.
在中，，∴.
2.如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是，，，则_______.
【答案】
由平行四边形法则可知，将、、代入列出方程组，求出，即可求得，相减即得答案.
【详解】∵，∴.
∵，∴∴∴，∴.
故答案为：
【题型七】复数模的最值
【典例分析】
已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】设，由可得，，由几何意义可得的最小值.
【详解】设，由可得，
，其表示圆上的动点到定点的距离，显然最小值为.
故选：B.
【提分秘籍】 基本规律
【变式训练】
1.若复数满足，则复数的最大值为______.
【答案】
【分析】设，（），结合条件得在复平面内对应点的轨迹，再由的几何意义求解即可．
【详解】解：设，（）则由,
得，即．
复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图：
表示复数在复平面内对应点到点的距离
所以最大值为．
故答案为：．
2.复数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】设复数，代入题干条件后求出与的关系，再代入到的关系式中，求出最小值.
【详解】设复数，则，，，因为，所以，解得：，
则，
①，
把代入①式中，得：
当时，取得最小值为，所以的最小值为故答案为：
【题型八】复数轨迹
【典例分析】
已知复数满足，则在复平面内对应的点形成区域的面积为________．
【答案】
【分析】根据复数模的几何意义得出区域形状，再计算面积．
【详解】的几何意义为对应的的点到原点的距离，区域为以原点为圆心半径分别为1和2的圆环，
故所求区域面积．
故答案为：．
【变式训练】
1.若，则复数________.
【答案】0
设，由已知可得复数对应的点为线段垂直平分线和线段垂直平分线的交点，联立两垂直平分线方程，求解即可.
【详解】设，
，复数对应的点在线段的垂直平分线上，
其方程为，，
复数对应的点在线段的垂直平分线上，其方程为，
所以复数对应的点为，即.
故答案为：.
2.如果复数满足，那么的最小值是
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】试题分析：
∵，
∴点Z到点A（0，-3）与到点B（0，3）的距离之和为6，
∴由复数模的几何意义知表示复平面上以点A（0,3）、B（0,-3）为端点的线段AB上的点，点Z的轨迹为线段AB；从而|z+i+1|=|z-（-1-i）|表示线段AB上的点Ｚ到点C（-1,-1）的距离；
数形结合，得|z+i+1|的最小值为|BC|=1，所以最小距离为1.
故选A．
培优第一阶——基础过关练
1．若复数为纯虚数，则等于（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】利用复数运算法则及纯虚数定义可得，利用模长公式即可得.
【详解】由为纯虚数，
可得，即，
所以.
故选：B
2．设复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的乘法直接求得.
【详解】依题意得.
所以.
故选：D
3．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数除法法则得到，从而确定所在象限.
【详解】，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.
故选：A
4．若是纯虚数，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．－9 D．9
【答案】A
【分析】先将复数化简，再根据纯虚数列出方程组求解即可.
【详解】,
因为是纯虚数，故，得，故选：A.
5．已知，其中是虚数单位，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的四则运算，结合复数相等，求得参数的值，可得答案.
【详解】由，，，，则，即，
故选：B.
6．复数，复数满足，则下列关于的说法错误的是（ ）
A． B．
C．的虚部为 D．在复平面内对应的点在第二象限
【答案】C
【分析】由已知求出，根据复数的概念，即可判断各项.
【详解】对于A，由已知可得，
，故A正确.
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，根据复数的概念可知的虚部为，故C错误；
对于D，根据复数的概念可知在复平面内对应的点为，故D正确.
故选：C.
7．设为实数，若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知关于的方程有实数根，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：由题知，，
因为存在实数，使得为实数，
所以关于的方程有实数根，
所以，有实数根，
所以，即
所以，的取值范围是
故选：C
8．已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】B
【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值.
【详解】根据题意，得，
当，，时，，此时，
所以.
故选：B.
培优第二阶——能力提升练
1．设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A． B．若互为共轭复数，则
C．若，则 D．若复数为纯虚数，则
【答案】ABD
【分析】根据复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义即可判断.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：令
则
所以，故A正确；
对于选项B：令，，所以，故B正确；
对于选项C：令，，根据复数的乘法运算可知：， ，，所以C错误；
对于选项D：若复数为纯虚数，则，即，故D正确.
故选：ABD
2．已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，，
，
若，则，解得，所以C选项正确.
D选项，当时，，所以D选项错误.
故选：AC
3．设复数（，且），则下列结论正确的是（ ）
A．不可能是实数 B．恒成立
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据复数的运算和复数的类型的概念求解即可.
【详解】对于A项，若是实数，
则，与已知矛盾，故A项正确；
对于B项，由A项知，
所以，
，
故B项正确；
对于C项，若
，则，
因为，所以，故C项正确；
对于D项，，
则，因为，所以，
所以，故D项错误．
故选:ABC．
4．已知复数，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【分析】设，根据复数的乘法运算和复数的模长的概念，可判断A、C；取可判断B、D.
【详解】对于A， 设，
若，则，
所以，即，所以，
若，则成立，此时；
若，由得，由得，此时；
若，由得，所以，此进，
所以若，则或，故A正确；
对于B，设则，故B不正确；
对于C，设，
所以，
若，则或，
所以，故C正确；
对于D， 由，取，满足条件，而，
故D不正确.
故选：AC.
5．已知复数z满足，则___________．
【答案】2
【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数，再由模的意义计算作答.
【详解】，依题意，，
因此，解得，
所以.
故答案为：2
6．已知复数，，则的最大值为______．
【答案】
【分析】由复数的模的运算性质进行运算求解即可.
【详解】
，
∵，
∴当时，的最大值为.
故答案为：.
7．欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数、虚数单位、角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可得______.
【答案】
【分析】根据公式直接计算即可
【详解】解：因为，
所以.
故答案为：
8．在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，．若，则的面积S＝______．
【答案】或
【分析】由题意可知，根据复数的加减法法则的几何意义及余弦定理求出、，进而分类讨论当与反向、线段在的内部时的面积，即可求解.
【详解】由题意知，，
由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理，得
，即，
，即，
当与反向，；
当线段在的内部时，，
所以的面积为或.
故答案为：或.
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专题05 复数
【题型一】复数的概念
【典例分析】
已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，则实数m的值为（ ）
A．4 B．-1
C．-1或4 D．-1或6
【提分秘籍】基本规律复数1.定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．复数集1.定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．2.表示：通常用大写字母C表示．
【变式训练】
1.的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数，复数的实部等于的虚部，的虚部等于的实部，求复数.
3.实数取什么值时，复数是
（1）实数；
（2）纯虚数.
【题型二】复数的分类
【典例分析】
复数的知识结构图如图所示，其中四个方格中的内容分别为（ ）
A．实数.纯虚数 无理数 有理数
B．实数 虚数 负实数 正实数
C．实数 虚数 无理数 有理数
D．实数 虚数 有理数 无理数
【提分秘籍】基本规律复数z＝a＋bi(a，b∈R)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【变式训练】
1.如果则实数m的值为________．
2.下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.判断正误．
（1）若a，b为实数，则为虚数．( )
（2）复数是纯虚数．( )
（3）若a为实数，则一定不是虚数．( )
【题型三】复数与点的关系
【典例分析】
复数在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【提分秘籍】基本规律复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
【变式训练】
1.若m为实数，则复数在复平面内所对应的点可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【题型四】复数与向量的关系
【典例分析】
已知复数所对应的向量为，把依逆时针旋转得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是________．
【提分秘籍】基本规律复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
【变式训练】
1.复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转，所得点对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
2.在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是_____.
【题型五】复数的模计算
【典例分析】
设复数满足，则的虚部为( )
A． B． C． D．1
【提分秘籍】基本规律1．向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．2．复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|.|z|＝|a＋bi|＝.
【变式训练】
1.在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，点C与点D关于虚轴对称，若圆M经过A，B，C，D四点，则圆M的半径为_________．
2.已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．复数在复平面内对应的点在第一象限
C． D．
【题型六】复数加减法几何意义
【典例分析】
设及分别与复数及复数对应，计算，并在复平面内作出．
【提分秘籍】基本规律如图，设复数z1，z2对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．
【变式训练】
1.设复数，满足，，，求.
2.如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是，，，则_______.
【题型七】复数模的最值
【典例分析】
已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【提分秘籍】基本规律
【变式训练】
1.若复数满足，则复数的最大值为______.
2.复数满足，则的最小值为___________.
【题型八】复数轨迹
【典例分析】
已知复数满足，则在复平面内对应的点形成区域的面积为________．
【变式训练】
1.若，则复数________.
2.如果复数满足，那么的最小值是
A．1 B． C．2 D．
培优第一阶——基础过关练
1．若复数为纯虚数，则等于（ ）
A． B． C．3 D．5
2．设复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
3．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．若是纯虚数，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．－9 D．9
5．已知，其中是虚数单位，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
6．复数，复数满足，则下列关于的说法错误的是（ ）
A． B．
C．的虚部为 D．在复平面内对应的点在第二象限
7．设为实数，若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．1
培优第二阶——能力提升练
1．设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A． B．若互为共轭复数，则
C．若，则 D．若复数为纯虚数，则
2．已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
3．设复数（，且），则下列结论正确的是（ ）
A．不可能是实数 B．恒成立
C．若，则 D．若，则
4．已知复数，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．已知复数z满足，则___________．
6．已知复数，，则的最大值为______．
7．欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数、虚数单位、角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可得______.
8．在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，．若，则的面积S＝______．
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