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专题02 向量三大定理及三角形四心
【题型一】奔驰定理
【典例分析】
已知为内一点，且，则与面积比为（ ）
A． B． C． D．
333【详解】设线段，的中点分别为，，如图所示，
由，得，
即，故，
所以点在的中位线上，即，
，，
故，故选：C.
【提分秘籍】 基本规律 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所
【变式训练】
1.在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】利用三角形
面积公式，推出点O到三边距离相等。
【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.
故选：B
2.设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据面积比得出，的关系，根据，从而可以，表示出，利用共线原理列方程，解出即可得到答案
【详解】连接并延长，则通过的中点，过，分别向所在直线作垂线，垂足分别为，，如图所示与的面积之比为
根据三角形相似可知，则
即由平行四边形法则得
根据待定系数法有，则故选
3.已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比
解：，，如图：
，
，
、、三点共线，且，为三角形的中位线
而
，，的面积之比等于。故选：．
【题型二】奔驰定理综合应用
【典例分析】
如图，设为内的两点，且，＝＋，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：本题以面积之比为背景，考查平面向量的初等运算和平面向量的基本定理，难度较难．连，延长交于，设，，
，又不共线，所以．又．故选B．
【变式训练】
1.已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别取、的中点、，连接、，由平面向量的线性运算可得，进而可得，即可得解.
【详解】
分别取、的中点、，连接、，如图，
所以是的中位线，
因为，所以，所以，所以、、三点共线，所以，所以即，所以即.故选：A.
2.已知点为内一点，，则的面积之比为______．
【答案】
【分析】
先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量的数乘运算的几何意义，三角形面积公式，确定面积比.
【详解】因为，所以，设为中点，为中点，因为，可得，所以三点共线，且，
为三角形的中位线所以，
而，所以的面积之比等于
故答案为：
3.已知为△的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则与的面积之比为________.
【答案】
【分析】
根据，求得的比值，然后利用三角形的面积公式，求得两个三角形面积的比值.
【详解】
设，，由于三点共线，故.由于与有公共角，由三角形面积公式得.
【题型三】极化恒等式
【典例分析】
如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点M为边BC上的动点，则的最小值为 ．
用极化不等式的解法如下：
设是的中点，作于，延长交的延长线于，
由题意可得：
.
则 ，
所以 .
【提分秘籍】 基本规律 在△中，是边的中点，则.
【变式训练】
1.在△中，已知，，则的最大值为 .
解析：设是的中点，连接，点是△的外心，连接并延长交圆于，
由△是等边三角形，，
则
所以 .
2.如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为 .
解析：取的中点，连接，，
由,，
由四点共圆，且直径为.
则
所以 .
3.如图放置的边长为1的正方形，顶点分别在轴，轴正半轴（含原点）滑动，则的最大值为______________.
【解析】如图，中点，
因为
【题型四】等和线
【典例分析】
如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动， 是圆上及内部的动点，设向量（， 为实数），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则
所以 ，即
选C.
方法二：【解析】如图所示,①设点O为正六边形的中心,则
当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点。连接OP，则，
∵与共线,∴存在实数t,使得∴此时m+n=1+t+1 t=2，取得最小值
②当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与Q的交点P时,
此时m+n=5取得最大值。故选：C.
【提分秘籍】 基本规律 等和线原理
【变式训练】
1.如图，，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
连接并延长分别交圆于，连接，与交于，显然，此时，分别过作的平行线，由于 ，则，则， ，
，此时 ，同理可得：，，选.
2.如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合与点且三组对边分别平行.点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若 ，则的取值范围是（ ）
图 六芒星 图
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图建立平面直角坐标系， 令正三角形边长为，则，可得，由图知当在点时有，，此时有最大值，同理在与相对的下顶点时有，此时有最小值．故本题答案选．
3.中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【解析】，因为三点共线，所以且，则，当且仅当，即时，上式取等号，故有最小值8，故选D．
【题型五】 四心之重心
【典例分析】
如图，点为的重心，且，，则的值为 ．
【答案】32取的中点，则，
.
【提分秘籍】 基本规律 重心：三角形三条中线交点 重心向量性质：若为的重心. 重心性质： 1.在ABC中，中线AD交BC于D, G是重心，则AG=2GD 2.在中，A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)的重心G坐标公式 3.若O是的重心，则===
【变式训练】
1.已知是平面上不共线三点，是的重心，动点满足，则一定为的（ ）
A．边中线的三等分点（非重心） B．边的中点
C．边中线的中点 D．重心
【答案】A因为是的重心，所以,由可得,所以,所以一定为的边上的中线的非重心的三等分点，故选A.
2.已知点G是△ABC的重心，若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C在△ABC中，延长AG交BC于D，∵点G是△ABC的重心，∴AD是BC边上的中线，且
．∵，∴．∵，，∴
，∴，∴
的最小值是，故选C．
3.过的重心任作一直线分别交、于点、，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出图形，设的重心为点，延长交于点，则为线段的中点，设，根据平面向量的线性运算可得出，根据三角形重心的性质可得出关于、的表达式，根据平面向量的基本定理可求得结果.
【详解】设的重心为点，延长交于点，则为线段的中点，
因为、、三点共线，设，即，
所以，，
因为为的中点，则，
因为为的重心，则，
所以，，所以，.故选：B
【题型六】四心之外心
【典例分析】
已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C由题意知，由可得，两边平法可得，所以，因此，同理，，，两边分别平方可得，根据同角三角函数基本关系可得，所以
，故选C.
【提分秘籍】 基本规律 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。 是外心 为的外心. 若是外心，则．
【变式训练】
1.若点是的外心，且，则实数的值为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C由题设可知,所以结合图形可知,即,故,应选C.
2.在中，，若为内一点，且满足，则的值是 ．
【答案】如图所示，取的中点，连接，则，即，所以．
3.已知外接圆的圆心为，，，为钝角，是边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C在三角形中，，
是圆心，，因为，所以，同理可得，故选D．
【题型七】四心之内心
【典例分析】
在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】根据题意，可得四边形为菱形，即可得到平分，从而得到结果.
【详解】
因为，且D为中点，，
则，
又因为，则可得四边形为菱形，
即为菱形的对角线，
所以平分，即直线经过的内心。故选:A
【提分秘籍】 基本规律 三角形三内角的平分线相交于一点. 是三角形的内切圆的圆心，称内心。 为的内心===0
【变式训练】
1.已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】由题设条件得到，从而判断出点P在的平分线上，由此得到点的轨迹一定通过的内心.
【详解】分别表示方向的单位向量，令，，
则，即，
又，以为一组邻边作一个菱形，则点P在该菱形的对角线上，
所以点P在，即的平分线上，故动点P的轨迹一定通过的内心.
故选：B. .
2.在△中，，，，O为△的内心，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的减法法则化简题中的等量关系，结合三角形内心的性质得到系数的关系求解.
【详解】由得，
则，
因为O为△的内心，所以，
从而，
解得，，所以.故选：C.
3.在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，根据三点共线可得，结合图像分析运算．
【详解】如图：圆O在边上的切点分别为，连接，延长交于点
设，则，则
设
∵三点共线，则，即
即。故选：D．
【题型八】四心之垂心
【典例分析】
奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得，再利用和可得，不妨设，利用可求出的值，从而可求出的值.
【详解】延长交于点P，是的垂心，，
．
同理可得，．
又，．
又，．
不妨设，其中．，
，解得．当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故，则，故C为锐角，∴，解得，故选：B．
【提分秘籍】 基本规律 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 是垂心，
【变式训练】
1.若为所在平面内一点，且则点是的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】D
【分析】由得到，从而得到，同理证明即可.
【详解】，
得，即；
，
得，即；
，
，即，所以为的垂心.
故选：D.
2.已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】D
【分析】计算的值，可得出结论.
【详解】因为，
，
，因此，点的轨迹经过的垂心，
故选：D.
3.已知H为的垂心，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】，，利用、得，，解得， 再利用平方共线可得答案.
【详解】依题意，，同理．
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，
即，解得，
，又，所以．故选：C．
培优第一阶——基础过关练
1．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.
【详解】.
.
故选：A
2．在中，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算逐项判断作答.
【详解】在中，满足，，
，B不正确；
，，A不正确；
，C正确；
，，，D不正确.
故选：C
3．已知在中，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将转化为的线性运算，再由数量积的运算律求解
【详解】由题意得，，
则，
故选：B
4．已知面积为6的直角中，为斜边上的两个三等分点，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【分析】根据题意绘出草图，建立平面直角坐标系，由直角面积为6设出点P，Q坐标，代入向量的坐标运算，利用基本不等式可解得其最小值.
【详解】根据题意绘图如下，直角面积为6，设，则.
又为斜边上的两个三等分点，设，，，，，当且仅当，即时，取得最小值.
故选：B
5．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】根据题意，可得四边形为菱形，即可得到平分，从而得到结果.
【详解】
因为，且D为中点，，
则，
又因为，则可得四边形为菱形，
即为菱形的对角线，
所以平分，即直线经过的内心
故选:A
6．已知是的重心，若，，则的最小值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由已知，得出，，从而，利用不等式求其最小值，得出的最小值．
【详解】，，，
为三角形的重心，，
，
从而的最小值是，
故选：D
7．已知点P是△ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足·，则点P一定是△ABC的
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【详解】设BC的中点为M,，,
即,即,即,所以点P与BC的中点连线与BC垂直，即点P一定是△ABC的外心．
考点：平面向量的数量积运算．
8．已知的垂心为M，则“M不在的外部"是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】因为锐角三角形的垂心在三角形的内部，直角三角形的垂心为直角的顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部，所以“M不在的外部”是“为锐角三角形”的必要不充分条件．
故选：B．
培优第二阶——能力提升练
1．过的重心任作一直线分别交、于点、，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出图形，设的重心为点，延长交于点，则为线段的中点，设，根据平面向量的线性运算可得出，根据三角形重心的性质可得出关于、的表达式，根据平面向量的基本定理可求得结果.
【详解】设的重心为点，延长交于点，则为线段的中点，
因为、、三点共线，设，即，
所以，，
因为为的中点，则，
因为为的重心，则，
所以，，所以，.
故选：B.
2．在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，，交于点F，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得AB＝4，AC＝3，设，根据平面向量的线性运算，推出，由B，E，F三点共线求得λ，再将表示成以为基底的向量，由平面向量数量积的运算法则得答案．
【详解】
如图：由，得AB＝4，AC＝3，
设，
则
三点共线，，即
，
则
故选：C.
3．已知的重心为，边的中点分别为，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．若为正三角形，则
C．若，则
D．
【答案】AC
【分析】对于A，利用向量的加法法则分析判断，对于B，利用数量积的运算性质求解，对于C，利用向量的减法法则和数量积的性质判断，对于D，利用向量的加法法则分析判断.
【详解】对于A，在中，因为为的中点，所以，
所以，所以A正确，
对于B，因为为正三角形，为的重心，
所以，，
设，则
，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以，
所以，所以C正确，
对于D，因为边的中点分别为，
所以，，，
因为为的重心，所以，所以，
所以
，所以D错误，
故选：AC
4．下列说法正确的是（ ）
A．已知向量，，若∥，则
B．若向量，共线，则
C．已知正方形ABCD的边长为1，若点M满足，则
D．若O是的外心，，，则的值为
【答案】CD
【分析】对于A，由两向量平行的坐标运算计算即可；
对于B，分向量，同向和向量，反向计算，即可判断；
对于C，由题意可得为的三等分点中靠近的点，于是可得,再由向量的四则运算法则及数量积运算计算即可；
对于D，由题可得,(为的外接圆半径)，进而可得，即有，即可判断.
【详解】解：对于A，因为，，∥，
所以，解得，故错误；
对于B，因为向量，共线，当向量，同向时，则有；当向量，反向时，则有，故错误；
对于C，因为，所以为的三等分点中靠近的点，
所以,,
所以,故正确；
对于D，因为O是的外心，所以(为的外接圆半径),
又因为,所以,即,①
同理可得,②
由①-②可得：，
即有，故正确.
故选：CD.
5．设为的外心，且满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据数量积的运算律计算A、B，由数量积的定义及运算律求出、、，再由二倍角公式判断C、D.
【详解】解：有题意可知：．
对于A：．
两边同时平方得到：．
解得，故A正确．
对于B：．
两边再平方得到：．
结合A可得：．所以B正确．
对于C：．
两边平方得到：．
解得．
同理可得，．
，．
，所以，则，，所以，
，．
．故C正确；
由，所以，
所以，所以，显然，故D错误．
故选：ABC．
6．过所在平面外一点，作，垂足为，以下推断正确的是（ ）
A．若，，则点是的垂心
B．过点分别作边的垂线，垂足分别为，若，则点是的重心
C．若，，则点是的内心
D．若，则点是的外心
【答案】ACD
【分析】对于A选项，由题意得出，点是的垂心；
对于B选项，若，则，进而结合C选项的讨论得点是的内心；
对于C选项，由题意得出是的平分线，是的平分线，点是的内心；
对于D选项，若，则，点是的外心.
【详解】如图，
对于A，∵底面，底面，
∴，，
又，，平面，平面，
∴平面，平面，
∵平面，平面，
∴；，
∴点是的垂心，A选项正确；
对于C，过点分别作边的垂线，垂足分别为，
若，则，，
∵底面，底面，∴，
∴，∴，
∴，即是的平分线，
同理时，是的平分线，
∴点是的内心，故C选项正确；
对于D，若，则
∴，点是的外心，D选项正确；
对于B，过点分别作边的垂线，垂足分别为，
若，则，
结合C选项的讨论可知，点是的内心，B选项错误.
故选：ACD.
7．在中，，点Q满足，则的最大值为___________.
【答案】##
【分析】设中点为M，则，根据平面向量的线性运算可得，得当时，最大，此时是等边三角形，
求出即可求解.
【详解】设中点为M，
则，
，
由，知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧，
∴当时，最大，此时是等边三角形，
则.
故答案为：.
8．正六边形ABCDEF的边长为a，有五个力，，，，作用于同一点A，则这五个力的合力的大小为______.
【答案】
【分析】如图，连接，分别交于于，结合正六边形的形式可得，从而可求合力的大小.
【详解】
如图，连接，分别交于于，
则为等腰三角形，，
为等边三角形且为的角平分线.
故为的中点，为的中点，且，
所以.
又，，
故，
而共线同向，
故.
故答案为：.
培优第三阶——培优拔尖练
1．已知在中，是边上中点，，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】首先转化向量，再代入数量积公式，即可求解.
【详解】由条件可知，，
所以
，,
所以
所以的取值范围是，
故答案为：
2．已知点，其中，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】分别求出，再根据平面向量加法得坐标表示及向量得模得坐标表示，再根据三角函数的性质即可得解.
【详解】解：由，
得，
则，
所以，
因为，
所以，
所以，
即的取值范围为.
故答案为：.
3．已知等边三角形ABC的边长为2，边AB的中点为D，边BC上有两动点E，F，若，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】取线段EF的中点P，将表示为，再求出的取值范围即可作答.
【详解】如图，取线段EF的中点P，连DP，则有，，
在正中，当点E与B重合时，， ，
则，此时，即，
点E从点B开始向点C移动，线段DP长逐渐增大，当点F与C重合时，，，
则，则，
，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.
4．如图，在中，，点在边上（与不重合），延长到，使得8，若为常数，则的长度为__________.
【答案】2
【分析】根据向量共线可得，根据向量共线的结论：系数和为1，可求解，进而可得之间的关系，然后根据余弦定理求，判断出是等边三角形，进而可求解.
【详解】设,则,因为三点共线，所以，故，因此,由得,在中,由余弦定理可得：,因为,故,又,故是等边三角形，所以.
故答案为：2
5．设H是的垂心，且，则______.
【答案】
【解析】利用三角形的垂心与向量的关系得解.
【详解】先证明：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：
证明：如图2延长与边相交于点则
图1 图2
再证明：是的垂心
证明：如图为三角形的垂心，
同理得，
由以上结论得：
是的垂心
由题设得.再由，得，.故.
故答案为:
【点睛】本题考查三角形的垂心与向量关系求三角形角的余弦值，属于中档题.
6．设为的重心，若，则___________．
【答案】
【分析】注意到结论“为重心，则”，不妨创设条件：，则可得直角三角形，从而可得.
【详解】因为为重心，则，
又因为，
不妨设，所以，
所以，所以，
所以
故答案为：.
7．设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则___________．
【答案】2
【分析】由O，I分别是三角形的外心和内心，利用与共线得到线段的长度关系，用，表示出相应线段，得到等式.
【详解】
设内切圆半径为r，过O，I分别作BC的垂线，垂足分别为M，D，
则，，
因为与共线，所以，又因为，，
所以，
因为，所以，
即，所以.
故答案为：2
8．设锐角的外心为O，且，，则__________．
【答案】8
【分析】设外接圆的半径为；平面向量数量积的运算律及三角形外心的性质得到，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，从而得解；
【详解】解：因为点为外接圆的圆心，设外接圆的半径为；
所以，
整理得，
所以，
故，
则，
所以，
所以，即
所以，所以，则，即．
故答案为：
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专题02 向量三大定理及三角形四心
【题型一】奔驰定理
【典例分析】
已知为内一点，且，则与面积比为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律为内一点，，则.重要结论：，，.结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：.即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所
【变式训练】
1.在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2.设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则
A． B． C． D．
3.已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【题型二】奔驰定理综合应用
【典例分析】
如图，设为内的两点，且，＝＋，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知点为内一点，，则的面积之比为______．
3.已知为△的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则与的面积之比为________.
【题型三】极化恒等式
【典例分析】
如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点M为边BC上的动点，则的最小值为 ．
【提分秘籍】基本规律在△中，是边的中点，则.
【变式训练】
1.在△中，已知，，则的最大值为 .
2.如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为 .
3.如图放置的边长为1的正方形，顶点分别在轴，轴正半轴（含原点）滑动，则的最大值为______________.
【题型四】等和线
【典例分析】
如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动， 是圆上及内部的动点，设向量（， 为实数），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律等和线原理
【变式训练】
1.如图，，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合与点且三组对边分别平行.点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若 ，则的取值范围是（ ）
图 六芒星 图
A． B． C． D．
3.中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．8
【题型五】 四心之重心
【典例分析】
如图，点为的重心，且，，则的值为 ．
【提分秘籍】基本规律重心：三角形三条中线交点重心向量性质：若为的重心.重心性质：1.在ABC中，中线AD交BC于D, G是重心，则AG=2GD2.在中，A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)的重心G坐标公式3.若O是的重心，则===
【变式训练】
1.已知是平面上不共线三点，是的重心，动点满足，则一定为的（ ）
A．边中线的三等分点（非重心） B．边的中点
C．边中线的中点 D．重心
2.已知点G是△ABC的重心，若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3.过的重心任作一直线分别交、于点、，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【题型六】四心之外心
【典例分析】
已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。是外心为的外心.若是外心，则．
【变式训练】
1.若点是的外心，且，则实数的值为（ ）
A． B． C. D．
2.在中，，若为内一点，且满足，则的值是 ．
3.已知外接圆的圆心为，，，为钝角，是边的中点，则（ ）
【题型七】四心之内心
【典例分析】
在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【提分秘籍】基本规律三角形三内角的平分线相交于一点. 是三角形的内切圆的圆心，称内心。为的内心===0
【变式训练】
1.已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2.在△中，，，，O为△的内心，若，则（ ）
A． B． C． D．
3.在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型八】四心之垂心
【典例分析】
奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律垂心：三角形三边上的高相交于一点.是垂心，
【变式训练】
1.若为所在平面内一点，且则点是的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
2.已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
3.已知H为的垂心，若，则（ ）
A． B．
C． D．
培优第一阶——基础过关练
1．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知在中，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知面积为6的直角中，为斜边上的两个三等分点，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．
5．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
6．已知是的重心，若，，则的最小值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
7．已知点P是△ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足·，则点P一定是△ABC的
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
8．已知的垂心为M，则“M不在的外部"是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
培优第二阶——能力提升练
1．过的重心任作一直线分别交、于点、，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，，交于点F，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知的重心为，边的中点分别为，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．若为正三角形，则
C．若，则
D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．已知向量，，若∥，则
B．若向量，共线，则
C．已知正方形ABCD的边长为1，若点M满足，则
D．若O是的外心，，，则的值为
5．设为的外心，且满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．过所在平面外一点，作，垂足为，以下推断正确的是（ ）
A．若，，则点是的垂心
B．过点分别作边的垂线，垂足分别为，若，则点是的重心
C．若，，则点是的内心
D．若，则点是的外心
7．在中，，点Q满足，则的最大值为___________.
8．正六边形ABCDEF的边长为a，有五个力，，，，作用于同一点A，则这五个力的合力的大小为______.
培优第三阶——培优拔尖练
1．已知在中，是边上中点，，则的取值范围是___________.
2．已知点，其中，则的取值范围为___________.
3．已知等边三角形ABC的边长为2，边AB的中点为D，边BC上有两动点E，F，若，则的取值范围是______．
4．如图，在中，，点在边上（与不重合），延长到，使得8，若为常数，则的长度为__________.
5．设H是的垂心，且，则______.
6．设为的重心，若，则___________．
7．设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则___________．
8．设锐角的外心为O，且，，则__________．
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