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专题4 解三角形大题最值型归类
【题型一】角与对边型求周长范围最值
【典例分析】
在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知.
（1）求角A的值；
（2）若，求三角形周长的取值范围.
【提分秘籍】基本规律三角形中最值范围问题的解题思路：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
【变式训练】
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B；
(2)若b=4，求周长的最大值.
【题型二】角与对边型求面积范围最值
【典例分析】
在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
(1)设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
【提分秘籍】基本规律最值范围型，多从两个方面考虑：余弦定理+均值不等式型正弦定理消边化角→消角，确定角的范围→→辅助角型求范围最值
【变式训练】
的内角，，的对边分别是，，，设．
(1)若，求；
(2)若，求的面积的最大值．
【题型三】角非对边型求面积范围
【典例分析】
在中，设角，，的对边长分别为，，，已知.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
【变式训练】
.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若且是锐角三角形，求的面积的取值范围．
【题型四】角非对边型求周长范围
【典例分析】
在锐角三角形中，、、分别是角、、的对边，，且.
（Ⅰ）若，求与；
（Ⅱ）求的周长的取值范围.
【变式训练】
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．
【题型五】有角无边型求角的函数范围最值
【典例分析】
在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，
（1）求角；
（2）求的取值范围.
【变式训练】
的三个角所对的边分别为，．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，求函数的取值范围．
【题型六】有角无边求边比值型
【典例分析】
三角形中，已知，其中，角所对的边分别为.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
【变式训练】
在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，且.
（1）求；
（2）求的取值范围.
【题型七】边系数非对称型求范围最值
【典例分析】
在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，，求的取值范围．
【变式训练】
在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若且，求的取值范围．
【题型八】无角求范围最值
【典例分析】
记内角的对边分别是，已知.
(1)求证：；(2)求的取值范围.
【变式训练】
设的内角的对边分别为，为钝角，且．
(1)探究与的关系并证明你的结论；
(2)求的取值范围．
【题型九】中线高角平分线系型求最值
【典例分析】
记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.
【变式训练】
已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若M为的中点，，求面积的最大值．
【题型十】双三角形面积型求范围
【典例分析】
）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若，求的周长；
(2)延长至点D，连接，满足，且为锐角三角形，求的取值范围.
【变式训练】
在锐角中，角所对的边分别为.
(1)求的值；
(2)点分别在边上，的面积是面积的2倍.求的最小值.
培优拔尖练
1．在中，分别为内角的对边，且.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
2．在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若__________，求的最大值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．在三角形ABC中，若.
(1)求角A的大小；
(2)如图所示，若，，求长度的最大值.
4．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．
(1)若，证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若，求b的最小值．
5．如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.
6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求证：.
(2)求的取值范围.
7．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，的面积为，求b，c的值；
(2)若，且为钝角三角形，求k的取值范围．
8．已知的面积为，角所对的边为．点为的内心，且．
(1)求的大小；
(2)求的周长的取值范围．
9．已知锐角的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围．
10．在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，为外一点（、在直线两侧），，，求四边形面积的最大值．
11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin =sin C，且a=1．
(1)求A；
(2)若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．
12．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为R，已知．
(1)若，求A的值；
(2)求的取值范围．
13．在中，的对边分别为.
(1)若，求的值；
(2)若的平分线交于点，求长度的取值范围.
14．已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若于，求的面积的最小值.
15．已知的内角所对的边分别为，若向量，相互垂直.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
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专题4 解三角形大题最值型归类
【题型一】角与对边型求周长范围最值
【典例分析】
在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知.
（1）求角A的值；
（2）若，求三角形周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求，结合的范围可求的值.
（2）由正弦定理可求，设周长为，利用三角函数恒等变换的应用化简得，可求范围，利用正弦函数的性质可求取值范围.
【详解】（1），由余弦定理可得：，
由正弦定理可得：，整理可得：，
，，可得：，，
（2），，，，，
设周长为y，则，
，，，，.
周长的取值范围是.
【提分秘籍】 基本规律 三角形中最值范围问题的解题思路： 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
【变式训练】
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B；
(2)若b=4，求周长的最大值.
【答案】(1)；
(2)12.
【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.
（2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a+c的最大值
(1)
因为，则，
在中，由正弦定理得，，而，即，
整理得，即，又，解得，
所以.
(2)
在中，由余弦定理得：，即，
而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，
因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，
所以周长的最大值为12.
【题型二】角与对边型求面积范围最值
【典例分析】
在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
(1)设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据正弦定理求出，进而由余弦定理求出，利用三角形面积公式得，利用平面向量基本定理及数量积运算法则得到答案；
（2）由正弦定理得到，利用锐角三角形，求得，进而求出，由面积公式求得.
(1)，由正弦定理得：，
所以，因为，所以，
所以，即，因为，所以，
因为，，由余弦定理得：，因为，所以，
其中，所以，
因为点E为线段BD的中点，所以，由题意得：，
所以.
(2)由（1）知：，又，由正弦定理得：，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得：，
则，，，故，面积为故面积的取值范围是.
【提分秘籍】 基本规律 最值范围型，多从两个方面考虑： 余弦定理+均值不等式型 正弦定理消边化角→消角，确定角的范围→→辅助角型求范围最值
【变式训练】
的内角，，的对边分别是，，，设．
(1)若，求；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合正、余弦定理对进行化简，再由余弦定理，即可得解；
（2）由余弦定理得出，再结合三角形面积公式和同角三角函数的平方关系，推出关于的函数，从而得解．
(1)解： ，结合正、余弦定理，可得，
化简得，，代入，得，
由余弦定理知，，，．
(2)解：由（1）知，，
由余弦定理知，，
的面积
，
当时，取得最大值，即．
【题型三】角非对边型求面积范围
【典例分析】
在中，设角，，的对边长分别为，，，已知.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
广东省深圳市宝安中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用已知和正弦定理化简，结合余弦定理可得角的值；
（2）由于，，利用正弦定理，可得，以及的面积，利用为锐角三角形，可得面积的取值范围．
【详解】
（1）由已知及正弦定理，得，即，即，即.
由余弦定理，得，因为，所以.
（2）因为，，由正弦定理，得
.
所以.
因为为锐角三角形，则，从而，所以.
【变式训练】
.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若且是锐角三角形，求的面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先根据正弦定理进行角化边，然后结合余弦定理求解出角；
（2）先根据三角形面积公式表示出面积，然后根据正弦定理结合正切函数的性质求解出的取值范围，由此可求三角形面积的取值范围.
【详解】
（1）由及正弦定理，得，即，
再由余弦定理可得，因为，所以．
（2）．由正弦定理可知，又，
所以，因为是锐角三角形，故，，
所以，所以，从而，故，
【题型四】角非对边型求周长范围
【典例分析】
在锐角三角形中，、、分别是角、、的对边，，且.
（Ⅰ）若，求与；
（Ⅱ）求的周长的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）先利用化简已知式求得，再利用余弦定理得到，即解得与；
（Ⅱ）先利用，结合正弦定理进行边化角求得，再利用正弦定理得到，整理周长为关于角A的函数关系式，利用角的范围求得周长取值范围即可.
解：（Ⅰ）因为，，所以，
故，即，又C是锐角，，，故，即，
由余弦定理可知，，即，故，
由解得，故；
（Ⅱ）因为，，
所以由正弦定理可知，，
因为，所以，而，故，即，故，又B是锐角，，，故，即，，
由正弦定理可知，，即，
故，周长为，由锐角三角形知得，故，故，所以，即周长的取值范围为.
【变式训练】
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由正弦定理化边为角，再由三角恒等变换可求得角；
（2）由锐角三角形求得的范围，再利用正弦定理求得，并化为的函数，结合三角函数知识可得其取值范围．
解：（1）因为，
由正弦定理得，，
因为，
所以，因为，所以，由为三角形内角得，；
（2）由为锐角三角形，得，解得，
所以，，由正弦定理得，，
所以．故的范围．
【题型五】有角无边型求角的函数范围最值
【典例分析】
在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，
（1）求角；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）【解析】
试题分析：（1），所以整理得到条件：，即，根据余弦定理，又因为是锐角三角形，所以，本问主要是将题中已知条件进行转化，得到，从而利用余弦定理可以求出B角的大小。（2）由（1）知，所以，，所以转化为，根据两角差公式展开，再根据辅助角公式合并，从而得到关于A角的表达式，再结合锐角三角形的条件，讨论求出A角的范围，从而可以求出的取值范围。
试题解析：由条件可得，，即
根据余弦定理得： 是锐角，.
（2），即
又是锐角三角形，，即,
.
【变式训练】
．的三个角所对的边分别为，．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，求函数的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）
试题分析：
(I)由题意结合正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质可得，故 ；
(II)将三角函数式化简为 ，结合三角函数的性质和三角形 为锐角三角形可得函数的取值范围是.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以由正弦定理，得
因为，所以， 所以
所以，故
（Ⅱ）因为，，所以
所以
又为锐角三角形，，所以
所以
【题型六】有角无边求边比值型
【典例分析】
三角形中，已知，其中，角所对的边分别为.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由正弦定理将角化为边，继而由余弦定理求得，得角；（Ⅱ）由正弦定理将边化为角，由，得，化简，结合，得，.
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得：
由余弦定理得：，.
(Ⅱ)由正弦定理得：又，，
，而，，
，.
【变式训练】
在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，且.
（1）求；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式和诱导公式可整理求得，进而得到角；
（2）利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可将整理为，根据角的范围可求得的范围，进而得到的取值范围.
（1）由正弦定理得：
（2）由正弦定理得：
为锐角三角形且
，即
【题型七】边系数非对称型求范围最值
【典例分析】
在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理可得，然后由余弦定理可得答案；
（Ⅱ）由正弦定理可得，然后由三角函数的知识可得答案.
【详解】
（Ⅰ）由已知，结合正弦定理，得．
再由余弦定理，得，又，则．
（Ⅱ）由正弦定理可得．
因为为锐角三角形，则，有，则．
所以的取值范围为．
【变式训练】
在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用正弦定理将边化角，再结合余弦定理计算可得；
（2）利用正弦定理可得，，则，再利用三角恒等变换公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：（1）∵，
由正弦定理，，即．
由余弦定理，，
又∵，∴．
（2）因为且，由正弦定理得，∴，，
∵，∴．∵，∴．∴．
∴．
∵．∴．∴．
【题型八】无角求范围最值
【典例分析】
记内角的对边分别是，已知.
(1)求证：；(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）首先化简条件中的正切等式，再将正切写成正弦和余弦，最后利用正弦定理，角化为边，即可证明；
（2）首先设，利用三角不等式的恒等式，化简后可得的取值范围，再计算的取值范围.
（1）
由得：即
两边同时除以得：
即所以
因此得证；
（2）
设①，代入可得②，
由三角不等式得：，即③，
将①②代入③得，
整理得且解得，
因为，显然在上单调递增，所以
【变式训练】
设的内角的对边分别为，为钝角，且．
(1)探究与的关系并证明你的结论；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析(2)
【分析】（1）由题意及正弦定理得到，即，结合诱导公式，即可求解；
（2）由（1）得，令，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解.
（1）解：因为，由正弦定理得，所以，即，
又因为，所以，于是，所以.
（2）解：由（1）知，，所以，所以，
所以，
令，则且，
所以，当时，取得最大值，最大值为，
当或时，函数值为，所以的取值范围是．
【题型九】中线高角平分线系型求最值
【典例分析】
记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换整理；（2）根据等面积可得，利用余弦定理得和基本不等式可得，根据面积得，整理分析．
（1）由正弦定理得，得，因为，所以，即.
（2）因为，所以.由余弦定理得，得（当且仅当时，等号成立），即.因为，所以.因为，所以.因为函数在上单调递增，所以，所以，即.故的最小值为.
【变式训练】
已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若M为的中点，，求面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；
解法二：利用余弦定理将用边表示再化简即可；
（2）解法一：根据基底向量的方法得，两边平方化简后可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；
解法二：设，再分别在，和中用余弦定理，结合可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可
(1)解法一：因为，
由正弦定理得：，
所以，
因为，所以，为，所以．
解法二：因为，由余弦定理得：，整理得，
即，又由余弦定理得所以，
因为，所以．
(2)解法一：因为M为的中点，所以，
所以，即，
即，而，
所以即，当且仅当时等号成立
所以的面积为．即的面积的最大值为．
解法二：设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式得．③
在中，由余弦定理得，
而，所以，④
联立③④得：，即，而，
所以，即，当且仅当时等号成立．
所以的面积为．即的面积的最大值为．
【题型十】双三角形面积型求范围
【典例分析】
）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若，求的周长；
(2)延长至点D，连接，满足，且为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理得到角A,从而得到边c,由余弦定理得到边b，从而得到周长；
（2）由正弦定理得到，，然后利用辅助角公式以及正弦函数的性质可得到范围.
（1）在中，，由正弦定理
得，可得，由，得
由得，
由正弦定理，，所以，由余弦定理
（舍去）∴的周长.
（2）
由正弦定理
则，
∴
∵为锐角三角形
解得∴
即的取值范围为
【变式训练】
在锐角中，角所对的边分别为.
(1)求的值；
(2)点分别在边上，的面积是面积的2倍.求的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意，进而结合正弦定理得，，再结合求解即可；
（2）结合（1）得，进而根据面积关系得，最后结合基本不等式与余弦定理得，进而得答案.
(1)
解：是锐角三角形，.
在中，，由正弦定理得，
.，
(2)
解：由（1）知，.
由题意得.
由余弦定理得，，
当且仅当时“”成立.
所以的最小值为.
培优拔尖练
1．在中，分别为内角的对边，且.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）已知条件由余弦定理角化边，利用三角形的特征化简可证得；
（2）由已知条件和诱导公式辅助角公式，可化简为，由角的取值范围得所求算式的取值范围.
【详解】（1）由余弦定理可得：，
有，即，
由，得，即.
（2）由，有，
∴，得， .
，
由，有，则有，可得.
所以的取值范围为.
2．在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若__________，求的最大值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)(2)选①，的最大值是8；选②，的最大值是
【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理求出，结合求出；
（2）选①，由余弦定理，结合基本不等式求出；选②，得到，两边平方后得到，由基本不等式求出最值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，则．
因为，所以．
（2）选①,由余弦定理可得，即，
则．
因为，所以．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则，解得，即的最大值是8．
选②,因为D是边的中点，所以，
所以，
因为，且，所以，即．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则，解得，即的最大值是．
3．在三角形ABC中，若.
(1)求角A的大小；
(2)如图所示，若，，求长度的最大值.
【答案】(1)(2)6
【分析】(1)由正弦定理可得，再利用余弦定理、基本不等式和辅助角公式即可求解；
(2)结合（1）可知：三角形ABC是正三角形， 设，，利用余弦定理、正弦定理和两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（1）由已知及正弦定理可得：，
再由余弦定理可得：，
即：，整理可得：，
可知左边，当且仅当时等号成立，右边，
当且仅当时等号成立，所以左右相等只有两边都等于2时，即同时取得等号，所以.
（2）由（1）可知：，所以三角形ABC是正三角形.
设，，那么由余弦定理可得：
，即：，所以.
在三角形BDC中，由正弦定理可得：，整理得：，
因为，所以为锐角，那么，
则，
在中，由余弦定理可得：，
即，
当且仅当时取得等号，
所以最大值为6.
4．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．
(1)若，证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若，求b的最小值．
【答案】(1)证明过程见详解(2)
【分析】（1）已知条件由余弦定理角化边，化简可得，从而可证△ABC为等腰三角形；
（2）已知条件由正、余弦定理角化边，可得，从而得到，进而可求得b的最小值．
【详解】（1）因为，，所以由余弦定理可得，即，
整理得，即，所以△ABC为等腰三角形．
（2）因为，
所以由正弦定理可得，
所以由余弦定理可得，
又，所以，
所以，
当时，取最小值，且最小值为．
5．如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1) 法一:利用正弦定理和两角和的正弦公式可得，再利用三角形内角的取值范围即可求解；
法二:利用余弦定理得出，根据三角形内角的取值范围即可求解；
(2) 方法一：设，则，利用正弦定理得出，，
然后利用辅助角公式和正弦函数的图象和性质即可求解；方法二：利用余弦定理和基本不等式即可求解.
【详解】（1）法一:∵，由正弦定理得，
∴，
∴，∵，
∴，又∵，∴，
法二:∵，
由余弦定理得，
∴，∴，
∵，∴.
（2）由（1）知，，面四边形ABCD内角互补，则，
法一:设，则，
由正弦定理得，
∴，，
∴，
当且仅当时，的最大值为.
法二:在△ADC中，，，
由余弦定理得，
∴，∴，
当且仅当时，的最大值为.
6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求证：.
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】(1)结合正弦定理及正弦和角公式得，结合角度范围即可证明；
(2)结合正弦定理及三角恒等变换，结合B角范围即可求解.
【详解】（1）在中，
由及正弦定理得：
又∵，
∴
即
，
∵，∴.
∵，∴，
（2）得：得，
∴，∴，
由题意，及正弦定理得：
∵，∴，即
故的取值范围为
方法二：由正弦定理得：
∵，∴，
由（1）得：，故
由（1）得：得，
∴，∴，
∴，即，
故的取值范围为
7．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，的面积为，求b，c的值；
(2)若，且为钝角三角形，求k的取值范围．
【答案】(1)，或，(2)或
【分析】（1）由已知和正弦定理得，再利用平方关系可得，利用余弦定理可得，由的面积为得，解方程得到答案；
（2）当，，由余弦定理得，分B为钝角、C为钝角讨论可得答案．
【详解】（1）中，，由正弦定理得
，
∴，由得；
，∴①；
又的面积为，∴②；
由①②组成方程组，解得，或，；
（2）当，，
∴；
当B为钝角时，，即，解得；
当C为钝角时，，即，解得；
所以为钝角三角形，k的取值范围是或．
8．已知的面积为，角所对的边为．点为的内心，且．
(1)求的大小；
(2)求的周长的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式及余弦定理，结合同角三角函数的商数关系及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形内心的定义，利用正弦定理及两角差的正弦公式，结合辅助角公式及角范围的变化，再利用正弦函数的性质即可求解．
【详解】（1）因为，
所以，即，可得，
因为，所以．
（2）设周长为，，如图所示，
由（1）知，所以，可得，
因为点为的内心，，分别是，的平分线，且，
所以，
在中，由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，可得，
可得周长．
9．已知锐角的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数，再由三角恒等变换化简即可求解；
（2）根据，转化为关于B的正弦型函数，利用正弦函数值域求解即可.
【详解】（1）由题意可得．由正弦定理得，
又，，则．
因为，所以．又，所以．
（2）．
因为锐角三角形，所以，且，
所以．
所以，即的取值范围是．
10．在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，为外一点（、在直线两侧），，，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得；
（2）由余弦定理得到，再由为等腰直角三角形可得，又，即可得到，再由正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）解：在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，故，
∴，即，
又∵，
∴．
（2）解：在中，，，
∴，
又，由（1）可知，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵．
∴，
∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为．
11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin =sin C，且a=1．
(1)求A；
(2)若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．
【答案】(1)(2)2-3
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用三角形内角和、诱导公式和二倍角公式得到sin=，即可得到；
（2）根据AB=AC，A=，得到△ABC为等边三角形，然后在△BDE中利用余弦定理得到CD=2-BE+，最后利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）因为csin =sin C，且a=1，所以csin =asin C，
所以sin Csin =sin Asin C.
因为C∈(0,π)，sin C≠0，B+C=π-A，所以sin(-)=sin A，即cos =sin A，
所以cos =2sin cos .
因为∈(0,)，所以cos≠0，所以sin=，所以=，即A=.
（2）
因为AB=AC，A=，所以△ABC为等边三角形，即AC=BC=AB=1.
如图，在△BDE中，BD=1-CD，DE=CD，
由余弦定理得cos B=，
所以BE2+(1-CD)2-CD2=BE·(1-CD)，
所以CD=2-BE+，
因为0≤BE≤1，所以1≤2-BE≤2，所以CD=2-BE+-3≥2-3，
当且仅当2-BE=，即BE=2-时，等号成立，
所以CD的最小值为2-3.
12．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为R，已知．
(1)若，求A的值；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）已知等式由正弦定理边化角解得，又，可求A的值；
（2）锐角且，可求角B的范围，利用正弦定理边化角得，可求取值范围．
【详解】（1）根据正弦定理，有，
由，有，得，
因为，所以，
所以，由，解得．
（2）因为，所以，
因为，即，所以，
则
，
，有，所以，
所以的取值范围为.
13．在中，的对边分别为.
(1)若，求的值；
(2)若的平分线交于点，求长度的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得结果；
（2）设，把表示成两个三角形的面积和，表示出，再求其取值范围；
【详解】（1）已知，
由正弦定理可得，
，
，
，
， 即，
.
（2）由（1）知，由，则.
设，，
，，
.
14．已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若于，求的面积的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题目信息利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得；（2）利用三角形面积公式可以求得，再根据基本不等式即可求得边长的取值范围，即可得面积最小值.
【详解】（1）由可得
，由正弦定理可得
由余弦定理可得，
又，所以.
（2）如下图所示：
三角形面积，
又，所以，
由（1）中可得，当且仅当时，等号成立；
即，得.
所以面积，
故的面积的最小值为
15．已知的内角所对的边分别为，若向量，相互垂直.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由向量，相互垂直，所以，化简可得，进而求解；
（2）根据正弦定理可得，结合及三角函数性质即可求解.
【详解】（1）由题意，与相互垂直
由正弦定理得：，
即，
即，
，
，即，
即，所以，
又为三角形内角，
.
（2），，
由正弦定理得：.
，
，
，
，
，
周长的取值范围是.
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