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专题01 线性运算与基底应用
【题型一】 线性定理基础
【典例分析】
已知，是一组不共线的向量，且，，则，可以作为一组基底．( )
【答案】正确
【分析】根据基底的知识进行判断.
【详解】由，是一组不共线的向量，且，，
得，也是一组不共线的向量，故，可以作为一组基底.
所以说法正确.
故答案为：正确
【提分秘籍】 基本规律 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 基底 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
【变式训练】
1.已知，是一组不共线的向量，若，则，．( )
【答案】正确
【分析】根据平面向量的基本定理进行判断.
【详解】由于，是一组不共线的向量，所以平面的一组基底为，
由于，根据平面向量的基本定理可知，，
所以说法正确.
故答案为：正确
2.平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示．( )
【答案】正确
【分析】根据平面向量的基本定理进行判断.
【详解】平面向量的基底确定后，根据平面向量的基本定理可知，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示.
所以说法正确.
故答案为：正确
3.平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( )
【答案】错误
【分析】根据基底的知识进行判断.
【详解】平面内的任意两个不共线的向量都可以作为一组基底.
两个共线的向量不能作为一组基底，
所以说法错误.
故答案为：错误.
【题型二】基底概念计算
【典例分析】
若是一组基底，向量 (x,y∈R)，则称(x,y)为向量在基底下的坐标现已知向量在基底下的坐标为(－2,2)，则在另一组基底＝(－1,1)，＝(1,2)下的坐标为（ ）
A(2,0) B(0,－2) C(－2,0) D(0,2)
【答案】D
【分析】由题设，知，若 (x,y)为在基底下的坐标，则，即可得方程组求出坐标.
【详解】∵在基底，下的坐标为(－2，2)，
∴.
设(x,y)为在基底下的坐标，则，即，
∴，解得.
∴在基底下的坐标为(0,2)
故选：D.
【提分秘籍】 基本规律 对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
【变式训练】
1.在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
【答案】B
【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不可以作为基底，A错误；
对于B，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，B正确；
对于C，，共线，不可以作为基底，C错误；
对于D，，共线，不可以作为基底，D错误.
故选：B.
2.已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（ ）
A B
C D
答案】C
【分析】根据平面向量基底的意义，逐项判断即可作答.
【详解】是平面内两个不共线的向量，
对于A，，即向量共线，A不是；
对于B，，即向量共线，B不是；
对于D，，即向量共线，D不是；
对于C，因为，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是.
故选：C
3.已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A B
C D
【答案】C
【分析】判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底.
【详解】对于A，假设共线，则存在，使得，
因为不共线，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于B，假设共线，则存在，使得，
即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于C，因为，所以两向量共线，
不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设共线，则存在，
使得，
即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底，
故选:C.
【题型三】鸡爪形
【典例分析】
在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出并确定点的位置，即可以向量为基底表示出.
【详解】根据题意如下图所示：
根据向量加法法则可知，又，所以
即，
可得.故选：A
【提分秘籍】 基本规律 鸡爪形： 如图，若D点在BC线段上，且满足,则有
【变式训练】
1.在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量加法减法的几何意义即可求得
【详解】中，，
则
。故选：D
2.如图所示，点在线段上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的基本定理求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，
所以，即.故选：C.
3.如图所示，在中，为边上的中线，若，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据向量加法与减法运算求解即可.
【详解】解：因为在中，为边上的中线，
所以
故选：C
【题型四】风帆型
【典例分析】
如图，在中，是的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得，进而求得.
【详解】因为是的中点，所以．
所以，所以，所以．
故选：D
【变式训练】
1.在中，，为的中点，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量基本定理由可得答案.
【详解】如图，
，
由，且，得.
故选：A.
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】解：因为，所以，
所以.
故选：C.
3.如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.
【详解】
故选：B.
【题型五】四边型
【典例分析】
已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量运算的平行四边形法则求出即可．
【详解】解：如图
在矩形中，，在中，，
，，
．故选：A．
【提分秘籍】 基本规律 四边型、要注意两个特征题型： 1.基底不是三角形或者四边形的边，如练习题3 2.如果与四边形的边和角度无关，则可以把四边形看成矩形，构造坐标系，用坐标运算求解
【变式训练】
1.在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，根据三点共线，即共线，可设，用表示出关系，即可解出结果.
【详解】.设，则,又，且三点共线，则共线，即，使得，即，
又不共线，则有，解得，所以，.故选：D.
2.如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，根据平面向量的线性运算计算即可.
【详解】如图，取的中点，连接，
因为是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，
所以，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又为上靠近的一个四等分点，
所以
.
故选：C.
3.在平行四边形中，，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合平行四边形的性质及平面向量的基本定理即可求解.
【详解】因为四边形为平行四边形，所以，，，
因为，，
所以，
所以，
,
因为，，
所以，解得 ，
所以，
故选：B.
【题型六】 两线交点型
【典例分析】
在中，，，交于，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量线性运算得到、，再由、、三点共线，即可得到，从而求出、.
【详解】解：依题意，
，又、、三点共线，
所以，即，又，所以，
所以，所以，解得.故选：C
【提分秘籍】 基本规律 若三点A,B,C共线，则平面内任一点O。有，反之，也成立
【变式训练】
1.如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把用表示，然后由三点共线可得．
【详解】由题意得，，
因为Q，M，A三点共线，故，化简整理得．选：C．
2. 中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取中点，连,根据三角形重心定理，结合向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】
取中点，连,则点为的重心，，
即，
故选：D.
3.中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据D为BC中点，得到，因为三点共线，推导出，则，结合，得到，从而得到，又，求出.
【详解】因为D为BC中点，所以，因为，所以，
因为三点共线，所以设，即，整理得：，
令，则，则，其中，
因为，所以，故，因为，
所以，又，解得：
【题型七】赵爽弦图
【典例分析】
我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.
【详解】由题意,
即，
所以 故选：A.
【变式训练】
1.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理，将用表示出来，求出，的值，即可求解．
【详解】由题意可得，
因为是平行四边形，所以，所以，所以，
因为，所以，
则．故选:D
2.已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（ ）
A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6
【答案】B
【分析】先根据向量的线性运算得到，然后再利用奔驰定理即可求解.
【详解】由可得：,
整理可得：，
由可得，整理可得：，
所以，整理得：，
由奔驰定理可得：，
故选：.
3.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则λ-μ的值为___________
【答案】
【分析】令AF=1，延长AD交BC于M，求出AB，BM，DM，再借助平面向量基本定理即可作答.
【详解】因，令AF=1，则有，中，，
由余弦定理得，延长AD交BC于M，如图，
由正弦定理得，则有，，
，
中，由正弦定理得，而，
因此得，，于是有，，
，，
因，由平面向量基本定理得，所以.
故答案为：
【题型八】系数未知型
【典例分析】
如图在中，点是内（不包含边界）任意一点，则有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在，，上各取两点，使每个线段分成三等分，并且连结，根据图象即可得出结果.
【详解】解：在，，上各取两点，使每个线段分成三等分，并且连结，
如下图所示：
根据图象可知，，,,
所以可排除A，B，C选项.
故选：D.
【变式训练】
1.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A． B． C．1 D．
【答案】A
因为，设，而，所以且，故，应选答案A．
2.如图，中，与交于，设，，，则为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交于点，由于与交于，可知：点是的重心，利用三角形重心的性质和向量的平行四边形法则即可得到答案．
【详解】延长交于点；
与交于，点是的重心，，，
又
，则为；故答案选A
3.如图:由等边三角形和等边三角形构成的六角星，图中的B，D，F，H，J，L均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O，若，则等于( )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为，得出点的坐标，由向量的运算可求得的值，可得选项.
【详解】以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为，则，，，
因为，所以，解得，所以，
故选：D.
【题型九】最值：均值不等式型
【典例分析】
中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【解析】，因为三点共线，所以且，则，当且仅当，即时，上式取等号，故有最小值8，故选D．
【提分秘籍】 基本规律 基本不等式：≤； 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值；
【变式训练】
1.如图，直角梯形 中，已知，，动点在线段上运动，且，则的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
设，可以用表示和，从而得到与的关系，再利用均值不等式求解.
【详解】设因为
所以
所以，所以
当且仅当，即取等，此时，与重合，符合题意.故选：C.
2.若向量，是不共线的两个向量，与共线，当时，的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
利用平面向量共线定理求出的关系式，再利用基本不等式：积为定值，和有最小值即可求解.
【详解】因为与共线，由平面向量共线定理可知，，
所以，所以，因为，所以，
当且仅当，即时等号成立.故选：A
3.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】如下图所示：
，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.
【题型十】基底与数量积
【典例分析】
如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是_______.
【答案】
【解析】
因为，
，
因此，
【提分秘籍】 基本规律 平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有(). 规定与任何向量的数量积为. 说明：两个向量的数量积与向量同实数积的区别： (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成，书写时注意符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)，. (4)在实数中，若，且，则， 但是在向量中，若，且，不能推出，∵其中. (5)已知实数、、()，则，但是向量不能推出， 如图：， ，但. (6)在实数中有，但是在向量中， 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
【变式训练】
1.如图，在四边形中，，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同的两点，则的值为_________．
【答案】0
【详解】
如图，连AC，取AC的中点E，连ME，NE，则分别为的中位线，所以,
所以．由与共线，所以，
故．答案：0
2.如图，在△ABC中，边BC的四等分点依次为D，E，F．若，则AE的长为______.
【答案】
【解析】
分析：用和表示出得出，在根据和的关系计算，从而得到的长．
详解：因为,
所以，所以
所以，
因为，
所以,
所以，
所以，所以，
所以，所以，即．
3.已知四边形，是的垂直平分线，垂足为，为直线外一点．设向量，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析：由题意结合平面向量的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
由于，
故：，
即.
本题选择C选项.
培优第一阶——基础过关练
1．D是的边BC上的一点，且，设，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】由向量的运算法则可得
故选：C.
【点睛】本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型.
2．向量在正方形网格中的位置如图所示，若(λ，μ∈R)，则=（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】以向量和的交点为原点，建立平面直角坐标系，利用向量的线性坐标运算即可求解.
【详解】以向量和的交点为原点，
建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，
则A(1，-1)，B(6，2)，C(5，-1).
所以==(-1，1)，==(6，2)，==(-1，-3).
∵，∴(-1，-3)=λ(-1，1)+μ(6，2)，
∴，解得，=4.
故选：B
【点睛】本题考查了平面向量的线性坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
3．如图，已知，若点满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将化为，整理后，结合题中条件，即可求出从而可得出结果.
【详解】由得，即，
又，所以，
因此.
故选：C.
【点睛】本题主要考查由平面向量基本定理求参数，属于基础题型.
4．在中，为上一点，且，，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】利用，进一步用表示，然后简单计算判断即可.
【详解】由题可知：，，
则为在上靠近点的三等分点，为的中点
所以 ，又
所以
所以，
故选：C
【点睛】本题考查向量的基地表示，运用三角形法则以及平行四边形法则，熟练向量的加法法则、减法法则，属基础题.
5．△中，点为上的点，且，若，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量对应线段的数量关系可得，再由向量加法的几何应用求的线性关系，结合已知求出即可.
【详解】，即，
∴，
又，则，，故．
故选：C．
6．如图，已知中，点在边上，且，点在线段上，且，设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算可以为基底表示出，由此得到的值，从而求得结果.
【详解】，
，，.
故选：A.
7．如图，已知正方形ABCD的边长为7，E是AB的中点，．AF与DE交于点M，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以原点，为轴，为轴，建立如图所示直角坐标系，正方形的边长为7，是的中点，，则，，，，，的角即为向量与的夹角，再结合向量的夹角公式，即可求解．
【详解】解：以原点，为轴，为轴，建立如图所示直角坐标系，
正方形的边长为7，是的中点，，
则，，，，，
由图可得，的角即为向量与的夹角，
，
．
故选：．
8．如图，在矩形中，，，为上一点，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可．
【详解】解：由题意建立如图所示直角坐标系
因为，，则，，，
所以，，设，
因为，即，解得．
因为，所以，
所以，解得，则．
故选：．
培优第二阶——能力提升练
1．已知正三角形的边长为，，是的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算出.
【详解】过分别作和的平行线，依题意可知是线段离较近的三等分点，
以为坐标原点，为平面直角坐标系，则，，，
则，，.
故选：
2．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于λ的方程，求出λ的值.
【详解】由题意及图：,
又,所以,
所以,又,
所以，解得：.
故选：B.
3．已知点是所在平面内一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的减法及数乘运算法则计算可得．
【详解】解：由题意得，，所以
．
故选：D．
4．如图，在中，，以为直径的半圆上有一点M，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系. ,得出以为直径的圆的方程，根据向量坐标用表示出的坐标，代入圆的方程可得答案.
【详解】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系.
则，
则以为直径的圆的圆心为的中点.
则以为直径的圆的方程为：
则
，所以
由点在圆上，可得
即，解得或（舍）
故选：A
5．如图，已知，点M，N满足，，BN与CM交于点P，AP交BC于点D，.则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用平面向量的线性运算，结合三点共线的向量表示，逐个验证选项.
【详解】三点共线，设，三点共线，设，
A选项：
，
，
∴，解得，
，
所以A选项错误；
B选项：
由，得，
三点共线，则，即，得，即，
有，得，
所以B选项正确；
C选项：
，
所以C选项正确；
D选项：
，
所以D选项错误.
故选：BC
6．如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据向量的三角形法则逐项计算判断即可．
【详解】解：为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，
设三点共线，O为线外一点，则，
即与前系数和为1，
证：三点共线，
，
，
．
，
故A错；
三点共线，
，
三点共线，
，
，
解得，
，
∴ F为BE的中点，
，故B对；
，
，
，故C对；
取AB中点G，BC中点H，如下图，
则三点共线，
，故D对．
故选：BCD．
7．在中，N是AC上的一点，且，P是BN上的一点，设，则实数m的值为______.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用基底向量表示出，再借助平面向量基本定理列式计算作答.
【详解】在中，由得：，因为P是BN上的一点，则有，
即，，
又，且不共线，于是得，解得，
所以实数m的值为.
故答案为：
8．过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，，，则n的值为________.
【答案】
【分析】利用向量的线性运算知，，再利用P，O，Q三点共线，可得，求解即可.
【详解】如图，因为O是重心，所以，即，
因为，所以，
所以，
又，则，所以
因为P，O，Q三点共线，所以，
所以，解得.
故答案为：
培优第三阶——培优拔尖练
1．在中，，，其中，，，，，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】AD
【分析】当时，，再把用表示可判断A；
当时是边长为4的等边三角形，由可判断B；
当时，，两边平方化简可判断C；
当时，，计算出，
，由向量夹角公式可判断D.
【详解】因为，所以与的夹角为，
当时，，
故A正确；
当时，，所以是边长为4的等边三角形，
，所以B错误；
当时，，所以
，
所以，故C错误；
当时，，
，
所以
，
，
所以，
因为，所以，故D正确.
故选：AD.
2．已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DP0.由，得，从而D0P⊥AB.利于几何关系证明CE∥DP0，所以CE⊥AB.根据等腰三角形三线合一即可证明AC=BC.
【详解】如图，
在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DP0.故.同理，由，得，故DP0⊥AB.
由D为BC的中点，E为AB的中点，且，得CE∥DP0，所以CE⊥AB.
又E为AB的中点，所以AC=BC.
故选：ABC
3．已知圆O的半径为2，A为圆内一点，OA＝1，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】设为和的夹角，则，由的范围可得答案.
【详解】如图，连接，，
设为和的夹角.
则
且，
由，当时，有最小值；
当时，有最大值为12.
故答案为：.
4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由题意，利用平面向量基本定理，数形结合与临界值法，即可求解.
【详解】过点作，分别交于点，
过点作，交的延长线于点，
过点作，交的延长线于点，如图，
由
可知，点在线段上运动（不含端点）.
当点与点重合时，，可知.
当点与点重合时，，可知.
故的取值范围为.
故答案为：
5．已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且．若不等式恒成立，则实数的取值范围是___．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得到x、y的关系式，再由题给条件得到关于m的不等式，利用均值定理即可得到实数的取值范围.
【详解】以C为原点分别以CB、CA为x、y轴建立平面直角坐标系如图：
则，
则
则，又点P在直线：上，
则有，即
由恒成立，
可得恒成立，
由，可得
则（当且仅当时等号成立）
又，，则
则，则，
则，
则实数的取值范围是
故答案为：
6．如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为__．
【答案】5
【分析】根据题意设作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理分别表示出，即可求得AP：PM，BP：PN的值，再设PM＝2t，求得PN，PA，PB，设△APN的面积为x，运用余弦定理和面积公式，结合二次函数的最值可得x的最大值，进而得到所求△ABC的面积的最大值．
【详解】设则, ,∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在实数λ、μ，使 故. 而∴，解得 ，
故即AP：PM＝4：1，BP：PN＝3：2，设PM＝t，则PN＝2t，PA＝4t，PB＝3t，t＞0，设△APN的面积为x，∠APN＝α，在△APN中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t，
可得cosα＝＝，sinα＝，则 当，即t＝时，x取得最大值，
而△ABP的面积为x，△BPM的面积为，则△ABC的面积为，
则△ABC的面积的最大值为×＝5．故答案为：5．
7．如图，在△中，，，与交于点，，，，则的值为_________.
【答案】2
【分析】令，，利用平面向量的基本定理知：，，将其转化为的线性关系，可求，再由已知条件，应用数量积的运算律求即可.
【详解】令，，而，
，∴，得，
∴，又，
∴，，，∴.故答案为：2
【点睛】关键点点睛：设，，应用平面向量基本定理求的线性关系求参数，利用向量数量积的运算律求.
8．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，，则的最大值是______．
【答案】
【分析】建立直角坐标系，，设，，然后根据得，再设，，，根据，表示出，进而表示出，换元之后利用基本不等式求解最值.
【详解】以为坐标原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设，，则．
由可得，所以可设，，．
因为，由可得，，
所以．设，，
则，
即当时，取最大值，最大值为．
故答案为：.
【点睛】一般关于平面向量中的最值运算，如果没有坐标的话，通常根据题意建立直角坐标系，利用坐标表示向量的关系，然后数形结合，将式子转化为函数的最值或者利用基本不等式求解最值.
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专题01 线性运算与基底应用
【题型一】 线性定理基础
【典例分析】
已知，是一组不共线的向量，且，，则，可以作为一组基底．( )
【提分秘籍】基本规律平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使基底若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
【变式训练】
1.已知，是一组不共线的向量，若，则，．( )
2.平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示．( )
3.平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( )
【题型二】基底概念计算
【典例分析】
若是一组基底，向量 (x,y∈R)，则称(x,y)为向量在基底下的坐标现已知向量在基底下的坐标为(－2,2)，则在另一组基底＝(－1,1)，＝(1,2)下的坐标为（ ）
A(2,0) B(0,－2) C(－2,0) D(0,2)
【提分秘籍】基本规律对平面向量基本定理的理解（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．（3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，．（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
【变式训练】
1.在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2.已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（ ）
A B
C D
3.已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A B
C D
【题型三】鸡爪形
【典例分析】
在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】基本规律鸡爪形：如图，若D点在BC线段上，且满足,则有
【变式训练】
1.在中，，则（ ）
A． B． C． D．
2.如图所示，点在线段上，且，则（ ）
A． B． C． D．
3.如图所示，在中，为边上的中线，若，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【题型四】风帆型
【典例分析】
如图，在中，是的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【变式训练】
1.在中，，为的中点，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A． B． C． D．
3.如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【题型五】四边型
【典例分析】
已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律四边型、要注意两个特征题型：1.基底不是三角形或者四边形的边，如练习题32.如果与四边形的边和角度无关，则可以把四边形看成矩形，构造坐标系，用坐标运算求解
【变式训练】
1.在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
2.如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
3.在平行四边形中，，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型六】 两线交点型
【典例分析】
在中，，，交于，，则（ ）．
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律若三点A,B,C共线，则平面内任一点O。有，反之，也成立
【变式训练】
1.如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（ ）
A． B． C． D．
2.．中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型七】赵爽弦图
【典例分析】
我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
2.已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（ ）
A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6
3.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则λ-μ的值为___________
【题型八】系数未知型
【典例分析】
如图在中，点是内（不包含边界）任意一点，则有可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A． B． C．1 D．
2.如图，中，与交于，设，，，则为
A． B． C． D．
3.如图:由等边三角形和等边三角形构成的六角星，图中的B，D，F，H，J，L均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O，若，则等于( )
A．1 B． C． D．
【题型九】最值：均值不等式型
【典例分析】
中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．8
【提分秘籍】基本规律基本不等式：≤；基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.基本不等式的变形：①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值；
【变式训练】
1.如图，直角梯形 中，已知，，动点在线段上运动，且，则的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
2.若向量，是不共线的两个向量，与共线，当时，的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
3.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型十】基底与数量积
【典例分析】
如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是_______.
【提分秘籍】基本规律平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有().规定与任何向量的数量积为.说明：两个向量的数量积与向量同实数积的区别：(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成，书写时注意符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)，.(4)在实数中，若，且，则，但是在向量中，若，且，不能推出，∵其中.(5)已知实数、、()，则，但是向量不能推出，如图：，，但.(6)在实数中有，但是在向量中，显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
【变式训练】
1.如图，在四边形中，，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同的两点，则的值为_________．
2.如图，在△ABC中，边BC的四等分点依次为D，E，F．若，则AE的长为______.
3.已知四边形，是的垂直平分线，垂足为，为直线外一点．设向量，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
培优第一阶——基础过关练
1．D是的边BC上的一点，且，设，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．向量在正方形网格中的位置如图所示，若(λ，μ∈R)，则=（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．如图，已知，若点满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，为上一点，且，，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．△中，点为上的点，且，若，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，已知中，点在边上，且，点在线段上，且，设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知正方形ABCD的边长为7，E是AB的中点，．AF与DE交于点M，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，，为上一点，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
培优第二阶——能力提升练
1．已知正三角形的边长为，，是的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点是所在平面内一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，以为直径的半圆上有一点M，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，点M，N满足，，BN与CM交于点P，AP交BC于点D，.则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，N是AC上的一点，且，P是BN上的一点，设，则实数m的值为______.
8．过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，，，则n的值为________.
培优第三阶——培优拔尖练
1．在中，，，其中，，，，，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
2．已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆O的半径为2，A为圆内一点，OA＝1，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是______.
4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为__________.
5．已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且．若不等式恒成立，则实数的取值范围是___．
6．如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为__．
7．如图，在△中，，，与交于点，，，，则的值为_________.
8．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，，则的最大值是______．
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