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专题8立体几何三大角度归类
【题型一】异面直线所成的角：旋转角（圆锥型空间）
【典例分析】
若，，是两两异面的直线，与所成的角是，与、与所成的角都是，则的取值范围是
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律异面直线所称的角的范围：异面直线成角∈(0，]
【变式训练】
1.已知a,b为异面直线，且所成的角为70°，过空间一点作直线l，直线l与a,b均异面，且所成的角均为50°，则满足条件的直线共有 条
A．1 B．2 C．3 D．4
2..若两异面直线所成角为，则成为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（ ）
A．12对 B．24对 C．36对 D．48对
3.异面直线、成角，为、外的一个定点，若过有且仅有2条直线与、所成的角相等且等于，则角属于集合（ ）
A． B．
C． D．
【题型二】 异面直线所成的角：平移角型
【典例分析】
在长方体中，，点为棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
【变式训练】
1.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=B1B=2，AB=4，则异面直线BB1与CD1所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在四棱锥中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角的平面角为锐角，记二面角的平面角为α，直线EC与平面ABFE所成角为β，直线EC与直线FB所成角为γ，则（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【题型三】 求直线与平面所成的角
【典例分析】
在空间，若，，直线与平面所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
【变式训练】
1.正方体中，直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，正四棱柱中，，若直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
3.在正方体中，设直线与直线AD所成的角为，直线与平面所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型四】直线与平面所成角的范围与最值
【典例分析】
若直线与平面所成的角为，直线在平面内，则直线与直线所成的角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.若直线与平面所成的角为，直线在平面内，且与直线异面，则直线与直线所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，已知三棱锥，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型五】二面角型计算求角
【典例分析】
如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，E为PC的中点．平面与平面所成二面角的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．1
【提分秘籍】基本规律计算二面角，常用方法向量法：二面角的大小为(),2.定义法：在棱上任一点，分别在两个半平面内做棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角3.垂面法：做与棱垂直的平面，交二面角两个半平面，两条交线所成的角即为二面角的平面角
【变式训练】
1.二面角的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（ ）
A． B．
C． D．2
2.已知在长方体中，，，记平面和平面的交线为，已知二面角的大小为60°，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【题型六】翻折型二面角
【典例分析】
如下图，已知四边形ABCD，ADEF，AFGH均为正方形，先将矩形EDHG沿AD折起，使二面角的大小为30°，再将正方形沿折起，使二面角的大小为30°，则平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.已知矩形中，，折叠使点A，C重合，折痕为，打开平面，使二面角的大小为，则直线与直线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
2.已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（ ）
A． B． C． D．
3.如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ）
A．1 B． C． D．
培优第一阶——基础过关练
1．在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，空间四边形中，平面平面，，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．已知正方形的边长为平面，则与平面所成角是（ ）
A． B． C． D．
4．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则D1A与平面ABCD所成的角为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
5．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )
A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补
6．过正方体的顶点作平面，使正方形 正方形 正方形所在平面与平面所成的二面角的平面角相等，则这样的平面可以作（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．长方体中，，，则二面角为（ ）
A． B． C． D．
培优第二阶——能力提升练
1．在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角的正切值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．设直线平面，过平面外一点与都成30°角的直线有且只有：
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．在正四面体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4．在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________．
6．如图在三棱锥中，⊥底面，⊥，垂直平分，且分别交、于D、E，又，，则以为棱，平面与平面的二面角的大小为______．
7．点在二面角的平面上，点到平面的距离为，点到棱的距离为，则二面角的大小为______．
8．过正方形ABCD之顶点A作平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的度数为________．
培优第三阶——培优拔尖练
1．在三棱柱中，三棱锥是正三棱锥，，为的中点．若异面直线与所成角的余弦值为，则______．
2．在正四棱锥P－ABCD中，，点E，F满足，，则异面直线BE与CF所成角的余弦值为_______________．
3．已知中，为边上的高线，以为折痕进行折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球半径为__________.
4．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面内，且直线BC与平面所成角为，顶点B在平面上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面所成角的正弦值为________．
5．如图，三棱锥中，，．点在棱上且，则直线与平面所成的角的正弦值是______．
6．如图，ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，则二面角M-BD-C的正切值为_________．
7．如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为_______.
8．已知棱长为1的正方体中，点，分别是棱，上的动点，且．设与所成的角为，与所成的角为，则的最小值为_____．
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专题8立体几何三大角度归类
【题型一】异面直线所成的角：旋转角（圆锥型空间）
【典例分析】
若，，是两两异面的直线，与所成的角是，与、与所成的角都是，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在空间选取一点,过分别作的平行线 、 ,并设 、确定的平面为,再将直线平移至,使经过点,根据直线与平面所成角的定义和异面直线所成角的定义,通过讨论可得直线与所成的角范围是.
【详解】作图如下：在空间选取一点,过作,设直线、确定的平面为，
将直线平移至,使经过点，
当直线时, 与所成的角都是直角,此时所成的角达到最大值;
当直线恰好在平面内,且平分所成的锐角时,与所成的角都是,
此时所成的角达到最小值.所以与所成的角范围是.
因为 ,所以与所成的角等于与所成的角,
即与所成的角范围是.故选D
【提分秘籍】 基本规律 异面直线所称的角的范围：异面直线成角∈(0，]
【变式训练】
1.已知a,b为异面直线，且所成的角为70°，过空间一点作直线l，直线l与a,b均异面，且所成的角均为50°，则满足条件的直线共有 条
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】在空间取一过点P的平面α，过点P分别作a，b的平行线a′、b′，则a′、b′所成锐角等于70°，所成钝角为110°，当过P的直线PM的射影P在a′、b′所成锐角或钝角的平分线上时，PM与两条直线a，b所成的角相等，分别求出两种情况下PM与a，b的夹角的范围，根据对称性即可得出答案．
【详解】在空间取一点P，经过点P分别作a∥a′，b∥b′，
设直线a′、b′确定平面α，
当直线PM满足它的射影PQ在a′、b′所成角的平分线上时，
PM与a′所成的角等于PM与b′所成的角．
因为直线a，b所成的角为70°，得a′、b′所成锐角等于70°．
所以当PM的射影PQ在a′、b′所成锐角的平分线上时，
PM与a′、b′所成角的范围是[35°，90°）．
这种情况下，过点P有两条直线与a′、b′所成的角都是50°．
当PM的射影PQ在a′、b′所成钝角的平分线上时，PM与a′、b′所成角的范围是[55°，90°）．
这种情况下，过点P有0条直线（即PM α时）与a′、b′所成的角都是50°．
综上所述，过空间任意一点P可作与a，b所成的角都是50°的直线有2条．
故选B．
2..若两异面直线所成角为，则成为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（ ）
A．12对 B．24对 C．36对 D．48对
【答案】B
【分析】根据异面直线的定义，由正方体的对称性，以AC为例，即可求得.
【详解】正方体如图示.
若要出现所成角为的异面直线，则直线需为面对角线，以为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是.
正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有对（每一对被计算两次，所以要除以2）．
故选：B
3.异面直线、成角，为、外的一个定点，若过有且仅有2条直线与、所成的角相等且等于，则角属于集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将异面直线，平移到点，则由直线与所成的角相等且等于有且只有2条，得到使直线在面的射影为的角平分线，由此能出结果.
【详解】解：先将异面直线，平移到点，即过点作，，
则，，
而的角平分线与，的所成角为，
而的角平分线与，的所成角为，
当，直线与，所成的角相等且等于有且只有2条，
使直线在面的射影为的角平分线；
故选：A.
【题型二】 异面直线所成的角：平移角型
【典例分析】
在长方体中，，点为棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在上取点，使得，连接，可得，得到异面直线与所成角就是相交直线与所成的角，在中，利用余弦定理和三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】在长方体中，，点为棱上的点，且，如图所示，在上取点，使得，连接，可得，
所以异面直线与所成角就是相交直线与所成的角，
设，
又由在直角中，，所以，
在直角中，，所以，
在中，，
由余弦定理可得,
所以异面直线与所成角的正弦值，故选B.
【提分秘籍】 基本规律 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
【变式训练】
1.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=B1B=2，AB=4，则异面直线BB1与CD1所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取BC中点M，链接A1C1，A1M，MC1从而∠A1MC1是异面直线BB1与CD1所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BB1与CD1所成的角的余弦值．
【详解】取BC中点M，链接A1C1，A1M，MC1
∵在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=B1B=2，AB=4
∴BC=AB=4，MC=2，A1D1=2
∴A1D1MC为平行四边形
∴A1M∥D1C，
同理，B1C1∥BM，B1C1=BM=2，
∴BB1C1C为平行四边形，
∴BB1∥C1M，
∴∠A1MC1是异面直线BB1与CD1所成的角，
∵C1D1DC为等腰梯形，CC1=C1D1=D1D=2，DC=4，
∴∠CC1D1=120°，
∴
又∵
∴ 即为异面直线BB1与CD1所成的角的余弦值为
所以选A
2.如图，在四棱锥中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据异面直线所成角的概念，作， ，则是异面直线与所成的角（或补角），解三角形即可.
【详解】分别取的中点，连接.过点作，垂足为，则是的中点，如图所示，
，，所以，，四边形为平行四边形， 有，又，则是异面直线与所成的角（或补角）.
，，则有，
设，则，，，，
,,，
故.
则异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A
3.如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角的平面角为锐角，记二面角的平面角为α，直线EC与平面ABFE所成角为β，直线EC与直线FB所成角为γ，则（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】过C作平面ABFE，垂足为O，连结EO，则，，，由此能求出结果．
【详解】解：过C作平面ABFE，垂足为O，
∵矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角的平面角为锐角，
记二面角的平面角为α，直线EC与平面ABFE所成角为β，
直线EC与直线FB所成角为γ，
∴，，
∵，∴，由线面角的性质可得．
故选：C．
【题型三】 求直线与平面所成的角
【典例分析】
在空间，若，，直线与平面所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取上一点，作平面于，连接，为直线与平面所成的角，分别作，交于点，，交于点，由已知得为等腰直角三角形，由此能求出直线与平面所成的角的余弦值．
【详解】解：如图，取上一点，过点作平面于，连接，
则为直线与平面所成的角，
分别作，交于点，，交于点，连接、，得，，
因为，，，所以，所以，
所以，则为的角平分线，由，可得，则，所以为等腰直角三角形，令，则，，所以，
即．故选：A．
【提分秘籍】 基本规律 计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
【变式训练】
1.正方体中，直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，作出直线与平面所成的角，再在三角形中求解作答.
【详解】正方体中，连接，连接，如图，
则有，而平面，平面，即有，
又平面，因此平面，
则是直线与平面所成的角，
在中，，，则有，
所以直线与平面所成的角为.
故选：A
2.如图，正四棱柱中，，若直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接与交于点，先利用线面垂直的条件证得平面，可知即为直线与平面所成的角，从而得出答案.
【详解】连接与交于点，，所以即为直线与直线所成的角，即．该几何体为正四棱柱，，可得，所以．
连接，易得，平面，平面，所以平面，
所以即为直线与平面所成的角，，所以．
故选：A.
3.在正方体中，设直线与直线AD所成的角为，直线与平面所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据异面直线所成角及线面角的定义，可得直线与直线AD所成的角，直线与平面所成的角，从而即可求解.
【详解】解：在正方体中，
因为，所以直线与直线AD所成的角，
因为平面，所以为在平面上的射影，
所以直线与平面所成的角，
又平面，所以，
所以，即，
故选：C.
【题型四】直线与平面所成角的范围与最值
【典例分析】
若直线与平面所成的角为，直线在平面内，则直线与直线所成的角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线面角的定义可知直线与直线所成的角的最小值，根据异面直线所成的角的定义知最大角为直角，从而可得答案
【详解】解：由题意可知直线与直线所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以直线与直线所成的角的最小值为，因为直线与直线所成的角的最大值为，
所以直线与直线所成的角的取值范围是，故选：C
【变式训练】
1.若直线与平面所成的角为，直线在平面内，且与直线异面，则直线与直线所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线面角的定义可知与直线所成的角的最小值，根据异面直线所成角的定义知最大角为直角.
【详解】由题可知直线与直线所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以与直线所成的角的最小值为，又为异面直线，则直线与所成角的最大值为.
故直线与直线所成角的取值范围是，故选：D
2.在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接相交于点，由平面，得是直线与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，设，则
，所以，由的范围可得答案.
【详解】
如图，正方体中，连接相交于点，则是的中点，且平面，连接，
则是直线与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，设，
所以，，所以，因为，所以，所以，即.故选：D.
3.如图，已知三棱锥，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不妨设三棱锥是棱长为2的正四面体，取中点,中点,中点，连结，过作，交于，连结，则，计算求得其余弦值或直接求得角的度数，由此能求出结果．
【详解】不妨设三棱锥是棱长为2的正四面体，
取中点，中点，中点，连结，
过作，交于，连结，
则
∴ ， ，
∴ ，取中点，连结，则，
又，平面，．．
一般的，
当为锐角时，由正弦函数的单调性可得，
当为钝角或直角时，由于异面直线所成的角是锐角或直角，此时显然有.
由直线与平面所成的角是与平面内所有直线所成的角中的最小角，可得，
由于的范围是在和之间变化，因此和的大小关系不确定.
故A正确，B,C,D错误
故选：A．
【题型五】二面角型计算求角
【典例分析】
如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，E为PC的中点．平面与平面所成二面角的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】由底面得出，进而由，得出平面与平面所成二面角的正切值.
【详解】分别取的中点为，连接，设，则.
因为是等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，底面，因为四棱锥的体积为，所以，解得.
则，，所以，，
又因为底面为矩形，所以，
所以为平面与平面所成二面角的平面角，
.故选：B
【提分秘籍】 基本规律 计算二面角，常用方法 向量法：二面角的大小为(), 2.定义法：在棱上任一点，分别在两个半平面内做棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角 3.垂面法：做与棱垂直的平面，交二面角两个半平面，两条交线所成的角即为二面角的平面角
【变式训练】
1.二面角的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】D
【分析】利用二面角、空间向量的数量积运算、空间向量的模、夹角与距离求解问题
【详解】∵二面角的平面角为60°，
是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，，，
，，，。
2.已知在长方体中，，，记平面和平面的交线为，已知二面角的大小为60°，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】如图所示，连接，，得到四点共面，确定二面角的大小为，计算得到答案.
【详解】如图所示：连接，，故四点共面，
故平面和平面的交线为，
平面，平面，故，又，
平面，平面，
故二面角的大小为，.
故选：C
3.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂直的条件得，，再由向量的数量积运算可得，根据图示可求得二面角的大小.
【详解】由题意得：，，
因为，
所以，
即，解得：，
又，则，
由图示得，该二面角为为锐角，即该二面角为，
故选：C.
【题型六】翻折型二面角
【典例分析】
如下图，已知四边形ABCD，ADEF，AFGH均为正方形，先将矩形EDHG沿AD折起，使二面角的大小为30°，再将正方形沿折起，使二面角的大小为30°，则平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据射影面积法找到平面ABCD，平面，平面所成的锐二面角的关系，进而求的结果.
【详解】如图，作，．
在平面内，由平面．
在平面内，由面．又因为与全等，
设平面ABCD为平面α，平面为平面β，平面为平面γ.
由面积射影定理知：，
同理可得，
所以，故有．
故选：B.
【变式训练】
1.已知矩形中，，折叠使点A，C重合，折痕为，打开平面，使二面角的大小为，则直线与直线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】设的中点为P，的中点为Q，则为与的公垂线段，利用题设中的二面角可求公垂线段的长度.
【详解】如图，设的中点为P，则折叠后二面角的平面角为．
又，于是是边长为的正三角形．
设的中点为Q，则为与的公垂线段，也即直线与直线的距离，为．
故选：B.
2.已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先找到二面角的平面角为，再证明是异面直线与的距离，在中求解.
【详解】如图，设菱形的边长为，连接两条对角线
易得，
菱形沿对角线折起，连接，得到三棱锥
在菱形中，，翻着后垂直不变，即所以是二面角的平面角，即又因为所以平面，取中点，连接
又因为平面所以在中，，并且为的中点，
所以故是异面直线与的距离
又因为异面直线与的距离是菱形边长的所以
在中，所以，又因为
所以故选：C
3.如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】过和分别作，，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．
【详解】解：过和分别作，，
在矩形，，
，，则，即，
平面与平面所成角的余弦值为，,，
，
，，则，即与之间距离为，故选：C．
培优第一阶——基础过关练
1．在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题易得,连接,即可得出为等边三角形,从而得出所求角的大小为60°.
【详解】如下图所示,连接
,
则异面直线与所成角为
,即为等边三角形
.
故选:C.
2．如图，空间四边形中，平面平面，，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】过点作,垂足为,证明AD与平面BCD所成的角是,再求的大小即得解.
【详解】
如图，过点作,垂足为.
因为平面平面，，平面平面,
所以平面,
所以AD与平面BCD所成的角是,
因为，且AB＝AD，
所以.
所以AD与平面BCD所成的角是.
故选：B.
【点睛】本题主要考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
3．已知正方形的边长为平面，则与平面所成角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线面角的知识求得正确答案.
【详解】由于平面，平面，
所以，故是与平面所成角，
由于正方形的边长为，所以，
所以.
故选：B
4．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则D1A与平面ABCD所成的角为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
【答案】A
【分析】根据正方体的性质可知即为直线与平面所成的角，从而求出结果．
【详解】解：依题意，如图所示，
根据正方体的性质可知，平面，
∴即为直线与平面所成的角，
又∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故选：A．
5．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )
A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补
【答案】D
【分析】作出图像数形结合即可判断.
【详解】如图，
A为二面角α l β内任意一点，AB⊥α，AC⊥β，过B作BD⊥l于D、连接CD，
则∠BDC为二面角α l β的平面角，∠ABD＝∠ACD＝90°，
∠BAC为两条垂线AB与AC所成角或其补角，
∵∠A＋∠BDC＝180°，
∴当二面角的平面角为锐角或直角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小相等，
当二面角的平面角为钝角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小互补.
故选：D.
6．过正方体的顶点作平面，使正方形 正方形 正方形所在平面与平面所成的二面角的平面角相等，则这样的平面可以作（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】由正方体性质可直接判断.
【详解】
如图所示，
由正方形可知，三棱锥为正三棱锥，
所以平面与平面，平面，平面所成角均相等，
所以平面平面，
同理，因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以平面，平面，平面与平面，平面，平面所成角均相等，
所以有4个，
故选：D.
7．如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二面角的定义证明即为二面角的平面角，求出此角即得．
【详解】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得.
故选：B.
8．长方体中，，，则二面角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先二面角的定义得到是二面角的平面角，根据图形即可计算.
【详解】由图可知，，所以是二面角的平面角，
，所以.
故选：D
培优第二阶——能力提升练
1．在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角的正切值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】平移直线至，将直线PB与所成的角转化为PB与所成的角，解三角形即可.
【详解】连接与交于，
因为是正方体，且P为的中点，
所以，所以为直线PB与所成的角.
设正方体的棱长为2，
则在中，，，所以
所以直线PB与所成的角的正切值为
故选：A
2．设直线平面，过平面外一点与都成30°角的直线有且只有：
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】过与平面成30°角的直线形成一个圆锥的侧面（即圆锥的母线与底面成30°角），然后考虑这些母线中与直线成30°角的直线有几条，通过圆锥的轴截面可得．
【详解】如图，，以为轴，为顶点作一个圆锥，圆锥轴截面顶角大小为120°，则圆锥的母线与平面所成角为30°，因此过的所有与平面成30°角的直线都是这个圆锥母线所在直线，
过圆锥底面圆心作直线，交底面圆于两点，圆锥的母线中与直线夹角为30°的直线是母线，也只有这两条直线，
故选：B．
3．在正四面体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取中点，由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直的性质可得.
【详解】取中点，连接，
均为等边三角形，为中点，，，
，平面，平面，
又平面，，即异面直线与所成的角为.
故选：A.
4．在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线面角定义，先证明为与平面所成的角，再根据题设条件求出利用正弦的定义即可求解.
【详解】依题意，可得如图：
设底面的中心为，
易得平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
取的中点，连接，则，
所以平面，连接，
则为与平面所成的角.
因为，
所以.
所以.
故选：A.
5．如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________．
【答案】
【分析】结合长方体的结构特点，可知与平面所成的角为，由及勾股定理可得，进而可求出得出结果.
【详解】长方体中，因为，，
所以，，，
因为底面，平面，所以，
所以与平面所成的角为，
，
由条件可得，解得，
因此，
因为，
所以，与平面所成的角为，
故答案为：
6．如图在三棱锥中，⊥底面，⊥，垂直平分，且分别交、于D、E，又，，则以为棱，平面与平面的二面角的大小为______．
【答案】
【分析】证明出线面垂直，得到是平面与平面的二面角，设，求出其他边长，得到，得到，二面角的大小为.
【详解】∵，又点为的中点，
∴，
∵垂直平分，，平面，
∴⊥平面，
∵平面，
∴⊥，
∵⊥平面，平面
∴⊥，
∵，平面，
∴⊥平面，
∵平面，
∴⊥，⊥，
故是平面与平面的二面角，
设，则，故，
∵⊥，
∴，
故，
故，
∴.
故答案为：.
7．点在二面角的平面上，点到平面的距离为，点到棱的距离为，则二面角的大小为______．
【答案】或
【分析】根据二面角的定义，结合勾股定理分类讨论进行求解即可.
【详解】当二面角为钝角时，如下图所示：
设，连接，
因为，所以，而平面，
所以平面，而平面，所以，
所以是二面角的平面角的补角，
在直角三角形中，，
所以二面角的大小为，
同理当二面角为锐角时，二面角的大小为，
故答案为：或
8．过正方形ABCD之顶点A作平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的度数为________．
【答案】
【分析】将四棱锥补成正方体即可求解.
【详解】根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示：
连接CE，则平面CDP和平面CPE为同一个平面，
由题可知平面，平面，
∴，，又平面和平面，平面，平面，
∴为平面和平面所成的锐二面角的平面角，大小为.
故答案为：.
培优第三阶——培优拔尖练
1．在三棱柱中，三棱锥是正三棱锥，，为的中点．若异面直线与所成角的余弦值为，则______．
【答案】
【分析】取的中点，连接，，则（或其补角）就是异面直线与所成角．然后在三角形中，利用余弦定理即可求解.
【详解】如图，取的中点，连接，，，则（或其补角）就是异面直线与所成角．在正三棱锥中，易得，平面，则平面，又平面，则．因为，所以，所以平行四边形是矩形．设．
在中，，，，由余弦定理，得，即，
解得，所以．
故答案为：.
2．在正四棱锥P－ABCD中，，点E，F满足，，则异面直线BE与CF所成角的余弦值为_______________．
【答案】
【分析】∠BEG是异面直线BE与CF所成的角（或补角），求出△BEG中各边的长，由余弦定理求角的余弦值.
【详解】如图，取棱PC的中点G，连接BG，EG．
由题意可知，即E是PF的中点．
因为G是PC的中点，所以，则∠BEG是异面直线BE与CF所成的角（或补角）．
正四棱锥P－ABCD中，，设，
中，，，，
则，
正三角形中，，
与中，，，
∴，，
在△BEG中，由余弦定理可得．
故答案为：
3．已知中，为边上的高线，以为折痕进行折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球半径为__________.
【答案】
【分析】先说明为二面角的平面角，从而科力远余弦定理求得，在证明平面，利用正弦定理求出外接圆的半径，再利用勾股定理即可得出答案.
【详解】由题意，可得为二面角的平面角，
即，
在中，，
由余弦定理，可得，
又由且平面，
所以平面，
设外接圆的半径为，圆心为，
则，可得，即，
设三棱锥的外接球的半径为，球心为，
可得，即，
所以三棱锥的外接球半径为.
故答案为：.
4．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面内，且直线BC与平面所成角为，顶点B在平面上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面所成角的正弦值为________．
【答案】##0.5
【分析】分析可得当四边形为平面四边形时，点到点的距离最大，作平面,垂足为，点作平面，垂足为，则可求，进而可求解.
【详解】取中点，连接，
当四边形为平面四边形时，点到点的距离最大，
此时，因为平面，平面，
所以平面平面，
过作平面,垂足为，
则为正三角形的重心，
设正四面体的边长为1，则,
因为直线BC与平面所成角为即,且，
所以,
所以点到平面的距离等于，
过点作平面，垂足为，
则,
所以直线CD与平面所成角的正弦值为，
故答案为: .
5．如图，三棱锥中，，．点在棱上且，则直线与平面所成的角的正弦值是______．
【答案】##0.5
【分析】根据所给条件由勾股定理证明，将底面补成矩形ACBD，连接PD，易证PD底面ACBD，作QEPD交BD于点E，连接CE，可得QCE就是直线CQ与平面ABC所成的角，解三角形即可求解.
【详解】由可得，由，
可得，故，将底面补成矩形ACBD，连接PD，
因为，所以，又，，
平面，平面，所以平面，可得，
同理可得平面，平面，所以，
又，平面ACBD，平面ACBD，所以PD底面ACBD，
作QEPD交BD于点E，连接CE，则QE底面ACBD，
所以就是直线CQ与平面ABC所成的角，
因为，所以，
又，所以QE=，且，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值是.
故答案为：
6．如图，ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，则二面角M-BD-C的正切值为_________．
【答案】##
【分析】取OC的中点N，连接MN，得到MN⊥面ABCD，且得到的值，过点N作NR⊥BD于点R，连接MR，得到∠MRN为二面角M-BD-C的平面角，过点C作CS⊥BD于点S，求得，从而得到，进而求得二面角M-BD-C的正切值．
【详解】取OC的中点N，连接MN，则MN∥PO，
∵ PO⊥面ABCD，∴MN⊥面ABCD，，
过点N作NR⊥BD于点R，连接MR，
则∠MRN为二面角M-BD-C的平面角，
过点C作CS⊥BD于点S，则，
在Rt△BCD中，CD·BC =BD·CS，
则，则，
所以，
所以二面角M-BD-C的正切值为．
故答案为：．
7．如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为_______.
【答案】
【分析】根据题意以及面面垂直的性质定理，可作出在平面内的射影，再利用摄影面积法求出二面角的余弦值，再根据所求角与二面角互补即可求得结果.
【详解】过 A作的延长线于E， 连结 DE，
∵平面平面，平面平面，
∴ 平面
∴ E点即为点A在平面内的射影，
∴ 为在平面内的射影，设，则，
∴由余弦定理可得，∴，
∴ ，
又，∴ ，
设二面角为，∴ .
而二面角与互补，
∴二面角 的余弦值为.
故答案为：
8．已知棱长为1的正方体中，点，分别是棱，上的动点，且．设与所成的角为，与所成的角为，则的最小值为_____．
【答案】
【分析】在上取，找出与、相等的角，进而根据三角形全等证得.在中，可求，所以，即可得出答案.
【详解】
在上取，使、，连接、.
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，且，所以即为与所成的角，即，
同理可得，，.
由已知可得，平面，平面，所以，
又，所以，所以为直角三角形.
同理可得，为直角三角形.
由，，可得≌，所以，即．
又在中，，.
则在中，有，所以，
因此．
故答案为：.
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