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专题6 几何体的截面10种归类
【题型一】 棱柱截面形状
【典例分析】
用平面截正方体，截面不可能是（ ）
A．菱形 B．等腰梯形
C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【分析】举例即可说明A、B、D正确；假设截面是正五边形，经分析得出必有两条截线平行，这与正五边形的性质相矛盾，即可判断C项.
【详解】对于A项，当截面与正方体表面平行，且与正方体相交时，截面为正方形，即截面可能是菱形，故A项正确；
对于B项，如图1，当时，有，且，此时截面为等腰梯形，故B项正确；
对于C项，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故C项错误；
对于D项，如图2，分别为各边的中心，易证共面，且为正六边形，故D项正确.
故选：C.
【提分秘籍】 基本规律 1有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都互相平行，把这样的多面体叫做棱柱；那一对互相平行的面称为棱柱的底面_，其余的面则称为棱柱的侧面，不在底面上的棱称为棱柱的侧，而棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高．
【变式训练】
1.．用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】D
【分析】用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形.
【详解】
如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形，
因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形，
不可能为七边形，
故选:D.
2.若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面( )
A．一定通过正方体的中心 B．一定通过正方体一个表面的中心
C．一定通过正方体的一个顶点 D．一定构成正多边形
【答案】A
【分析】根据正方体的性质，所有过中心的截面都把正方体分成体积相等的两部分，从而可得正确答案．
【详解】根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平面，不管哪种截面都过正方体的中心．
故选：A3.
3.在正方体中，点Q是棱上的动点，则过A，Q，三点的截面图形是（ ）
A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．以上都有可能
【答案】D
【分析】由点是棱上的动点，可考虑分别在的端点以及中点，故可得过、、三点的截面图形的形状.
【详解】所以当点与重合时，过、、三点的截面是等边三角形；
当点与重合时，过、、三点的截面是矩形；
当点与的中点重合时，取的中点,由于所以,又,故过、、三点的截面是等腰梯形，如图所示：
所以过，，三点的截面图形是可能是等边三角形、矩形或等腰梯形．
故选：D
【题型二】棱锥截面
【典例分析】
一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据截面性质作图即可得到答案．
【详解】解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下：
观察可知截面不可能出现直角三角形.
故选：C
【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题．解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力．
【提分秘籍】 基本规律 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥，其中，这个三角形或平面多边形称为棱锥的底面，其余的面称为棱锥的侧面_，不在底面上的棱称为棱锥的侧冷_，所有侧棱的公共点称为棱锥的定点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高_.
【变式训练】
1.已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为___________.
【答案】
【分析】由平行关系确定相似关系，根据相似比定出面积比，从而得解.
【详解】由题意知, 所求截面是等边三角形, 且与点构成一个小的正三棱锥,
因为, 即,
所以该小的正三棱锥与正三棱锥 的相似比为,
所以 , 所以所求截面的面积 .
故答案为: .
2.棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为，则此棱锥的高被分成的上、下两段之比为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析被平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比再求解即可.
【详解】因为截面面积与底面面积之比为,且面积是平方的关系,故平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比为.
故小棱锥与大棱锥的高比值也为,故此棱锥的高被分成的上、下两段之比为.
故选：C
3.过棱锥的高的两个三等分点，分别作与底面平行的两个平行截面，则自上向下的两个截面与底面的面积之比是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考虑三棱锥的情况，根据相似得到相似比为，面积比为，再考虑棱锥的情况得到答案.
【详解】如图所示：当棱锥为三棱锥时，易知，相似比为，
则，
易知，，
同理，，故，
相似比为，故面积比为，
当棱锥为棱锥，时，可以看成是多个三棱锥的组合体，面积比不改变.
综上所述：两个截面与底面的面积之比是.
故选：C.
【题型三】棱台截面
【典例分析】
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】D
【分析】根据棱锥的性质，用平行于棱锥底面的平面截该棱锥，截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，以此可得棱锥的高，进而得到棱台的高．
【详解】∵截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为h，
根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，
则，∴，
∴棱台的高是，即棱台的上、下底面的距离为3.
故选：D．
【提分秘籍】 基本规律 如果棱锥被一个平行于底面的平面所截，那么截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台，其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台_.
【变式训练】
1.如图所示，三棱台中，沿面截去三棱锥，则剩余部分是
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱台
【答案】B
【分析】根据棱锥的定义和空间结合体的结构特征，即可求解，得到答案.
【详解】由题意知，三棱台中，沿面截去三棱锥，
则剩余部分是四棱锥，故选B.
2..如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么
A．2＝＋ B．S0＝
C．2S0＝S＋S′ D．S0＝2S′S
【答案】A
【分析】棱台不妨看做三棱台，利用相似的性质，面积之比是相似比的平方，化简即可．
【详解】不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，
根据相似比的性质可得：可得消去r，可得2＝＋，故选A．
3.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化简求出结果．
【详解】设棱台的高为与截得它的棱锥的高，作出草图，如下图所示：
由相似关系可得，，所以，则
即， 可得 .故选：B．
【题型四】球截面
【典例分析】
一个正方形内接于一个球，过球心作一截面，则截面的图形不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断出可能的截面，由此确定不可能的截面.
【详解】画出正方体如下图所示，设正方体外接球的球心为.
是棱的中点，过的截面图像为B选项对应的图像.
过的截面图像为D选项对应的图像.
设是棱靠近的三等分点，过的截面图像为A选项对应的图像.
故C选项的图像不可能.
故选C.
【提分秘籍】 基本规律 如图，将圆心为的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球． 半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做球面_． 点到球面上任意一点的距离都相等，点叫做球心，原半圆的半径和直径分别叫做球的半径和直径．
【变式训练】
1.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（ ）
A．圆柱 B．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体
【答案】C
【分析】由球体截面的性质，即可确定正确选项.
【详解】各个截面都是圆，几何体中只有球体的任意截面都是圆，
这个几何体一定是球体，
故选：C．
2.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是（ ）
A．圆锥、圆柱 B．圆柱、球体 C．圆锥、球体 D．圆柱、圆锥、球体
【答案】D
【分析】由圆锥，圆柱，球体的几何特征判断即可.
【详解】解：用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是圆锥，也可能是圆柱，也可能是球体，
故选：D.
【题型五】球截面计算基本型
【典例分析】
一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个平面的距离为3，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据球半径，球心距与底面圆半径构成直角三角形求解.
【详解】画图为：
从图像得半径。又因为球心到这个平面的距离为3，即。所以球半径
所以该球的体积为：故选：A
【提分秘籍】 基本规律 1.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面 2.截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理
【变式训练】
1.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用球的半径OA、球心与截面圆心的连线、OA在截面圆上的射影构成的直角三角形解决即可．
【详解】因为OA与该截面所成的角是60°，
所以截面圆的半径，
故截面的面积.故选A
2.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是，则截面的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据截面半径与球半径，球心到截面的距离，构成的直角三角形，解出截面半径，即可求出答案．
【详解】如图所示：为截面半径， , ，则,截面积=
故选C
3.已知平面截一球面得圆，球中过小圆心的直径为，过点且与成角的平面截该球面得圆，若该球的半径为4，圆的面积为，则圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出OM的长，找出线面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．
【详解】∵圆M的面积为4π，∴圆M的半径为2，根据勾股定理可知OM2，
∵过点且与成角的平面截该球面得圆，∴∠OMN＝30°，
在直角三角形OMN中，ON＝2，∴圆N的半径为，
∴圆N面积为：13π．故选D．
【题型六】球内两平行面
【典例分析】
两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】对两个平行平面在球心的同侧和两侧两种情况讨论，计算出球心到两截面的距离，进而可求得两平面间的距离.
【详解】如图（1）所示，若两个平行平面在球心同侧，
则；如图（2）所示，若两个平行截面在球心两侧，
则.故选：D.
【变式训练】
1.两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（ ）
A．7 B．17
C．5或12 D．7或17
【答案】D
【分析】根据球的半径和两个截面圆的面积求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的位置分别求出两个平行平面间的距离．
【详解】解：球的半径为，设两个截面圆的半径别为，，球心到截面的距离分别为，；
球的半径为，由，得；由，得；
如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；
即；
如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．
即；
所以这两个平面间的距离为或．故选：D．
2.已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2．若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为正方形，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．
【详解】解：如下图所示，
设两圆的圆心为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，中点为E，因为圆心到这两个平面的距离相等，
则OO1EO2为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r，，，
又|OE|2+|AE|2＝|OA|2，即32﹣2r2+2＝16，则r2＝9，r＝3，所以，这两个圆的半径之和为6，
故选B．
【题型七】 棱锥截面周长与面积计算
【典例分析】
已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P-ABCD所得截面，求其面积，可得答案.
【详解】分别取，，，的中点，，，，线段上靠近的四等分点，
连接,
因为,
所以,四边形是平行四边形，即四点共面，
设中点为,易得,故，所以五点共面，
则平面即为平面，如图，
在中，,可得,
所以，，，
在等腰三角形中，，，所以高为，
故所求截面面积为矩形面积与三角形面积之和，．
故选：A
【提分秘籍】 基本规律 棱锥截面如果平行底面，则满足以下关系： 高为一维的量，面积为二维的量，体积为三维的量，故若立体图形的相似比为，则高的比为，各面积的比为，体积比为
【变式训练】
1.如图，棱锥的高，截面平行于底面，与截面交于点，且.若四边形的面积为36，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．16 C．4 D．8
【答案】C
【解析】根据高的比可得四边形与四边形相似比,结合与面积比的关系即可得解.
【详解】由题意可知,四边形与四边形相似,
则四边形与四边形的相似比为
根据相似比与面积比关系可得四边形的面积为.
故选:C
2.如图，已知三棱锥，点P是的中点，且，过点P作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为_________.
【答案】6
【解析】设AB、BC、VC的中点分别为D、E、F，连接DE、EF、PF、PD，则可证明截面EFPD就是所求平面，根据中位线的性质，即可求得答案.
【详解】设AB、BC、VC的中点分别为D、E、F，连接DE、EF、PF、PD，如图所示
因为D、E分别为AB、BC的中点，所以，同理P、D分别为VA、AB的中点，所以，平面EFPD，平面EFPD，所以平面EFPD，平面EFPD，
所以截面EFPD就是所求平面，因为，所以,，
所以截面EFPD的周长为2+2+1+1=6，故答案为：6
2.已知三棱锥的底面是边长为a的等边三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为________．
【答案】##
【分析】根据面积比等于相似比的平方求解即可.
【详解】因为三棱锥的底面是边长为a的等边三角形，所以三棱锥底面积为a2，
设过各侧棱中点的截面的面积为，则.所以故答案为：
3.．如图，正四棱锥的所有棱长都等于，过不相邻的两条棱作截面，则截面的面积为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意首先求得截面三角形的边长，然后求解其面积即可.
【详解】根据正棱锥的性质，底面ABCD是正方形，∴AC＝a．在等腰三角形SAC中，SA＝SC＝a，又AC＝a，
∴∠ASC＝90°，即S△SAC＝a2.本题选择C选项.
【题型八】柱体截面周长计算（难点）
【典例分析】
在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体的特征，作出过点，，的该正方体的截面，计算相关线段的长，即可求得答案.
【详解】设为的三等分点，靠近B点，连接,并延长交延长线于P，
设为的三等分点，靠近点，连接,并延长交延长线于Q，
则∽，由于，故,
同理求得,故两点重合，则,故，而，故,同理可得,即四边形为平行四边形，
连接,则五边形即为过点，，所作的正方体的截面，由题意可知 故该截面的周长是 ，故选：C
【提分秘籍】 基本规律 棱柱截面多边形周长的计算，在画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．
【变式训练】
1.已知正四棱柱中，，点M是线段的中点，点N是线段上靠近D的三等分点，若正四棱柱被过点，M，N的平面所截，则所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明截面四边形为平行四边形，再求出截面的边长相加即得解.
【详解】解：作出图形如图所示．
延长至Q，使得，连接MQ，NQ，则截面四边形为平行四边形；记MQ与BC交于点R，NQ与CD交于点P，则，，，，，故所得截面的周长为.故选：B．
2.在正方体，中，，分别为正方形和的中心，，则平面截正方体所得截面的周长是（ ）
A．10 B．40 C． D．
【答案】D
【分析】延长，交于点，连接并延长，分别交，于，，连接，连接并延长，交于点，连接，得到四边形为所求截面，进而求得截面的周长，得到答案.
【详解】如图所示，延长，交于点，连接并延长，分别交，于，，连接，连接并延长，交于点，连接，则四边形为所求截面，因为是正方形的中心，所以，
由题意易证四边形为菱形，所以，，所以，，则为的中点，则，从而，故所求截面的周长为．故选：D.
3.已知正方体的棱长为1，点分别为的中点，则过点的截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用线面平行的判定和性质作两面交线，由此能求出结果．
【详解】由EF∥BC1，知过点的截面为等腰梯形 ∵正方体的棱长为1，∴截面周长为：
EF+FB+BC1+C1E＝故选：A．
【题型九】柱体截面面积计算（难点）
【典例分析】
如图，已知正方体的棱长为2，点是线段的中点，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．
【答案】B
【分析】根据题意作出截面图，结合几何关系即可求得其面积.
【详解】根据题意，作出正方体被平面所截得到的截面为四边形，如下所示：
根据正方体的几何特点，显然四边形为矩形，且，故其面积.故选：.
【提分秘籍】 基本规律 作截面的常用三种方法： （1）直接法：截面的定点在几何体的棱上； （2）平行线法；截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行； （3）延长交线得交点：截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
【变式训练】
1.已知正方体，棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先作出经过，D，E三点的正方体的截面，再利用梯形面积公式即可求得该截面面积.
【详解】正方体中，平面，则平面与平面的唯一交线与平行.
取中点F，连接、、、，则四边形即为经过，D，E三点的正方体的截面
梯形中，，，
则梯形的高为则梯形的面积为故选：A
2.如图，已知正方体的棱长为2，点是线段的中点，平面经过点，，，则正方体被平面截得的截面面积为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】先判断出平面即为正方体被平面截得的截面，再求面积即可.
【详解】
连接，由点是线段的中点，可得经过点，又，则四边形为平行四边形，又点面，则平面即为正方体被平面截得的截面，
又，，则截面面积为.故选：B.
3.在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】先作出平面截正方体的截面，再求出截面的高，由梯形面积公式得出截面面积.
【详解】取的中点为M，连接EM，，则，且，则．又正方体中，，所以，，因此，所以平面截正方体所的截面为等腰梯形，因此该等腰梯形的高为，所以该截面的面积为故选：D．
【题型十】几何体表面截球面型（难点）
【典例分析】
已知球O内切于正方体，P，Q，M，N分别是的中点，则该正方体及其内切球被平面所截得的截面面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意易知正方体的内切球球心为正方体的体对角线中点，直径为正方体的棱长，球心到平面的距离为底面对角线长的四分之一，从而可得内切球被平面所截得的截面小圆的半径，从而可得所求比值．
【详解】解：如图，易知正方体的内切球的球心O为的中点，
设球O切上下底面中心于点E，F，则球O的半径，
又易知球心O到平面的距离等于E到平面的距离，
设交于点G，则易证平面，
∴球心O到平面的距离，
设正方体的棱长为，
则，，
∴球O被平面所截的小圆半径，
∴球O被平面所截的小圆面积为，
又易知，，
∴该正方体被平面所截得的截面面积为，
∴该正方体及其内切球被平面所截得的截面面积之比为，
故选：A
【变式训练】
1.如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出平面截球的截面的平面图，由正方体棱长和锐角三角函数，可求出内切圆的半径，进而可求得截面面积.
【详解】平面截球的截面为的内切圆，正方体棱长为1，.内切圆半径.截面面积为：.
故选：C.
2.在正四棱锥中，，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先作出辅助线，求出外接球半径，求出球心到截面的距离，从而得到截面圆的半径，求出截面的面积.
【详解】如图，作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，从而正四棱锥外接球的球心在上，
取棱的中点，连接，作，垂足为.由题中数据可得，设四棱锥外接球的半径为，则，
即，解得.由题意易证，则，故.
故所求截面圆的面积是.故选：B
3.已知点P、A、B、C是球O的球面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直且长度均为，M是AP的中点，记过点M与平面ABC平行的平面，则球O被平面截得的截面面积等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据PA、PB、PC两两垂直且长度均为可求球O的半径.连接OP，交平面ABC于点E，交平面于点F，根据正方体的几何性质可求OE、PE、PF，从而可求OF，于是可求截面圆的半径和面积．
【详解】∵PA、PB、PC两两垂直且长度均为，∴球O为棱长是的正方体的外接球，设球的半径为R，则．连接OP，交平面ABC于点E，交平面于点F，则OP为正方体体对角线的一半，则易证平面ABC，则平面，，易知△ABC为等边三角形，E为△ABC的中心，CE=，
OE=，∵M是AP的中点，平面∥平面，∴，，即球心O到平面的距离为2，∴截面圆的半径，
∴截面面积为．故选：A．
培优第一阶——基础过关练
1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆柱的体积公式计算可得结果.
【详解】由题意知该圆柱的高和底面直径是，
所以该圆柱的体积为.
故选：C.
2．已知正四面体的棱长为，为上一点，且，则截面的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在立体图形中作平面几何分析，利用余弦定理和面积公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以在正三角形中，由余弦定理可知：
因为和都是正三角形，
所以,所以，所以，
所以是等腰三角形，取中点，则，
所以，.故选:D.
3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）
【答案】D
【分析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可.
【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示；
当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状；
故选：D
4．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理可构造方程求得球的半径，由球的体积公式可求得结果.
【详解】设球的半径为，则，解得：，
球的体积.
故选：A.
5．如图，直四棱柱的所有棱长均为，，是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用作延长线找交点法，得出截面图形为梯形，求出梯形周长即为所求.
【详解】连接 与的延长线交于点, 连 接与交于点,
因为 , 所以为的中点, 则为的中点,所以截面为梯形 ,
因为所有棱长均为2,，所以,,
,
,
故梯形 的周长为 .故选：D.
6．把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，，设，把面积y表示为的表达式，则有（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题知，再计算面积即可.
【详解】解：由题知，，，
所以，在中，，
所以，其矩形木料的面积为.
故选：D
7．在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正四棱台的体积公式、结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式进行求解即可.
【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，该四棱台的高，.
在上下底面由勾股定理可知，.
在梯形中，，
所以该四棱台的体积为，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，.
取的中点，连接、，显然有，平面，
平面，所以平面，因此平面就是截面.
显然，
在直角梯形 中，，
因此在等腰梯形中，，
同理在等腰梯形中，，
在等腰梯形中，设，则，
，
所以梯形的面积为，
故选：C.
【点睛】关键点睛：根据基本不等式求出体积最大值，结合线面平行判定定理判断截面的形状是解题的关键.
8．如图，在长方体中，，分别为的中点，点在平面内，若直线平面，则与满足题意的构成的平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据面面平行得出满足题意的点构成的平面截正方体的截面为即可解决.
【详解】如图，连接，
因为E，F，G分别为的中点，
所以平面，则平面，
因为，所以同理得平面，
又，得平面平面，
所以点在直线上，则与满足题意的构成的平面截正方体的截面为，
在中，有，所以．
故选：D
培优第二阶——能力提升练
1．下列命题中正确的有（ ）
A．圆锥、圆台的底面都是圆面
B．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆
C．用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台
D．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周后得到的两个空间图形是两个不同的圆柱
【答案】AD
【分析】对于AD，根据圆锥，圆台，圆柱的特征分析判断，对于BC，举例判断.
【详解】对于A，圆锥、圆台的底面都是圆面，所以A正确，
对于B，用一个平面去截圆柱，如轴截面是矩形，故B错误；
对于C，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故C错误，
对于D，分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周后得到的两个空间图形是两个不同的圆柱，所以D正确，
故选：AD
2．如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】BD
【分析】由正方体的对称性即可得解.
【详解】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，
如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.
故选：BD
3．已知正方体的棱长为2，过棱，的中点E，F作正方体的截面，下列说法正确的是（ ）．
A．该正方体外接球的表面积是
B．若截面是正六边形，则直线与截面垂直
C．若截面是正六边形，则直线与截面所成角的正弦值为
D．若截面过点，则截面周长为
【答案】BD
【分析】由正方体对角线是外接球直径求出球表面积判断A，正六边形截面与相应棱交点是棱中点，建立空间直角坐标系，由空间向量法证其垂直求线面角可判断BC，由正方体性质作出截面求出周长后判断D．
【详解】对于A，外接球的半径为，故外接球的表面积为，故A错误；
对于B，建立如图1所示的空间直角坐标系，
设的中点为G，则，，，，，
∴，，，
∴，，
则，，即，，
又，，正六边形截面，
∴正六边形截面，故B正确；
对于C，如图1，易得，为正六边形截面的一个法向量，
设直线与截面所成的角为，
则，故C错误；
对于D，如图2，延长，与的延长线交于点K，与的延长线交于点L，连接交于点M，连接交于点N，则截面为平面．
因此有，M为的三等分点，N为的三等分点，
于是．
∵，，，
故截面的周长为，故D正确．
故选：BD．
4．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据正方体截面过外接球球心，讨论截面是否过顶点及所过顶点个数、是否与侧面平行，即可判断截面图形的元素.
【详解】当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A；
当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C；
当过球心的截面过其中4个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B正确，D错误.
故选：ABC
5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为_________．
【答案】
【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线的关系，再根据弧长公式即可得解.
【详解】设圆锥底面半径为，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得，
母线长，
则圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为.
故答案为：.
6．在棱长为的正方体中，，分别是正方形、正方形的中心，则过点，，的平面截正方体的截面面积为______．
【答案】
【分析】连接AC，, ,找到过点A、、的平面截正方体的截面,确定其形状，求得截面边长，即可求得答案.
【详解】如图连接AC，则AC过点M,连接,则经过点N,连接,
则过点A、、的平面截正方体的截面为等边，
因为正方体棱长为，故边长为，面积为，
故答案为：
7．一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为__．
【答案】2
【分析】截面三角形为等腰直角三角形时，截面面积最大，进而计算面积即可.
【详解】解：由题知，过圆锥顶点的截面中，截面三角形为等腰直角三角形(直角边为母线）时，截面面积最大，
所以，最大截面面积为．
故答案为：
8．正方体中，棱长为分别是、的中点，是底面的中心，过作截面，则所得截面的面积为___________.
【答案】##
【分析】连接，可证明，然后可得截面为梯形，然后求出其面积即可.
【详解】
连接，因为分别是、的中点，
所以，因为，所以，
因为是的中点，所以过作截面，所得截面为梯形，
因为正方体的棱长为，所以，，，
所以梯形的高为，其面积为，
故答案为：
培优第三阶——培优拔尖练
1.已知三棱锥的棱，，两两互相垂直，，以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件可得球与三棱锥的表面的交线均为以点为顶点，半径为，圆心角为的圆弧，然后利用等体积法算出点到平面的距离，然后可得球与表面的交线为以的中心为圆心，半径为的圆，然后可得答案.
【详解】因为三棱锥的棱，，两两互相垂直，，
所以球与三棱锥的表面的交线均为以点为顶点，半径为，圆心角为的圆弧，其长度为，
设点到平面的距离为，
因为，所以是边长为的等边三角形，
由可得，解得，
所以球与表面的交线为以的中心为圆心，半径为的圆，其长度为，
因为，所以以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为，
故选：D
2．如图，在正方体中，，分别是的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设可知截面的形状是等腰梯形,
且上底长为,下底长为,
高,故其面积为,选B.
3．正四面体棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，过G作平面，则平面截正四面体，所得截面的面积为______．
【答案】1
【分析】根据题意作出图形，利用线面垂直的判定可得截面为边长为1的正方形，进而求解.
【详解】分别取的中点，连接，
由题意可知：且，又因为且，
所以且，所以四边形为平行四边形，由因为且，所以，则平行四边形为菱形，
因为为正四面体，所以三角形是边长为2的正三角形，
所以且，同理且，
又，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，所以，所以菱形为正方形.
因为，且为的中点，所以，
因为，所以，同理，，平面，所以平面，所以过G作平面，则平面截正四面体所得的图形即为正方形，所以截面面积为，
故答案为：.
4．如图，在棱长为的正方体中，分别是正方形的中心，在线段上，，则过点的正方体的截面的面积是__．
【答案】
【分析】根据题意，作出截面图形，进而求解即可.
【详解】取中点，中点，中点，中点，
因为，所以截面为矩形，且，，
所以截面的面积是.故答案为：.
5．如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且底面，分别是棱的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下几个结论：
①截面的面积等于；
②截面是一个五边形且只与四棱锥四条侧棱中的三条相交；
③截面与底面所成锐二面角为；
④截面在底面的投影面积为.
其中，正确结论的序号是___________.
【答案】②③④
【分析】取CD中点G，PA的四等分点I，依次连接E、F、G、H、I，则多边形EFGHI即为平面截四棱锥所得的截面多边形；
，结合垂直关系可证得为截面与底面所成锐二面角；
取AB、AD中点K、L，结合垂直关系证得多边形AKFGL为截面在底面的投影.
【详解】取CD中点G，PA的四等分点I，依次连接E、F、G、H、I，设，则M为CN中点，N为AC中点，故M为AC四等分点，故，
底面是菱形，，则为正三角形，，又，∴，.
底面，底面，∴，，∴，
∵分别是棱的中点，∴，且，.
综上可知，多边形EFGHI即为平面截四棱锥所得的截面多边形.
∵平面PAC，∴平面PAC，∵平面PAC，∴，∴，∴四边形EFGH为矩形，其面积为.
设，则M为CN中点，N为AC中点，∴，.
∵平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，∵平面EFGH平面PAC，∴且，∴，
∴的边EH上的高，∴，∴截面的面积等于，①错；
由图可知，截面是一个五边形，只与四棱锥四条侧棱中的侧棱PA、PB、PD相交，②对；
截面，平面ABCD， ，则平面PAC，平面PAC，则，，∴为截面与底面所成锐二面角，则在中，，故截面与底面所成锐二面角为，③对；
取AB、AD中点K、L，则，则底面，底面，∴多边形AKFGL为截面在底面的投影，
且，则多边形AKFGL的面积为，④对.
故答案为：②③④
6．棱长为的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是_________．
【答案】
【分析】连接，设截面交棱于点，连接、，利用面面平行的性质分析可知点为的中点，且四边形为等腰梯形，计算出该四边形的各边长及高，利用梯形的面积公式可求得截面的面积.
【详解】连接，设截面交棱于点，连接、，
在正方体中，且，
则四边形为平行四边形，所以，，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，则，
为的中点，则为的中点，
由勾股定理可得，，，
所以，四边形为等腰梯形，
过点、分别在平面内作、，垂足分别为点、，
由等腰梯形的性质可得，，
又因为，所以，，所以，，
因为，，，则四边形为矩形，所以，，
所以，，则，
因此，截面面积为.
故答案为：.
7．如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是___________.（请写出所有正确命题的编号）
①当时，S为等腰梯形；
②当时，S与的交点满足；
③当时，S为六边形；
④当时，S的面积为.
【答案】①②④
【分析】①作出辅助线，找到S为四边形，证明出其为等腰梯形；②作出辅助线，找到S，利用各边长度与相似，求出；③在②的分析基础上，得到S为五边形；④作出辅助线，得到S为菱形，求出对角线，进而求出面积.
【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下：
如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点，
所以∥，
所以四边形为S，其中，
所以S为等腰梯形，①正确；
当时，S与的交点满足，理由如下：
如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R，
取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN，
则，DN=CP，所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形，
所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形，
所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE，
所以四边形AEQP即为S，其中，
所以，所以，②正确；
当时，S为五边形，理由如下：
如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动，
则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G，
EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误；
当时，S的面积为，理由如下：
如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ，
其中，所以S为菱形APQG，
且，S的面积为，④正确.
故答案为：①②④
8．如图，已知三棱柱，底面是边长为的等边三角形，在底面的射影是的中心，且为的中点，在线段上且，过点作三棱柱的截面，若交于点，则三棱锥外接球的表面积是___________.
【答案】
【分析】根据三角形相似可得是的中点，取的中点，的中心，根据线面垂直的判定定理可得平面，故平面球心到平面的距离.在中，由余弦定理求出，由正弦定理可求得外接圆半径，从而可求外接球的半径，根据球的表面积公式即可求解.
【详解】延长交于点，连接交与M点，如图，易知,则.
取中点，则,且有.
故是的中点.
取的中点，易得四边形是平行四边形.
设的中心为，在上，因为在底面的射影是的中心，
所以平面，
因为，所以,
且三棱锥的外接球与三棱锥的外接球相同.
因为平面，即平面.
因为平面，所以.
因为，平面
所以平面球心到平面的距离.
在中，由余弦定理可求得，
再由正弦定理可求得外接圆半径.
.
三棱锥外接球的表面积为：.
故答案为:.
【点睛】方法点睛：
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
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专题6 几何体的截面10种归类
【题型一】 棱柱截面形状
【典例分析】
用平面截正方体，截面不可能是（ ）
A．菱形 B．等腰梯形
C．正五边形 D．正六边形
【提分秘籍】基本规律1有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都互相平行，把这样的多面体叫做棱柱；那一对互相平行的面称为棱柱的底面_，其余的面则称为棱柱的侧面，不在底面上的棱称为棱柱的侧，而棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高．
【变式训练】
1.．用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
2.若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面( )
A．一定通过正方体的中心 B．一定通过正方体一个表面的中心
C．一定通过正方体的一个顶点 D．一定构成正多边形
3.在正方体中，点Q是棱上的动点，则过A，Q，三点的截面图形是（ ）
A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．以上都有可能
【题型二】棱锥截面
【典例分析】
一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【提分秘籍】基本规律有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥，其中，这个三角形或平面多边形称为棱锥的底面，其余的面称为棱锥的侧面_，不在底面上的棱称为棱锥的侧冷_，所有侧棱的公共点称为棱锥的定点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高_.
【变式训练】
1.已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为___________.
2.棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为，则此棱锥的高被分成的上、下两段之比为
A． B．
C． D．
3.过棱锥的高的两个三等分点，分别作与底面平行的两个平行截面，则自上向下的两个截面与底面的面积之比是（ ）．
A． B． C． D．
【题型三】棱台截面
【典例分析】
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3【提分秘籍】基本规律如果棱锥被一个平行于底面的平面所截，那么截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台，其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台_.
【变式训练】
1.如图所示，三棱台中，沿面截去三棱锥，则剩余部分是
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱台
2..如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么
A．2＝＋ B．S0＝
C．2S0＝S＋S′ D．S0＝2S′S
3.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（ ）
A． B． C． D．
【题型四】球截面
【典例分析】
一个正方形内接于一个球，过球心作一截面，则截面的图形不可能是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律如图，将圆心为的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球．半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做球面_．点到球面上任意一点的距离都相等，点叫做球心，原半圆的半径和直径分别叫做球的半径和直径．
【变式训练】
1.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（ ）
A．圆柱 B．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体
2.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是（ ）
A．圆锥、圆柱 B．圆柱、球体 C．圆锥、球体 D．圆柱、圆锥、球体
【题型五】球截面计算基本型
【典例分析】
一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个平面的距离为3，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律1.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面2.截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理
【变式训练】
1.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是
A． B． C． D．
2.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是，则截面的面积是( )
A． B． C． D．
3.已知平面截一球面得圆，球中过小圆心的直径为，过点且与成角的平面截该球面得圆，若该球的半径为4，圆的面积为，则圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型六】球内两平行面
【典例分析】
两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练】
1.两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（ ）
A．7 B．17
C．5或12 D．7或17
2.已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2．若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【题型七】 棱锥截面周长与面积计算
【典例分析】
已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律棱锥截面如果平行底面，则满足以下关系：高为一维的量，面积为二维的量，体积为三维的量，故若立体图形的相似比为，则高的比为，各面积的比为，体积比为
【变式训练】
1.如图，棱锥的高，截面平行于底面，与截面交于点，且.若四边形的面积为36，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．16 C．4 D．8
2.如图，已知三棱锥，点P是的中点，且，过点P作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为_________.
2.已知三棱锥的底面是边长为a的等边三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为________．
3.．如图，正四棱锥的所有棱长都等于，过不相邻的两条棱作截面，则截面的面积为
A． B．
C． D．
【题型八】柱体截面周长计算（难点）
【典例分析】
在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（ ）
A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律棱柱截面多边形周长的计算，在画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．
【变式训练】
1.已知正四棱柱中，，点M是线段的中点，点N是线段上靠近D的三等分点，若正四棱柱被过点，M，N的平面所截，则所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
2.在正方体，中，，分别为正方形和的中心，，则平面截正方体所得截面的周长是（ ）
A．10 B．40 C． D．
3.已知正方体的棱长为1，点分别为的中点，则过点的截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【题型九】柱体截面面积计算（难点）
【典例分析】
如图，已知正方体的棱长为2，点是线段的中点，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．
【提分秘籍】基本规律作截面的常用三种方法：（1）直接法：截面的定点在几何体的棱上；（2）平行线法；截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；（3）延长交线得交点：截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
【变式训练】
1.已知正方体，棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知正方体的棱长为2，点是线段的中点，平面经过点，，，则正方体被平面截得的截面面积为（ ）
A． B． C．4 D．
3.在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C．4 D．
【题型十】几何体表面截球面型（难点）
【典例分析】
已知球O内切于正方体，P，Q，M，N分别是的中点，则该正方体及其内切球被平面所截得的截面面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
2.在正四棱锥中，，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
3.已知点P、A、B、C是球O的球面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直且长度均为，M是AP的中点，记过点M与平面ABC平行的平面，则球O被平面截得的截面面积等于( )
A． B． C． D．
培优第一阶——基础过关练
1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知正四面体的棱长为，为上一点，且，则截面的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）
4．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直四棱柱的所有棱长均为，，是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
6．把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，，设，把面积y表示为的表达式，则有（ ）．
A． B． C． D．
7．在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在长方体中，，分别为的中点，点在平面内，若直线平面，则与满足题意的构成的平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
培优第二阶——能力提升练
1．下列命题中正确的有（ ）
A．圆锥、圆台的底面都是圆面
B．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆
C．用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台
D．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周后得到的两个空间图形是两个不同的圆柱
2．如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．已知正方体的棱长为2，过棱，的中点E，F作正方体的截面，下列说法正确的是（ ）．
A．该正方体外接球的表面积是
B．若截面是正六边形，则直线与截面垂直
C．若截面是正六边形，则直线与截面所成角的正弦值为
D．若截面过点，则截面周长为
4．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为_________．
6．在棱长为的正方体中，，分别是正方形、正方形的中心，则过点，，的平面截正方体的截面面积为______．
7．一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为__．
8．正方体中，棱长为分别是、的中点，是底面的中心，过作截面，则所得截面的面积为___________.
培优第三阶——培优拔尖练
1.已知三棱锥的棱，，两两互相垂直，，以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正方体中，，分别是的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为
A． B． C． D．
3．正四面体棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，过G作平面，则平面截正四面体，所得截面的面积为______．
4．如图，在棱长为的正方体中，分别是正方形的中心，在线段上，，则过点的正方体的截面的面积是__．
5．如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且底面，分别是棱的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下几个结论：
①截面的面积等于；
②截面是一个五边形且只与四棱锥四条侧棱中的三条相交；
③截面与底面所成锐二面角为；
④截面在底面的投影面积为.
其中，正确结论的序号是___________.
6．棱长为的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是_________．
7．如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是___________.（请写出所有正确命题的编号）
①当时，S为等腰梯形；
②当时，S与的交点满足；
③当时，S为六边形；
④当时，S的面积为.
8．如图，已知三棱柱，底面是边长为的等边三角形，在底面的射影是的中心，且为的中点，在线段上且，过点作三棱柱的截面，若交于点，则三棱锥外接球的表面积是___________.
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