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专题10 立体几何平行归类
综述：
一、平行关系的判定及性质定理：
(1)线∥面的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． (简记为“线线平行 线面平行”) ∵l∥a，a α，l α∴l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． (简记为“线面平行 线线平行”) ∵l∥α，l β，α∩β＝b∴l∥b
(2)面∥面的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． (简记为“线面平行 面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α ∴α∥β
性质定理 两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行 (简记为“面面平行 线线平行”) ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b∴a∥b
注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，(简记为“面面平行 线面平行”)
二、平行构造的常用方法：
①三角形中位线法；
②平行四边形线法；
③比例线段法.
注意：平行构造主要用于：①异面直线求夹角； ②平行关系的判定.
三、异面直线平行线法
求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
【题型一】 线线平行：中位线法
【典例分析】
如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、CD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．
【变式训练】
1.如图1所示，在梯形中，，，分别为，的中点，将平面沿翻折起来，使到达的位置（如图2），，分别为，的中点，求证:四边形为平行四边形.
图1 图2
2.如图，P是△ABC所在平面外一点，D、E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：DE//AC，.
【题型二】 线线平行：平行四边形法
【典例分析】
如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求证：．
【变式训练】
1.如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，，，G、H分别是FA、FD的中点．
（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；
（2）C、D、E、F四点是否共面？为什么？
2.在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，
求证：(1) ；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
【题型三】 “等分线法”证明线面平行
【典例分析】
如图，在直三棱柱中，，，，为的中点．
(1)证明：平面
(2)过三点的一个平面，截三棱柱得到一个截面，画出截面图，说明理由并求截面面积．
【变式训练】
如图，四棱台的上底面和下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱上的一点E满足．
(1)证明：平面；
(2)若，且在平面ABCD的正投影落在线段CD上，求四棱台的体积．
【题型四】 平行四边形法证线面平行
【典例分析】
如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，．
(1)当点M在何位置时，平面
(2)若平面，求与所成的角的余弦值．
【变式训练】
1.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．
(1)求证：BC∥AD；
(2)求证：CE∥平面PAB．
2.如图，分别是圆台上、下底的圆心，为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点为圆台的母线，．
(1)证明：//平面；
(2)若，求C到平面的距离．
【题型五】 无交线证明平行
【典例分析】
如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，是的中点，四边形为正方形．设平面平面，证明：；
【变式训练】
1.如图，在三棱锥中，是正三角形，平面分别为，上的点，且．已知．
(1)设平面平面，证明：平面；
(2)求五面体的体积．
2.如图，四棱锥中，，，点为上一点，为，且平面.
(1)若平面与平面的交线为，求证：平面；
(2)求证：.
【题型六】 存在型：线面平行
【典例分析】
如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
【变式训练】
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F．
(1)求证：平面；
(2)求证：F为的中点；
(3)在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【题型七】 存在型：面面平行
【典例分析】
如图，四棱锥中，，，为的中点．
(1)求证：平面.
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
【变式训练】
在长方体中，，P为的中点．已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；
【题型八】 翻折中的平行
【典例分析】
如图甲，在四边形中，，．现将沿折起得图乙，点是的中点，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在图乙中，过直线作一平面，与平面平行，且分别交、于点、，注明、的位置，并证明．
【变式训练】
如图（1），点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，将沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，连接CD和BD，如图（2）．
(1)求证：平面平面BCD；
(2)在线段BD上确定一点F，使得平面ADE.
【题型九】 平行应用：异面直线所成的角
【典例分析】
如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，又为的中点．
(1)求证：平面平面；(2)求直线与所成角的余弦值；
【变式训练】
已知三棱锥中，△ABC，△ACD都是等边三角形，，E，F分别为棱AB，棱BD的中点，G是△BCE的重心．
(1)求异面直线CE与BD所成角的余弦值；
(2)求证：FG平面ADC．
培优第一阶——基础过关练
1．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；
(2)求证：BC∥l．
2．如图，在正方体中，为中点，与平面交于点．
(1)求证：面；
(2)求证：为的中点．
3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
(1)求证：QN∥平面PAD；
(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．
培优第二阶——能力提升练
1．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且．
(1)求证：平面；
(2)若与所成的角为，求多面体的体积．
2．（1）如图，在三棱柱中，是的中点．求证：平面；
（2）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，点在上，且．求证：平面．
3．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．
(1)判断多面体是否为棱柱并说明理由；
(2)求多面体的体积；
(3)求证：平面平面AB1D．
培优第三阶——培优拔尖练
1．如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点.
(1)求证：平面；
(2)已知点在上满足平面，求的值.
2．几何体是四棱锥，为正三角，，，为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由.
3．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，点满足，，．
(1)若平面，求的值；
(2)当三棱锥体积最大时，求点位置，并求体积的最大值．
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专题10 立体几何平行归类
综述：
一、平行关系的判定及性质定理：
(1)线∥面的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． (简记为“线线平行 线面平行”) ∵l∥a，a α，l α ∴l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． (简记为“线面平行 线线平行”) ∵l∥α，l β，α∩β＝b ∴l∥b
(2)面∥面的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． (简记为“线面平行 面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α ∴α∥β
性质定理 两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行 (简记为“面面平行 线线平行”) ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ∴a∥b
注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，(简记为“面面平行 线面平行”)
二、平行构造的常用方法：
①三角形中位线法；
②平行四边形线法；
③比例线段法.
注意：平行构造主要用于：①异面直线求夹角； ②平行关系的判定.
三、异面直线平行线法
求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
【题型一】 线线平行：中位线法
【典例分析】
如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、CD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．
【答案】证明见详解
【分析】根据三角形中位线、平行线等分性质结合平行线的传递性分析证明,
【详解】∵E、H分别是AB、CD的中点，则，
又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则，
∴，
故直线EH与直线FG平行．
【变式训练】
1.如图1所示，在梯形中，，，分别为，的中点，将平面沿翻折起来，使到达的位置（如图2），，分别为，的中点，求证:四边形为平行四边形.
图1 图2
【答案】证明见详解.
【解析】通过证明EF//GH，且EF=GF，即可证明.
【详解】在题图1中，∵四边形为梯形，，
分别为的中点，
∴且.
在题图2中，易知.
∵分别为，的中点，
∴且，
∴，，
∴四边形为平行四边形.即证.
2.如图，P是△ABC所在平面外一点，D、E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：DE//AC，.
【答案】证明见解析
【分析】连接，并延长分别交，于，，根据重心的性质得，分别是，的中点，故，，进而可得结论成立.
【详解】如图，连接、并延长分别交、于、.
因为，分别是，的重心，所以，分别是，的中点，
连接，则且①，在中，
所以且②，由①②及平行线的传递性得：且.
【题型二】 线线平行：平行四边形法
【典例分析】
如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据正方体的性质和平面几何知识可得证；
（2）根据空间两个角相等定理或三角形全等可得证.
【详解】解：(1)∵为正方体．∴，且，
又，分别为棱，的中点，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴且．
又且，∴且，
∴四边形为平行四边形．
(2)法一：由(1)知四边形为平行四边形，∴．
同理可得四边形为平行四边形，∴．∵和方向相同，
∴．
法二：由(1)知四边形为平行四边形，∴．
同理可得四边形为平行四边形，∴．
又∵，∴，∴．
【变式训练】
1.如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，，，G、H分别是FA、FD的中点．
（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；
（2）C、D、E、F四点是否共面？为什么？
【答案】（1）证明见解析；（2）C，D，F，E四点共面；答案见解析．
【分析】（1）由题意知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH，又BC，故GHBC
所以四边形BCHG是平行四边形．
（2）由EF∥BG，结合（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，从而共面．
【详解】证明：（1）由题意知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH，又BC，故GHBC所以四边形BCHG是平行四边形．
（2）C，D，F，E四点共面．理由如下：
由BEAF，G是FA的中点知，BEGA，即有BEGF，所以四边形BEFG是平行四边形，
所以EF∥BG由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．
又点D在直线FH上所以C，D，F，E四点共面．
2.在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，
求证：(1) ；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：(1)连接，，由三角形中位线定理可得，，根据正方体的性质可得，故而可得结论；（2）取的中点，连接，首先证明四边形是平行四边形，得到，再证四边形是平行四边形及平行的传递性，得到，同理得，结合角两边的方向相反，进而可得结论成立.
试题解析：(1)连接，，在中，因为，分别为，的中点，
所以，同理，在正方体中，因为，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以.
(2)取的中点，连接，因为，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以，同理可证：，又与两边的方向均相反，所以.
【题型三】 “等分线法”证明线面平行
【典例分析】
如图，在直三棱柱中，，，，为的中点．
(1)证明：平面
(2)过三点的一个平面，截三棱柱得到一个截面，画出截面图，说明理由并求截面面积．
【答案】(1)证明见解析(2)截面图见解析，截面面积为
【分析】（1）设，根据三角形中位线性质可得，由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由三角形中位线性质和平行关系的传递性可得，由此可确定截面即为四边形，知其为等腰梯形，根据长度关系计算即可得到截面面积.
【详解】（1）连接，设，连接，
是的中点，是的中点，，
平面，平面，平面.
（2）作图过程：取中点，连接，则四边形即为截面图形.
证明如下：是的中点，是的中点，；，，四点共面，
四边形即为所求截面，此时四边形为等腰梯形；
，，，
四边形的高，
四边形的面积为.
【变式训练】
如图，四棱台的上底面和下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱上的一点E满足．
(1)证明：平面；
(2)若，且在平面ABCD的正投影落在线段CD上，求四棱台的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）延长，，交于点，连接交于点，连接，通过证明四边形是平行四边形得，从而得平面；
（2）作于，为棱台的高，设，，在中，由余弦定理得解得，从而得，代入棱台体积公式即可.
【详解】（1）
证明:延长，，交于点，连接交于点，连接，由，得，
∴是中点，此时，，
∴四边形是平行四边形，∴，∵平面平面，∴直线平面.
（2）作于，因为在平面ABCD的正投影落在线段CD上，所以面，所以为棱台的高，设，由得，，，
在中，由余弦定理得，
即，解得，所以，
所以四棱台的体积 ，故四棱台的体积为.
【题型四】 平行四边形法证线面平行
【典例分析】
如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，．
(1)当点M在何位置时，平面
(2)若平面，求与所成的角的余弦值．
【答案】(1)点为的中点(2)
【分析】（1）分别取的中点为，连接．可推得四边形为平行四边形，．进而根据线面平行的判定定理，得出线面平行；
（2）由（1）知，与所成的角（或其补角），即等于与所成的角.然后构造直角三角形，可推得，，，进而得出，在中，即可得出答案.
【详解】（1）
如图1所示，分别取的中点为，连接．因为分别是的中点，所以，且.又因为，所以，所以.又，所以.
所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以平面.
所以，当点为的中点时，有平面.
（2）由（1）知，点为的中点，且与异面.因为，
所以与所成的角（或其补角），即等于与所成的角.
由已知可得，，，所以.
如图2，取中点为，连接，易知，则，，
所以，，所以.因为是的中点，所以，
所以，，所以，在中，有，
所以与所成的角的余弦值为．
【变式训练】
1.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．
(1)求证：BC∥AD；
(2)求证：CE∥平面PAB．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；
（2）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明．
【详解】（1）在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD．
（2）取PA的中点F，连接EF，BF，∵E是PD的中点，
∴EF∥AD，，
又由（1）可得BC∥AD，且，∴BC∥EF，BC＝EF，
∴四边形BCEF是平行四边形，∴EC∥FB，
∵EC 平面PAB，FB 平面PAB，
∴EC∥平面PAB．
2.如图，分别是圆台上、下底的圆心，为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点为圆台的母线，．
(1)证明：//平面；
(2)若，求C到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）圆台上下底面平行，利用面面平行的性质定理先说明四边形为平行四边形，然后根据线面平行的判定来证明；
（2）由等体积法：进行求解即可.
【详解】（1）因为平面//平面，平面平面，平面平面，
所以//，即//．又C为圆O的直径所对弧的中点，所以．
又，所以，所以．
因为D为圆E上的点，所以，又，所以D为的中点，即，
所以，故四边形为平行四边形，所以//．
又平面平面，所以//平面
（2）过作，垂足为F，则F为的中点，且．因为，所以，
，所以．又，
所以，所以，
所以．设C到平面的距离为h，
因为，所以．所以．
【题型五】 无交线证明平行
【典例分析】
如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，是的中点，四边形为正方形．设平面平面，证明：；
【答案】证明见解析.
【分析】利用线面平行的判定定理可得平面，再利用线面平行的性质定理即得.
【详解】因为四边形为正方形，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵平面，平面平面，∴．
【变式训练】
1.如图，在三棱锥中，是正三角形，平面分别为，上的点，且．已知．
(1)设平面平面，证明：平面；
(2)求五面体的体积．
【答案】(1)见解析；(2).
【分析】（1）首先证明，则有平面,再根据线面平行的性质定理得到，则得到线面平行；
（2）根据相似得，则，则.
【详解】（1）因为,所以，
因为平面平面，
所以平面,
又平面平面平面,所以,
又平面平面,所以平面，
（2）因为,所以
所以
所以五面体的体积
因为,所以
2.如图，四棱锥中，，，点为上一点，为，且平面.
(1)若平面与平面的交线为，求证：平面；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）结合线面平行的判定定理和性质定理证得：平面.
（2）结合线面平行的性质定理和三角形重心的知识证得：.
【详解】（1）∵，平面平面，∴平面.
∵平面，平面平面，∴.
∵平面平面， ∴平面.
（2）连接，设，，连接，
∵平面平面，平面平面，∴，
∵，，所以，∴，∴点是的重心，
∴点是的中点，∴，∴，∴.
【题型六】 存在型：线面平行
【典例分析】
如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为棱的中点
【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直即可.
（2）先假设存在.连接BD，由中位线证得线线平行，故而得到线面平行.
（1）因为平面底面，平面底面，平面，所以平面.
又因为平面，所以.
（2）解：存在，点为棱的中点.连接，交于点，连接，如图所示：
因为底面为平行四边形，所以点为的中点.在中，因为点分别为的中点.所以，且.又因为平面平面，所以平面.
【变式训练】
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F．
(1)求证：平面；
(2)求证：F为的中点；
(3)在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在N使得平面，，理由见解析.
【分析】（1）连接交于，连接，易知，再由线面平行的判定证结论；
（2）由，根据线面平行的判定有面，再由线面平行的性质可得，结合已知即可证结论.
（3）为中点，连接，由已知易证为平行四边形，则，再由线面平行可证面，即可判断存在性.
（1）连接交于，连接，如下图：
由为平行四边形，则为中点，又E为棱的中点，
所以为中位线，则，又面，面，故平面；
（2）由题设知：，面，面，
所以面，又面，面面，
所以，又E为棱的中点，即是△的中位线，故F为的中点；
（3）存在N使得平面且，理由如下：为中点，连接，
由题设且，由（2）知且，
所以且，即为平行四边形，所以，而面，面，
所以面，故所求点即为点，则上存在点N使得平面，且.
【题型七】 存在型：面面平行
【典例分析】
如图，四棱锥中，，，为的中点．
(1)求证：平面.
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析
【分析】（1）利用构造平行四边形的方法证明线线平行，结合线面平行判定定理，从而得线面平行；
（2）点为线段的中点，再利用面面平行判定定理证明，即可证明平面平面．
（1）证明：如图所示，取的中点，连接，．
因为为的中点，所以，．又，，
所以，．因此四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，因此平面．
（2）解：如图所示，取的中点，连接，，所以
又，所以．又，所以四边形为平行四边形，因此．
又平面，所以平面．由（1）可知平面．
因为，故平面平面．
【变式训练】
在长方体中，，P为的中点．已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；
【答案】分别是棱的中点．
【分析】先证明四边形为平行四边形，即得点M是棱AB的中点，同理点N是棱的中点.
【详解】解：依题意，如图，平面平面，平面平面，平面平面，
则，在长方体中，，
则四边形为平行四边形，
于是得，即点M是棱AB的中点.
同理点N是棱的中点，所以分别是棱的中点．
【题型八】 翻折中的平行
【典例分析】
如图甲，在四边形中，，．现将沿折起得图乙，点是的中点，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在图乙中，过直线作一平面，与平面平行，且分别交、于点、，注明、的位置，并证明．
【答案】(1)证明见解析；(2)分别为的中，理由见解析.
【分析】（1）取的中点，分别证得和，得到平面和平面，证得平面平面，进而得到平面；
（2）取的中点，证得，得到点四点共面，即可求解.
【详解】（1）证明：取的中点，分别连接，
因为，分别为和的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为分别为的中点，可得，
又因为平面，平面，所以平面，
又由，且平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
（2）证明：当分别为的中点时，此时平面平面，
证明如下：取的中点，分别连接，
在中，因为为的中点，所以，
又因为分别为的中点，可得，
所以，所以点四点共面，
即过直线作一平面，与平面平行，且分别交，于点、，
此时，分别为和的中点.
【变式训练】
如图（1），点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，将沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，连接CD和BD，如图（2）．
(1)求证：平面平面BCD；
(2)在线段BD上确定一点F，使得平面ADE.
【答案】(1)证明见解析(2)当点F线段的中点时，平面ADE
【分析】（1）由D－AE－B成直二面角得到平面平面，利用面面垂直性质定理得平面，从而，再通过线面垂直证明面面垂直；
（2）分别取线段BD，AB的中点F，G，利用线线平行证明线面平行，进而证明面面平行，即可证明结论.
【详解】（1）在直角梯形ABCD中，取DE中点为M，连接AM，
则DM=EM=1，AM=BC=1，所以，
所以，所以，因为D－AE－B成直二面角，所以平面平面，
又平面平面=AE，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，因为平面BCD，所以平面平面BCD；
（2）如图，分别取线段BD，AB的中点F，G，
连接，则，又平面，平面，所以平面，
在直角梯形ABCD中，且，所以四边形AGCE为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面ADE.
所以当点F线段的中点时，平面ADE.
【题型九】 平行应用：异面直线所成的角
【典例分析】
如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，又为的中点．
(1)求证：平面平面；(2)求直线与所成角的余弦值；
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据可得平面，再由得到平面，即可得证；
（2）设正方体棱长为，求出的边长，利用余弦定理计算得出答案；
（1）证明：、是、的中点，．平面，平面，
平面．又且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面．
又，平面，平面，平面平面．
（2）解： ，为直线与所成角．
设正方体棱长为，则，，
在中，，所以直线与所成角的余弦值为．
【变式训练】
已知三棱锥中，△ABC，△ACD都是等边三角形，，E，F分别为棱AB，棱BD的中点，G是△BCE的重心．
(1)求异面直线CE与BD所成角的余弦值；
(2)求证：FG平面ADC．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）取的中点，连接，证明，则异面直线CE与BD所成角的平面角即为或其补角，解即可；
（2）取的中点，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得证.
（1）
解：取的中点，连接，
因为E为棱AB的中点，
所以，
则异面直线CE与BD所成角的平面角即为或其补角，
设，则，
，
在中，，
即异面直线CE与BD所成角的余弦值为；
（2）
解：取的中点，连接，
因为E，F分别为棱AB，棱BD的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面，平面，
又平面，
所以平面平面，
又因为G是△BCE的重心，
所以点在上，故平面，
所以FG平面ADC．
培优第一阶——基础过关练
1．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；
(2)求证：BC∥l．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由三角形的中位线定理、平行四边形的性质，结合线面平行和面面平行的判定，可得证明；
（2）由线面平行的判定和性质，可得证明．
【详解】（1）证明：因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形，
所以MN∥PD，NQ∥AD，
又MN 平面PAD，PD 平面PAD，
则MN∥平面PAD，
同理可得NQ∥平面PAD，
又平面MNQ
所以平面MNQ∥平面PAD.
（2）证明：因为BC∥AD，BC 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD，
又BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l．
2．如图，在正方体中，为中点，与平面交于点．
(1)求证：面；
(2)求证：为的中点．
【答案】(1)证明见解析．(2)证明见解析．
【分析】（1）证明，然后由线面平行的判定定理得证；
（2）由线面平行的性质定理得线线平行，从而可证得结论成立．
【详解】（1）因为与平行且相等，所以是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）平面，平面，平面平面，
所以，又是中点，
所以是中点．
3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
(1)求证：QN∥平面PAD；
(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析(2)l∥平面PBD，证明见解析
【分析】（1）推导出QN∥AD，由此能证明QN∥平面PAD；
（2）连接BD，则MN∥BD，从而MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥l，从而BD∥l，由此能证明l∥平面PBD．
【详解】（1）证明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
∴QN∥BC，BC∥AD，∴QN∥AD，
∵QN平面PAD，AD 平面PAD，
∴QN∥平面PAD；
（2）直线l与平面PBD平行，证明如下：
∵M，N分别为PD，PB的中点，
∴MN∥BD，
∵BD 平面ABCD，MN平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD，
∵平面CMN与底面ABCD的交线为l，
∴由线面平行的性质得MN∥l，
∵MN∥BD，∴BD∥l，
∵，且BD 平面PBD，平面PBD，
∴l∥平面PBD．
培优第二阶——能力提升练
1．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且．
(1)求证：平面；
(2)若与所成的角为，求多面体的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)．
【分析】（1）延长交于点M，连接，根据已知求得，易证为平行四边形，有，则为平行四边形，即，最后应用线面平行的判定证结论；
（2）取的中点N，可得，在平面内，过G作FB的平行线交AB于P，得，证明为的中位线，由棱台结构特征确定为棱台，最后应用棱锥体积公式求体积.
【详解】（1）延长交于点M，连接，则在面内，
由，则，又，
所以，可得，
由，G在上且，故为平行四边形，
则，且，又共线，
所以，且，故为平行四边形，则，
由平面，平面，所以平面．
（2）
取的中点N，则，且，
所以为平行四边形，则，
在平面内，过G作FB的平行线交AB于P，
所以与所成的角，即为与所成角，则，
平面，平面，则，而，
设，则△中，，
，则为等边三角形，
故，即，
所以在中，P为的中点，且，故为的中位线，
所以，易知多面体为棱台，且，且，
体积．
2．（1）如图，在三棱柱中，是的中点．求证：平面；
（2）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，点在上，且．求证：平面．
【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.
【分析】（1）运用线线平行证明线面平行即可.
（2）运用面面平行判定定理证得面面，再运用面面平行性质可证得结果.
【详解】（1）如图所示，
证明：连接交于点G，连接DG，
则G为的中点，
又因为D为的中点，
所以，
又因为面，面，
所以面.
（2）如图所示，
证明：取AF的中点H，连接CH、MH，
又因为E为PC的中点，，M为AB的中点，
所以，，
又因为面，面，面，面，
所以面，面，
又因为，、面，
所以面面，
又因为面，
所以面.
3．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．
(1)判断多面体是否为棱柱并说明理由；
(2)求多面体的体积；
(3)求证：平面平面AB1D．
【答案】(1)多面体不是棱柱，理由见解析(2)(3)证明见解析
【分析】（1）根据棱柱的特征判断即可；
（2）利用三棱锥体积减两个三棱锥体积可得；
（3）根据面面平行判定定理，将问题转化为两个线面平行问题，再将线面平行转化为线线平行，结合条件即可证明.
【详解】（1）多面体不是棱柱．理由如下：
因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.
（2）易知三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
故多面体的体积．
（3）因为D，E分别是，AC的中点，所以，
所以四边形为平行四边形
所以．又平面，平面，所以平面．
易知，得四边形为平行四边形．
所以，又平面，平面，所以平面．
而，BE，平面，
所以平面平面．
培优第三阶——培优拔尖练
1．如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点.
(1)求证：平面；
(2)已知点在上满足平面，求的值.
【答案】(1)证明见解析(2)2
【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证平面；
（2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN.
由平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案.
【详解】（1）证明：连结交于，连结，
因在中，为中点，为中点，则FO .
又平面，平面，故平面；
（2）如图连结交延长线于，连结交于，
连结，，，EN.
因，则四点共面.
又平面，平面平面，
则，四边形为平行四边形，可得 为中点.
则为BG中点.
即EN为中位线，则ENPG，.
又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD.
从而FDPG，.
2．几何体是四棱锥，为正三角，，，为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在，
【分析】（1）先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平行的判定定理证得面面，从而得到平面；
（2）先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段成比例得到的值.
【详解】（1）记为的中点，连接，如图1，
因为分别为的中点，故，
因为平面平面
所以平面，
又因为为正三角形，所以 ，，
又为等腰三角形，，所以,
所以，即，
所以，又平面平面
所以平面，又，平面，
故平面平面，
又因为平面，故平面.
（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2，
因为平面，平面，平面平面，
所以，此时四点共面，
由（1）可知，，得，
故，又因为，所以，
则有，故.
3．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，点满足，，．
(1)若平面，求的值；
(2)当三棱锥体积最大时，求点位置，并求体积的最大值．
【答案】(1)；(2)点与重合，.
【分析】（1）取，的中点，，连接，，，由线面平行判定得平面、平面，再根据面面平行的判定和性质可得平面，最后利用三点共线有 且，结合平面向量加法的几何意义及基本定理列方程组求出即可；
（2）取的中点，连接，，由题设知：在四边形内，再过作于，进而确定到面的距离最大时点位置，再利用棱锥的体积公式求体积即可.
(1)
取，的中点，，连接，，，
，平面平面，
平面，
，平面平面，
平面，而，面，
平面平面，而平面，
平面，
由三点共线， 且，
，则，
，，
.
(2)
取的中点，连接，，
由，，，
则在四边形内，过作于，
设平面与平面所成的角为，点到平面的距离为，
则，则，
又，则△A1DP底边A1D上的高，
所以，
由，则，可得，
所以.
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