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专题11 立体几何垂直归类
【题型一】 线线垂直
【典例分析】
如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
【答案】证明见解析
【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明.
【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH．
因为E是AB的中点，且AD=2，
所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1．
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．
因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，
所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，
所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，
所以AD⊥BC．
【提分秘籍】 基本规律 线线垂直 方法1：利用平行关系，把两条要证的直线平移在一个平面内，计算勾股定理证明垂直 转化为证明线面垂直。证明一条线垂直于另外一条线所在的某个平面。
【变式训练】
1.如图，在三棱柱中，侧面为矩形， ，D是的中点，与交于点O，且平面
(1)证明：；
(2)若，求三棱柱的高.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）要证明，由于矩形中，是中点，可证得，又平面，则有，于是可得平面，从而得线线垂直；
（2）三棱柱的高,根据等体积法求得.
【详解】（1）证明：由题意
且 ,
,所以,
又侧面， ,又与交于点 ，所以,平面
又因为 平面,所以．
(2)在矩形中，由平面几何知识可知 ∵，∴，∴ 设三棱柱的高为，即三棱锥的高为
又，由得，∴
2.如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角．然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小；
（2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证；
【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，
从而与所成的角为与所成的角，
由，可知.
故与所成的角为.
（2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以，
因为为的中位线，所以.又，
所以，所以.
【题型二】线面垂直
【典例分析】
如图所示，在直三棱柱中，，平面，D为AC的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明平面；
（2）利用线面垂直判定定理去证明平面；
【详解】（1）连接与相交于M，则M为的中点.连接MD，
又D为AC的中点，∴，
又平面，平面，∴平面.
（2）∵，∴四边形为正方形，
∴.又平面，平面
∴，又，平面，平面
∴平面，又平面，∴.
又在直三棱柱中，，，平面.
∴平面.
【提分秘籍】 基本规律 线面垂直 定义法：证明一条直线垂直于一个平面的两条相交直线。 面面垂直性质法：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
【变式训练】
1.如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点D到平面ABE的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）通过证明，，得证平面．
（2）由，利用体积法求点D到平面ABE的距离．
【详解】（1）证明：∵，D，E分别为AC，的中点，
∴，且，
又平面，∴平面，
又平面，∴，
又，且，平面，
∴平面．
（2）∵，，，
∴，
∴，，．
在中，，，
∴边上的高为．
∴．
设点D到平面ABE的距离为d，
根据，得，解得，
所以点D到平面ABE的距离为．
2.如图，在直三棱柱中，，，，D为棱的中点，F为棱BC的中点．
(1)求证：BE⊥平面；
(2)求三棱锥B-DEF的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由题设易证，结合直棱柱可得，再由线面垂直的性质、判定证，最后由线面垂直的判定证结论；
（2）由线面平行的判定证平面，再由及棱锥体积公式求体积即可.
【详解】（1）∵，，，∴，，则．
∵为直三棱柱，故侧面为矩形，∴，
综上，，故，又，∴，则．
∵平面ABC，平面ABC，
∴，又AC⊥AB，，平面，平面，
∴平面，又平面，则．
∵，平面，平面，∴平面．
（2）连接AF，，平面，平面，∴平面，
∴三棱锥B-DEF的体积．∵，∠BAC=90°，F为BC的中点，∴，，∴，∴，
∴三棱锥B-DEF的体积．
【题型三】面面垂直
【典例分析】
如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD．
【答案】证明见解析
【分析】利用线面垂直即可证明得到面面垂直.
【详解】
连接，，∵AB＝BC，G为AC中点，所以AC⊥BG，又由CD＝DA，
同理可证AC⊥DG，又∵BG∩DG＝G，BG，DG平面BGD
∴AC⊥平面BGD．
∵E，F分别为CD，DA的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
又∵EF 平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
【提分秘籍】 基本规律 面面垂直证明： 定义法：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
【变式训练】
1.如图，在四棱锥中，，平面平面ABCD，E，F分别为棱PD，AD的中点，．
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若，求几何体PABCEF的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）得到四边形ABCF为平行四边形，，从而得到，由面面垂直得到线面垂直，进而得到面面垂直；
（2）作出辅助线，转化为两个三棱锥，分别求出这两个三棱锥的体积，相加即可
【详解】（1）因为F为AD的中点，所以，又，所以，
因为，所以四边形ABCF为平行四边形，所以，
因为，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，
所以平面PAD，
又平面CEF，所以平面平面PAD．
（2）连接PF，因为，F为AD的中点，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，
所以平面ABCD，
因为，所以，所以在中，，又，
所以，
梯形的面积为，
所以四棱锥的体积．
因为E为棱PD的中点，故三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积，
故所求几何体的体积.
2.如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点．求证：
(1)底面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可；
（2）首先证明出四边形为矩形，从而得到，，再利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用线面垂直的性质定理得到，再次证明平面，从而，最后利用三角形中位线性质和面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）因为平面底面，，
平面底面，平面，
所以底面.
（2），，为中点，
，则四边形平行四边形，
，所以四边形为矩形，
，.
底面，平面，.
又平面，且，
平面，平面，.
和分别是和的中点，，.
又，，平面，
平面，平面，
平面平面.
【题型四】翻折1：线线垂直
【典例分析】
在中，，，过点A作，交线段BC于点D（如图1），沿AD将折起，使（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点.
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直及平行关系证明线线垂直；
（2）通过线面垂直找到三棱锥的高，建立锥体体积函数，利用导数法求最值即可.
【详解】（1）在中，M，E分别为AC，BC的中点，则，
折叠前则折叠后，又即，且，
又平面ADB，平面ADB，所以平面ADB，
又平面ADB，所以，而，所以；
（2）设，则，
因为，，且，
又平面BDC，平面BDC，所以平面BDC，
所以AD为三棱锥的高，
在中，，所以，
所以，
则，令解得或（舍去），
令解得，令解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当即当，时，取最大值，
此时.
【变式训练】
1.在中，，，过点A作，交线段BC于点D（如图1），沿AD将折起，使（如图2），点E、M分别为棱BC、AC的中点．
(1)求证：；
(2)在图2中，当三棱锥A-BCD的体积取最大值时，求三棱锥A-MDE的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由，证得平面ABD，从而，又，即可得证；
（2）设，可证平面BCD，可得，利用导数法求最值，可知，又平面ACD，利用等体积法，由求得答案．
【详解】（1），，，AD、平面ABD，
平面ABD，平面ABD，
又分别为AC、BC的中点，，．
（2）图1所示的中，设，则，
，，为等腰直角三角形，．
折起后，，且，、平面BCD，
平面BCD，又，，
，，
令，，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
时，取最大值，即三棱锥A-BCD的体积最大，
平面BCD，平面BCD，,
又，，、平面ACD，平面ACD，
因为E为线段BC的中点，所以E到平面ACD的距离，
，又，故三棱锥A-MDE的体积为．
2.如图所示，在直角三角形中，，将 沿折起到 的位置，使平面平面，点满足.
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据图中的几何关系，利用面面平行证明线面垂直，再证明线线垂直；
（2）运用等体积法求解.
【详解】（1）
在直角三角形中，因为 ，所以 ，
即在四棱锥中， ，平面PDB，平面PDB，
所以平面，从而平面，
如图，在上取一点，使得，连接，
因为，所以，所以，
又 ，所以四边形是矩形，所以，平面MEF，平面MEF，平面MEF，
在中，，所以，平面MEF,平面MEF，平面MEF，
又因为 ，平面PBD，平面PBD，所以平面平面，
所以平面，故；
（2）连接，因为平面平面，交线为，且，所以平面，
所以三棱锥的体积，所以，
在 中，计算可得，由余弦定理得，所以，
，
设点到平面的距离为，则，故；
综上，点M到平面PBE的距离为 .
【题型五】 翻折2：线面垂直
【典例分析】
在平行四边形中，，，，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点，如图①；将沿折起，使得点到达点的位置，如图②．证明：直线平面；
【答案】证明见解析
【分析】根据题中的条件得到折叠后，利用线面垂直的判定定理即可证明；
【详解】图①中，根据已知条件可得，，，．
因为，
所以，所以．
所以，，
因为，所以，即．
在图②中，因为，，
，平面，平面，所以平面．
【变式训练】
1.如图（），已知边长为的菱形中，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图（）．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可证得；根据长度关系，可利用勾股定理证得，由线面垂直的判定可证得结论；
（2）利用等体积转化，即，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果.
【详解】（1）连接，
四边形为菱形，，又为中点，；
在菱形中，，，
，，，，
又，，；
，平面，平面.
（2）由（1）知：平面，；
设点到平面的距离为，
，，
解得：，即点到平面的距离为.
2.如图（1），在边长为的正三角形ABC中，D，E分别为AB，AC中点，将沿DE折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接AB，AC．
(1)求四棱锥的体积；
(2)在图（2）中，过点E作平面EFG与平面ABD平行，分别交BC，AC于F，G．求证：平面ABC．
【答案】(1)3(2)证明见解析
【分析】（1）作DE中点O，连接AO，证明平面BCED，结合锥体体积公式求解；
（2）根据面面平行性质定理证明，，由此可证，根据线面垂直判定定理证明平面AOF，根据平面几何结论证明，由此证明平面ABC．
【详解】（1）作DE中点O，连接AO，由已知，∴．因为二面角为直二面角，
所以平面 平面，又平面 平面，平面，
∴平面BCED．由已知，，梯形的高为，
所以四棱锥的高为，梯形的面积，
所以四棱锥的体积
（2）∵平面平面ABD，平面平面，平面平面，
∴，同理，又，∴四边形为平行四边形，∵，
∴F为BC中点，∴G为AC的中点，又，∴，
∵平面，平面，∴，又
∵，平面。∴平面，平面，
∴，∵点为直角三角形的斜边的中点，∴，
因为，GE是公共边，∴，∴，
故，又又，平面，
∴平面.
【题型六】 翻折3：面面垂直
【典例分析】
已知为等边三角形，其边长为4，点为边的中点，点在边上，并且⊥，将沿折起到.
(1)证明：平面平面；
(2)在棱上取一点P，使，求.
【答案】(1)证明过程见解析(2)
【分析】（1）由折叠后位置关系不变得到线线垂直，证明线面垂直，面面垂直；
（2）先根据体积关系得到四边形的面积为四边形面积的一半，作出辅助线，结合三角形面积公式求出，从而得到比例关系.
【详解】（1）因为⊥，所以折叠后⊥，⊥，
因为，平面，所以⊥平面，因为平面，
所以平面⊥平面；
（2）要想，只需四边形的面积为四边形面积的一半，
连接，则，故，
故，，
故四边形的面积为，
所以边形的面积为，，
由三角形面积公式得，解得，.
【变式训练】
1.如图1，由正方形与正三角形组成的平面图形，其中，将其沿，折起使得，恰好重合于点，如图2.
(1)证明：平面平面；
(2)若点是线段上，且，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明过程见解析(2)
【分析】（1）根据勾股逆定理定理和线面垂直判定以及面面垂直判定即可求解；（2）根据三棱锥的体积公式和几何体的体积差即可求解.
【详解】（1）
连接与相交于点，由正方形的性质知且，
又，四边形正方形与三角形是正三角形，所以，又，
，所以,所以，又因为，，且直线和直线在平面内，所以平面平面，所以平面平面.
（2）.
2.如图1，在直角梯形中，，点，分别是边的中点，现将沿边折起，使点到达点的位置（如图2所示），且.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质和勾股定理，证明，，可证得平面，即可证得平面平面.
（2）取的中点，连接，由勾股定理求，又，利用体积法求点到平面的距离.
【详解】（1）证明：由题意，连接，因为，，
是边的中点，所以，则，
又是边的中点，则，在折起中.
又，所以，
又，平面，平面，
故平面，又平面，所以平面平面.
（2）由（1）中取的中点，连接，
由（1）可知，平面，所以，
而，，所以，同理，
所以，
所以是等腰三角形，所以，又，即，所以，即点到平面的距离为.
【题型七】 垂直探索性型
【典例分析】
如图，在直三棱柱中，，，，为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点.
(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在点D，使得面 若存在，求出的大小并证明；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在，
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解.
（2）利用线面垂直的性质定理即可求解.
(1)取棱上靠近的三等分点，连接，
又为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点.
，，，且
所以四边形是平行四边形，
又平面，平面，平面；
(2)由直三棱柱的性质及，可知侧面，又侧面，
由已知，又，
又，所以
【变式训练】
如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，
【分析】（1）取中点，由证得四边形为平行四边形，进而证得，即可证得平面；
（2）存在点，，先求出，再由余弦定理求得，结合勾股定理证得，又，即可证得平面.
(1)
取中点，连接，因为是的中点，则，又，
则，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面；
(2)
存在点，使得平面，此时，证明如下：
连接，易得，又底面，底面，则，
则，，则，，又，
，由余弦定理得，，则，
，又，，平面，则平面，故存在点，使得平面，此时.
【题型八】 垂直应用1：线面角
【典例分析】
已知三棱柱中，平面平面，，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成线面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)取的交点,连接证明即可.
(2)利用等体积法求到平面的距离,再计算直线与平面所成线面角的正弦值即可.
【详解】(1) 取的交点,连接,因为三棱柱中有,故为中点,又是的中点,故为中位线.故.
因为平面,平面,故平面.
(2)取中点,连接.因为.故,.
又,,,故.
又平面平面,且平面平面,故平面.
故.
.因为,故,
又平面,平面,故,又,
故平面,又平面,故 .
故.
设到平面的距离为,则
,故.
故直线与平面所成线面角的正弦值.
【提分秘籍】 基本规律 线面角： 计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
【变式训练】
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，是线段上的动点．
(1)若是线段中点时，证明：平面；
(2)若直线与底面所成角的正弦值为，且三棱锥的体积为，请确定点的位置，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)E是线段PC上靠近点P的三等分点；理由见解析
【分析】连接交于，连接，由底面是菱形，得是中点，又 是的中点，根据三角形中位线定理可得，利用线面平行的判定定理可得 平面；
（2）平面，∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，由三角函数可得，再根据求出体积比，即可确定E点的位置.
（1）
连接交于，连接，
∵底面是菱形，∴是中点，又∵是的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面．
（2）
∵PA⊥底面ABCD，∴∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，
∴，∴，∴．
又∵，∴，
∵菱形中，，
∵PA⊥底面ABCD，PA 平面PAB，
∴平面PAB⊥底面ABCD，且它们的交线是AB，
在底面ABCD内，过点C作CF⊥AB，垂足为点F，则：CF⊥平面PAB，
故点C到平面PAB的距离，令点E到平面PAB的距离,
．
又同一底面积下，高的比等于斜边的比，
故是线段上靠近点的三等分点．
【题型九】垂直应用2：二面角
【典例分析】
.如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）．
(1)证明：平面平面；
(2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)存在，为的中点，
【分析】（1）由已知可得平面，则，则有平面，所以，而，所以平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）假设存在点满足题意，过作于，过作于，连接，可证得为二面角的平面角，不妨设，则，则由∽，可得，再由可求出的值，从而可确定出点的位置
（1）证明：因为，所以平面，因为平面，
所以，因为，所以平面，因为平面，
所以，因为，所以,因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
（2）假设存在点满足题意，如图，过作于，因为，所以∥，
由（1）知平面，所以平面，因为平面，所以，
过作于，连接，因为，所以平面，
因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
不妨设，则，在中，设，
因为∽，
所以，所以，得，
所以，解得，
即此时为的中点，
综上，存在点，使得二面角的正切值为，此时为的中点，
【提分秘籍】 基本规律 计算二面角，常用方法 向量法：二面角的大小为(), 2.定义法：在棱上任一点，分别在两个半平面内做棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角 3.垂面法：做与棱垂直的平面，交二面角两个半平面，两条交线所成的角即为二面角的平面角
【变式训练】
如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，.
（1）求证：；
（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【解析】（1）由线面平行的性质定理可推出，再由平行的传递性可证得
（2）先找出二面角的平面角，表示出，求出，再设，建立方程求出，进而求出.
【详解】（1）在棱柱中，面，面，
面面，由线面平行的性质定理有，
又，故；
（2）证明：在底面中，，，.
， ，
又因为侧棱底面，则底面
面，
又，面
过点作于，连接，则是二面角的平面角．
，，
则，故，
，．
设，则．
，
故，故．
【题型十】 垂直应用3：点到面的距离
【典例分析】
如图1，为等边三角形，分别为的中点，为的中点，，将沿折起到的位置，使得平面平面，
为的中点，如图2．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【分析】（1）取线段的中点，连接，，推出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面；
（2）由题可知，为的中点，，则，由于平面平面，利用面面垂直的性质，得出平面，设点到平面的距离为，通过等体积法，求出，即可求得点到平面的距离.
【详解】证明：（1）取线段的中点为，连接，，
在中，，分别为，的中点，所以，，又，分别是，的中点，
所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，
∴，又因为平面，平面，所以平面．
（2）因为为的中点，，∴， 因为平面平面，平面平面，
所以平面，因为为等边三角形，，
则，，由图得，设点到平面的距离为，
即：，则有，∴，
所以点F到平面的距离为．
【变式训练】
如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.
(1)证明：；
(2)若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取的中点，连接，先证明平面，得，从而得，利用已知正切值得，由直角三角形得，从而又得线面垂直后得出线线垂直；
（2）由得出的长，再由得出点到平面的距离．
【详解】（1）连接，
平面平面，同理，，，
.又平面,平面.
平面.取的中点，连接为的中点，，.
，，为的中点，.
又平面，平面.
平面.
（2）.
，且四边形为矩形，即，
又由（1），平面，，平面.∴.
连接，中，中.
为中点，点到平面的距离中，.
由（1）知面，在中，，
中，∴，
.设点到平面的距离为，则即，
解得.所以点到平面的距离为.
培优第一阶——基础过关练
1．如图，在四棱锥中，平面底面，，，，．证明：
【答案】证明见解析
【分析】利用余弦定理和勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而即得.
【详解】证明：在四边形中，因为，，，，
由余弦定理得，，
解得，
所以，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以．
2．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1)平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;
(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.
【详解】（1）设,连接,如图所示:
因为O,E分别为,的中点,所以,
又因为平面,平面,
所以平面．
（2）连接,如图所示:
因为,为的中点,所以,
又因为四边形为菱形,所以,
因为平面,平面,且,
所以平面,又因为平面,
所以平面平面．
3．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用直线和平面平行的判定定理即可证明；
（2）利用平面和平面垂直的判定定理即可证明；
【详解】（1）证明：连接、，在平行四边形中，为、的中点，
∵为中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）证明：∵，且，
∴，即，
∵平面，平面，∴，
∵，、平面，∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
4．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用线面垂直的的判定定理证明即可；
（2）利用线面垂直证明线线垂直.
【详解】（1）连接,
∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
∴△为等边三角形，
又 ∵G为AD的中点，
∴ BG⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
（2）如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.
由（1）知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，
∵PB 平面PGB，∴AD⊥PB.
5．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA
(1)求证：PB⊥平面APD；
(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定证结论.
（2）由（1）及面面垂直的判定可得面面APD，再由面面垂直的性质有面，根据线面垂直的性质即可证结论.
【详解】（1）由AD⊥平面PAB，面，则，
又PB⊥PA，，则PB⊥平面APD；
（2）由（1）及面，则面面APD，
又面面APD，AG⊥PD，面APD，
所以面，而面，所以AG⊥BD．
培优第二阶——能力提升练
1．如图，在四棱锥中，，，，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)设，，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，结合等腰三角形三线合一、面面垂直和线面垂直性质可得；又，由线面垂直的判定可证得结论；
（2）利用勾股定理可求得，根据，结合棱锥体积公式可求得结果.
【详解】（1）取的中点，连接，
，为中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
，，，
，平面，平面.
（2）由（1）知：平面，
平面，，又，，，
，为等腰三角形，，，
.
2．如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明平面，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；
（2）根据棱锥的体积公式即可求得答案;
（3）作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.
【详解】（1）证明：因为在正方形中，
折叠后即有，
又平面，
所以平面，而平面,
故；
（2）由题意知，故，
故；
（3）取线段的中点G，连接，
因为，
所以有，平面,平面,
所以即为二面角的平面角，
又由（1）得平面，平面，
故,而,,
故,
即二面角的余弦值为.
3．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面⊥底面，且，设E，F分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面⊥平面；
(3)求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3)
【分析】（1）利用线面平行判断判定定理即可证得平面；
（2）先利用线面垂直判定定理证得面，进而证得平面⊥平面；
（3）先求得直线与平面所成角的正弦值，进而求得该角的大小.
【详解】（1）取中点S，中点T，连接,
又E，F分别为，的中点，
则 ,
又，则，
则四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面.
（2）在△中，，，
由，可得，
由面⊥面，面面，
，面，可得面，
又面，则，
又，，面，
则面，又面，
则平面⊥平面；
（3）连接，△中，，则，
又面⊥面，面面，面，
则面，则为点P到面的距离，
又E为的中点，则点E到面的距离为，
又△中，，，，
则，，则点E到面的距离为，
又，
设直线与平面所成角为，则，
又，则
则直线与平面所成角的大小为
4．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，8，.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取CD中点O，连接PO，AO，BO，证明平面POA即可得证；
（2）证明是二面角的平面角，利用余弦定理求解.
【详解】（1）取CD中点O，连接PO，AO，BO，证明
因为，所以，
又平面平面ABCD，平面PCD，平面平面，
所以平面ABCD，
而平面ABCD，所以；
因为4且，所以四边形ABOD为平行四边形，
又4，所以平行四边形ABOD为菱形，
因此，
因为，平面POA，平面POA，
所以平面POA，
因为平面POA，所以；
（2）设AO与BD交与M点，连接，
由（1）知平面POA，
而且平面POA，平面POA，
所以，
所以是二面角的平面角
又所以
所以
所以在P中，.
即二面角的余弦值为.
5．边长为4的菱形中，满足，点，分别是边和的中点，交于点，交于点，沿将△翻折到△的位置，使平面⊥平面，连接，，，得到如图所示的五棱锥．求证：⊥.
【答案】证明见解析
【分析】由题意可得,利用面面垂直的性质定理证明平面，再根据线面垂直的判定定理和定义可得.
【详解】由题意可得，，
又平面平面，平面平面,平面
平面.
又平面，则，
又平面,平面
平面.
又平面,
培优第三阶——培优拔尖练
1．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中，
(1)求证：平面；
(2)若二面角，求与面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，通过证平面平面，可得面.
（2）利用二面角的平面角的定义先找出二面角的平面角即为，再利用面面垂直的性质定理找到平面的垂线，从而作出与面所成的角，计算可得答案.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
为线段的中点，，
平面，平面，平面，
又，，四边形为平行四边形，则
平面，平面，可得平面，
又，，平面，
可得平面平面，平面，
则面.
（2）取中点，中点，连接，，，
由，，为边的中点，
得，所以为等边三角形，从而，，
又，为的中点所以，又是等边三角形，
所以，所以为二面角的平面角，所以，
过点作，过作交于，连接，
是等边三角形，所以可求得，，所以，，
，，，，
所以，，又，，面，
所以面，又，所以面，
平面，所以面面，
由，在中易求得，又，
所以，，
面面，面，
所以面，所以为与平面所成的角，
在中可求得，所以，
与面所成角的正弦值为
2．如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为的等边三角形，球心O到底面的距离为1．
(1)求球O的表面积；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理求出底面外接圆的半径，再根据勾股定理求出球的半径，然后用球的表面积公式可求出结果；
（2）取的中点，连，过作，交于，连，则是二面角的平面角，解三角形可得结果.
【详解】（1）底面外接圆的半径，
又球心O到底面的距离为1．所以球的半径，
所以球O的表面积为.
（2）因为为球的直径，所以，，
取的中点，连，则，则,
因为，，所以，
在等腰三角形中，过作，交于，连，
则是二面角的平面角，，
在中，，，
，，，
在中，,
在中，，
在中，.
所以二面角B－AC－D的余弦值为.
【点睛】思路点睛：求二面角的常用思路：
（1）利用二面角平面角的定义，在二面角的棱上选取特殊点，分别在两个面内作棱的垂线，找到平面角，然后解三角形得解；
（2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解.
3．如图①，在等腰梯形中，，现将沿翻折到的位置，且平面平面，如图②.
(1)当时，求；
(2)当三棱锥的体积为时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取的中点，连接可得为等边三角形，再根据面面垂直的性质结合余弦定理可得；
（2）过作，根据条件结合余弦定理与三角形的面积公式可得，再根据等面积法可得点到的距离，进而结合锥体体积公式求解即可.
【详解】（1）取的中点，连接，
当时，，
又，故四边形为平行四边形，故，
又，所以为等边三角形，
所以.
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
故，
在中，因为，
所以，故.
（2），
在图①中，过作，
所以.
因为
且，
所以点到的距离.
又，
故，
整理得，解得或（舍去），所以的值为.
4．如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故而得证；
（2）作出辅助线，找到∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小即可.
【详解】（1）因为平面，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，
因为，所以⊥AD，
因为PAAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
因为CFAB，所以CF⊥平面PAD，
因为CF平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）连结，过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，
如图，
平面，AD，AC平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因为，，
由勾股定理得：，则∠ADB=30°，
同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，，
故，，，
在△BCP中，由余弦定理得：，
则，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因为，所以DE⊥PC，
所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：.
5．如图，在几何体ABCDE中，面，，，．
(1)求证：平面平面DAE；
(2)AB=1，，，求CE与平面DAE所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线平行证得，再结合线面垂直的性质定理与面面垂直的判定定理即可得证；
（2）首先确定直线与平面所成角的平面角为，再应用棱锥体积公式求、，即可得解.
【详解】（1）如图，取的中点M、N，
连接、、，则知，且，
又，且，
所以，且，
则四边形为平行四边形，所以．
∵，M为的中点，∴，
∵平面，平面，∴．
又，平面,平面，∴平面
从而可得平面，由于平面，
所以平面平面，命题得证．
.
（2）由（1）知，平面DAE于，则为CE与平面DAE所成角.
且在中，，由且，得，
又已知平面，平面，∴，
∵平面ABCD，∴平面ABCD，
设，则，那么有，
则，解得，即有．
从而易得，在中，；
又在中，，则知；
∴，即CE与平面DAE所成角的正弦值为．
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专题11 立体几何垂直归类
【题型一】 线线垂直
【典例分析】
如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
【提分秘籍】基本规律线线垂直方法1：利用平行关系，把两条要证的直线平移在一个平面内，计算勾股定理证明垂直转化为证明线面垂直。证明一条线垂直于另外一条线所在的某个平面。
【变式训练】
1.如图，在三棱柱中，侧面为矩形， ，D是的中点，与交于点O，且平面
(1)证明：；
(2)若，求三棱柱的高.
2.如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
【题型二】线面垂直
【典例分析】
如图所示，在直三棱柱中，，平面，D为AC的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
【提分秘籍】基本规律线面垂直定义法：证明一条直线垂直于一个平面的两条相交直线。面面垂直性质法：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
【变式训练】
1.如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点D到平面ABE的距离．
2.如图，在直三棱柱中，，，，D为棱的中点，F为棱BC的中点．
(1)求证：BE⊥平面；
(2)求三棱锥B-DEF的体积．
【题型三】面面垂直
【典例分析】
如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD．
【提分秘籍】基本规律面面垂直证明：定义法：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
【变式训练】
1.如图，在四棱锥中，，平面平面ABCD，E，F分别为棱PD，AD的中点，．
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若，求几何体PABCEF的体积．
2.如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点．求证：
(1)底面；
(2)平面平面.
【题型四】翻折1：线线垂直
【典例分析】
在中，，，过点A作，交线段BC于点D（如图1），沿AD将折起，使（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点.
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积最大值.
【变式训练】
1.在中，，，过点A作，交线段BC于点D（如图1），沿AD将折起，使（如图2），点E、M分别为棱BC、AC的中点．
(1)求证：；
(2)在图2中，当三棱锥A-BCD的体积取最大值时，求三棱锥A-MDE的体积．
2.如图所示，在直角三角形中，，将 沿折起到 的位置，使平面平面，点满足.
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离.
【题型五】 翻折2：线面垂直
【典例分析】
在平行四边形中，，，，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点，如图①；将沿折起，使得点到达点的位置，如图②．证明：直线平面；
【变式训练】
1.如图（），已知边长为的菱形中，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图（）．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
2.如图（1），在边长为的正三角形ABC中，D，E分别为AB，AC中点，将沿DE折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接AB，AC．
(1)求四棱锥的体积；
(2)在图（2）中，过点E作平面EFG与平面ABD平行，分别交BC，AC于F，G．求证：平面ABC．
【题型六】 翻折3：面面垂直
【典例分析】
已知为等边三角形，其边长为4，点为边的中点，点在边上，并且⊥，将沿折起到.
(1)证明：平面平面；
(2)在棱上取一点P，使，求.
【变式训练】
1.如图1，由正方形与正三角形组成的平面图形，其中，将其沿，折起使得，恰好重合于点，如图2.
(1)证明：平面平面；
(2)若点是线段上，且，求三棱锥的体积.
2.如图1，在直角梯形中，，点，分别是边的中点，现将沿边折起，使点到达点的位置（如图2所示），且.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【题型七】 垂直探索性型
【典例分析】
如图，在直三棱柱中，，，，为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点.
(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在点D，使得面 若存在，求出的大小并证明；若不存在，说明理由.
【变式训练】
如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【题型八】 垂直应用1：线面角
【典例分析】
已知三棱柱中，平面平面，，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成线面角的正弦值.
【提分秘籍】基本规律线面角：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
【变式训练】
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，是线段上的动点．
(1)若是线段中点时，证明：平面；
(2)若直线与底面所成角的正弦值为，且三棱锥的体积为，请确定点的位置，并说明理由．
【题型九】垂直应用2：二面角
【典例分析】
.如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）．
(1)证明：平面平面；
(2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由．
【提分秘籍】基本规律计算二面角，常用方法向量法：二面角的大小为(),2.定义法：在棱上任一点，分别在两个半平面内做棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角3.垂面法：做与棱垂直的平面，交二面角两个半平面，两条交线所成的角即为二面角的平面角
【变式训练】
如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，.
（1）求证：；
（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.
【题型十】 垂直应用3：点到面的距离
【典例分析】
如图1，为等边三角形，分别为的中点，为的中点，，将沿折起到的位置，使得平面平面，
为的中点，如图2．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【变式训练】
如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.
(1)证明：；
(2)若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.
培优第一阶——基础过关练
1．如图，在四棱锥中，平面底面，，，，．证明：
2．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1)平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
3．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
4．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
5．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA
(1)求证：PB⊥平面APD；
(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．
培优第二阶——能力提升练
1．如图，在四棱锥中，，，，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)设，，求三棱锥的体积.
2．如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
3．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面⊥底面，且，设E，F分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面⊥平面；
(3)求直线与平面所成角的大小．
4．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，8，.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
5．边长为4的菱形中，满足，点，分别是边和的中点，交于点，交于点，沿将△翻折到△的位置，使平面⊥平面，连接，，，得到如图所示的五棱锥．求证：⊥.
培优第三阶——培优拔尖练
1．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中，
(1)求证：平面；
(2)若二面角，求与面所成角的正弦值.
2．如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为的等边三角形，球心O到底面的距离为1．
(1)求球O的表面积；
(2)求二面角的余弦值．
3．如图①，在等腰梯形中，，现将沿翻折到的位置，且平面平面，如图②.
(1)当时，求；
(2)当三棱锥的体积为时，求的值.
4．如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
5．如图，在几何体ABCDE中，面，，，．
(1)求证：平面平面DAE；
(2)AB=1，，，求CE与平面DAE所成角的正弦值．
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