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专题9 立体几何共面共线归类
【题型一】 四点共面基础型
【典例分析】
如图所示，在正方体中，E，F分别是AB和的中点．求证：E，C，，F四点共面．
【答案】证明见解析
【分析】证明线线平行，从而得到四点共面.
【详解】证明：连接EF，，．
由E，F分别是AB，的中点，可得．
又，所以，故E，C，，F四点共面．
【提分秘籍】 基本规律 要判断四点共面，只要判断三点共面，再证明第四个点在平面上，或者是证明四点在两条平行的直线上，选择后者，进行证明．
【变式训练】
1.如图，P是△ABC所在平面外一点，D， E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：D， E， A， C四点共面且DE＝AC.
【答案】证明见解析
【分析】如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N，连接MN，证明DE∥MN且DE＝MN，原题即得证.
【详解】证明：如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N，
因为D， E分别是△PAB， △PBC的重心，所以M， N分别是AB， BC的中点，连接MN，则MN∥AC且MN＝AC.
在△PMN中，因为，
所以DE∥MN且DE＝MN.
所以DE∥AC且DE＝×AC＝AC.
则D， E， A， C四点共面．
2.在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．证明：A，B，C，D四点共面，且；
【答案】证明见解析
【分析】根据线面垂直的判定定理可得平面，然后利用反证法可得四点共面，进而根据二面角的概念及利用线面垂直的判定定理可得平面，即得.
【详解】证明：平面，且平面，平面，
，，平面ACD，又，
平面，假设四点不共面，
平面，平面，
平面平面，与平面平面矛盾，故四点共面；
又，所以为二面角的平面角，
，即，又，且平面PAB，
平面，又平面，
.
【题型二】四线共面型
【典例分析】
如图，已知直线，，，．求证：a，b，c，l共面．
【答案】证明见解析
【分析】根据平面的基本性质分别得到和三线共面，即可求解.
【详解】证明：因为，所以与共面，
又由，，所以三线共面；
同理可证三线共面，
所以四条直线共面.
【提分秘籍】 基本规律 四点共面源于平面基本性质 基本事实文字语言图形语言符号语言作用基本事实 1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α确定平面；判定点线共面基本事实 2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α确定直线在平面内；判定点在平面内基本事实 3如果两个不重合的平面有一个公共点_，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l判定两平面相交；判定点在直线上
【变式训练】
1.已知：，，，，，．求证：直线共面于．
【答案】证明见解析
【分析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内,可证明结论.
【详解】,
同理，
所以直线共面于.
2.已知：a、b、c、d四条直线两两相交且不共点，求证：a、b、c、d四线共面．
【答案】证明见解析
【分析】因为a、b、c、d四条直线两两相交且不共点，先由两条相交直线相交确定一个平面，再通过直线上两点在一个平面内则该直线在这个平面内，即可证明
【详解】a、b、c、d四条直线两两相交且不共点，如图，
∵这四条直线两两相交，则设相交直线确定一个平面.
设直线与分别交于点，则.
又，∴.
同理可证，
∴a、b、c、d四条直线在同一平面内．
【题型三】四点共面探索型
【典例分析】
如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且．
(1)求证：面；
(2)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【分析】（1）由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定即可证结论.
（2）由题设有且，根据点共面结合（2）中面的一个法向量，利用向量垂直的坐标表示求，即可确定结果.
【详解】（1）由面面，则，
又且，可得：面.
（2）存在这样的.
由可得：，则，
若A，E，F，G四点共面，则在面内，又面的一个法向量为，
∴，即，可得.
∴存在这样的，使得四点共面.
【变式训练】
1.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱的中点，底面，且.
(1)在侧棱上是否存在点，使得点，，，四点共面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，说明理由.
(2)求几何体的体积.
【答案】(1)为侧棱中点，证明见解析
(2)
【分析】（1）取点的中点，得到，进而证得，得到，，，四点共面.
（2）由平面，证得，进而证得面，得到，利用线面垂直的判定定理证得平面，结合，即可求解.
【详解】（1）解：当，，，四点共面时，为侧棱中点.
证明如下：
取点的中点，由分别是中点，所以，
又因为，所以，
所以，，，四点共面.
（2）解：因为平面，平面，所以，
又因为，且，所以面，
又由平面，所以，
因为，所以，
又因为是中点，，所以，
又由，所以平面，
所以几何体的体积：
.
3.几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请找出点，并证明；若不存在，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，点为线段上靠近点的三等分点，证明见解析.
【分析】（1）取的中点，连接，利用面面平行的判定、性质推理作答.
（2）延长相交于点，连接交于点，连接，利用线面平行的性质及平行推比例式推理作答.
【详解】（1）取的中点，连接，如图，
因为分别为的中点，有，而平面平面，
则平面，又为正三角形，为等腰三角形，，有，
即有，而，于是得，平面平面，
因此平面，因，平面，则平面平面，又平面，
所以平面.
（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图，
因为平面，平面，平面平面，则，
即四点共面，由（1）及已知，，
得，即，又，则，
则有，即，点为线段上靠近点的三等分点，
所以线段上存在点，使得四点共面，点为线段上靠近点的三等分点.
【题型四】四点共面翻折型
【典例分析】
图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2.
(1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，，即可得到，从而得到，即可得证；
（2）依题意可得、，即可得到平面从而得到平面，再根据计算可得；
（1）
证明：在矩形和菱形中，，，
所以，
所以，
所以、、、四点共面；
（2）
解：在中，矩形中，
，平面，所以平面，
又，所以平面，
又，
所以
【提分秘籍】 基本规律 翻折题型，翻折前和翻折后在同一个平面内点线面，则相对位置关系不变。充分利用这个“相对不变”的性质解决翻折问题题型
【变式训练】
1.在矩形中，点分别在上，且.沿将四边形翻折至四边形，点平面.
（1）求证：平面；
（2）四点是否共面？给出结论，并给予证明；
【答案】（1）证明见解析；（2）不共面，证明见解析；（3）1.
【分析】（1）由得平面，得平面，从而得平面平面，即可证明平面；
（2）假设四点共面，则或，只要证明这两个结论不成立即可；
【详解】（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面.
所以平面，
又因为，所以平面平面，
因为面，所以平面；
（2）四点不共面.
证明：假设四点共面，则或.
若，又因为平面，平面，
所以平面，平面,平面平面,
所以(与已知矛盾，舍去)
若，所以平面，平面
根据基本事实3，所以
所以交于一点(与已知矛盾，舍去)；
综上所述，四点不共面.
2.在中，，分别以边AB和BC为一边向外侧作矩形ABDE和菱形BCFG（如图1），满足BD＝BG，再将其沿AB，BC折起使得BD与BG重合，连结EF（如图2）．
(1)判断A，C，F，E四点是否共面？并说明理由：
(2)在图1中，BC＝2AB＝2，∠BCF＝120°，在图2中，求多面体ABC－EDF的表面积．
【答案】(1)A，C，F，E四点共面，理由见解析
(2)
【分析】（1）由直线平行的传递性可证；
（2）根据已知直接计算各多边形面积相加可得.
【详解】（1）A，C，F，E四点共面，理由如下：
∵，，又因为D，G重合，
∴，故A，C，F，E四点共面．
（2）矩形ABDE的面积，在菱形BDFC中，∠BCF＝120°，BC＝2，
∴菱形BDFC的面积
由（1）知，且AE＝BD＝CF
∴四边形ACFE是平行四边形，且
∴
又在Rt中，
∴四边形ACFE的面
∵DE＝AB，DF＝BC，EF＝AC，∴
∴与的面积和．
故多面体的表面积为．
【题型五】五点共面
【典例分析】
如图，，与、分别交于、两点，与、分别交于、两点，．求证：、、、、五点共面．
【答案】证明见解析
【分析】根据已知条件分析可知直线、可确定一个平面，证明出、、、、均在平面内，即可证得结论成立.
【详解】证明：因为，则直线、可确定一个平面，记该平面为，
因为、，、，则、、、，则，
因为，则，故、、、、五点共面.
【提分秘籍】 基本规律 五点共面题型，多借助于两条直线相交或者平行时共面这个性质来转换。寻找点在线上
【变式训练】
已知A B C D E是空间中不同的五点，其中任意四点共面，求证：这五点共面.
【答案】证明见解析
【分析】设A B C D共面于，A B C E共面于.当A B C三点不共线时， 重合，当A B C三点共线时，设所在直线为l，则l在这个平面内，从而五点共面.
【详解】因为A B C D E是空间中不同的五点，其中任意四点共面，
不妨设A B C D共面于，A B C E共面于.
①若A B C三点不共线，则平面 有三个不共线的公共点A B C，
所以 重合，从而五点共面.
②若A B C三点共线，设所在直线为l.依据题意A B D E四点共面，
则直线l在这个平面上，从而点C也在该平面上，故A B C D E共面.
综上所述，这五点共面.
【题型六】 三线共点
【典例分析】
如图，正四棱柱'．
(1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）；
(2)若Q、R分别为'中点，证明：AQ、CR、三线共点．
【答案】(1)图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）直接由平面的基本性质作图；
（2）证明四边形AQRC为梯形，设，再证明，即可得到AQ、CR、三线共点．
【详解】（1）作直线分别交的延长线于，连接交于，
连接交于点，连接，
如图五边形PSQRT即为所求；
（2）证明：如图，连接，，，则，，
∵Q、R分别为中点，
∴QR，又AC，
∴QR，而AC＝2QR，可得四边形AQRC为梯形，
设，则，
∵AQ 平面，∴O∈平面A′AB，同理O∈平面C′CB，
又平面平面，∴，
即AQ、CR、三线共点．
【提分秘籍】 基本规律 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ．符号语言表示为：且 ．
【变式训练】
1.如图所示，在正方体中，分别是的中点.求证：
(1)三线共点；
(2)直线和直线是异面直线.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别延长，交于点，由平面基本性质知面．再由三角形中位线定理证明，，三线共点于．
（2）由反证法以及线面平行的判定以及性质即可得矛盾求解.
（1）
分别延长，，交于点，
，面，
面．
是的中点，，
是的中点，
连接，，
的交点为线段AB的中点，即为E，
，，三线共点于．
（2）
假如直线和直线不是异面直线，则存在一个平面，使得，
由于在正方体中,,,
因此,
又因为平面,且平面,
故,在正方形中，显然不平行，故矛盾，
因此假设不成立，即直线和直线是异面直线.
2.如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，
(1)求证：四点共面；
(2)求证:EF，HG，DC三线共点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接HE，GF，只要证明 即可；
（2）延长HG，DC交于点M，证明M点在直线EF上即可.
（1）
连接HE，GF， 如图：
因为H，E分别是 ，的中点， ，四边形 是平行四边形，
∴ ，又G，F分别是 ， 的中点， ，
直线 与直线HE共面， ，∴H，G，E，F四点共面；
（2）
延长HG与DC的延长线交于M，连接FM，如上图，
∵G是 的中点，∴ ， ，
又 ， ， ，
所以平面ABCD内， 与 是对顶角，
即 与 共线，HG，DC，EF三线交于M点.
培优第一阶——基础过关练
1．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．三点可以确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形是平面图形
D．两条相交直线可以确定一个平面
【答案】D
【分析】由平面的基本事实（公理）及其推论进行辨析即可.
【详解】对于A，不共线的三点确定一个平面，故选项A错误；
对于B，经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，故选项B错误；
对于C，空间四边形不是平面图形，故选项C错误；
对于D，由基本事实（公理）推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面，故选项D正确.
故选：D.
2．（2023·全国·高一专题练习）下列条件不能确定一个平面的是（ ）
A．不共线三点 B．直线和直线上一点
C．两条平行直线 D．两条相交直线
【答案】B
【分析】根据确定平面的公理及其推论，即可判断．
【详解】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意；
经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意；
经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意；
经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意．
故选：B．
3．（2023·全国·高一）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】一条直线和直线外一点确定一个平面，由此可验证充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，从而必要性不成立．
【详解】“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，
因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立；
“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从而必要性不成立，
所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2023春·河北邢台·高一河北南宫中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．过空间中的任意三点有且只有一个平面
B．三棱柱各面所在平面将空间分成21部分
C．空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面
D．若直线a在平面外，则平面内存在直线与a平行
【答案】B
【分析】根据不共线的三点可确定平面，即可判断A；根据分别乘法计数原理即可判断B；根据异面直线的概念即可判断C；根据线面关系即可判断D.
【详解】A：当空间中的三点共线时，不能确定平面，故A错误；
B：三棱柱的3个侧面将空间分成7部分，两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，
所以三棱柱各面所在的平面将空间分成个部分，故B正确；
C：空间中直线a、b、c，若a与直线b异面，b与c异面，
则a与c可能异面，也可能共面，故C错误；
D：由直线a在平面外可知，或a与相交.
若，则内存在一条直线与直线a平行；
若a与相交，则内不存在直线与直线a平行，故D错误.
故选：B.
5．（2022秋·云南昭通·高一校考期中）下列命题不正确的个数是（ ）
①三点确定一个平面；
②圆心和圆上两个点确定一个平面；
③如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点；
④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由公理2可判断命题①，②；由公理3可判断命题③；如果两条直线没有交点，则这两条直线平行或异面可判断命题④.
【详解】对于①，当三点共线时，确定的平面有无数个，故错误；
对于②，当圆心和圆上的两点满足三点共线时，确定的平面有无数个，故错误；
对于③，如果两个平面相交有一个交点，则必有经过该点的一条直线，该直线为交线，故正确；对于选项④，
如果两条直线没有交点，则这两条直线平行也可能是异面直线，故错误，所以不正确的命题有3个.
故选：C.
6．（2022秋·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交
B．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面
C．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线
D．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行
【答案】C
【分析】由空间中直线与直线的位置关系，结合异面直线的定义逐一分析四个选项得答案．
【详解】一条直线和两条平行直线中的一条相交，则和另一条相交或异面，A错误；
一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，设a∥b，l与a确定一个平面，则l与a平行或相交，如下图l与a相交的情况，l与b异面，B错误；
一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条如果不是异面直线，即与另一条平行，由平行公理知：三条直线互相平行，与题设有矛盾，C正确；
一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行或直线与两平行直线都异面， D错误．
故选：C
7．（2022秋·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期中）四面体有3条棱的长为，其余3条棱的长为1，并且当六条棱的长度不全相等时，相同长度的三条棱共点或者共面，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分成两种情况，再结合正四面体的性质求解即可.
【详解】分为两种情况：
当，如图所示：
在平面的投影为正三角形ABC的中心D，，
所以，
当，如图所示：
在平面的投影为正三角形ABC的中心D，
，所以，
综上：.
故选：B
8．（2022秋·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.
【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面；
对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面
对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面．
故选：B
培优第二阶——能力提升练
1．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确的有________．(填序号)
【答案】①
【分析】根据点共线、共面以及线共面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】对于①，反证法：如果四个点中，有个点共线，第个点不在这条直线上，
根据基本事实的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故①正确；
对于②，如下图，共面，共面，但不共面，故②错误；
对于③，如下图，共面，共面，但异面，故③错误；
对于④，如下图，四条线段首尾相接，但不共面，故④错误.
故答案为：①.
2．在空间四点中，三点共线是四点共面的__条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据充分不必要条件的概念，结合空间点面位置关系判断即可.
【详解】空间四点中，若有三点共线，则第四点不论在线上，还是在线外，四点一定共面；反之，若空间四点共面，不一定有三点共线，
所以，在空间四点中，三点共线是四点共面的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
3．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______．
【答案】①②③
【分析】由正方体、正四面体的结构特征，结合点线、线线位置关系判断四点是否共面.
【详解】图①：，，故，即四点共面，满足；
图②：，若为中点，则，故，即共面，
而，，故，即共面，
且三点不共线，故共面，满足；
图③：由题设，，故，则共面，满足；
图④：若为中点，则，故，即共面，
而面，面，则面，
又，且三点不共线，故面即为面，故面，即不共面，不满足；
故答案为：①②③
4．已知是不共面的四个点，且这四个点到平面的距离都相等，则这样的平面有______个．
【答案】
【分析】分别考虑三点在平面同侧，另一点在平面另一侧和两点在平面同侧，另两点在平面另一侧的情况即可.
【详解】当三点在平面同侧，位于平面另一侧时，只需三点确定的平面到平面的距离与点到平面的距离相等，则此时的平面符合题意；
即当中的三个点在平面同侧，另一个点在平面另一侧时，这样的情况有种，则满足题意的有个；
当位于平面同侧，位于平面另一侧时，只需直线与直线到平面的距离相等，则此时的平面符合题意；
则当中的两个点在平面同侧，另两个点在平面另一侧时，这样的情况有种，则满足题意的有个；
综上所述：这样的平面有个.
故答案为：.
5．如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是______．（填写所有符合要求的结论序号）
①三点共线； ②四点共面；
③四点共面； ④四点共面．
【答案】①②③
【分析】对于①，利用公理，证明为两个平面的公共部分即可；
对于②，③，利用“直线和直线外一点确定一个平面”判断；
对于④，根据异面直线的定义，判定直线，直线为异面直线后可知其错误.
【详解】对于①，两条平行线确定一个平面，即共面，显然平面平面，结合公理三：两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，设平面，平面的交线为，注意到是的中点，矩形对角线互相平分，故也是的中点，即，平面，故平面，又，平面，故平面，即；由，平面，即平面，由题干直接可知，平面，故，故三点共线；
对于②，由直线和直线外一点可确定一个平面，结合①正确可知，故确定的直线和共面，故②正确；
对于③，类似②，确定的直线和共面，故③正确；
对于④，平面，平面，平面，且，根据异面直线的定义，直线，直线为异面直线，故不可能四点共面，故④错误.
故答案为：①②③
6．如图，已知正方体的棱长为2，M，N，P分别为棱的中点，Q为该正方体表面上的点，若M，N，P，Q四点共面，则点Q的轨迹围成图形的面积为___________．
【答案】
【分析】根据题意找出点Q的轨迹围成图形为正六边形即可求解.
【详解】如图，
取的中点分别为，
则点Q的轨迹围成图形为正六边形，
且边长为面对角线的一半，即，
所以点Q的轨迹围成图形的面积为，
故答案为:.
7．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论：
①A、M、O三点共线； ②A、M、O、不共面：
③A、M、C、O共面； ④B、、O、M共面，
其中正确的序号为_________．
【答案】①③
【分析】由公理1判断①，由公理2判断②和③，用反证法判断④
【详解】连接，因为是的中点，所以，
平面与平面有公共点A与，则平面平面，
对于①，平面，则平面，因为平面，则，即A，M，O三点共线，所以①正确，
对于②③，由①知A，M，O三点共线，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②错误，③正确；
对于④，连接，则都在平面上，若平面，则直线平面，所以平面，显然平面，所以④错误，
故答案为：①③
8．已知，，，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号）
【答案】①③④
【分析】利用平面的基本性质及推论，逐一检验即可．
【详解】①中，，，，，四点共面；
②中，和是异面直线，故四点不共面；
③中，，，，，四点共面；
④中，，，，，四点共面；
故答案为：①③④
9．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个
【答案】32
【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解
【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；
然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：
（1）全同侧，这样的平面有2个；
（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，
1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，
考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，
故共有6个，
所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个，
故答案为：32
培优第三阶——培优拔尖练
1．如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．证明：E，F，D，B四点共面．
【答案】证明见解析
【分析】连接EF，BD，，证明即可
【详解】如图，
连接EF，BD，．
∵EF是的中位线，
∴．
∵与平行且相等，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴E，F，D，B四点共面．
2．如图，在四棱柱中，侧棱底面，四边形为菱形，，E，F分别为的中点．
(1)证明平面，并求点C到平面的距离；
(2)证明：四点共面．
【答案】(1)证明见解析，距离为；
(2)证明见解析；
【分析】（1）由及即可证得平面；设交于，即为点C到平面的距离，再由三角形知识求解即可；
（2）取中点，先证得四边形为平行四边形，得到，进而证得，即可证得结论.
【详解】（1）
因为四边形为菱形，所以，又侧棱底面，底面，则，
又，所以，又，平面，所以平面；
设交于，则即为点C到平面的距离，又，则，
即点C到平面的距离为；
（2）
取中点，连接，易得，则四边形为平行四边形，
则，又，则，所以四点共面．
3．图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2.
(1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，，即可得到，从而得到，即可得证；
（2）依题意可得、，即可得到平面从而得到平面，再根据计算可得；
（1）
证明：在矩形和菱形中，，，
所以，
所以，
所以、、、四点共面；
（2）
解：在中，矩形中，
，平面，所以平面，
又，所以平面，
又，
所以
4．如图，已知点分别为正方体的棱的中点，求证：三线共点．
【答案】证明见解析
【分析】利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，即可证得三线共点．
【详解】∵点，，，分别为所在棱的中点，连接，，∴是的中位线，∴.∵，且，∴四边形是平行四边形. ∴，∴.∴，，，四点共面.
∵，故与必相交.设.
∵，平面，∴平面.
同理可证平面.∴点在交线上，即，，三线共点.
【点睛】本题主要考查了平面的基本性质的应用，其中解答中合理应用三角形的中位线，平行线分线段成比例，以及平行线的传递性和平面的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
5．如图，、、分别是的边、、上的点，且与交于点、与交于点，与交于点.证明：、、三线共点，当且仅当、、三点共线.
【答案】见解析
【详解】由梅涅劳斯定理，知、、三点共线当且仅当.
而由塞瓦定理，知、、三线共点当且仅当.由直线截得
.同理，由直线、截分别得，.故.因此，结论得证.
6．空间四边形，，点分别是，的中点，，分别在和上，且满足．
（1）证明：，，，四点共面；
（2）证明：，，三线共点.
【答案】（1）见解析； （2）见解析.
【分析】（1）利用三角形的中位线平行于第三边，平线性分线段成比例，得到分别平行于，利用平行线的传递性，即可得到，即可证明四点共面；
（2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，即可证得三线共点．
【详解】（1）由题意，分别为的中点，所以，
又由，根据平行线段成比例，可得，
所以，所以四点在同一平面内，即四点共面．
（2）由题意，分别为的中点，所以，且，
假设直线和交于点，即，
因为平面，可得点平面,
同理可得平面,
又因为平面平面，即点直线，
所以直线三线共点．
【点睛】本题主要考查了平面的基本性质的应用，其中解答中合理应用三角形的中位线，平行线分线段成比例，以及平行线的传递性和平面的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
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专题9 立体几何共面共线归类
【题型一】 四点共面基础型
【典例分析】
如图所示，在正方体中，E，F分别是AB和的中点．求证：E，C，，F四点共面．
【提分秘籍】基本规律要判断四点共面，只要判断三点共面，再证明第四个点在平面上，或者是证明四点在两条平行的直线上，选择后者，进行证明．
【变式训练】
1.如图，P是△ABC所在平面外一点，D， E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：D， E， A， C四点共面且DE＝AC.
2.在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．证明：A，B，C，D四点共面，且；
【题型二】四线共面型
【典例分析】
如图，已知直线，，，．求证：a，b，c，l共面．
【提分秘籍】基本规律四点共面源于平面基本性质基本事实文字语言图形语言符号语言作用基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α确定平面；判定点线共面基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α确定直线在平面内；判定点在平面内基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点_，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l判定两平面相交；判定点在直线上
【变式训练】
1.已知：，，，，，．求证：直线共面于．
2.已知：a、b、c、d四条直线两两相交且不共点，求证：a、b、c、d四线共面．
【题型三】四点共面探索型
【典例分析】
如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且．
(1)求证：面；
(2)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【变式训练】
1.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱的中点，底面，且.
(1)在侧棱上是否存在点，使得点，，，四点共面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，说明理由.
(2)求几何体的体积.
3.几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请找出点，并证明；若不存在，并说明理由.
【题型四】四点共面翻折型
【典例分析】
图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2.
(1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中三棱锥的体积.
【提分秘籍】基本规律翻折题型，翻折前和翻折后在同一个平面内点线面，则相对位置关系不变。充分利用这个“相对不变”的性质解决翻折问题题型
【变式训练】
1.在矩形中，点分别在上，且.沿将四边形翻折至四边形，点平面.
（1）求证：平面；
（2）四点是否共面？给出结论，并给予证明；
2.在中，，分别以边AB和BC为一边向外侧作矩形ABDE和菱形BCFG（如图1），满足BD＝BG，再将其沿AB，BC折起使得BD与BG重合，连结EF（如图2）．
(1)判断A，C，F，E四点是否共面？并说明理由：
(2)在图1中，BC＝2AB＝2，∠BCF＝120°，在图2中，求多面体ABC－EDF的表面积．
【题型五】五点共面
【典例分析】
如图，，与、分别交于、两点，与、分别交于、两点，．求证：、、、、五点共面．
【提分秘籍】基本规律五点共面题型，多借助于两条直线相交或者平行时共面这个性质来转换。寻找点在线上
【变式训练】
已知A B C D E是空间中不同的五点，其中任意四点共面，求证：这五点共面.
【题型六】 三线共点
【典例分析】
如图，正四棱柱'．
(1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）；
(2)若Q、R分别为'中点，证明：AQ、CR、三线共点．
【提分秘籍】基本规律如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ．符号语言表示为：且 ．
【变式训练】
1.如图所示，在正方体中，分别是的中点.求证：
(1)三线共点；
(2)直线和直线是异面直线.
2.如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，
(1)求证：四点共面；
(2)求证:EF，HG，DC三线共点.
培优第一阶——基础过关练
1．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．三点可以确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形是平面图形
D．两条相交直线可以确定一个平面
2．（2023·全国·高一专题练习）下列条件不能确定一个平面的是（ ）
A．不共线三点 B．直线和直线上一点
C．两条平行直线 D．两条相交直线
3．（2023·全国·高一）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023春·河北邢台·高一河北南宫中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．过空间中的任意三点有且只有一个平面
B．三棱柱各面所在平面将空间分成21部分
C．空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面
D．若直线a在平面外，则平面内存在直线与a平行
5．（2022秋·云南昭通·高一校考期中）下列命题不正确的个数是（ ）
①三点确定一个平面；
②圆心和圆上两个点确定一个平面；
③如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点；
④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022秋·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交
B．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面
C．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线
D．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行
7．（2022秋·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期中）四面体有3条棱的长为，其余3条棱的长为1，并且当六条棱的长度不全相等时，相同长度的三条棱共点或者共面，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
培优第二阶——能力提升练
1．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确的有________．(填序号)
2．在空间四点中，三点共线是四点共面的__条件．
3．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______．
4．已知是不共面的四个点，且这四个点到平面的距离都相等，则这样的平面有______个．
5．如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是______．（填写所有符合要求的结论序号）
①三点共线； ②四点共面；
③四点共面； ④四点共面．
6．如图，已知正方体的棱长为2，M，N，P分别为棱的中点，Q为该正方体表面上的点，若M，N，P，Q四点共面，则点Q的轨迹围成图形的面积为___________．
7．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论：
①A、M、O三点共线； ②A、M、O、不共面：
③A、M、C、O共面； ④B、、O、M共面，
其中正确的序号为_________．
8．已知，，，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号）
9．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个
培优第三阶——培优拔尖练
1．如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．证明：E，F，D，B四点共面．
2．如图，在四棱柱中，侧棱底面，四边形为菱形，，E，F分别为的中点．
(1)证明平面，并求点C到平面的距离；
(2)证明：四点共面．
3．图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2.
(1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中三棱锥的体积.
4．如图，已知点分别为正方体的棱的中点，求证：三线共点．
5．如图，、、分别是的边、、上的点，且与交于点、与交于点，与交于点.证明：、、三线共点，当且仅当、、三点共线.
6．空间四边形，，点分别是，的中点，，分别在和上，且满足．
（1）证明：，，，四点共面；
（2）证明：，，三线共点.
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