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专题7 几何体侧面展开与最短距离
【题型一】棱柱侧面展开
【典例分析】
已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有________个．
【答案】2
【分析】根据几何体的侧面展开图，还原几何体，即可判断.
【详解】根据平面展开图，还原几何体如下所示：
故第二个和第四个为三棱柱，三棱柱的个数有2个.
故答案为：2.
【提分秘籍】 基本规律 棱柱展开，依据棱柱的侧面数量，会有不同方向的展开可能，要注意适当的讨论
【变式训练】
1.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
【答案】B
【分析】分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，即可得出答案．
【详解】（1）图还原正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；
（2）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
（3）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
（4）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；
综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是（2）（3）．
故选：B．
2.如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图形对照4个展开图，可动手折叠求解.
【详解】由原正方体的特征可知，含有4,6,8的数字的三个面一定相交于一点，而选项B，C，D中,经过折叠后与含有4,6,8的数字的三个面一定相交于一点不符.
故选：A
3.如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是（ ）
A．A与B B．D与E C．B与D D．C与F
【答案】ABD
【分析】根据平面展开图，还原正方体，然后进行判断即可.
【详解】将平面展开图，还原正方体如下图所示：
所以互相重合的点是A与B，D与E,C与F，
故选：ABD
【题型二】 棱锥展开
【典例分析】
已知正三棱锥纸模，的边长为，侧棱长为，沿，，将三棱锥剪开得到一个多边形，若小花想用一张圆形纸裁剪一个相同的多边形，并折叠成正三棱锥形礼盒，则圆形纸的半径至少为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】在正三棱锥的平面展开图中，连接，，，设为外接圆的圆心，的长度即为所求，根据条件中的数据算出即可.
【详解】如图，在正三棱锥的平面展开图中，由题意可得
连接，，，易知为等边三角形
由题意知，圆形纸半径的最小值即外接圆的半径.
设为外接圆的圆心，连接，交于点，则易知即所求，且为线段的中点，为的中心，
所以，，在中，，则，
故选：C
【提分秘籍】 基本规律 棱锥展开，是以此有公共邻边的共顶点三角形，注意运用正余弦定理求出定角的大小，并与半圆作比较，
【变式训练】
1.下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得.
【详解】将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作：
则为中点，取中点，连接，设正四面体的棱长均为，
由中位线定理可得且，所以即为与直线所成的角，
，由余弦定理可得
，所以直线与直线所成角的余弦值为，故选：C.
2.由等边三角形组成的网格如图所示，多边形是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中正确的是
A．平面
B．平面平面
C．平面平面
D．
【答案】B
【分析】由题意，得到该几何体表示一个正八面体,此时GHIJ分别与CDEF重合，利用正八面体的性质，即可求解.
【详解】由等边三角形组成的网格如图所示，多边形是某几何体的表面展开图，则该几何体表示一个正八面体,如图所示，此时GHIJ分别与CDEF重合，
根据正八面体的性质，可得平面BCF//平面EAD，即平面平面，故选B.
3.现有边长为3，4，5的两个三角形纸板和边长为4，5，的两个三角形纸板，如图，用这四个纸板围成一个四面体，则这个四面体的体积是______.
【答案】8
【分析】根据题意，画出四面体，得到其几何性质，即可容易求得体积.
【详解】这个四面体如图所示，
其中，，，
且，，，，，，
故四面体的体积为.故答案为：8.
【题型三】棱台展开
【典例分析】
下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱台的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据选项中的展开图，依次分析沿着折线折起来的几何体的机构特征，判断是否为棱锥即可.
【详解】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确；
对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项不正确；
对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项正确；
对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项正确；
故选：CD.
【提分秘籍】 基本规律 棱台特别是非正棱台的展开较复杂，也是展开题型的难点之一，可以借用【典例分析】学习不同棱台的展开。
【变式训练】
1.一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（ ）
A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦
【答案】A
【解析】可把展开图折叠起来变成一个四棱台，可知结论，也可从两个面中间是否隔一个面来确定．
【详解】因为“祝”字面和“前”字面中间隔着“你”字面，所以“祝”字面和“前”字面相对，同理“你”字面和“程”字面中间隔着“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相对，
故选：A.
2.在一张硬卡纸上，将图中给出的图形放大，然后按实线剪纸，再按虚线折痕折起并黏合，说出得到的几何体的名称．
【答案】三棱台
【分析】根据纸板上的实线与虚线，可判断是上底面与下底面平行，再结合侧面与底面不垂直，可判断是三棱台.
【详解】上底面和下底面是大小不同的三角形，故粘合后上底面与下底面平行，侧面与底面不垂直，所以该几何体为三棱台.
3.如图是三个空间图形的平面展开图，请问各是什么空间图形？
【答案】①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
【分析】根据棱柱的结构特点可得①；根据棱锥的结构特点可得②；根据棱台的结构特点可得③；
即可求解.
【详解】图①中，有5个平行四边形，且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；
图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；
图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．
把平面展开图进行还原，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
【题型四】圆柱侧面展开
【典例分析】
如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用几何体作各种辅助线，通过各种角度关系和长度关系可以得到侧面的高度，即可得到答案
【详解】解：过AB作平行于底面的半平面α，如图,取截面边界上任一点P,过P作垂直于半平面α,垂足为,延长交圆柱底面于点,过P作，垂足为M,连接,则，就是截面与底面所成的角，,
设AB的中点为O,连接，设，则，在中，，
在中，所以，
故选：A.
【提分秘籍】 基本规律 圆柱展开体现了“化曲为值”的数学思想和转化技巧。
【变式训练】
1.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（ ）（保温带厚度忽略不计）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意,因为相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一,每隔四分之一的带宽就绕一层保温带,则一共可以盖四层.故画出所求角度所在的直角三角形,再分别分析临边与斜边即可.
【详解】由题,作于.
根据题意可知宽为带宽的四分之一即,又水管直径为4 cm.
故.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是
.故选：D
2.圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合立体图形，进行空间想象，然后进行判断.
【详解】结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A，B，C错误.
故选D.
3.用长、宽分别是与的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，试求圆柱底面的半径.
【答案】cm或cm
【分析】分别以矩形的长和宽为圆柱底面圆周分别计算即可得解.
【详解】以边长为的矩形边作圆柱底面圆周，则其周长为，半径r1，即，cm，
以边长为的矩形边作圆柱底面圆周，则其周长为，半径r2，即，cm，
所以圆柱底面的半径是cm或cm.
【题型五】圆锥侧面展开
【典例分析】
若一个圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长与其底面圆的直径应满足的等量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆锥侧面展开图和扇形的弧长公式即可得出结果.
【详解】设圆锥的底面圆半径为，则圆锥底面圆的周长等于，
因为圆锥侧面展开图为一半圆，且该半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，
所以，即.
故选：C.
【提分秘籍】 基本规律 解决圆锥侧面展开图问题的关键在于弄清展开前后的联系：一是展开前圆锥母线即为展开后扇形半径；二是展开前圆锥的底面圆周长即为展开后扇形的弧长. 再根据轴截面图形中的直角三角形和展开后扇形图，建立圆锥高、母线长、底面圆半径、轴截面(半)顶角、扇形圆心角间的等量关系，它们之间知二求其他的题型比较常见.
【变式训练】
1.在古代，斗笠作为挡雨遮阳的器具，用竹篾夹油纸或竹叶棕丝等编织而成，其形状可以看成一个圆锥体，在《诗经》有“何蓑何笠”的句子，说明它很早就为人所用.已知某款斗笠如图所示，它的母线长为，侧面展开图是一个半圆，则该斗笠的底面半径为（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【分析】侧面展开图一个半圆，则此半圆的弧长等于底面圆周长，由此求出底面半径.
【详解】设底面半径为，底面圆周长，
斗笠母线长，侧面展开图一个半圆，则此半圆的弧长，
所以，
故选：C.
2.如图：现有一个30%圆周且半径为40cm的扇形纸片，小明同学为了表演节目，他将扇形纸片先剪去部分然后用余下的部分制成一个底面半径为10cm的图锥形纸帽（衔接处不重叠），则剪去部分扇形纸片的圆心角为（ ）
A．30° B．45° C．18° D．63°
【答案】C
【分析】求出圆锥侧面展开扇形所对的圆心角，即可得解；
【详解】解：依题意圆锥的母线，底面半径，所以底面周长，则圆锥沿母线展开得到扇形，扇形的圆心角，所以剪去部分扇形纸片的圆心角为；
故选：C
3.．一个圆锥的母线与其轴所成的角为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据展开前底面圆周长即展开后扇形弧长，建立等量关系，求解圆心角.
【详解】如图，设圆锥母线长为，底面圆半径为，圆锥的侧面展开图的圆心角为，
圆锥的母线与其轴所成的角为，在中，.
则在圆锥的侧面展开图扇形中，由，得.故选：D.
【题型六】圆台侧面展开
【典例分析】
圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的表面积为________.（结果中保留）
【答案】.
【解析】将圆台还原成圆锥，求出圆台的母线长，即可求解.
【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，
因为扇环的圆心角是，故，
所以.同理可得，所以，
所以.
故圆台的表面积为.
故答案为:.
【提分秘籍】 基本规律 圆台展开，关键是还原成圆锥，根据两底面半径关系,计算圆锥的母线长，画出扇环进行分析，.
【变式训练】
1.若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上 下底面圆的半径分别为，（），则___________.
【答案】2
【分析】先求得圆台的母线长，然后根据圆台的侧面积公式列方程，化简求得.
【详解】圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，
所以圆台的母线长为，
圆台的侧面积为，
所以.
故答案为：2
2.已知圆台的上底半径为cm，下底半径为cm，圆台的高为cm，则侧面展开图所在扇形的圆心角__．
【答案】
【解析】将圆台还原成圆锥，根据题意可得圆台的上底面恰好为圆锥的中截面，所以圆锥的高，根据勾股定理算出圆锥的母线长，再利用展开图的扇形圆心角计算公式，可得答案．
【详解】将圆台还原成圆锥，可得
上底半径为，下底半径为，
圆台的上底面恰好为圆锥的中截面，
由此可得圆锥的高等于圆台的高的两倍，即，
由勾股定理，可得圆锥的母线长，
因此，侧面展开图所在扇形的圆心角．
故答案为：
3.圆台的上 下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的母线长是___________.
【答案】
【分析】利用圆台得侧面展开图，两圆半径之差即为所求
【详解】
如图所示,设圆台的上底面周长为,因为扇环的圆心角是,
所以又, 所以.同理. 所以故答案为:.
【题型七】最短距离1：圆柱侧面型
【典例分析】
如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）．
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【分析】画出圆柱的侧面展开图，解三角形即得解.
【详解】解：圆柱的侧面展开图如图所示，由题得,所以.
所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为.故选：B
【提分秘籍】 基本规律 计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；
【变式训练】
1.如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用圆柱侧面展开图求解.
【详解】将圆柱侧面展开半周，则展开矩形长为，
，.故选：C.
2.“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm），则三视图中，两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（ ）（，）
A．8.4 B．9.8 C．10.4 D．11.2
【答案】A
【分析】玉琮的中空部分看成一圆柱，，两点可看成是圆柱轴截面所对应矩形的对角线的端点，将圆柱侧面展开，线段的长就是沿该圆柱表面由到的最短距离．
【详解】本题考查传统文化与圆柱的侧面展开图.由题意，将玉琮的中空部分看成一圆柱，，两点可看成是圆柱轴截面所对应矩形的对角线的端点，现沿该圆柱表面由到，如图，将圆柱侧面展开，可知.
故选：A．
3.如图，是圆柱的直径，是圆柱的母线，，，点是圆柱底面圆周上的点.，是线段上靠近点的三等分点，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，绕旋转到，并且点在的反向延长线，当点是和的交点时，此时最小，中求边长.
【详解】如图，绕旋转到，并且点在的反向延长线，连结，交于点，此时最小.
，，,
，
，
是等边三角形，,则的最小值是.故选：A
【题型八】最短距离2：圆锥侧面型
【典例分析】
如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把半个圆锥沿着直线展开，得到扇形，根据题意，计算扇形的弧长，由展开图和圆锥的关系，得到圆锥底面圆周长，进而计算底面圆半径.
【详解】如图为半圆锥的侧面展开图，
连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路线长，
设展开图的扇形的圆心角为，
根据题意得，
在中，，所以，
所以扇形弧长为，
所以圆锥底面圆的周长为，即，得.故选：A
【变式训练】
1.“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km．山高为km，B是山坡SA上一点，且km．为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为（ ）
A．60km B．km C．72km D．km
【答案】C
【分析】利用圆锥侧面展开图去求公路长度最短时，下坡路段长度.
【详解】该圆锥的母线长为，
所以，则圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
如图，展开圆锥的侧面，连接，过点S作的垂线，垂足为H，
由两点之间线段最短，知观光公路为图中的，，
记点P为上任一点，连接PS，上坡即P到山顶S的距离PS越来越小，
下坡即P到山顶S的距离PS越来越大，则下坡段的公路，即图中的HB，
由，得（km）．
故选：C
2.．如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面，为中点，，，则从点经圆锥侧面到点的最短距离为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先画出圆锥的侧面展开图如图所示，再求线段BC的长度，即得点经圆锥侧面到点的最短距离.
【详解】先作出圆锥的侧面展开图如图所示，
由题得圆锥底面圆的半径为，
所以,
所以,所以BC=.
故答案为A
3.“敕勒川，阴山下．天似穹庐，笼盖四野．”的特征，诗中的“穹庐”即“毡帐”，屋顶近似圆锥，为了烘托节日气氛，计划在屋顶安装灯光带．某个屋顶的圆锥底面直径长8米，母线长6米，其中一条灯光带从该圆锥一条母线的下端点开始，沿侧面经过与该母线在同一轴截面的另一母线的中点，环绕一圈回到起点，则这条灯光带的最短长度是______米．
【答案】
【分析】将侧面沿母线剪开，点对应点，轴截面对应的另一条母线为，的中点为，连接，，则为灯光带的最短长度，结合图形计算即可求解.
【详解】将侧面沿母线剪开，点对应点，轴截面对应的另一条母线为，的中点为，连接，，则为灯光带的最短长度，如图所示：
因为，圆锥底面直径长8，则半径为，所以，即，
所以，
因为，
在中，由余弦定理可得：
，
所以，所以，
所以这条灯光带的最短长度是米.
【题型九】最短距离3：圆台侧面型
【典例分析】
已知圆台的上 下底面圆半径分别为10和5，侧面积为为圆台的一条母线（点在圆台的上底面圆周上），为的中点，一只蚂蚁从点出发，绕圆台侧面一周爬行到点，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【答案】C
【分析】根据题意得到圆台的侧面展开图，再确定蚂蚁爬行所经路程的最小值，求解即可.
【详解】圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为，
所以，解得：，
将圆台所在的圆锥展开如图所示，且设扇形的圆心为O.
线段就是蚂蚁经过的最短距离，
设，圆心角是，则由题意知 ①， ②，由①②解得，，，
∴，，则.故选：C.
【变式训练】
1.圆台上底面和下底面圆的周长分别为和，母线长为，三视图如图所示．圆台表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆台表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆台的侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据三视图可得原几何体如图所示（圆台），侧面展开后可得最短路径的长度.
【详解】如图，三视图对应的几何体为圆台，
因为圆台上底面和下底面圆的周长分别为和，
故圆台上底面和下底面圆的半径分别为，设展开后的扇形的半径为，则，故，
故该扇形的圆心角为，如图所示，侧面展开后在扇形所在圆弧的的等分点处（靠近），故，
该圆台侧面展开图中三角形OMN，因为，，∴，
所以从M到N的路径中，最短路径的长度为1，故选：B．
2.若圆台上底面半径为5cm，下底面半径为10cm，母线AB（点A在下底面圆周上，点B在上底面圆周上）长为20cm，从AB中点拉一根绳子绕圆台侧面转到A，则绳子最短的长度___________．
【答案】50 cm
【分析】根据圆台的侧面展开图计算求解．
【详解】如图是圆台侧面展开图，是圆心，由已知得其中心角，
由得，，是中点，（）．
故答案为：50 cm.
3.如图所示，圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6.求轴截面相对顶点A、C在圆台侧面上的最短距离.
【答案】.
【分析】沿母线剪开将圆台侧面展开，则A、C在圆台侧面上的最短距离即为展开图中线段的长求解.
【详解】如图所示：
沿母线剪开将圆台侧面展开，问题转化为求展开图中线段的长.
设圆台的上底面、下底面半径分别为、，因为侧面展开图圆心角，
，且B、C分别为所在弧的中点，
所以在等腰三角形中，，
则是等边三角形，
因为，
所以，而，C为的中点，
所以，
即A、C两点在圆台侧面上的最短距离为.
【题型十】最短距离4：棱锥型
【典例分析】
在正四棱锥中，，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对点到点的路径进行分类讨论，将相应平面延展为同一平面，结合余弦定理可求得结果.
【详解】分以下几种情况讨论：
（1）当点沿着平面、到点，将平面、延展为同一平面，如下图所示：
易知、均为等边三角形，延展后，，，
所以，四边形为菱形，所以，且，
因为、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，此时；
（2）当点沿着平面、到点，将平面、延展至同一平面，如下图所示：
连接，则，且，，，
因为，由余弦定理可得；
（3）当点沿着平面、到点，连接，如下图所示：
则，，，
由余弦定理可得；
（4）当点沿着平面、、到点，将这三个侧面延展为同一平面，如下图所示：
易知、、三点共线，且，，，
由余弦定理可得.
综上所述，从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为.
故选：C.
【变式训练】
1.在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用垂直条件证明得平面，即可得平面平面，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可.
【详解】因为，，所以平面，所以平面平面，将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图，此时的直线距离即为最短距离，设到直线的距离为，则，所以.
故选：A
2.正三棱锥中，若，，点、分别在侧棱、上运动，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】D
【分析】画出正三棱锥侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不难求得结果．
【详解】将三棱锥由展开，如图，
正三棱锥中，，则图中，
当点、、、位于同一条直线上时，的周长最小，
故为的周长的最小值，
又，为等腰三角形，
，，
，
的最小周长为：．
故选：D．
4.如图，底面为正方形的四棱锥中，四条侧棱相等，且，，分别为棱和上的两点，，，处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】C
【分析】根据四棱锥的结构特征， 沿PA，PC剪开展成平面时EF最短，然后在
中，利用余弦定理求解.
【详解】如图所示：
因为底面为正方形的四棱锥中，四条侧棱相等，且，
所以四棱锥是正四棱锥且所有的棱都相等，
当沿PA，PC剪开展成平面，EF最短，
在中，，，，
由余弦定理得
，
解得 ，
所以蚂蚁爬行的最短距离为
故选：C
【题型十一】最短距离5：棱柱型
【典例分析】
棱长为2的正方体中，E为的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意结合对称性分析，周长取最小值时，P在上，作点关于的对称点分别为，求，即可得到周长的最小值．
【详解】过点P作的垂线，垂足为，则，
则周长，当P与重合时等号成立，即P在上，
作点关于的对称点分别为，则
∴，当四点共线时等号成立，
故周长.
故选：B.
【变式训练】
1.如图，已知正三棱柱底面边长4，高为7，一质点从A出发，沿三棱柱侧面绕行两周到达的最短路线长为（ ）
A．25 B．24 C．31 D．28
【答案】A
【分析】根据正三棱柱的侧面展开图求得最短线路长.
【详解】正三棱柱的侧面展开图是底边长为，高为的矩形，
所以绕行两周的最短路线长为.
故选：A
2.在直三棱柱中，，，，E是棱上的一点，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由侧面展开图求解，
【详解】由题意得，
将三棱柱的侧面展开如图所示，当三点共线时，的周长的最小，
此时，
即的周长的最小值为，
故选：C
3.已知直三棱柱中，，，为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间几何体的特征，将沿折起到的位置.使得平面与平面共面,然后两点之间线段最短，再利用余弦定理即可得到答案.
【详解】将沿折起到的位置.使得平面与平面共面,当为线段与的交点时,最小,即最小,则有，
又，所以易得与均为等腰直角三角形,
,
利用余弦定理可知最小值为.
故选：D.
【题型十二】 最短距离6：内部按面展开型（难点）
【典例分析】
已知正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，为的中点，为中点，是的动点，是平面上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图形，在正三棱锥中，分析得出平面，固定，找出点运动时取得最小值时的位置，利用解三角形的相关知识即可求得结果.
【详解】因为为上的动点，为平面上的动点，且两者的运动无关，所以采用一定一动的原则，
先固定，当在动的时候，显然，当平面时，取最小值，
为了确定垂直状态在哪里，具体给出下图：
作分别交、于点、，连接，
当点在上且时，平面，
以下证明此时平面，
，为的中点，则，同理可知，，
，平面，
所以，，所以，平面，
此时，再将平面绕着转动，使得、、、四点共面，
此时，释放点，当点在运动过程中，、、三点共线时，
，
已经找到最小状态，易知，，
，平面，则平面，则平面，
平面，，故，则，
，，则，则为等腰直角三角形，
故，，
因为.
故选：A.
【提分秘籍】 基本规律 对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.
【变式训练】
1.如图，棱长为1的正方体中，为的中点，为对角线上的动点，为棱上的动点，则的最小值为______.
【答案】
【分析】将三角形和三角形展开成平面图形，点到直线的距离，也即的最小值.
【详解】将三角形和三角形展开成平面图形如下图所示.过作，交于，交于，则是的最小值.过作，交于.三角形和三角形是全等的直角三角形.设，则，所以.所以.所以.
故答案为：
2.已知在一个表面积为24的正方体中，点在上运动，则当取得最小值时，（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意将平面翻折至与平面共面，根据，由时，有最小值求解.
【详解】解：作出图形如下所示：
依题意：，故，
将平面翻折至与平面共面，
因为，
故当时，有最小值，此时，
过点作平面的垂线，垂足为，由余弦定理得：
，
则.故选：A.
3.已知，如图正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为2，D为AC中点，E为AB中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取中点,连接交于点,易证得面,要求最小,即求MN最小,可得，又可证明,再把平面POD绕PD旋转,与面PDA共面,则结合数据解三角形即可.
【详解】取中点,连接交于点,易证得面,要求最小,即求MN最小,可得，又可证明,再把平面POD绕PD旋转,与面PDA共面,又可证得.
，，
，即，
，可得，
.
故选:B.
培优第一阶——基础过关练
1．把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
【详解】结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应该在几何体的上下，符合要求的只有C和D，再根据三角形的位置，即可得出答案，
故选：C
2．如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（ ）
A．平行 B．相交 C．是异面直线 D．可能相交，也可能是异面直线
【答案】C
【分析】将展开图还原成长方体，即可判断
【详解】如图，将展开图还原成长方体，易得线段AB与线段CD是异面直线，
故选：C
3．如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可.
【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，
一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，设，
圆锥底面周长为，所以，所以，
在中，由，得
故选：B．
4．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据根据任意两点的球面距离都等于大圆周长的，得到，，为等边三角形，再结合小圆的周长为，得到，最后根据等边三角形的性质即可得到球的半径.
【详解】
设球面上的3个点分别为，球心为，小圆圆心为，球的半径为，连接交于，
根据任意两点的球面距离都等于大圆周长的，可得，，所以，，为等边三角形，，
因为小圆的周长为，所以小圆半径为，则，，.
故选：B.
5．一个几何体的表面展开平面图如图，该几何体中的与“数”字面相对的是“__________”字面.
【答案】学
【详解】把平面图还原是一个三棱台，两个三角形分别为上下底面，
所以与数对应的是学,
故答案为 学.
6．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是______．
【答案】
【分析】圆柱的侧面展开为矩形，求出矩形的长和宽，得到侧面积.
【详解】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即，另一边长为2，故圆柱的侧面面积为.
故答案为：
7．如图C是圆台母线AB的中点，BD是底面的直径，上底面半径为1，下底面半径为2，AB=2，点M是弧BD的中点，则C、M两点在圆台侧面上连线长最小值的平方等于______.
【答案】##
【分析】将圆台展开为平面图形，结合几何位置关系在中利用余弦定理求解.
【详解】因为圆台上底面半径为1，下底面半径为2，AB=2，
所以该圆台是由底面半径为2，母线长为4的圆锥所截得，
所以圆锥的侧面展开图的弧长为，
所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，即侧面展开图为一个半圆，
所以圆台侧面展开图为一个半圆环，
沿母线展开如图所示，，.，
由余弦定理可得：.
故答案为: .
8．如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为，根据数据求解即可．
【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为；
在中，，则．
所以的最小值为.
故答案为：.
培优第二阶——能力提升练
1．在直三棱柱中，，点P在线段上，则的（ ）
A．最小值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最大值为
【答案】BD
【分析】将平面与平面展平在一个平面上后可求的最值.
【详解】如图展开，其中是斜边为的等腰直角三角形，
是斜边为6的等腰直角三角形．
当三点共线时，取得最小值．
当P位于C点位置时，取得最大值．
故选：BD.
2．如图，在多面体中，四边形，，均是边长为1的正方形，点在棱上，则（ ）
A．该几何体的体积为 B．点在平面内的射影为的垂心
C．的最小值为 D．存在点，使得
【答案】BD
【分析】将几何体补形为正方体，根据正方体与棱锥体积差判断A，由棱锥侧棱长相等、底面为正三角形确定定点射影的位置判断B，根据展开图及余弦定理判断C，由正方形对角线垂直可判断D.
【详解】由题意，可将该几何体补成正方体，如图，
则该几何体的体积为正方体体积去掉一个三棱锥的体积，所以，故A错误；
由题意知，为等边三角形，因为，所以点在平面内的射影为的外心，即的中心，故B正确；
把所在面沿折起，当四点共面时，连接，则的最小值即为的长，由余弦定理知，，故，即的最小值为，故C错误；
四边形为正方形，， ，当与重合时，，故D正确.
故选：BD
3．已知某圆锥的母线长为1，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形
D．圆锥的内切球表面积为
【答案】ABC
【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的体积公式以及表面积公式可判断A、B；根据圆锥侧面展开图与圆锥的数量关系，可得扇形的半径以及弧长，即可求得圆心角，即可判断C项；根据圆锥的轴截面，可知圆锥内切球的半径即等于内切圆的半径.根据等面积法即可求得外切圆的半径（即外切球的半径），代入球的表面积公式可判断D.
【详解】
如图1为圆锥的轴截面，圆锥母线，且.则，
所以底面半径，圆锥的高.
对于A项，圆锥的体积，故A正确；
对于B项，圆锥的表面积，故B正确；
对于C项，圆锥的侧面展开图的半径，弧长为，则圆心角，故C正确；
对于D项，如图2，作出圆锥及其内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为，
易知，圆锥内切球的半径即等于内切圆的半径.
，
又
，
所以，所以.
圆锥的内切球表面积，故D错误.
故选：ABC.
4．在棱长为1的正方体中，点为线段（包括端点）上一动点，则（ ）
A．异面直线与所成的角为
B．三棱锥的体积为定值
C．不存在点，使得平面
D．的最小值为
【答案】AB
【分析】证明得到，求出，即可得出A项；证明平面，然后求出，根据等积法即可求出B项；取中点为，可证明平面，即可说明C项错误；将和展开到同一平面，当点为交点时，有最小值.在中，由余弦定理求出，即可得到最小值，说明D项错误.
【详解】
对于A项，如图1，连接.因为都是正方体面对角线，所以，
所以是等腰三角形，所以.又且，所以四边形是平行四边形，
所以.所以异面直线与所成的角即等于与所成的角，故A项正确；
对于B项，因为且，所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面.
所以点到平面的距离即等于点到平面的距离.，
所以，又是个定值，故B项正确；
对于C项，如图2，取中点为.因为，是中点，所以.
又由已知可得，平面，平面，所以.又，
且平面，平面，所以平面，即存在点，使得平面，故C项错误；
对于D项，如图3，将和展开到同一平面，当点为交点时，有最小值.
因为，所以，又，所以.在中，
由余弦定理可得，，
所以的最小值为，故D项错误.
故选：AB.
5．如图，直三棱柱中，，，为线段上的一个动点，则的最小值是_______.
【答案】
【分析】根据已知条件及直棱柱的性质，结合直角三角形的性质及勾股定理即可求解.
【详解】将图中的和放置于同一平面内，如图所示，
则.
因为直三棱柱中，，，
所以中，.
同理，在中，,
所以
所以在图中，,
所以,即.
所以的最小值是.
故答案为：.
6．如图正三棱锥中，，，过点A的平面截棱于E，截棱于F．则的周长的最小值为___________．
【答案】12
【分析】将正三棱锥的侧面展开，则截面的周长的最小值，即可转化为求的长度，解三角形，即可得到答案.
【详解】将正三棱锥的侧面沿展开，如图,
因为，
所以图中，即为所求，
由余弦定理可得
故答案为: 12
7．如图，AB是圆柱的直径且，PA是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上的点. 若，D是PB的中点，点E是线段PA上一动点，则的最小值为______.
【答案】
【分析】将转化到一个平面上，利用平面内两点之间线段最短求得最小值．
【详解】将绕着PA旋转到使其与共面，且在AB的反向延长线上．
，，，，
由余弦定理得，
∴的最小值为．
故答案为：
8．圆锥的底面圆直径为2，母线长为6，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为_____．
【答案】
【分析】要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】
由题意知底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于 .
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，展开后扇形的弧长为
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得＝，故
所以展开图中，
在中，
由余弦定理得
所以小虫爬行的最短距离为.
故答案为：
培优第三阶——培优拔尖练
1．已知球的表面积为，点在球的表面上，且，，，则球心到平面的距离为______.
【答案】
【分析】球心到平面的距离即为球心到的外心的距离，由余弦定理求得BC，再由正弦定理求得外接圆半径，即可最后由勾股定理的所求距离.
【详解】如图所示，设球心在平面的投影为，则球心到平面的距离为，
∵球的表面积为，则球的半径满足，解得，即，
则，即为的外心，
∵，，，由余弦定理得，
由正弦定理得，外接圆半径，
故，即球心到平面的距离为.
故答案为：
2．圆锥的底面半径为，母线长是底面半径4倍，在底面圆周上有一点，则一个动点自点出发在侧面上绕一周回到点的最短路程为________.
【答案】
【分析】将圆锥的侧面展开，根据题目所给数据得出展开扇形圆心角的大小，当点P的运用轨迹为扇形的弦时，路程最短.
【详解】如图所示，设圆锥的侧面展开图为扇形，
则扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则扇形的圆心角大小为，
当点在圆锥侧面的运动轨迹为时，路程最短，且最短路程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查圆锥的侧面展开及最短路径问题，难度一般，根据圆锥的底面半径及母线长关系得出扇形的圆心角大小是关键.
3．如图，正三棱锥P﹣ABC的顶点P为圆柱OO1的上底面的中心，底面ABC为圆柱下底面的内接等边三角形，四边形DEFG为圆柱的轴截面，BODG，，.现有一机器人从点A处开始沿圆柱的表面到达E点，再到达点P处，再从P处沿正三棱锥P﹣ABC的表面返回A处，则其最短的路程约为___________.(参考数据：，结果精确到)
【答案】
【分析】先根据已知条件求解出圆柱底面圆的半径以及圆柱的高，然后据图分析最短路径，利用展开图求解出到的最短距离，由此可求解出最短的总路程.
【详解】因为，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
所以（劣弧）的长为，
由图可知，当从到经过的路程最短时，总路程最短，
将圆柱侧面展开，从到的最短距离为线段的长度，
此时，
所以最短路程为，
故答案为：.
4．如图，在正四棱锥中，.从拉一条细绳绕过侧棱和到达点，则细绳的最短长度为___________.
【答案】
【分析】将图形展成平面图形，进而解三角形PAD即可求得答案.
【详解】如图﹐将侧面侧面侧面展开到一个平面内，
由题意可知，，
设则，从而，
由二倍角公式可得，则.
由余弦定理可得，则.
故答案为：.
5．在四棱锥中，底面为正方形，底面，且，为棱上的动点，若的最小值为，则__________．
【答案】4
【分析】由已知条件将立体图形进行转化到共面，然后求解最小值时的结果
【详解】易证：平面，则，将沿棱翻折至与底面共面，
如图所示，设，则，当三点共线时，取得最小值，
故，解得，则.
【点睛】本题考查了立体几何中的最值问题，解答题目时将其通过翻折得到共面图形，然后求出最小值时的结果，属于中档题
6．如图，在棱长为1的正四面体中，平面与棱分别交于点，则四边形周长的最小值为___．
【答案】
【详解】试题分析：把面沿着翻折到与面共面上来，此时的位置为,的位置为，再把面沿着翻折到面中，再把这个面沿着翻折到面中来，（其实就是得到四面体的展开图），这样，的周长为图中线段的和，然后根据三角形的边长关系得到最小值为．
7．如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱上一点，若与平面所成角的正切值为2，则的最小值为________.
【答案】
【分析】先找出与平面所成角，再利用正切值为2，证得E为PC的中点.根据所给各边的长度，求出的斜弦值，再将翻折至与平面PAB共面，利用余弦定理求出，即为的最小值.
【详解】取CD的中点H，连接BH，EH.
依题意可得，.因为平面ABCD，所以，
从而平面ABCD，
所以BE与平面PCD所成角为，
且，则，则E为PC的中点.
在中，.
因为，，，
所以，所以.
将翻折至与平面PAB共面，如图所示，则图中，
当F为AE与PB的交点时，取得最小值，此时，.
故答案为：.
8．已知在棱长为4的正方体中，点为的中点，点为及其内部上一动点，且，求点的轨迹长度为_______．
【答案】
【分析】满足的点的轨迹是过的中点，且与垂直的平面，根据是内的动点，可得点的轨迹是两个平面的交线,在中点，在四等分点，利用余弦定，即可求解的长度，得到答案.
【详解】由题意，满足的点的轨迹是过的中点，
因为点点为及其内部上一动点，
所以点的轨迹是两个平面的交线,在中点，
在四等分点时，，满足，
所以,
在中，由余弦定理，可得，
所以，即点的轨迹长度为.
故答案为：.
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专题7 几何体侧面展开与最短距离
【题型一】棱柱侧面展开
【典例分析】
已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有________个．
【提分秘籍】基本规律棱柱展开，依据棱柱的侧面数量，会有不同方向的展开可能，要注意适当的讨论
【变式训练】
1.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
2.如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）
A． B．
C． D．
3.如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是（ ）
A．A与B B．D与E C．B与D D．C与F
【题型二】 棱锥展开
【典例分析】
已知正三棱锥纸模，的边长为，侧棱长为，沿，，将三棱锥剪开得到一个多边形，若小花想用一张圆形纸裁剪一个相同的多边形，并折叠成正三棱锥形礼盒，则圆形纸的半径至少为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【提分秘籍】基本规律棱锥展开，是以此有公共邻边的共顶点三角形，注意运用正余弦定理求出定角的大小，并与半圆作比较，
【变式训练】
1.下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
2.由等边三角形组成的网格如图所示，多边形是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中正确的是
A．平面
B．平面平面
C．平面平面
D．
3.现有边长为3，4，5的两个三角形纸板和边长为4，5，的两个三角形纸板，如图，用这四个纸板围成一个四面体，则这个四面体的体积是______.
【题型三】棱台展开
【典例分析】
下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱台的为（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】基本规律棱台特别是非正棱台的展开较复杂，也是展开题型的难点之一，可以借用【典例分析】学习不同棱台的展开。
【变式训练】
1.一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（ ）
A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦
2.在一张硬卡纸上，将图中给出的图形放大，然后按实线剪纸，再按虚线折痕折起并黏合，说出得到的几何体的名称．
3.如图是三个空间图形的平面展开图，请问各是什么空间图形？
【题型四】圆柱侧面展开
【典例分析】
如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】基本规律圆柱展开体现了“化曲为值”的数学思想和转化技巧。
【变式训练】
1.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（ ）（保温带厚度忽略不计）
A． B． C． D．
2.圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
3.用长、宽分别是与的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，试求圆柱底面的半径.
【题型五】圆锥侧面展开
【典例分析】
若一个圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长与其底面圆的直径应满足的等量关系为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律解决圆锥侧面展开图问题的关键在于弄清展开前后的联系：一是展开前圆锥母线即为展开后扇形半径；二是展开前圆锥的底面圆周长即为展开后扇形的弧长. 再根据轴截面图形中的直角三角形和展开后扇形图，建立圆锥高、母线长、底面圆半径、轴截面(半)顶角、扇形圆心角间的等量关系，它们之间知二求其他的题型比较常见.
【变式训练】
1.在古代，斗笠作为挡雨遮阳的器具，用竹篾夹油纸或竹叶棕丝等编织而成，其形状可以看成一个圆锥体，在《诗经》有“何蓑何笠”的句子，说明它很早就为人所用.已知某款斗笠如图所示，它的母线长为，侧面展开图是一个半圆，则该斗笠的底面半径为（ ）
A．4 B． C． D．2
2.如图：现有一个30%圆周且半径为40cm的扇形纸片，小明同学为了表演节目，他将扇形纸片先剪去部分然后用余下的部分制成一个底面半径为10cm的图锥形纸帽（衔接处不重叠），则剪去部分扇形纸片的圆心角为（ ）
A．30° B．45° C．18° D．63°
3.．一个圆锥的母线与其轴所成的角为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【题型六】圆台侧面展开
【典例分析】
圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的表面积为________.（结果中保留）
【提分秘籍】基本规律圆台展开，关键是还原成圆锥，根据两底面半径关系,计算圆锥的母线长，画出扇环进行分析，.
【变式训练】
1.若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上 下底面圆的半径分别为，（），则___________.
2.已知圆台的上底半径为cm，下底半径为cm，圆台的高为cm，则侧面展开图所在扇形的圆心角__．
3.圆台的上 下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的母线长是___________.
【题型七】最短距离1：圆柱侧面型
【典例分析】
如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）．
A． B． C．3 D．2
【提分秘籍】基本规律计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；
【变式训练】
1.如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
2.“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm），则三视图中，两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（ ）（，）
A．8.4 B．9.8 C．10.4 D．11.2
3.如图，是圆柱的直径，是圆柱的母线，，，点是圆柱底面圆周上的点.，是线段上靠近点的三等分点，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【题型八】最短距离2：圆锥侧面型
【典例分析】
如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km．山高为km，B是山坡SA上一点，且km．为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为（ ）
A．60km B．km C．72km D．km
2.．如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面，为中点，，，则从点经圆锥侧面到点的最短距离为
A． B． C． D．
3.“敕勒川，阴山下．天似穹庐，笼盖四野．”的特征，诗中的“穹庐”即“毡帐”，屋顶近似圆锥，为了烘托节日气氛，计划在屋顶安装灯光带．某个屋顶的圆锥底面直径长8米，母线长6米，其中一条灯光带从该圆锥一条母线的下端点开始，沿侧面经过与该母线在同一轴截面的另一母线的中点，环绕一圈回到起点，则这条灯光带的最短长度是______米．
【题型九】最短距离3：圆台侧面型
【典例分析】
已知圆台的上 下底面圆半径分别为10和5，侧面积为为圆台的一条母线（点在圆台的上底面圆周上），为的中点，一只蚂蚁从点出发，绕圆台侧面一周爬行到点，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【变式训练】
1.圆台上底面和下底面圆的周长分别为和，母线长为，三视图如图所示．圆台表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆台表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆台的侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B．1 C． D．
2.若圆台上底面半径为5cm，下底面半径为10cm，母线AB（点A在下底面圆周上，点B在上底面圆周上）长为20cm，从AB中点拉一根绳子绕圆台侧面转到A，则绳子最短的长度___________．
3.如图所示，圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6.求轴截面相对顶点A、C在圆台侧面上的最短距离.
【题型十】最短距离4：棱锥型
【典例分析】
在正四棱锥中，，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.正三棱锥中，若，，点、分别在侧棱、上运动，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．
4.如图，底面为正方形的四棱锥中，四条侧棱相等，且，，分别为棱和上的两点，，，处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．9
【题型十一】最短距离5：棱柱型
【典例分析】
棱长为2的正方体中，E为的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.如图，已知正三棱柱底面边长4，高为7，一质点从A出发，沿三棱柱侧面绕行两周到达的最短路线长为（ ）
A．25 B．24 C．31 D．28
2.在直三棱柱中，，，，E是棱上的一点，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.已知直三棱柱中，，，为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型十二】 最短距离6：内部按面展开型（难点）
【典例分析】
已知正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，为的中点，为中点，是的动点，是平面上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】基本规律对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.
【变式训练】
1.如图，棱长为1的正方体中，为的中点，为对角线上的动点，为棱上的动点，则的最小值为______.
2.已知在一个表面积为24的正方体中，点在上运动，则当取得最小值时，（ ）
A．2 B． C． D．
3.已知，如图正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为2，D为AC中点，E为AB中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则最小值是（ ）
A． B． C． D．
培优第一阶——基础过关练
1．把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（ ）
A．平行 B．相交
C．是异面直线 D．可能相交，也可能是异面直线
3．如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C．6 D．
4．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（ ）
A． B． C． D．
5．一个几何体的表面展开平面图如图，该几何体中的与“数”字面相对的是“__________”字面.
6．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是______．
7．如图C是圆台母线AB的中点，BD是底面的直径，上底面半径为1，下底面半径为2，AB=2，点M是弧BD的中点，则C、M两点在圆台侧面上连线长最小值的平方等于______.
8．如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为_______．
培优第二阶——能力提升练
1．在直三棱柱中，，点P在线段上，则的（ ）
A．最小值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最大值为
2．如图，在多面体中，四边形，，均是边长为1的正方形，点在棱上，则（ ）
A．该几何体的体积为 B．点在平面内的射影为的垂心
C．的最小值为 D．存在点，使得
3．已知某圆锥的母线长为1，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形
D．圆锥的内切球表面积为
4．在棱长为1的正方体中，点为线段（包括端点）上一动点，则（ ）
A．异面直线与所成的角为
B．三棱锥的体积为定值
C．不存在点，使得平面
D．的最小值为
5．如图，直三棱柱中，，，为线段上的一个动点，则的最小值是_______.
6．如图正三棱锥中，，，过点A的平面截棱于E，截棱于F．则的周长的最小值为___________．
7．如图，AB是圆柱的直径且，PA是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上的点. 若，D是PB的中点，点E是线段PA上一动点，则的最小值为______.
8．圆锥的底面圆直径为2，母线长为6，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为_____．
培优第三阶——培优拔尖练
1．已知球的表面积为，点在球的表面上，且，，，则球心到平面的距离为______.
2．圆锥的底面半径为，母线长是底面半径4倍，在底面圆周上有一点，则一个动点自点出发在侧面上绕一周回到点的最短路程为________.
3．如图，正三棱锥P﹣ABC的顶点P为圆柱OO1的上底面的中心，底面ABC为圆柱下底面的内接等边三角形，四边形DEFG为圆柱的轴截面，BODG，，.现有一机器人从点A处开始沿圆柱的表面到达E点，再到达点P处，再从P处沿正三棱锥P﹣ABC的表面返回A处，则其最短的路程约为___________.(参考数据：，结果精确到)
4．如图，在正四棱锥中，.从拉一条细绳绕过侧棱和到达点，则细绳的最短长度为___________.
5．在四棱锥中，底面为正方形，底面，且，为棱上的动点，若的最小值为，则__________．
6．如图，在棱长为1的正四面体中，平面与棱分别交于点，则四边形周长的最小值为___．
7．如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱上一点，若与平面所成角的正切值为2，则的最小值为________.
8．已知在棱长为4的正方体中，点为的中点，点为及其内部上一动点，且，求点的轨迹长度为_______．
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