2023-2024学年高二数学上学期期末测试卷03（测试范围：第1-5章）
一、单选题
1．设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：依题意有，解得，所以.
考点：等差数列的基本概念.
【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
2．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可.
【解析】由双曲线的标准方程可知：，
该双曲线的焦点坐标为：，
双曲线的渐近线方程为：，
所以焦点到渐近线的距离为：，
故选：A
3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出的坐标，依题意可得，即可求出，从而求出，再计算其模.
【解析】因为，，
所以，
因为与垂直，所以，
所以，
解得，所以，
所以.
故选：B
4．下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据基本函数的求导公式以及四则运算即可求解.
【解析】，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选:D.
5．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.
【解析】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．
由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，
因此直线的倾斜角的取值范围是．
故选：C
6．已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【解析】详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
7．已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，可得，再根据，得，从而可得出答案.
【解析】解：因为，所以，
又，所以，
所以的最小值为.
故选：C.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线的左，右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义可设，，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由离心率公式可得所求值．
【解析】由双曲线的定义可得，
由，可得，，
结合双曲线性质可以得到，
而，
结合四边形对角线平分，
可得四边形为平行四边形，
结合，故，
对三角形，用余弦定理，得到，
结合，可得，
，，代入上式子中，
得到，即，
结合离心率满足，即可得出，
故选：D．
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
二、多选题
9．给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底
C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的概念，逐项分析即可.
【解析】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；
选项中，根据空间基底的概念，可得不正确；
选项中，因为所以与任何向量都共面，故不能构成一个空间基底，所以正确；
选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点，可得四点共面，所以正确.
故选：ACD.
10．以下四个命题为真命题的是（ ）
A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为
B．直线的倾斜角的范围是
C．曲线：与曲线：恰有一条公切线，则
D．设是直线上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，，则经过，，三点的圆必过两个定点
【答案】BD
【分析】根据直线方程的求解、直线斜率与倾斜角的关系，圆与圆的位置关系，以及圆方程的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【解析】A：当直线方程为时，也满足题意，故A错误；
B：由题可知直线的斜率为，设其倾斜角为，则
故倾斜角的范围是，故B正确；
C：曲线：，曲线：，解得；
若它们有一条公切线，且它们内切，圆心距，
解得，故C错误；
D：设点，根据切线的性质可得：，
经过三点的圆即为以为直径的圆，则圆的方程为，
整理得：，
令，解得或，
故经过三点的圆必过定点和，故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题综合考察直线和圆方程的求解，其中D选项中，对圆恒过定点的处理，是解决问题的关键；同时要注意直线截距定义的把握以及直线倾斜角和斜率之间的关系，属综合中档题.
11．已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ）
A． B．
C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整数数的值为198
【答案】ABD
【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【解析】∵，∴，∴.
∵，∴，
又，∴.故A正确.
由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确.
∴，
，
∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确.
故选：ABD
12．（多选）已知函数，下列关于的四个命题，其中真命题有（ ）
A．函数在上是增函数
B．函数的最小值为0
C．如果时，，则的最小值为2
D．函数有2个零点
【答案】ABC
【分析】利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，数形结合解决问题.
【解析】对于A，因为，求导得，当或时，，当时，，故在和上单调递减，在上单调递增，故A正确；
对于B， 当时，，当时，，故B正确；
对于C， 当时，，则的图像如下所示：
如果时，，由图可知的最小值为， 故C正确；
对于D， 由图可知只有一个零点，故D不正确.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及零点，解题的关键是要利用导数研究函数的单调性，最值，进而作出函数的图像，考查学生的运算能力与数形结合思想，属中档题.
三、填空题
13．已知等比数列的公比不为，，且，，成等差数列，则 ．
【答案】/0.0625
【分析】根据条件求出公比q，再运用等比数列通项公式求出 .
【解析】根据题意得 ，， 且，
解得，，；
故答案为： .
14．已知函数及其导函数的定义域均为，为奇函数，且则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】设，由导数法可得单调递减，可转化为，根据单调性即可求解．
【解析】设，则，故单调递减．
因为为奇函数，定义域为，所以，故．
可转化为，即．
因为单调递减，所以，解得．
故答案为：．
15．已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为 ．
【答案】20
【分析】根据条件，运用斜率公式求出P点的轨迹方程，再根据轨迹确定 面积的最大值.
【解析】设，由题意可知，，
整理得；
得动点的轨迹为以，为长轴顶点的椭圆除去，两点，
显然当点位于上下顶点时面积取得最大值，
因为，，
所以 ；
故答案为：20.
16．已知实数，，，满足，，，则的最大值是 ．
【答案】/
【分析】由已知得分别在圆和圆上，利用数形结合法，将所求问题转化为两点到直线和的距离和的倍，再利用三角函数求出其最大值即可．
【解析】解：由，可知，
点，分别在圆和圆上，
如图，作直线，过作于，过A作于，
而，
其中表示A到直线的距离，
表示到直线的距离，
因为与，平行，
且与的距离为，
与的距离为，
要使的取最大值，则需在直线的左下角这一侧，
所以，，
由得，
设，因为，所以，
从而，
故，
其中，
故当时，取最大值，
从而，
即的最大值为．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，再借助三角函数的性质求出最值.
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4），直线l：，设圆C的半径为1，圆心在直线l上，圆心也在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点A作圆C的切线，求切线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）直接求出圆心的坐标，写出圆的方程；
（2）分斜率存在和斜率不存在进行分类讨论，利用几何法列方程，即可求解.
【解析】（1）由圆心C在直线l：上可设：点，又C也在直线上，
∴，∴
又圆C的半径为1，
∴圆C的方程为.
（2）当直线垂直于x轴时，与圆C相切，此时直线方程为.
当直线与x轴不垂直时，设过A点的切线方程为，
即，则，解得.
此时切线方程为，.
综上所述，所求切线为或
18．如图，在三棱锥中，为正三角形，平面平面.
(1)求证：；
(2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【解析】（1）如图，设为的中点，
因为为正三角形，
所以.
平面平面，平面平面，平面，
底面，而底面，
，又，平面，
平面，而平面，
；
（2）设的中点为，.
由（1）知两两垂直，以为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，
，取，
则，.
.
设平面的法向量为，
则，取，则.
直线与平面所成角的正弦值为.
19．已知函数.
（1）若函数在点处的切线方程为，求，的值；
（2）当，时，记在区间上的最大值为，最小值为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）直接利用函数的导数的几何意义可得，，从而求出函数的关系式中的和的值．
（2）利用函数的导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值和最值，可得进一步利用导数求出结果．
【解析】（1）由题知，，，．
即，解得
（2）当，时，，
令，即，解得
因为，所以
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以，即
因为，．
所以，即
所以
令
则
即函数在上单调递减
所以，即，所以的取值范围是
【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
20．已知数列的前n项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，记的前n项和为，若存在使得成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合，可证明是等比数列，求解即可；
（2）乘公比错位相减法求和可得，代入，化简可得恒成立，结合单调性求解即可.
【解析】（1）∵，当可得，
，
∴，
即是以1为首项，的等比数列，
∴.
（2）∵,
∴,
,
两式相减：
,
∴,
∴,
∴,
即存在使成立,
∵随着n增大，在减小,
∴当时，.
21．如图，已知点分别是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上不同的两点，且，连接，且交于点Q．
(1)当时，求点B的横坐标；
(2)若的面积为，试求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设出点A，B的坐标，利用给定条件列出方程组，求解方程组即可作答.
（2）延长交椭圆C于D，可得，再结合图形将用的面积及表示，设出直线AD方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理求出即可求解作答.
【解析】（1）设，依题意，，由，得，
即，由得，两式相减得，
即有，则，即，
由得，
所以点B的横坐标为．
（2）因，则，即有，记，，，
则，即．同理，而，
连并延长交椭圆C于D，连接，如图，则四边形为平行四边形，，有点D在直线上，
因此，，，
因此，即，
设直线，点，有，
即，则，
由消去x并整理得：，有，
，，则，
于是得，解得，
所以．
【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；
过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积.
22．已知函数，其中，
(1)若，求函数的单调区间
(2)若，函数有两个相异的零点，，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）不妨令，用分析法对进行等价转化，最后可构造函数即可证明结论成立．
【解析】（1）当时，，定义域为，
所以，，
所以，时，在上恒成立，
故在上单调递增，
当时，令得，
所以，当时，，单调递增，
时，，单调递减，
综上，时，在上单调递增，
时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由题知，，
因为函数有两个相异零点，，且，
所以且，，即，
所以，方程有两个不相等的实数根，
令，则，
故当时，，时，，
所以，在，上单调递减，在上单调递增，
因为，，，，
所以，要使方程有两个不相等的实数根，
则，
不妨令，则，，
所以，
要证，只需证，即证：，
因为，
所以，只需证，
只需证，即，
故令，
故只需证，成立，
令，，
则，
令，
在恒成立，
所以，在上单调递增，
因为，
所以在恒成立，
所以，在上单调递增，
所以，，即，
所以，成立．
【点睛】思路点睛：本题第二问令，用分析法对进行等价转化，最后可构造函数即可证明结，本题考查了函数的零点、应用导数研究函数的单调性、最值，对于恒成立问题往往转化为函数最值解决，属于难题．2023-2024学年高二数学上学期期末测试卷03（测试范围：第1-5章）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
7．已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线的左，右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分）
9．给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底
C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面
10．以下四个命题为真命题的是（ ）
A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为
B．直线的倾斜角的范围是
C．曲线：与曲线：恰有一条公切线，则
D．设是直线上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，，则经过，，三点的圆必过两个定点
11．已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ）
A． B．
C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整数数的值为198
12．（多选）已知函数，下列关于的四个命题，其中真命题有（ ）
A．函数在上是增函数
B．函数的最小值为0
C．如果时，，则的最小值为2
D．函数有2个零点
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知等比数列的公比不为，，且，，成等差数列，则 ．
14．已知函数及其导函数的定义域均为，为奇函数，且则不等式的解集为 ．
15．已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为 ．
16．已知实数，，，满足，，，则的最大值是 ．
四、解答题（本大题共6小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分，第22题14分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4），直线l：，设圆C的半径为1，圆心在直线l上，圆心也在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点A作圆C的切线，求切线的方程.
18．如图，在三棱锥中，为正三角形，平面平面.
(1)求证：；
(2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知函数.
（1）若函数在点处的切线方程为，求，的值；
（2）当，时，记在区间上的最大值为，最小值为，求的取值范围.
20．已知数列的前n项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，记的前n项和为，若存在使得成立，求的取值范围．
21．如图，已知点分别是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上不同的两点，且，连接，且交于点Q．
(1)当时，求点B的横坐标；
(2)若的面积为，试求的值．
22．已知函数，其中，
(1)若，求函数的单调区间
(2)若，函数有两个相异的零点，，求证：．
