(共14张PPT)
阿波罗尼斯圆及其应用
学科：数学
单位：西安市第二十五中学
姓名：刘倩
复习回顾
1. 圆的定义：
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
2. 圆的基本要素是圆心和半径.
3. 圆的标准方程：圆心为 ，半径为 的圆的标准方程是
.
阿波罗尼斯
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一．
新知探究
问题1：已知平面上两点 A、B，则所有满足 =k 且不等于1的点 P 的轨迹是什么？
阿氏圆.gsp
新知探究
定义：阿波罗尼斯圆又称阿氏圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足 =k 且不等于1的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
基本要素：
两个定点
一个动点
一个定值
新知探究
问题2：如何确定阿氏圆的轨迹方程？
解： 如图， ，为两定点，动点 满足
例1 若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为( )
A.π B.2π C.3π D.4π
D
新知运用
方法小结
1. 在 中，若 ， ，则 的最大值为_______.
巩固训练
2.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为( )
1. 在 中，若 ， ，则 的最大值为_______.
[解析] （法一：利用余弦定理和函数的最值问题处理）
设 ，所以 ，则 ，
所以 ，
故当 时， 取得最大值，最大值为 ．
巩固训练
（法二：利用阿波罗尼斯圆求解）
显然这是一例阿波罗尼斯圆，建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ，
因为 ，得点 的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，计算得点 的轨迹方程为 ，
设圆心为 ，显然当 轴时， 的面积最大，此时 ，
所以 .
2.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为( )
D
课堂小结
1. 阿波罗尼斯圆的定义
2. 阿波罗尼斯圆的标准方程，如何利用两定点间的距离和比值 来确定圆心和半径
3. 利用阿波罗尼斯圆的几何特征解决相关问题
感谢聆听数学探究 阿波罗尼斯圆及其应用（教学设计）
教学目标
理解并掌握阿波罗尼斯圆的定义，并能推导出阿波罗尼斯圆的方程,确定其圆心和半径，在此过程中发展学生直观想象、数学抽象和数学逻辑推理的学科素养.
2.通过对阿波罗尼斯圆方程的推导，进一步发展学生利用坐标法解决问题的能力，加深对数形结合思想的理解.
3.通过对阿波罗尼斯圆几何模型的简单应用,发展学生数学建模和数学运算的学科素养.
教学重点、难点
1.教学重点：阿波罗尼斯圆的定义及其方程的推导过程；
2.教学难点：阿波罗尼斯圆方程的推导，及其圆心和半径的确定.
教学过程设计
环节一 复习回顾
1. 圆的定义：
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
圆的基本要素是圆心和半径.
圆的标准方程：圆心为 A(a,b) ，半径为 r 的圆的标准方程是
环节二 观察分析，探究新知
问题1：已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA/PB=k 且不等于1的点 P 的轨迹是什么？
（动图演示）
【设计意图】通过让学生思考，观察动点P的轨迹的形成过程，由此得出动点P的轨迹是一个圆的结论，并由此引出课题“阿波罗尼斯圆”．让学生自主归纳阿波罗尼斯圆的定义. 在此过程中培养学生直观想象及数学抽象的核心素养.
阿波罗尼斯圆定义：
阿波罗尼斯圆又称阿氏圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA/PB=k 且不等于1的点 P 的轨迹是是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
基本要素:两个定点、一个动点、一个定值
问题2：如何确定阿氏圆的轨迹方程？
【设计意图】问题2是基于逻辑推理的抽象，通过类比圆的标准方程的推导过程，利用坐标法推导阿波罗尼斯圆的方程，并确定其圆心和半径，从而培养学生由理性具体上升为理性一般的思维过程，同时也是学生完成直观想象的过程．
环节三 辨析理解 深化概念
例1 若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为( D )
A.π B.2π C.3π D.4π
方法小结环节四 概念应用，巩固内化
环节五 课堂小结
1. 阿波罗尼斯圆的定义.
2. 阿波罗尼斯圆的方程的推导，如何利用两定点间的距离和比值来确定圆心和半径.
3. 利用阿波罗尼斯圆的几何特征解决相关问题.
【师生活动】教师引导学生积极思考，学生画出思维导图.
【设计意图】让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法。
环节六 目标检测，作业布置
完成巩固训练及课后测试题.
