沪科版2023-2024八年级上期末模拟试题2（含解析）

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沪科版2023-2024八年级上期末模拟试题2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
函数y＝的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2
下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
如图，若以解放公园为原点建立平面直角坐标系，则博物馆的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（0，3） C．（3，2） D．（2，2）
如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　）
A．1 B． C． D．2
如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（　　）
A．∠BAQ＝40° B．DE＝BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°
如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE．若∠ABC=30°，则∠D为（　　）
A．85° B．75° C．60° D．30°
如图，已知△ABC≌△ADE，∠D=59°，∠AED=78°，则∠C的大小是（　　）
A．43° B．53° C．59° D．78°
图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的。设y为第n层（n为正整数）三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（ ）
A．y＝4n－4 B．y＝4n C．y＝4n＋4 D．y＝n2
如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
如果点A在第一象限内,则点B(-a2,ab)在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
如图，在中，AB＝AC，分别以点A．B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
1 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝　 　．
如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是＿＿＿＿＿度．
如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为 　 　．
如图，，，请添加一个条件______，使．
如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 　 　．
如图，在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝20°，点D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，当B′D⊥BC时，∠BAD的度数为 　 　．
1 、解答题（本大题共8小题，共66分）
已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|．
如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且,连接和相交于点．
求证： ．
在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0）、B（0，3），O为原点．
（1）求三角形AOB的面积；
（2）若点C在坐标轴上，且三角形ABC的面积为6，求点C的坐标．
如图，在△ABC中，分别画出：
（1）AB边上的高CD；
（2）AC边上的高BE；
（3）∠C的角平分线CF；
（4）BC上的中线AM．
5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
学校需要添置教师办公桌椅A．B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）求A，B两型桌椅的单价；
（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总费用最少的购置方案．
如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S△MAB=S平行四边形ABDC，求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
①若P在线段BD之间时（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围；
②若P在直线BD上运动，请直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，且AD=AB．
（1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF=AD
（2）如图2，如果∠EDF=60°，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明．
答案解析
1 、选择题
【考点】二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式，根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
解：根据题意得：2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故选：D．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数，
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
【考点】三角形三边关系．
【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．
解：A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；
B、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；
C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；
D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质；熟练掌握全等三角形的对应角相等的性质是解决问题的关键．
【考点】坐标确定位置．
【分析】根据平面直角坐标系写出博物馆的坐标即可．
解：由图可知，博物馆的坐标为（2，2）．
故选D．
【点评】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标的写法是解题的关键．
【考点】 三角形的重心； 等腰直角三角形．
【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．
解：连接CP并延长，交AB于D，
∵P是Rt△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，PD=CD，
∵∠C=90°，
∴CD=AB=3，
∵AC=BC，CD是△ABC的中线，
∴CD⊥AB，
∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，
故选：A．
【考点】作图—基本作图．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
解：A．由作图可知，AQ平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝40°，
故选项A正确，不符合题意，
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴DE＝BD，
故选项B正确，不符合题意，
C．∵∠B＝30°，∠BAP＝40°，
∴∠AFC＝70°，
∵∠C＝70°，
∴AF＝AC，
故选项C正确，不符合题意，
D．∵∠EFQ＝∠AFC＝70°，∠QEF＝90°，
∴∠EQF＝20°，
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．
解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故选：B．
【点评】此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】由全等三角形的性质得出对应角相等∠C=∠AED=78°，即可得出结论．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠C=∠AED=78°；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质；熟练掌握全等三角形的对应角相等的性质是解决问题的关键．
【考点】函数关系式；规律型：图形的变化类
【分析】根据图示可知，第一层是4个，第二层是8个，第三层是12，…第n层是4n，所以，即可确定y与n的关系．解：由图可知：
n=1时，圆点有4个，即y=4；
n=2时，圆点有8个，即y=8；
所以y=4n．
故选B．
【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x,y,对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．解题关键是根据图形找到点的排列规律．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依据．
解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，写出△AOB和△DOC全等的证明过程．
【考点】点的坐标特征
【分析】根据第一象限点的横坐标是正数判断出a、b同号，再根据非负数的性质和各象限内点的坐标特征解答．
解:∵点A（，1）在第一象限，
∴＞0，
∴a、b同号，
∴－a2＜0，ab＞0，
∴点B（－a2，ab）在第二象限．
故答案为：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，解题关键是记住各象限内点的坐标的符号．
【考点】函数的图象．
【分析】分别求出甲乙两人到达C地的时间，再结合已知条件即可解决问题．
解；由题意，甲走了1小时到了B地，在B地休息了半个小时，2小时正好走到C地，乙走了小时到了C地，在C地休息了小时．
由此可知正确的图象是A．
故选A．
【点评】本题考查函数图象、路程．速度、时间之间的关系，解题的关键是理解题意，读懂图象信息解决问题，属于中考常考题型．　
【考点】线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA．DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA．DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
1 、填空题
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，
得m﹣2＝﹣5，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数，难度适中．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】由∠A=80°，∠B=40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD=∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．
解：∵∠ACD=∠B+∠A，
而∠A=80°，∠B=4°，
∴∠ACD=80°+40°=120°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=60°，
故答案为60
【点评】本题考查了三角形的外角定理，关键是根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】根据函数图象中的数据和一次函数的性质，可以写出等式kx+b＞3的解集．
解：由图象可得，
当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想解答．
【考点】全等三角形的判定
【分析】根据角边角可证得，即可．
解：可添加∠A＝∠D，理由如下：
∵，
∴∠DCE=∠ACB，
∵，∠A＝∠D，
∴．
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标．
【分析】根据每条直线与x轴交点的横坐标解答即可．
解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与x轴交点的横坐标依次是2，4，6...，
∴第5条直线与x轴的交点的横坐标是10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【考点】翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质．
【分析】分两种情况，一是点B′在直线BC的下方，则∠BDB′＝90°，所以∠ADB′＝∠ADB＝135°，则∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝25°，二是点B′在直线BC的上方，则∠ADB′＝∠ADB＝45°，所以∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝115°，于是得到问题的答案．
解：当点B′在直线BC的下方，如图1，
∵B′D⊥BC，
∴∠BDB′＝90°，
∴∠ADB′+∠ADB＝360°﹣90°＝270°，
∵将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，
∴∠ADB′＝∠ADB＝×270°＝135°，
∵∠B＝20°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣20°﹣135°＝25°，
当点B′在直线BC的上方时，如图2，
∵B′D⊥BC，
∴∠BDB′＝90°，
∵将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，
∴∠ADB′＝∠ADB＝×90°＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣20°﹣45°＝115°，
故答案为：25°或115°．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，正确地求出∠BAB′的度数是解题的关键．
1 、解答题
【考点】三角形三边关系；绝对值
【分析】三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a+b+c＞0，
∴|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+2a﹣2b﹣2c+a+b+c＝4a﹣2c．
【点评】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，
∴（SAS），
∴AE=BF．
【点评】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．
【分析】（1）直接根据三角形面积公式求解；
（2）设C（0，t），根据三角形面积公式得到 |t﹣3| 2=6，然后解绝对值方程求出t即可得到C点坐标．
解：（1）如图：
S△AOB=×2×3=3；
（2）设C（0，t），
∵三角形ABC的面积为6，
∴ |t﹣3| 2=6，
解得t=9或﹣3．
∴C点坐标为（0，﹣3），（0，9）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形面积公式．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】（1）利用基本作图（过一点作已知直线的垂线）作出垂线段CD即可；
（2）利用基本作图（过一点作已知直线的垂线）作出垂线段BE即可；
（3）利用基本作图（过一个角的平分线）作出CF即可；
（4）利用基本作图（作线段的垂直平分线）作出BC的垂直平分线得到BC的中点，则AM为所作．
解：（1）如图，CD为所作；
（2）如图，BE为所作；
（3）如图，CF为所作；
（4）如图，AM为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【考点】分式方程的应用，一次函数的应用
【分析】（1）设每盒水银体温计的价格是x元，根据用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计的盒数相同列出方程，求解即可；
（2）先用m表示出需要水银体温计的支数，再表示出水银体温计的盒数；
（3）分当m≤4时，当m＞4时，分别得出关系式，再合并，根据若该校九年级有900名学生求出口罩的盒数m，从而得到体温计的盒数以及总费用.
解：（1）设每盒水银体温计的价格是x元，则每盒口罩的价格是x+150元，
根据题意可得：，
解得：x=50，
经检验：x=50是原方程的解，
50+150=200元，
∴每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元，50元；
（2）∵购买口罩m盒，
∴共有口罩100m个，
∵给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，
∴需要发放支水银体温计，
∴需要购买盒水银体温计；
（3）由题意可得：
令200m+5m×50=1800，
解得：m=4，
若未超过1800元，即当m≤4时，
则w=200m+5m×50=450m，
若超过1800元，即当m＞4时，
w=（200m+5m×50-1800）×0.8+1800=360m+360，
∴w关于m的函数关系式为，
若该校九年级有900名学生，即=900，
解得：m=18，
则=6840，
答：需要购买口罩18盒，水银体温计90盒，所需总费用为6840元.
【点评】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，弄清口罩盒数与体温计盒数的配套关系.
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用
【分析】（1）根据“2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元”，建立方程组即可得出结论；
（2）根据题意建立函数关系式，由A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，确定出x的范围；
（3）根据一次函数的性质，即可得出结论．
解：（1）设A型桌椅的单价为a元，B型桌椅的单价为b元，
根据题意知，，
解得，，
即：A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元；
（2）根据题意知，y=600x+800（200﹣x）+200×10=﹣200x+162000（120≤x≤130），
（3）由（2）知，y=﹣200x+162000（120≤x≤130），
∴当x=130时，总费用最少，
即：购买A型桌椅130套，购买B型桌椅70套，总费用最少，最少费用为136000元．
【点评】本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，列出方程组或不等式是解本题的关键．
【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．
【分析】（1）根据点的平移规律易得点C，D的坐标；
（2）先计算出S平行四边形ABOC=8，设M坐标为（0，m），根据三角形面积公式得×4×|m|=8，解得m=±4，于是可得M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）①先计算出S梯形OCDB=7，再讨论：当点P运动到点B时，S△BOC的最小值=3，则可判断S△CDP+S△BOP＜4，当点P运动到点D时，S△BOC的最大值=4，于是可判断S△CDP+S△BOP＞3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②分类讨论：当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，同样有∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，由于∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP，于是∠BOP﹣∠DCP=∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO．
解：（1）由平移可知：C（0，2），D（4，2）；
（2）∵AB=4，CO=2，
∴S平行四边形ABOC=AB CO=4×2=8，
设M坐标为（0，m），
∴×4×|m|=8，解得m=±4
∴M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）①S梯形OCDB=×（3+4）×2=7，
当点P运动到点B时，S△BOC最小，S△BOC的最小值=×3×2=3，S△CDP+S△BOP＜4，
当点P运动到点D时，S△BOC最大，S△BOC的最大值=×4×2=4，S△CDP+S△BOP＞3，
所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，
∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，
∴∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP，
∴∠BOP﹣∠DCP=∠CPO；
同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO．
【点评】 本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查三角形面积公式和平行线的性质．
【考点】 等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质
【分析】 （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=×120°=60°，再证出∠ADE=∠ADF=90°﹣60°=30°，由含30角的直角三角形的性质得出AE=AD，AF=AD，即可得出结论；
（2）连接BD，证明△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠ABD=∠DAC，得出∠EDB=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF，即可得出结论．
（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠ADE=∠ADF=90°﹣60°=30°，
∴AE=AD，AF=AD，
∴AE+AF=AD+AD=AD；
（2）解：线段AE，AF，AD之间的数量关系为：AE+AF=AD，理由如下：
连接BD，如图所示：
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠DAC=60°，
∴∠ABD=∠DAC，
∵∠EDB+∠EDA=∠EDA+∠ADF=60°，
∴∠EDB=∠ADF，
在△BDE与△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF，
∵AE+BE=AD，
∴AE+AF=AD．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
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