2023－2024学年上学期九年级数学期末考试模拟试题（安徽地区适用）（含解析）

2023－2024学年上学期九年级数学期末考试模拟试题
一、单选题
1．在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知反比例函数，则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．图象必经过点
C．图象必经过点 D．y随x的增大而减小
3．若，则=（ ）
A．3 B．-3
C． D．
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2；④当x＞0时，y随x的增大而减小．正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在中，，，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂互平分线上；③；④．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知一次函数y＝ax+b过一，二，四象限，且过(6，0)，则关于二次函数y＝ax2+bx+1的以下说法：①图象与x轴有两个交点；②a＜0，b＞0；③当x＝3时函数有最小值；④若存在一个实数m，当x≤m时，y随x的增大而增大，则m≤3．其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
7．如图，在中，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，DE是△ABC的中位线，点D在AB上，把点B绕点D按顺时针方向旋转α（0°<α<180°）角得到点F，连接AF，BF．下列结论：①△ABF是直角三角形；②若△ABF和△ABC全等，则α=2∠BAC或2∠ABC；③若α=90°，连接EF，则S△DEF=4.5；其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
9．如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE＝CF．连接DE、DF、EF得到下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面积的最大值是8；③EF的最小值是4 ．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
11．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士的身高为160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm（结果保留整数）．
12．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为 ．
13．如图，为直角三角形，其中，则的长为 ．
14．已知抛物线（a、b、c为常数，），，下列四个结论：①若抛物线经过点，则；②若，则方程一定有根；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点、在抛物线上，若，则当时，．其中正确的是 ．
三、解答题
15．化简求值： ，其中，
16．如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为（1，﹣6）．
（1）在图上标出点，△ABC与△A1B1C1的位似中心P．并写出点P的坐标为　 　；
（2）以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1：2，并写出点C2的坐标为　 　．
17．两棵树的高度分别是16.6米， 13.6米，两棵树的根部之间的距离AC=7米．小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米，当小强与树的距离等于多少时，小强的眼睛与树、的顶部、恰好在同一条直线上，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，轴于点E．已知，点C的坐标是．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．
19．如图，将平行四边形ABCD的边AD边延长至点E，使DE=AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠A=60°，求CE的长．
20．如图在中，，是边上的高，且的面积为24．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动，设点P运动的时间为t秒．

(1)求的长；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)当四边形是矩形时，求t的值；
(4)当以点A、B、C、D、P、Q中的四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出t的值．
21．已知锐角△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO．
（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；
（2）如图2，CE⊥AB于点E，交AD于点F，过点O作OH⊥BC于点H，求证：AF＝2OH；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝AO，tan∠BAO＝，BC＝，求AC的长．
22．某产品每件的成本是120元，试销阶段，每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）的部分对应值如下表，已知产品的日销售量y（件）是每件产品的销售价x（元）的一次函数，设每日获得的利润为P元．
x/元 130 150 165
y/件 70 50 35
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求P与x之间的函数关系式；
(3)当每件产品的销售单价为多少元时，才能使每日获得的利润最大？最大利润为多少？
23．如图，已知和为等腰三角形，，，，点E在的延长线上，点F在射线上，且．求证：．
参考答案：
1．B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义进行选择即可.
【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
综上所述，答案选B.
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义，能够准确判断出图形的性质是解题的关键.
2．C
【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可．
【详解】解：A、反比例函数，，经过二、四象限，选项A不正确，不符合题意；
B、当x=4时，，图象不经过点，选项B不正确，不符合题意；
C、当x=4时，，图象经过点，选项C正确，符合题意；
D、反比例函数图象分为两部分，在每个象限内，y随x的增大而增大，选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质，熟知反比例函数的图象的性质是解题关键．
3．A
【分析】根据已知可得a＝2b，然后代入所求的代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟记性质是解题的关键．
4．C
【分析】由抛物线与x轴有两个交点可判断①；由对称轴以及抛物线与y轴的交点可判断②；关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，即关于x的二次函数y=ax2+bx+c与直线y=m没有交点，据此可判断③；由函数图像即可判断④.
【详解】解：抛物线与x轴有两个交点，则△=b2﹣4ac＞0，故①正确；根据题意可得：
a＜0，c＞0，b＞0则abc＜0故②正确；由关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0
没有实数根可知，抛物线y=ax2+bx+c图象与y=m的图象没有交点，则m＞2，故③
正确；由图象可得当x＞0，在对称轴左边，y随x的增大而增大，对称轴右边y
随x的增大而减小，故④错误.
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质及其与一元二次方程的关系.
5．D
【分析】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定定理、直角三角形的性质判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，故②正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确；
综上，正确的个数为4个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题关键．
6．C
【分析】根据题意可以判断a、b的正负，从而可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：∵一次函数y=ax+b过一，二，四象限，且过（6，0），
∴a＜0，b＞0，0=6a+b，故②正确，
∴b=-6a，
∴y=ax2+bx+1中a＜0，b＞0，
∴△=b2-4a×1=36a2-4a=4a（9a-1）＞0，
∴图象与x轴有两个交点，故①正确，
在y=ax2+bx+1中，当x=-=-=3时，取得最大值，故③错误，
∴当x＞3时，y随x的增大而减小，当x＜3时，y随x的增大而增大，
∴若存在一个实数m，当x≤m时，y随x的增大而增大，则m≤3，故④正确，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
7．D
【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度．
【详解】解： 是的中线，
，
的面积等于的面积，故正确；
，是的高，
∴，，
是的角平分线，
∴，
，
又，
，故正确；
∵，
，
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，故正确；
综上分析可知，正确的有①②③④，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线，余角的性质，三角形面积的计算，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键．
8．C
【分析】①根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断；
②分两种情况讨论：或，分别求α即可 ；
③先根据题意画出图形，首先证明 ，然后得出，最后利用即可求解．
【详解】①∵DE是△ABC的中位线，
．
由旋转可知，
，
．
，
，
即 ，
∴△ABF是直角三角形，故①正确；
，
．
若△ABF和△ABC全等，
当时，
；
当时，
，
综上所述，若△ABF和△ABC全等，则α=2∠BAC或2∠ABC，故②正确；
过点F作交ED的延长线于点G，
∵DE是的中位线，
，
．
，
．
，
，
．
，
．
，D为AB中点，
．
在和中，
，
，故③正确；
所以正确的有：①②③．
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质，掌握三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
9．A
【分析】连接，证明，可得，由垂直平分线的性质可得，利用勾股定理在中求，在中求，在中求，继而得的长，由此可求得答案．
【详解】解：连接，设与交于点．
垂直平分，
，，
四边形是矩形，
，
，
又，，
．
，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
10．A
【分析】①由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以可判断①；③△DEF是等腰直角三角形，DF=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，可判断③；根据两三角形全等时面积也相等得：S△CDF=S△ADE，利用割补法知：S四边形CEDF=S△ADC，当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小，计算S△CEF=S四边形CEDF-S△DEF=S△ADC-S△DEF，代入即可判断②．
【详解】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故①正确；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DF最小时，EF也最小；
即当DF⊥BC时，DF最小，此时DF=BC=4．
∴EF=DF=4．故③错误；
②∵△ADE≌△CDF，
∴S△CDF=S△ADE，
∴S四边形CEDF=S△ADC．
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小，
∵∠C=90°，AC=BC=8，
∴AB==8，
∴AD=CD=4，
此时S△CEF=S四边形CEDF-S△DEF=S△ADC-S△DEF=×4×4-×4×4=18-8=8．故②正确；
故正确的有①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键，在第③问中，由DF的最值来确定EF的最值，这在讨论最值问题中经常运用，要熟练掌握．
11．
【分析】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义列方程求解．
【详解】解：设应穿的高跟鞋的高度大约为，
则，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比，难度适中．
12．/
【分析】根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：由勾股定理得：，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
13．.
【分析】由∠B=90°，∠BAD=45°，根据直角三角形两锐角互余求得∠BDA=45°，因此AB=BD，由∠DAC=15°，根据三角形外角性质可求得∠C=30°，由AC=2，根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求得AB=1，即BD=1，根据勾股定理求得BC=，从而得到CD的长.
【详解】解：∵∠B=90°，∠BAD=45°,
∴∠BDA=45°，AB=BD，
∵∠DAC=15°，
∴∠C=30°，
∴AB=BD=AC=×2=1，
∴BC===，
∴CD=BC-BD=-1.
故答案为-1.
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识.
14．②④/④②
【分析】根据抛物线的对称性即可判断①，求得的对称轴，利用对称轴即可判断②，由即可判断③，由题意可知抛物线开口向上，，则当时，随的增大而减小，即可判断④．
【详解】∵抛物线，（，，c是常数），，
∴是抛物线与轴的一个交点，
∵抛物线经过点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，即，即①不正确．
∵，
将代入，
∴，即方程一定有根，故②正确．
∵，
∴，
∴，
∴抛物线与轴一定有公共点，且当时，抛物线与轴一定有两个不同的交点，故③不正确．
由题意可知，抛物线开口向上，且，
∴在对称轴的右侧，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，故④正确，
故答案为②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，二次函数图象与轴的交点等问题，掌握相关知识是解决本题的关键 ．
15．，
【分析】先将原式化简，再将和值代入计算．
【详解】解∶原式，
当，时，原式
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则．
16．（1）图见解析，P（-1，-2）；（2）图详见解析，（1，-3）.
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心.
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案.
【详解】
（1）如图，连接对应点A1和A，连接对应点C1和C，交点即P点，由图可知P点坐标为（-1，-2）.
（2）∵△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1：2，
∴AC2：AC=1:2，AB2：AB=1:2.
∴点C2的坐标为（1，-3）.
【点睛】此题主要考查了位似变换，得出对应点位置是解题关键.
17．，见解析
【分析】过O点做平行于地面的线段交CD于E，交AB于F，然后根据平行线分线段成比例，列出比例式即可．
【详解】解：设小强的眼睛位置为O，过O点做平行于地面的线段交CD于E，交AB于F，
连接O、D、E得 和
设OE=x，OF=6+x，
∵，
∴ 即 =
解得x=24．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，在解题时要能够已知条件列出方程是解题的关键．
18．(1)
(2)15
(3)当或时，一次函数的值小于反比例函数的值
【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解；
（2）根据求得即可；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
点在反比例函数上，且，
，代入求得：，
点的坐标为，
、两点在直线上，则，解得，
一次函数的关系式为．
（2）连接、，如图所示：
把代入，解得，
即，则，
．
（3）由图象可知：当或时，一次函数的值小于反比例函数的值．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
19．（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，进而利用已知得出DE=FC，DE∥FC，进而得出答案；
（2）首先过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长，进而得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=AD，F是BC边的中点，
∴DE=FC，DE∥FC，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：过点D作DN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，
∴∠BCD=∠A=60°，CD=AB，BC=AD，
∵AB=4，AD=6，
∴FC=3，NC=DC=2，DN=2，
∴FN= FC - NC =1，
则DF=EC==．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．
20．(1)
(2)见解析
(3)3
(4)
【分析】（1）利用平行四边形的面积公式进行计算即可；
（2）由题意，可知：，进而得到，再根据，即可得证；
（3）当，即点与点重合时，得到四边形是矩形，利用勾股定理进行求解即可；
（4）由题意可知，只有四边形可能是菱形，利用菱形性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，是边上的高，且的面积为24，
∴，
∴；
（2）证明：∵在中，动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：当，即点与点重合时，平行四边形为矩形，如图：

由（1）知：，
∴，
∴；
（4）解：∵，，
∴不可能是菱形，
当四边形或 四边形为平行四边形时：

即：，
∵，
∴，即点为的中点，
此时，
∴四边形或 四边形不能为菱形；
∴只有平行四边形可能为菱形，此时，
由（3）知，，
∴为中点，
∴当时，有可能等于，如图：

由题意和（1）（3），可知：，
∴，
∴，
在中，，即：，
解得：．
∴当平行四边形为菱形时，．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质．熟练掌握相关判定方法和性质，正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
21．（1）详见解析；（2）详见解析；+3．
【分析】（1）延长AO交⊙O于K，连接BK．利用等角的余角相等证明即可．
（2）延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．证明四边形AMBF是平行四边形，BM＝2OH即可解决问题．
（3）延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．证明∠BAO＝∠DAC＝∠DBF，推出tan∠DBF＝tan∠BAP＝＝，设DF＝x，则BD＝3x，CD＝2﹣3x，AD＝6﹣9x，AF＝BM＝6﹣10x，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：延长AO交⊙O于K，连接BK．
∵AK是直径，
∴∠ABK＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAO+∠K＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∠K＝∠C，
∴∠BAO＝∠DAC．
（2）证明：延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．
∵CM是直径，
∴∠CBM＝∠MAC＝90°，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，∠OHC＝∠CBM＝90°，
∴AD∥BM，
∵OC＝OM，
∴BM＝2OH，
∵AD⊥BC，CA⊥AB，
∴BF⊥AC，∵A⊥AC，
∴AM∥BF，
∴四边形AMBF是平行四边形，
∴AF＝BM，
∴AF＝2OH．
（3）解：延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．
由（2）可知，四边形AMBF是平行四边形，
∴AF＝BM，
∴OA＝AF，
∴BM＝OA，
∴CM＝2BM，
∵∠CBM＝90°，
∴∠BCM＝30°，
∵∠BAO＝∠DAC＝∠DBF，
∴tan∠DBF＝tan∠BAP＝＝，设DF＝x，则BD＝3x，CD＝2﹣3x，AD＝6﹣9x，AF＝BM＝6﹣10x，
∵BC＝2，
∴BM＝BC tan30°＝2，
∴6﹣10x＝2，
∴x＝，
∴AC＝＝+3．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
22．(1)
(2)
(3)当每件产品的销售价为160元时，才能使每日获得的利润最大，最大利润为1600元
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据总利润等于单个的利润乘以销售量列出函数解析式即可；
（3）将二次函数化为顶点式，求出最大值即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
将，；，分别代入，得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）解：由题意知．
（3）解：∵，，
∴当＋时，P取最大值，为1600．
∴当每件产品的销售价为160元时，才能使每日获得的利润最大，最大利润为1600元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出函数解析式．
23．见解析
【分析】在延长线上取点P，使，延长交于点O，证明得出，，，证明得出，证明，即可得出结论．
【详解】解：在延长线上取点P，使，延长交于点O，如图所示：
∵，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
，
即，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明，．