湖南省益阳市箴言中学2015届高三第十次模拟考试（5月）数学理 Word版含答案

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益阳市箴言中学2015届高三第十次模拟考试试题
理科数学试题
（考试时间120分钟 满分150分）
第I卷 （选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）www.21-cn-jy.com
1．若集合，则 ( )
A． B． C． D．或
2．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且=0.6826，则p（X>4）=（ ）
A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.15852·1·c·n·j·y
3．已知命题:函数的最小正周期为；命题：若函数为偶函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是 （ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
4．如下图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积是 ( )
A．48 B． C．16 D． 　　21*cnjy*com
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5. 若执行右上方的程序框图，输出的值为4，则判断框中应填入的条件是( )
A． B． C． D．[来源:21世纪教育网]
6．在公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且 则的值为 ( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．2 B．4 C．8 D．1
7. 已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则函数的部分图象可以为 （ ）
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9.已知双曲线（）的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10.设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是 （ ）
A． B． C． D． 【出处：21教育名师】
第II卷 （非选择题 共100分）
二 填空题（本大题应答5小题，每小题5分，共25分，请把答案填入答卷中的横线上）
（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答，全做按前两题记分）
11．如图，是半圆的直径，在的延长线上，与半圆相切于点，，若，，则 .【版权所有：21教育】
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12．已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），
以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为： 则圆截直线所得弦长为
13．若关于的不等式的解集不空，则的取值范围是
（二）必做题（14－16题）
14．设，则二项式的展开式的常数项是_________.
15.已知x，y满足且的最大值与最小值分别为和，则的值是
]16. 对定义在区间D上的函数和，如果对任意，都有成立，那么称函数在区间D上可被替代，D称为“替代区间”．给出以下命题：【来源：21·世纪·教育·网】
①在区间上可被替代；
②可被替代的一个“替代区间”为；
③在区间可被替代，则；
④，则存在实数，使得在区间 上被替代；
其中是真命题的有 .
三、解答题 （本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17. (本小题满分12分)己知函数在处取最小值．
（I）求的值。
（II）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知a=l，b=，，
求角C．
18. （本小题满分12分）
已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，为数列的前项和，若恒成立，求的最大值.
19.如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且()。21·cn·jy·com
(Ⅰ) 求证:；
(Ⅱ) 试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为。
20.（本小题满分13分）某工厂生产A，B两种型号的玩具，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种玩具各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 [70,76） [76,82） [82,88） [88,94） [94,100）
玩具A 8 12 40 32 8
玩具B 7 18 40 29 6
（Ⅰ）试分别估计玩具A、玩具B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件玩具A，若是正品可盈利40 ( http: / / www.21cnjy.com )元，若是次品则亏损5元；生产一件玩具B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，21·世纪*教育网
（i）记X为生产1件玩具A和1件玩具B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ii）求生产5件玩具B所获得的利润不少于140元的概率．
21. （本小题满分13分）
已知椭圆：与抛物线：有相同焦点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知直线过椭圆的另一焦点，且与抛物线相切于第一象限的点，设平行的直线交椭圆于两点，当△面积最大时，求直线的方程．2-1-c-n-j-y
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22. （本小题满分13分）
已知函数（）
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，求在上的最大值和最小值（）；
（Ⅲ）求证：．
箴言中学2015届高三第十次月考数学（理）答案
一、选择题
1． B BBDC BCACB
10.当时，，值域为（0,1]，；
当时，，值域为，；
当时，，值域为，则，
故，
当时，值域为,当时，值域为，
，，对称轴为，
故在上是增函数，则在上的值域为，即），
由题意知，，解得，故正实数的最小值为；
二 填空题
11． 3 12． 13 14． -160 15.
]16.①②③
16【解析】①中，故在区间上可被替代，故正确；②中，记，易得
所以，故正确；③中，对任意恒成立，易得，，故，正确；④中假设在区间 上能被替代，则，显然此式不能恒成立，故不正确21教育网
考点：新定义函数问题及其应用．
三、解答题 17. 解：（Ⅰ）
==…………………3分
因为在处取得最小值，所以，故，又 所以…………………………………6分
（Ⅱ）由（1）知，因为，且A为△内角，所以由正弦定理得，所以或.…9分
当时，当时.
综上， …………………………………………12分
18. 试题解析：（1）由题意可知：
当时，不符合题意； 1分
当时，，
， ，， 2分
，, 3分
， . 4分
（2） ， ，， 5分
（1）
（2）
得： 6分
8分
恒成立，只需 9分
为递增数列， 当时， ， 11分
，的最大值为. 12分21cnjy.com
考点：1、等比数列的前项和公式；2、错位相减求数列的和；3、恒成立的问题.
19. 解： (Ⅰ)取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,
所以,,又,平面,平面,
所以平面,又平面,所以,
因为,所以。
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,又平面平面,
平面平面,
平面,所以平面.
以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则
,,,,
由可得点的坐标为,
所以,,
设平面的法向量为,则,即
解得,令,得,
显然平面的一个法向量为,
依题意,解得或(舍去),
所以,当时,二面角的余弦值为.
20.【答案】（1）；（2）（i）66；（ii）．
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考点：1．频率与概率；2．随机变量的分布列与期望；3．二项分布．
21. 试题分析：（Ⅰ）由于抛物线的焦点为，得到，又得到．
（Ⅱ）思路一：设，，
直线的方程为即且过点
，
切线方程为
由，设直线的方程为，联立方程组
由，消整理得
设，，应用韦达定理
得，由点到直线的距离为,应用基本不等式等号成立的条件求得
思路二：，由已知可知直线的斜率必存在，设直线
由消去并化简得
根据直线与抛物线相切于点．得到，．
根据切点在第一象限得；由∥，设直线的方程为
由，消去整理得， 思路同上．
试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，
，又
椭圆方程为． 5分
（Ⅱ）（法一）设，，
直线的方程为即且过点
，
切线方程为 6分
因为，所以设直线的方程为，
由，消整理得 7分
，解得 ①
设，，
∴
8分
直线的方程为，
点到直线的距离为
， 10分
由①，
（当且仅当即时，取等号）
最大
所以，所求直线的方程为：． 14分
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（法二），由已知可知直线的斜率必存在，
设直线 由 消去并化简得
∵直线与抛物线相切于点．∴，得．
∵切点在第一象限． ∴ 6分21世纪教育网版权所有
∵
∴设直线的方程为21世纪教育网
由，消去整理得， 7分
，解得．
设，，则，
． 10分
又直线交轴于
12分
当，即时，． 13分
所以，所求直线的方程为． 14分
22. 【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，
∵
∴，
若，因，所以，故，函数在上单调递减；
若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
综上，若，函数的单调减区间为；
若，的单调增区间为，单调减区间为．
（Ⅱ）时，，
由（Ⅰ）可知，在上单调递增，在上单调递减，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上的最大值为；21世纪教育网
而；[来源:21世纪教育网]
，21世纪教育网
，
所以，故函数在上的最小值为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数在上的最大值为，即．
故有恒成立，所以，故，即．
正视图
俯视图
侧视图
3
3
6
2
4
2
P
A
B
C
D
M
O
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y
z
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