成都市成华区2023-2024学年高二上学期12月月考
数学
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．某校高一 高二 高三的住校生人数分别为120，180，150，为了解他们对学校宿舍的满意程度，按人数比例用分层抽样的方法抽取90人进行问卷调查，则高一 高二 高三被抽到的住校生人数分别为（ ）
A．12，18，15 B．20，40，30 C．25，35，30 D．24，36，30
2．已知向量，且，其中，则（ ）
A．4 B．－4 C．2 D．－2
3．如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．圆与直线的位置关系
A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定
6．已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（ ）
A．3 B．3或7 C．5 D．7
7．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点P，，则的最小值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．8
8．已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C是圆
B．若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C．若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D．曲线C可以是抛物线
10．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“两次掷出的点数中，至少出现一个奇数”，则（ ）
A．与互斥 B．
C． D．B与相互独立
11．已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（ ）
A． B．直线过定点
C．的最小值为 D．的最小值为2
12．如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（ ）
A．与所成角为
B．平面截正方体所得截面的面积为
C．平面
D．若，则三棱锥的体积最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．甲、乙两名优秀大学毕业生准备应聘某世界五百强企业，甲通过面试的概率是，乙通过面试的概率是，且甲、乙是否通过面试是相互独立的．那么这两名大学生至少有一名通过面试的概率为 ．
14．数据，，，平均数为6，方差为4，若数据，，，的平均数为a，方差为b，则 ．
15．已知点在曲线上运动，则的最大值为 ．
16．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为 ．
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）成都是中国西南地区的重要城市，拥有悠久的历史文化和丰富的自然资源。第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）于2023年7月28日在四川成都开幕，这是中国西部城市第一次举办世界性综合运动会.为普及大运会相关知识，营造良好的赛事氛围，某学校举行“大运会百科知识”答题活动，并随机抽取了20名学生，他们的答题得分（满分100分）的频率分布直方图如图所示.
(1)（6分）求频率分布直方图中的值及这20名学生得分的80%分位数；
(2)（4分）若从样本中任选2名得分在内的学生，求这2人中恰有1人的得分在内的概率
18．（12分）已知圆，圆上存在关于x－y+1=0对称的两点.
(1)（6分）求圆的标准方程；
(2)（6分）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点.
(1)（6分）证明：直线平面；
(2)（6分）求点B到平面的距离.
20．（12分）已知过点的直线与双曲线交于.
(1)（4分）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线的方程；
(2)（8分）若线段的中点为，求直线的方程和三角形面积.
21．（12分）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)（6分）求证：平面；
(2)（6分）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
22．（12分）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线.
(1)（4分）求曲线的方程；
(2)（8分）设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.高二数学
一、
1 2 3 4 5 6 7 8
D B B C A D A C
二、
9 10. 11 12
AC BCD ABD BCD
三、
14. 49 15. 16.或
四、
17.(10分)（1）由直方图知，
. …………………………………………………2分
设分位数为. 前3组的频率之和为0.65 ，前4组的频率之和为0.9 .
，且.
故这20名学生得分的分位数为. …………………………………………………6分
（2）由已知可得：得分在内的人数为，
得分在内的人数为.
记得分在内的学生为，得分在内的学生为.
则所有的样本点为： ，
，共15个，
其中恰有1人的得分在内的样本点为：
, ，共8个，
故这2人中恰有1人的得分在内的概率.
…………………………………………………10分
18.(12分)(1)）配方得：，所以圆心为，因为圆上存在关于x－y+1=0对称的两点，所以x－y+1=0一定经过圆心，即，解得：，所以圆的标准方程为 ………………………………………………………6分
(2)设圆心到直线距离为，由圆的弦长公式得，解得，
①当斜率不存在时，直线方程为，满足题意；
②当斜率存在时，设直线方程为，则，解得，
所以直线的方程为；综上，直线方程为或 ………………12分
19.(12分)（1）证明：取中点，
点均为中点，，
又正方形中，，
四边形为平行四边形，，
又平面平面，
直线平面； ……………………………………6分
（2）因为平面为正方形，且底面，
所以两两互相垂直，
所以分别以，，为轴建立空间直角坐标系，
则有
可得，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，得，
所以点到平面的距离.
……………………………………………………………12分
20.（12分）（1）设所求双曲线为，
点代入得
………………………………………………………4分
设，，，，点在双曲线上
所以，
相减得，即
所以所求的直线的方程为
设，，，，
则由得
所以，
代入的
所以.…………………………12分
21.（12分）（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面. ……………………………………6分
（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点.……………………………………………12分
22．（12分）（1）由题意，点与定点的距离，点到直线的距离，所以，即，化简得，故曲线的方程为； ………………………………………4分
（2）由题意可得，直线的方程分别为，设.
由直线与圆相切可得.
，同理，
所以是方程的两个根，所以，
所以，，
因为是曲线上的一动点，所以，
则有，
联立方程，所以，
所以，同理
所以，
因为，所以，
所以.………………………………………………………………12分
