选修一 第2章 直线与圆的方程解答题30题基础篇（含解析）
文档属性
| 名称 | 选修一 第2章 直线与圆的方程解答题30题基础篇（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-05 16:00:12 | ||
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文档简介
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选修一 第2章 直线与圆的方程解答题30题基础篇（含解析）
一、直线方程解答题
1．求斜率为 ，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程．
2．已知点 与直线 ： .
（1）若直线 过点 ，且与直线 垂直，求直线 的方程；
（2）一条光线从点 射出，经直线 反射后，通过点 ，求反射光线所在的直线方程.
3．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.
（1）求直线l的斜率k的取值范围；
（2）求直线l的倾斜角α的取值范围．
4．在 中，点 ，角 的内角平分线所在直线的方程为 边上的高所在直线的方程为 .
(Ⅰ)求点 的坐标；
(Ⅱ)求 的面积.
5．已知的三个顶点为，，.
（1）求过点A且平行于的直线方程；
（2）求过点B且与A、C距离相等的直线方程.
6．在 中，已知 是 边上一点，边 ， 所在直线的方程分别为 ， .
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若 ，求直线 在 轴上的截距.
7．已知直线 与直线交于点.
（1）求过点 且垂直于直线的直线的方程；
（2）求过点 并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
8．已知直线和的交点为．
（1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；
（2）若直线经过点且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）．
9．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边的垂直平分线所在直线方程．
10．已知三角形三顶点，求：
（1）边上的高所在的直线方程；
（2）边的中线所在的直线方程.
11．已知△ABC的顶点B（-1，-3），边AB上的高CE所在直线的方程为 ，BC边上中线AD所在的直线方程为 ．
（1）求直线AB的方程；
（2）求点C的坐标．
12．已知直线方程为．
（1）若直线的倾斜角为，求的值；
（2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
13．已知三角形 的三个顶点分别为 ，求：
（1） 边所在直线的方程；
（2） 边上高线 所在直线的方程．
14．已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为.
（1）求点B的坐标；
（2）求直线的方程.
二、直线与圆解答题
15．直线 经过点P（5，5），且和圆C： 相交，截得的弦长为 ．求 的方程．
16．已知圆 ： ，经过点 的一条直线与圆 交于A，B两点，
若AB的弦长|AB| ，求直线AB的方程．
17．已知圆
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值.
18．已知圆C经过点，，且圆心C在直线上.
（1）求圆C的一般方程；
（2）若圆和圆C相交于点M，N，求线段MN的长.
19．已知过点A（0，2）且斜率为k的直线 与 交于M、N两点.
（1）求k范围
（2）若 ，（O为原点）求|MN|
20．已知圆 过点 ，圆心为 ．
（1）求圆 的标准方程；
（2）如果过点 且斜率为 的直线 与圆 没有公共点，求实数 的取值范围．
21．已知圆C过点 ，圆心在直线 上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）点P是圆O1： 上任一点，求三角形PAB面积的取值范围.
22．已知圆 的圆心在直线 上，且经过点
（1）求圆M的方程；
（2）直线 与圆M相切，且 在 轴上的截距是在 轴上截距的两倍，求直线 的方程.
23．已知直线 ： 与圆C： ，
（1）若直线 与圆 相切，求m的值．
（2）若 ，求圆C截直线 所得的弦长．
24．已知圆过点，且与直线相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求直线的方程；
25．光线沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点（2，8）为圆心的圆C相切，
（1）求圆C的方程
（2）设k为实数，若直线与圆C相交于M、N两点，且，求的k取值范围．
26．已知圆 ，直线 .
（1）当a为何值时，直线与圆C相切.
（2）当直线与圆C相交于A、B两点，且 时，求直线的方程.
27．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的方程．
28．在平面直角坐标系中，圆经过，，三点．
（1）求圆的方程；
（2）若经过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
29．已知圆C的圆心为 ，且与直线 相切，
（1）求该圆的方程；
（2）若点P在圆C上运动，求 的最大值和最小值.
30．圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：
（1）周长最小的圆的方程；
（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
答案解析部分
1．【答案】解：设所求直线的方程为 ，
令 ，得 ，所以直线与 轴的交点为 ；
令 ，得 ，所以直线与 轴的交点为 ．
由已知，得 ，解得 ．
故所求的直线方程是 ，即 ．
【解析】【分析】本题利用已知斜率借助斜截式设出直线方程，再利用直线与两坐标轴相交的交点的坐标的特殊性及三角形周长公式求出纵截距b的值，从而求出直线的斜截式方程最后转化为直线的一般式方程。
2．【答案】（1）因直线 与 垂直，于是设直线 方程为 ，
又 过点 ，则 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
（2）设点 关于直线 ： 的对称点 坐标为 ，
则有 ，解得 ，即 ，
直线 的方程为： ，即 ，
因反射光线过点 ，而反射光线所在直线过点 ，
所以反射光线所在直线方程为 .
【解析】【分析】(1)利用待定系数法结合垂直直线系方程，设出直线 的方程，将点P的坐标代入求解即可；
(2)点P关于直线 的对称点 坐标为 ，利用点PP1的中点在直线 上，直线PP1与直线垂直，列出方程组，求出a， b，即可得到反射光线经过点 和 ，求解反射光线即可.
3．【答案】（1）解： 如图，
由题意可知，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
要使 与线段 有公共点，则直线 的斜率 的取值范围是 ，或 .
（2）解： 由题意可知直线l的倾斜角介于直线 与 的倾斜角之间，又直线 的倾斜角是 ，直线 的倾斜角是 ，故 的取值范围是 .
【解析】【分析】（1）结合图像可知，直线l的斜率介于和之间，计算这两个斜率，即可得出答案。（2）分别计算出直线PB和直线PA的倾斜角，可知直线l的倾斜角介于这两个角之间，即可得出答案。
4．【答案】解：（Ⅰ）由题意知 的斜率为-2，又点 ，
直线 的方程为 ，即 .
解方程组 得
点 的坐标为 .
又 的内角平分线所在直线的方程为 ，
点 关于直线的点 在直线 上，
直线 的方程为 ，即 .
解方程组 得
点 的坐标为 .
（Ⅱ） ，
又直线 的方程是 ，
点 到直线 的距离是 ，
的面积是 .
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可知直线 的斜率为 ，过点 ，则直线 的方程为 ，点 刚好是 边上的高所在直线 与角 的内角平分线所在直线 的交点，即 ,又因为 的内角平分线所在直线的方程为 ，所以点 关于直线 的对称点 在直线 上，即可求出直线 的方程 ，在根据点 是直线 和 的交点，即 的坐标为 ；（Ⅱ）根据 、 点坐标，求出 ，再根据点到直线的距离公式，求出点 到直线 的距离是 ，所以 的面积 .
5．【答案】（1）解：由B、C两点的坐标可得，
因为待求直线与直线平行，故其斜率为
由点斜式方程可得目标直线方程为
整理得.
（2）解：由A、C点的坐标可知，AC的中点D坐标为
又直线没有斜率，则与直线平行的直线符合题意，即.
过B，D两点的直线到A，C的距离也相等，
点斜式方程为，整理得.
综上所述，满足题意的直线方程为和.
【解析】【分析】本题考查直线的方程的求法以及直线平行的斜率关系，做题时应熟练掌握应用求直线解析式的方法，并注意直线斜率为0和斜率不存在的特殊情况。
（1）B、C两点的坐标可得 ，根据直线平行斜率相等得出BC斜率，再根据 点斜式方程 求解BC方程。
（2）先考虑直线斜率为0和斜率不存在的特殊情况，再根据题目条件求解。
6．【答案】（1）解：由 解得 ，即 ，
又 ，所以 ，
由题意知 为 边长的高，
所以 ， 为 边上一点，
所以 ： ，
所以直线 的方程为 .
（2）设点 的坐标为 ，由题意知 为 的中点，
得点 的坐标为 ，又点 与点 分别在直线 和 上，
所以 ，解得 ，
所以点 的坐标为 ， ， 方程 ，即 .
所以直线 在 轴上的截距为 .
【解析】【分析】(1)首先联立两条直线方程，求解出交点的坐标，结合斜率的坐标公式计算出直线的斜率，然后由直线垂直的斜率之间的关系计算出直线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程即可。
(2)根据题意设出中点的坐标，再由点在直线上把坐标代入到直线的方程，由此求解出a与b的值，然后由斜率的坐标公式计算出斜率的值，由此得到结合点斜式求出直线的方程即可。
7．【答案】（1）解：由 得 交点
由题直线 的斜率直线的方程 ：
（2）解：当直线 过原点时： 直线斜率为， 此时直线方程：
当直线 不过原点时： 设直线，
代入点 得， 此时直线方程：
综上： 直线 的方程为：或
【解析】【分析】(（1）联立两条直线的方程，解出交点坐标，在利用两直线垂直斜率之积为-1，求得直线的斜率，然后结合点斜式写出直线方程即可；
（2）分直线过原点，和不过原点两种情况进行分类讨论再结合截距式解题即可.
8．【答案】（1）解：由，
解得：，
可得直线 和的交点为，
由于直线l3的斜率为，
故过点P且与直线平行的直线l的方程为，
即；
（2）解：由题意知：直线m的斜率存在且不为零，
设直线m的斜率为k，则直线m的方程为，
由于直线m与x轴，y轴分别交于A，B两点，
且为线段AB的中点，
故：，
，
解得，
故 ，
故的面积为.
【解析】【分析】(1)首先联立直线的方程由此计算出交点的坐标，然后由斜率的坐标公式计算出斜率的取值，结合直线平行的性质，由点斜式即可得出直线的方程。
(2)由已知条件对斜率分情况讨论，结合中点与斜率的坐标公式，计算出k的取值结合三角形的面积公式，代入数值计算出结果即可。
9．【答案】（1）解：BC边所在直线的方程为：y﹣1= （x﹣2），化为：x+2y﹣4=0
（2）解： kDE=﹣ =2．∴BC边的垂直平分线DE的方程为：y=2x+2，即
【解析】【分析】（1）根据两点式，直接写出直线BC的方程，整理得一般式即可；
（2）写出BC的中点坐标，求出BC所在直线的斜率，根据直线垂直，求出所求直线的斜率，利用点斜式写出BC垂直平分线的方程，整理得一般式即可.
10．【答案】（1）解：边所在直线的斜率为，
边上的高所在的直线的斜率为2.
边上的高所在的直线方程为，即.
（2）解：易知边的中点为，则边的中线过点和.
所以边的中线所在直线方程为，即.
【解析】【分析】(1)根据高与所在边垂直关系求斜率，再根据点斜式写出直线方程；
(2)利用中点公式写出中点坐标，再用两点式写出中线所在直线方程.
11．【答案】（1）解：∵ ,且直线 的斜率为 ，
∴直线 的斜率为 ，∴直线 的方程为 ，即 ．
（2）解：设 ，则 ，
∴ ，解得 ，∴ ．
【解析】【分析】（1）确定直线的方程关键是确定两点的坐标或一点坐标及斜率，根据 C E ⊥ A B ,及直线 C E 的斜率，可得AB斜率，再根据点B的坐标，可得；
（2）根据点D的坐标可得C的坐标，点C既在直线CE上，点D在直线AD上，可得。
12．【答案】（1）解：由题意可得.
（2）解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
【解析】【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；
（2）求出点、，根据已知条件求出，，利用基本不等式可求得面积的最小值， 当且仅当时，等号成立，即可得出直线的方程.
13．【答案】（1）解：边所在直线的方程为：，即
（2）解：∵的斜率
∴边上的高所在直线的斜率
∴边上的高线所在直线的方程为：
即
【解析】【分析】 (1)利用两点式方程能求出BC边所在直线的方程；
(2)先求出 的斜率 ，从而BC边上高线AD的斜率 ， 利用点斜式即可求出BC边上高线AD所在直线的方程.
14．【答案】（1）解：
因为直线的斜率为，，
所以直线的斜率为1，
又因为，
所以直线的方程为，
联立，解得，
故点B的坐标为.
（2）解：设点，所以.
因为点是边的中点，
所以点的坐标为，
因为边上的中线所在直线的方程为，
所以，
即.
联立，解得，
所以点的坐标为，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，
即.
【解析】【分析】 (1)由 边上的高所在直线的方程为可得直线CD的斜率为-1，根据垂直时斜率乘积为-1可得直线AB的斜率为1，且过 即可得到AB边所在直线方程，然后联立解方程组即可求出点B的坐标 ；
(2)设出点C的坐标，即可得出中点E的坐标，然后代入 为， 从而求出C的坐标，即可求出直线的方程.
15．【答案】解：由题意可知直线的斜率存在，可设 的方程为：
即：
又由圆 截直线 的弦长为
则圆心到直线 的距离为
所以：由点到直线的距离公式
解得
代入所设 的方程化简为： .
【解析】【分析】用点斜式设出直线的方程 ，由条件根据弦长公式求得弦长，进而得出弦长距，再利用点到直线的距离公式列出等式，进而求出k的值，即可得出直线方程。
16．【答案】解：圆C： ，可得 ，圆心为C(2，0) ，r=2
若直线斜率不存在，即直线l：x=1 ， ，满足条件，
若直线斜率存在，设直线l： ，即 ，
所以 ，解得 ，
即直线l为 .
综上所述，所求的直线AB的方程为 或 ，
【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式以及直线方程求解即可.
17．【答案】（1）解：当直线斜率存在时，设直线，
即，
圆心到直线的距离为，
解得，
此时直线方程为，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，
综上，所求直线方程为或.
（2）解：记圆心到直线的距离为，则，
又弦长为，圆的半径为2，则，
解得，所以.
【解析】【分析】(1)首先直线化简直线的方程，结合点到直线的距离公式计算出k的取值，由此即可得出直线的方程。
(2)根据题意由点到直线的距离公式，结合已知条件计算出m的取值即可。
18．【答案】（1）解：由圆C经过点，得圆心C在直线上，
又∵圆心C在直线上，∴圆心C的坐标为
设圆C的半径为r，则，
故圆C的方程为.
化成一般方程为
（2）解：圆O与圆C的方程联立，得到方程组，两式作差，
得，即为直线MN的方程.
原点O到直线MN的距离
又圆O的半径为2，∴由勾股定理得
故.
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出x的取值，由此求出圆心坐标再由两点间的距离公式计算出r的取值，结合圆的一般式计算出结果即可。
(2)首先联立两圆的方程由此即可得出直线的方程，再由点到直线的距离公式计算出d的值然后由勾股定理计算出弦长的值。
19．【答案】（1）解：令 圆心 ，
圆心 到直线 距离： ，
, ，
（2）解：圆 即 ，
，
，
，
，
结合韦达定理的结论解得 ，
易知直线 经过圆心， .
【解析】【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，与半径比较，解不等式，即可求出实数k的取值范围；
（2）将直线方程与圆的方程联立，根据韦达定理，结合向量的数量积运算，求出k，即可得到MN的长度.
20．【答案】（1）解：由已知可得圆的半径为 ．
∴圆 的标准方程
（2）解：由题意可知，直线方程为 ，即 ．
由 ，解得 ．
∴实数 的取值范围是 ．
【解析】【分析】（1）利用圆心坐标结合点P在圆上，结合代入法，从而求出圆C的标准方程。
（2）利用点斜式求出过点 且斜率为 的直线 的方程，再利用直线 与圆 没有公共点，用直线与圆的位置关系的判断方法，从而求出实数 的取值范围。
21．【答案】（1）解：由题意设圆心为 ，半径为 ，则圆的标准方程为 ．
由题意得 ，解得 ，
所以圆 的标准方程为 .
（2）解：由题意知道，圆O1的圆心为（6，0），半径 ，
又 的边 所在直线方程为 ，即 ，
所以点O1到直线AB的距离为 ，
设三角形 的边 上的高为 ，则 ，即 ，
又 ，
所以三角形 的面积 .
【解析】【分析】(1)根据题意首先设出圆的方程，再由点在圆上把点的坐标代入求出a与r的值，由此得出圆的方程。
(2)由已知条件利用两点式求出直线的方程，再由点到直线的距离公式计算出点O1到直线AB的距离 ，结合勾股定理以及三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
22．【答案】（1）解：设圆M的方程为 将A，B点坐标代入得：9 - 3D + F = 0， ①
5+D+2E+F =0 ②
又圆M的圆心在直线 上，所以 ③
解 ①，②，③ 得：
∴圆M的方程为 .
（2）解：将圆M的方程化为标准方程得： ， ∴圆心 ，半径r = ， 直线 与圆M相切，且原点在圆M内， 直线 不过原点， ∵ 在y轴上的截距是 在x轴上截距的两倍， 故可设直线 的方程为 ， 即为 ，
∵直线 与圆M相切，∴圆心M到 的距离 ，
即 ， 解得 或 ， ∴ 直线 的方程为 或 ．
【解析】【分析】（1）设圆M的方程为 ，将A，B点坐标代入得：9 - 3D + F = 0，再由圆M的圆心在直线 ，即可求圆M的方程；
（2）由题意，直线l不过原点，设方程为 ，即 ，利用直线与圆M相切，建立方程，求出a，可得直线l的方程。
23．【答案】（1）解： 直线 与圆 相切， 圆心 到直线 的距离
，解得
（2）解：当 时，直线 的方程为 ，圆心 到直线 的距离 ，
弦长
【解析】【分析】本题第（1）问，由于直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即有 ，只要解出m即可；第（2）问，先求出圆心到直线的距离 ，由于原的半径为1，则由勾股定理可求出弦长．
24．【答案】（1）解：设圆心坐标为 ，
则 ，
解得： ，
圆的半径 ，
圆C的方程为： .
（2）解： 为直角三角形， ，
，
则圆心C到直线 的距离 ；
当直线 斜率不存在，即 时，满足圆心C到直线 的距离 ；
当直线 斜率存在时，设 ，即 ，
，解得： ，
，即 ；
综上所述：直线 的方程为 或 .
【解析】【分析】 (1)根据直线和圆相切的等价条件及过两点求圆的方程进行求解，即可求出圆的方程；
(2)由题意得 ， 得弦长与半径的关系， 设 ，利用半径、圆心到直线的距离、半个弦长之间的关系，求出直线的方程.
25．【答案】（1）解：在直线中，令，则，
由题意可知，入射光线与反射光线所在的直线关于轴对称，
则反射光线所在直线的斜率为，且过点，
所以直线关于x轴的对称直线为，
点（2，8）到直线距离，
圆方程为；
（2）解：设圆心到直线的距离为d，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
即.
【解析】【分析】（1） 在直线中，令，得出x的值，由题意可知，入射光线与反射光线所在的直线关于轴对称，进而得出反射光线所在直线的斜率，且过点，所以直线关于x轴的对称直线为，再利用点到直线的距离公式得出点（2，8）到直线距离，从而得出圆C的半径长，进而得出圆C的标准方程。
（2） 设圆心到直线的距离为d，再利用点到直线的距离公式公式得出，再利用结合弦长公式得出的取值范围，进而得出实数k的取值范围。
26．【答案】（1）解：圆C的标准方程为 ，圆心C的坐标为 ，半径长为 ，
当直线l与圆C相切时，则 ，解得
（2）解：由题意知，圆心C到直线l的距离为 ，
由点到直线的距离公式可得 ，整理得 ，解得 或 .
因此，直线 的方程为 或
【解析】【分析】（1）将圆 的方程化为标准形式，得出圆C的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a的值，进而可得出直线 的方程.
27．【答案】（1）解：因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.又因为点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0
（2）解：由 可得点A的坐标为(0，－2)．
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)．
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又|AM|＝ ，
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8
【解析】【分析】 本题考查直线方程的求法，考查圆的方程的求法，考查向量数量积的求法，解题时要认真审题，注意直线性质的灵活运用．
28．【答案】（1）解：设圆方程为．
因为圆经过，，三点，
所以，解得．
所以圆方程为．
（2）解：圆方程可化为，所以圆的圆心为，半径为5．
因为，设中点为，则，，从而．
即点到直线的距离为．
直线经过点．
当直线与轴垂直时，直线的方程为，点到直线的距离为，
满足题意；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即．
所以，解得，
此时直线的方程为．
因此，满足题意的直线的方程为和．
【解析】【分析】(1)首先把点的坐标代入到圆的一般方程，由此计算出D、E、F的取值，从而得出圆的方程。
(2)根据题意把圆的方程化为标准式，由此得出圆心坐标以及半径再由点到直线的距离公式，对直线的斜率分情况讨论即可计算出k的取值，从而得出直线的方程。
29．【答案】（1）设圆的半径为r，由直线与圆相切，d=r，
即 ，所以圆的半径为1.
故圆的标准方程为： .
（2）设 ，即 ，
因为点P在圆C上运动，
只需 与 有公共点，
即圆心 到直线 的距离 即可.
∴ ，解得：
故 的最大值为 ，最小值为 .
【解析】【分析】(1)根据题意由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算出圆的半径，从而得出圆的方程。
(2)由已知条件设 ，即 ，结合点到直线的距离公式求出圆心坐标到直线的距离，从而得到 由此即可得出 的最大值。
30．【答案】（1）解：当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝ |AB|＝ .故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；
（2）解：由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为 ，
AB的垂直平分线的方程是y－1＝ x，即x－3y＋3＝0.
由 解得
即圆心坐标是C(3，2)．
又r＝|AC|＝ ＝2 .
所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【解析】【分析】 (1)根据题意，求出以线段AB为直径的圆，即为所求周长最小的圆的方程；
(2)求出线段AB的中垂线与直线2x-y-4=0交点C(3， 2)，可得所求圆的圆心为C(3， 2)，求出AB的长即为圆的半径长，由此即可得到圆心在直线2x-y-4=0上圆的方程.
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选修一 第2章 直线与圆的方程解答题30题基础篇（含解析）
一、直线方程解答题
1．求斜率为 ，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程．
2．已知点 与直线 ： .
（1）若直线 过点 ，且与直线 垂直，求直线 的方程；
（2）一条光线从点 射出，经直线 反射后，通过点 ，求反射光线所在的直线方程.
3．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.
（1）求直线l的斜率k的取值范围；
（2）求直线l的倾斜角α的取值范围．
4．在 中，点 ，角 的内角平分线所在直线的方程为 边上的高所在直线的方程为 .
(Ⅰ)求点 的坐标；
(Ⅱ)求 的面积.
5．已知的三个顶点为，，.
（1）求过点A且平行于的直线方程；
（2）求过点B且与A、C距离相等的直线方程.
6．在 中，已知 是 边上一点，边 ， 所在直线的方程分别为 ， .
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若 ，求直线 在 轴上的截距.
7．已知直线 与直线交于点.
（1）求过点 且垂直于直线的直线的方程；
（2）求过点 并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
8．已知直线和的交点为．
（1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；
（2）若直线经过点且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）．
9．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边的垂直平分线所在直线方程．
10．已知三角形三顶点，求：
（1）边上的高所在的直线方程；
（2）边的中线所在的直线方程.
11．已知△ABC的顶点B（-1，-3），边AB上的高CE所在直线的方程为 ，BC边上中线AD所在的直线方程为 ．
（1）求直线AB的方程；
（2）求点C的坐标．
12．已知直线方程为．
（1）若直线的倾斜角为，求的值；
（2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
13．已知三角形 的三个顶点分别为 ，求：
（1） 边所在直线的方程；
（2） 边上高线 所在直线的方程．
14．已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为.
（1）求点B的坐标；
（2）求直线的方程.
二、直线与圆解答题
15．直线 经过点P（5，5），且和圆C： 相交，截得的弦长为 ．求 的方程．
16．已知圆 ： ，经过点 的一条直线与圆 交于A，B两点，
若AB的弦长|AB| ，求直线AB的方程．
17．已知圆
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值.
18．已知圆C经过点，，且圆心C在直线上.
（1）求圆C的一般方程；
（2）若圆和圆C相交于点M，N，求线段MN的长.
19．已知过点A（0，2）且斜率为k的直线 与 交于M、N两点.
（1）求k范围
（2）若 ，（O为原点）求|MN|
20．已知圆 过点 ，圆心为 ．
（1）求圆 的标准方程；
（2）如果过点 且斜率为 的直线 与圆 没有公共点，求实数 的取值范围．
21．已知圆C过点 ，圆心在直线 上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）点P是圆O1： 上任一点，求三角形PAB面积的取值范围.
22．已知圆 的圆心在直线 上，且经过点
（1）求圆M的方程；
（2）直线 与圆M相切，且 在 轴上的截距是在 轴上截距的两倍，求直线 的方程.
23．已知直线 ： 与圆C： ，
（1）若直线 与圆 相切，求m的值．
（2）若 ，求圆C截直线 所得的弦长．
24．已知圆过点，且与直线相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求直线的方程；
25．光线沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点（2，8）为圆心的圆C相切，
（1）求圆C的方程
（2）设k为实数，若直线与圆C相交于M、N两点，且，求的k取值范围．
26．已知圆 ，直线 .
（1）当a为何值时，直线与圆C相切.
（2）当直线与圆C相交于A、B两点，且 时，求直线的方程.
27．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的方程．
28．在平面直角坐标系中，圆经过，，三点．
（1）求圆的方程；
（2）若经过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
29．已知圆C的圆心为 ，且与直线 相切，
（1）求该圆的方程；
（2）若点P在圆C上运动，求 的最大值和最小值.
30．圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：
（1）周长最小的圆的方程；
（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
答案解析部分
1．【答案】解：设所求直线的方程为 ，
令 ，得 ，所以直线与 轴的交点为 ；
令 ，得 ，所以直线与 轴的交点为 ．
由已知，得 ，解得 ．
故所求的直线方程是 ，即 ．
【解析】【分析】本题利用已知斜率借助斜截式设出直线方程，再利用直线与两坐标轴相交的交点的坐标的特殊性及三角形周长公式求出纵截距b的值，从而求出直线的斜截式方程最后转化为直线的一般式方程。
2．【答案】（1）因直线 与 垂直，于是设直线 方程为 ，
又 过点 ，则 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
（2）设点 关于直线 ： 的对称点 坐标为 ，
则有 ，解得 ，即 ，
直线 的方程为： ，即 ，
因反射光线过点 ，而反射光线所在直线过点 ，
所以反射光线所在直线方程为 .
【解析】【分析】(1)利用待定系数法结合垂直直线系方程，设出直线 的方程，将点P的坐标代入求解即可；
(2)点P关于直线 的对称点 坐标为 ，利用点PP1的中点在直线 上，直线PP1与直线垂直，列出方程组，求出a， b，即可得到反射光线经过点 和 ，求解反射光线即可.
3．【答案】（1）解： 如图，
由题意可知，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
要使 与线段 有公共点，则直线 的斜率 的取值范围是 ，或 .
（2）解： 由题意可知直线l的倾斜角介于直线 与 的倾斜角之间，又直线 的倾斜角是 ，直线 的倾斜角是 ，故 的取值范围是 .
【解析】【分析】（1）结合图像可知，直线l的斜率介于和之间，计算这两个斜率，即可得出答案。（2）分别计算出直线PB和直线PA的倾斜角，可知直线l的倾斜角介于这两个角之间，即可得出答案。
4．【答案】解：（Ⅰ）由题意知 的斜率为-2，又点 ，
直线 的方程为 ，即 .
解方程组 得
点 的坐标为 .
又 的内角平分线所在直线的方程为 ，
点 关于直线的点 在直线 上，
直线 的方程为 ，即 .
解方程组 得
点 的坐标为 .
（Ⅱ） ，
又直线 的方程是 ，
点 到直线 的距离是 ，
的面积是 .
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可知直线 的斜率为 ，过点 ，则直线 的方程为 ，点 刚好是 边上的高所在直线 与角 的内角平分线所在直线 的交点，即 ,又因为 的内角平分线所在直线的方程为 ，所以点 关于直线 的对称点 在直线 上，即可求出直线 的方程 ，在根据点 是直线 和 的交点，即 的坐标为 ；（Ⅱ）根据 、 点坐标，求出 ，再根据点到直线的距离公式，求出点 到直线 的距离是 ，所以 的面积 .
5．【答案】（1）解：由B、C两点的坐标可得，
因为待求直线与直线平行，故其斜率为
由点斜式方程可得目标直线方程为
整理得.
（2）解：由A、C点的坐标可知，AC的中点D坐标为
又直线没有斜率，则与直线平行的直线符合题意，即.
过B，D两点的直线到A，C的距离也相等，
点斜式方程为，整理得.
综上所述，满足题意的直线方程为和.
【解析】【分析】本题考查直线的方程的求法以及直线平行的斜率关系，做题时应熟练掌握应用求直线解析式的方法，并注意直线斜率为0和斜率不存在的特殊情况。
（1）B、C两点的坐标可得 ，根据直线平行斜率相等得出BC斜率，再根据 点斜式方程 求解BC方程。
（2）先考虑直线斜率为0和斜率不存在的特殊情况，再根据题目条件求解。
6．【答案】（1）解：由 解得 ，即 ，
又 ，所以 ，
由题意知 为 边长的高，
所以 ， 为 边上一点，
所以 ： ，
所以直线 的方程为 .
（2）设点 的坐标为 ，由题意知 为 的中点，
得点 的坐标为 ，又点 与点 分别在直线 和 上，
所以 ，解得 ，
所以点 的坐标为 ， ， 方程 ，即 .
所以直线 在 轴上的截距为 .
【解析】【分析】(1)首先联立两条直线方程，求解出交点的坐标，结合斜率的坐标公式计算出直线的斜率，然后由直线垂直的斜率之间的关系计算出直线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程即可。
(2)根据题意设出中点的坐标，再由点在直线上把坐标代入到直线的方程，由此求解出a与b的值，然后由斜率的坐标公式计算出斜率的值，由此得到结合点斜式求出直线的方程即可。
7．【答案】（1）解：由 得 交点
由题直线 的斜率直线的方程 ：
（2）解：当直线 过原点时： 直线斜率为， 此时直线方程：
当直线 不过原点时： 设直线，
代入点 得， 此时直线方程：
综上： 直线 的方程为：或
【解析】【分析】(（1）联立两条直线的方程，解出交点坐标，在利用两直线垂直斜率之积为-1，求得直线的斜率，然后结合点斜式写出直线方程即可；
（2）分直线过原点，和不过原点两种情况进行分类讨论再结合截距式解题即可.
8．【答案】（1）解：由，
解得：，
可得直线 和的交点为，
由于直线l3的斜率为，
故过点P且与直线平行的直线l的方程为，
即；
（2）解：由题意知：直线m的斜率存在且不为零，
设直线m的斜率为k，则直线m的方程为，
由于直线m与x轴，y轴分别交于A，B两点，
且为线段AB的中点，
故：，
，
解得，
故 ，
故的面积为.
【解析】【分析】(1)首先联立直线的方程由此计算出交点的坐标，然后由斜率的坐标公式计算出斜率的取值，结合直线平行的性质，由点斜式即可得出直线的方程。
(2)由已知条件对斜率分情况讨论，结合中点与斜率的坐标公式，计算出k的取值结合三角形的面积公式，代入数值计算出结果即可。
9．【答案】（1）解：BC边所在直线的方程为：y﹣1= （x﹣2），化为：x+2y﹣4=0
（2）解： kDE=﹣ =2．∴BC边的垂直平分线DE的方程为：y=2x+2，即
【解析】【分析】（1）根据两点式，直接写出直线BC的方程，整理得一般式即可；
（2）写出BC的中点坐标，求出BC所在直线的斜率，根据直线垂直，求出所求直线的斜率，利用点斜式写出BC垂直平分线的方程，整理得一般式即可.
10．【答案】（1）解：边所在直线的斜率为，
边上的高所在的直线的斜率为2.
边上的高所在的直线方程为，即.
（2）解：易知边的中点为，则边的中线过点和.
所以边的中线所在直线方程为，即.
【解析】【分析】(1)根据高与所在边垂直关系求斜率，再根据点斜式写出直线方程；
(2)利用中点公式写出中点坐标，再用两点式写出中线所在直线方程.
11．【答案】（1）解：∵ ,且直线 的斜率为 ，
∴直线 的斜率为 ，∴直线 的方程为 ，即 ．
（2）解：设 ，则 ，
∴ ，解得 ，∴ ．
【解析】【分析】（1）确定直线的方程关键是确定两点的坐标或一点坐标及斜率，根据 C E ⊥ A B ,及直线 C E 的斜率，可得AB斜率，再根据点B的坐标，可得；
（2）根据点D的坐标可得C的坐标，点C既在直线CE上，点D在直线AD上，可得。
12．【答案】（1）解：由题意可得.
（2）解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
【解析】【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；
（2）求出点、，根据已知条件求出，，利用基本不等式可求得面积的最小值， 当且仅当时，等号成立，即可得出直线的方程.
13．【答案】（1）解：边所在直线的方程为：，即
（2）解：∵的斜率
∴边上的高所在直线的斜率
∴边上的高线所在直线的方程为：
即
【解析】【分析】 (1)利用两点式方程能求出BC边所在直线的方程；
(2)先求出 的斜率 ，从而BC边上高线AD的斜率 ， 利用点斜式即可求出BC边上高线AD所在直线的方程.
14．【答案】（1）解：
因为直线的斜率为，，
所以直线的斜率为1，
又因为，
所以直线的方程为，
联立，解得，
故点B的坐标为.
（2）解：设点，所以.
因为点是边的中点，
所以点的坐标为，
因为边上的中线所在直线的方程为，
所以，
即.
联立，解得，
所以点的坐标为，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，
即.
【解析】【分析】 (1)由 边上的高所在直线的方程为可得直线CD的斜率为-1，根据垂直时斜率乘积为-1可得直线AB的斜率为1，且过 即可得到AB边所在直线方程，然后联立解方程组即可求出点B的坐标 ；
(2)设出点C的坐标，即可得出中点E的坐标，然后代入 为， 从而求出C的坐标，即可求出直线的方程.
15．【答案】解：由题意可知直线的斜率存在，可设 的方程为：
即：
又由圆 截直线 的弦长为
则圆心到直线 的距离为
所以：由点到直线的距离公式
解得
代入所设 的方程化简为： .
【解析】【分析】用点斜式设出直线的方程 ，由条件根据弦长公式求得弦长，进而得出弦长距，再利用点到直线的距离公式列出等式，进而求出k的值，即可得出直线方程。
16．【答案】解：圆C： ，可得 ，圆心为C(2，0) ，r=2
若直线斜率不存在，即直线l：x=1 ， ，满足条件，
若直线斜率存在，设直线l： ，即 ，
所以 ，解得 ，
即直线l为 .
综上所述，所求的直线AB的方程为 或 ，
【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式以及直线方程求解即可.
17．【答案】（1）解：当直线斜率存在时，设直线，
即，
圆心到直线的距离为，
解得，
此时直线方程为，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，
综上，所求直线方程为或.
（2）解：记圆心到直线的距离为，则，
又弦长为，圆的半径为2，则，
解得，所以.
【解析】【分析】(1)首先直线化简直线的方程，结合点到直线的距离公式计算出k的取值，由此即可得出直线的方程。
(2)根据题意由点到直线的距离公式，结合已知条件计算出m的取值即可。
18．【答案】（1）解：由圆C经过点，得圆心C在直线上，
又∵圆心C在直线上，∴圆心C的坐标为
设圆C的半径为r，则，
故圆C的方程为.
化成一般方程为
（2）解：圆O与圆C的方程联立，得到方程组，两式作差，
得，即为直线MN的方程.
原点O到直线MN的距离
又圆O的半径为2，∴由勾股定理得
故.
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出x的取值，由此求出圆心坐标再由两点间的距离公式计算出r的取值，结合圆的一般式计算出结果即可。
(2)首先联立两圆的方程由此即可得出直线的方程，再由点到直线的距离公式计算出d的值然后由勾股定理计算出弦长的值。
19．【答案】（1）解：令 圆心 ，
圆心 到直线 距离： ，
, ，
（2）解：圆 即 ，
，
，
，
，
结合韦达定理的结论解得 ，
易知直线 经过圆心， .
【解析】【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，与半径比较，解不等式，即可求出实数k的取值范围；
（2）将直线方程与圆的方程联立，根据韦达定理，结合向量的数量积运算，求出k，即可得到MN的长度.
20．【答案】（1）解：由已知可得圆的半径为 ．
∴圆 的标准方程
（2）解：由题意可知，直线方程为 ，即 ．
由 ，解得 ．
∴实数 的取值范围是 ．
【解析】【分析】（1）利用圆心坐标结合点P在圆上，结合代入法，从而求出圆C的标准方程。
（2）利用点斜式求出过点 且斜率为 的直线 的方程，再利用直线 与圆 没有公共点，用直线与圆的位置关系的判断方法，从而求出实数 的取值范围。
21．【答案】（1）解：由题意设圆心为 ，半径为 ，则圆的标准方程为 ．
由题意得 ，解得 ，
所以圆 的标准方程为 .
（2）解：由题意知道，圆O1的圆心为（6，0），半径 ，
又 的边 所在直线方程为 ，即 ，
所以点O1到直线AB的距离为 ，
设三角形 的边 上的高为 ，则 ，即 ，
又 ，
所以三角形 的面积 .
【解析】【分析】(1)根据题意首先设出圆的方程，再由点在圆上把点的坐标代入求出a与r的值，由此得出圆的方程。
(2)由已知条件利用两点式求出直线的方程，再由点到直线的距离公式计算出点O1到直线AB的距离 ，结合勾股定理以及三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
22．【答案】（1）解：设圆M的方程为 将A，B点坐标代入得：9 - 3D + F = 0， ①
5+D+2E+F =0 ②
又圆M的圆心在直线 上，所以 ③
解 ①，②，③ 得：
∴圆M的方程为 .
（2）解：将圆M的方程化为标准方程得： ， ∴圆心 ，半径r = ， 直线 与圆M相切，且原点在圆M内， 直线 不过原点， ∵ 在y轴上的截距是 在x轴上截距的两倍， 故可设直线 的方程为 ， 即为 ，
∵直线 与圆M相切，∴圆心M到 的距离 ，
即 ， 解得 或 ， ∴ 直线 的方程为 或 ．
【解析】【分析】（1）设圆M的方程为 ，将A，B点坐标代入得：9 - 3D + F = 0，再由圆M的圆心在直线 ，即可求圆M的方程；
（2）由题意，直线l不过原点，设方程为 ，即 ，利用直线与圆M相切，建立方程，求出a，可得直线l的方程。
23．【答案】（1）解： 直线 与圆 相切， 圆心 到直线 的距离
，解得
（2）解：当 时，直线 的方程为 ，圆心 到直线 的距离 ，
弦长
【解析】【分析】本题第（1）问，由于直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即有 ，只要解出m即可；第（2）问，先求出圆心到直线的距离 ，由于原的半径为1，则由勾股定理可求出弦长．
24．【答案】（1）解：设圆心坐标为 ，
则 ，
解得： ，
圆的半径 ，
圆C的方程为： .
（2）解： 为直角三角形， ，
，
则圆心C到直线 的距离 ；
当直线 斜率不存在，即 时，满足圆心C到直线 的距离 ；
当直线 斜率存在时，设 ，即 ，
，解得： ，
，即 ；
综上所述：直线 的方程为 或 .
【解析】【分析】 (1)根据直线和圆相切的等价条件及过两点求圆的方程进行求解，即可求出圆的方程；
(2)由题意得 ， 得弦长与半径的关系， 设 ，利用半径、圆心到直线的距离、半个弦长之间的关系，求出直线的方程.
25．【答案】（1）解：在直线中，令，则，
由题意可知，入射光线与反射光线所在的直线关于轴对称，
则反射光线所在直线的斜率为，且过点，
所以直线关于x轴的对称直线为，
点（2，8）到直线距离，
圆方程为；
（2）解：设圆心到直线的距离为d，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
即.
【解析】【分析】（1） 在直线中，令，得出x的值，由题意可知，入射光线与反射光线所在的直线关于轴对称，进而得出反射光线所在直线的斜率，且过点，所以直线关于x轴的对称直线为，再利用点到直线的距离公式得出点（2，8）到直线距离，从而得出圆C的半径长，进而得出圆C的标准方程。
（2） 设圆心到直线的距离为d，再利用点到直线的距离公式公式得出，再利用结合弦长公式得出的取值范围，进而得出实数k的取值范围。
26．【答案】（1）解：圆C的标准方程为 ，圆心C的坐标为 ，半径长为 ，
当直线l与圆C相切时，则 ，解得
（2）解：由题意知，圆心C到直线l的距离为 ，
由点到直线的距离公式可得 ，整理得 ，解得 或 .
因此，直线 的方程为 或
【解析】【分析】（1）将圆 的方程化为标准形式，得出圆C的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a的值，进而可得出直线 的方程.
27．【答案】（1）解：因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.又因为点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0
（2）解：由 可得点A的坐标为(0，－2)．
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)．
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又|AM|＝ ，
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8
【解析】【分析】 本题考查直线方程的求法，考查圆的方程的求法，考查向量数量积的求法，解题时要认真审题，注意直线性质的灵活运用．
28．【答案】（1）解：设圆方程为．
因为圆经过，，三点，
所以，解得．
所以圆方程为．
（2）解：圆方程可化为，所以圆的圆心为，半径为5．
因为，设中点为，则，，从而．
即点到直线的距离为．
直线经过点．
当直线与轴垂直时，直线的方程为，点到直线的距离为，
满足题意；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即．
所以，解得，
此时直线的方程为．
因此，满足题意的直线的方程为和．
【解析】【分析】(1)首先把点的坐标代入到圆的一般方程，由此计算出D、E、F的取值，从而得出圆的方程。
(2)根据题意把圆的方程化为标准式，由此得出圆心坐标以及半径再由点到直线的距离公式，对直线的斜率分情况讨论即可计算出k的取值，从而得出直线的方程。
29．【答案】（1）设圆的半径为r，由直线与圆相切，d=r，
即 ，所以圆的半径为1.
故圆的标准方程为： .
（2）设 ，即 ，
因为点P在圆C上运动，
只需 与 有公共点，
即圆心 到直线 的距离 即可.
∴ ，解得：
故 的最大值为 ，最小值为 .
【解析】【分析】(1)根据题意由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算出圆的半径，从而得出圆的方程。
(2)由已知条件设 ，即 ，结合点到直线的距离公式求出圆心坐标到直线的距离，从而得到 由此即可得出 的最大值。
30．【答案】（1）解：当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝ |AB|＝ .故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；
（2）解：由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为 ，
AB的垂直平分线的方程是y－1＝ x，即x－3y＋3＝0.
由 解得
即圆心坐标是C(3，2)．
又r＝|AC|＝ ＝2 .
所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【解析】【分析】 (1)根据题意，求出以线段AB为直径的圆，即为所求周长最小的圆的方程；
(2)求出线段AB的中垂线与直线2x-y-4=0交点C(3， 2)，可得所求圆的圆心为C(3， 2)，求出AB的长即为圆的半径长，由此即可得到圆心在直线2x-y-4=0上圆的方程.
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