2.4二次函数的应用第2课时（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

(共21张PPT)
北师大版 数学 九年级下册
第2课时
第二章 二次函数
4 二次函数的应用
学习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）
1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）转化为顶点式为 ；
它的对称轴为 ，
顶点坐标公式为 .
复习回顾
2.利润问题中的数量关系：
直线
(
（1）销售额= 售价×销售量;
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
一、创设情境，引入新知
前面我们应用二次函数解决了面积的最值问题，能不能也应用二次函数解决最大利润问题呢？本节课我们将继续探究.
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
二、自主合作，探究新知
探究：应用二次函数解决最大利润问题
做一做：服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
【分析】若设批发价为x元，该服装厂获得的利润为y元，请完成下面的填空题：(1)每件T恤衫的利润可以表示为 .
(2)经销量可以表示为 .
(3)厂家获利可以表示为 .
(4)y与x的关系可以表示为 .
（x-10）元
件
（x-10）元
y=（x-10）
二、自主合作，探究新知
解：设批发价为x元，该服装厂获得的利润为y元.
由题意得 y=（x-10）
=5000(x-10)(14-x)
=-5000(x-12)2+20000
∵a=-5000＜0
∴抛物线开口向下，函数有最大值
∵对称轴为直线x=12
又∵10≤x＜13
∴当x=12时，y有最大值.
∴厂家批发单价是12元时可以获利最多.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
【分析1】如果设每间房的日租金提高10x元，那么提价后每间房的日租金为 元，提价后所租出去的房间数为 间.
(160＋10x)
(120－6x)
【分析2】如果设每间客房的日租金提高到x元，租出去的房间数为
间.
二、自主合作，探究新知
解法一：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间，设客房日租金为y元，则
y=(160+10x)(120-6x)=－60(x－2)2+19440.
∵x≥0，且120－6x＞0，
∴0≤x＜20.
∵a=-60＜0,
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∵对称轴为直线x=2,
∴当x=2时，y有最大值，且y最大=19440.
这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元).
∴每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最大收入为19440元.
二、自主合作，探究新知
解法二：设每间客房的日租金提高到x元，则每天客房出租数会减少×6间．设客房的日租金总收入为y元.
则y＝x＝－0.6(x－180)2＋19440.
∵x≥160，且＞0，
∴160≤x＜360.
∵a=-0.6＜0,
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∵对称轴为直线x=180,
∴当x=180时，y有最大值，且y最大=19440.
∴每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元.
议一议：还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗 我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式:
y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60 000.
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
二、自主合作，探究新知
解：(1)y＝－5x2＋100x＋60000
＝-5(x-10)2+60500.
函数图象如图所示.
二、自主合作，探究新知
(2)令y＝60400，即-5(x-10)2+60500=60400，
解得x1=10-2，x2=10+2,
∴结合图象可得，当10-2＜x＜10+2时，y＞60400,
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上
数形结合
又∵x为正整数，
∴增种6棵，7棵，8棵，9棵，10棵，11棵，12棵，13棵，14棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400以上.
知识要点
二、自主合作，探究新知
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
三、即学即练，应用知识
1.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式为y＝－4x＋440，要获得最大利润，该商品的售价应定为(　 　)
A.60元 B.70元 C.80元 D.90元
C
2. 某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70，当x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价应定为（　　）
A．160元 B．180元 C．140元 D．200元
A
三、即学即练，应用知识
3.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件.若使利润最大，每件的售价应为 元.
25
4.进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）.
y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
三、即学即练，应用知识
5.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式.
(2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
解：(1)由题意，得y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x－27 500，即y＝－5x2＋800x－27 500(50≤x≤100)．
(2)y＝－5x2＋800x－27 500＝－5(x－80)2＋4 500.
∵ a＝－5＜0，
∴ 抛物线开口向下．
∵ 50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，
∴ 当x＝80时，y最大＝4 500.
∴当销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元.
四、课堂小结
建立函数关系式
确定自变量的取值范围
确定最大利润
二次函数的应用--最大利润问题
总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本.
涨价:要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
五、当堂达标检测
1.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（　　）
A．1月，2月 B．1月，2月，3月
C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月
D
2.某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克;销售单价每涨上1元,月销售量就减少10千克.设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数表达式为( )
A.y=(x一40)(500-10x) B.y=(x-40)(10x-500)
C.y=(x一40)[500-10(x一50)] D.y=(x一40)[500-10(50-x)]
C
五、当堂达标检测
3.出售某件商品若每件获利x元，则一天可售出(8一x)个，则当x= 元时，一天出售该种手工艺品的总利润最大为 元.
4
16
4.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市"期间，计划将头盔降价销售，经调查发现:每降价1元，每月可多售出20顶。已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元.
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5. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
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x
y
5
16
O
五、当堂达标检测
解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元；
五、当堂达标检测
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
(2)由对称性知y=16时，x=7和13.
故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
7
x
y
5
16
O
教材习题2.9；　　　　
六、布置作业