2.5二次函数与一元二次方程第1课时（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

(共28张PPT)
北师大版 数学 九年级下册
第1课时
第二章 二次函数
5 二次函数与一元二次方程
学习目标
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.（重点）
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.（难点）
1.一元二次方程a+bx+c=0的根的判别式Δ= ,
当Δ_____0时,方程有两个不相等的实数根;
当________时,有两个相等的实数根;
当________时,没有实数根.
复习回顾
＞
Δ＝0
Δ＜0
2.一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的 就是一元一次方程kx＋b＝0的根．
横坐标
一、创设情境，引入新知
现在我们学习了一元二次方程ax ＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax ＋bx＋c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？
一个小球从地面被竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.你能从图象看出什么信息呢？
二、自主合作，探究新知
探究：二次函数与一元二次方程的关系
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么
(1)h与t的关系式是什么？
解：（1）由图象可得h0＝0，v0＝40.
∴h与t的关系式为h＝－5t2＋40t.
二、自主合作，探究新知
（2）方法一：由图象可得小球经过8 s后落地.
方法二：令h＝0，得－5t2＋40t＝0，即t2－8t＝0，
∴ t(t－8)＝0.
解得t1＝0，t2＝8.
∵ t＝0是小球没抛时的时间，
∴ t＝8是小球落地时的时间.
∴ 小球经过8 s后落地.
“数形结合”思想
(2)小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流.
二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象分别如图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点 交点坐标分别是什么？
（1）二次函数y＝x2＋2x的图象与x轴有2个交点，为（-2，0）和（0，0）.
二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有1个交点，为（1，0）.
二次函数y＝x2－2x＋2的图象与x轴没有交点.
二、自主合作，探究新知
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根 用判别式验证一下.一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗 分别求出它们的根.
一元二次方程x2＋2x＝0的Δ=4＞0，
∴方程有2个不相等的实数根.
解：x(x+2)=0
x=0或x+2=0
∴ x1=-2，x2=0
y=x2+2x
2个交点
二、自主合作，探究新知
一元二次方程x2－2x＋1＝0的Δ=0，
∴方程有2个相等的实数根.
解： (x-1)2=0
∴ x1=x2=1
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根 用判别式验证一下.一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗 分别求出它们的根.
y=x2-2x+1
1个交点
二、自主合作，探究新知
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根 用判别式验证一下.一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗 分别求出它们的根.
∵一元二次方程x2－2x＋2＝0的Δ=-4＜0,
∴方程没有实数根.
y=x2-2x+2
没有交点
二、自主合作，探究新知
(3)二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程ax ＋bx＋c＝0的根有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系：
二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.
与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根（b2－4ac>0）、有两个相等的实数根（b2－4ac＝0）、没有实数根（b2－4ac<0）.
二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根.
二、自主合作，探究新知
典型例题
分析：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，只需令y＝0，求出x的值即可．
【方法总结】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标．
例1：求二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象与x轴的交点坐标．
解：令y＝－(x－2)2＋1＝0，
解得x1＝0，x2＝4.
∴ 二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)．
二、自主合作，探究新知
例2: 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有交点；
典型例题
二、自主合作，探究新知
例2: 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
解得 x1＝1，x2＝.
当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1.
典型例题
想一想：在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？
二、自主合作，探究新知
方法一：令h＝60，即－5t2＋40t＝60,
解得 t1=2，t2=6,
∴2s或6s时，小球离地面的高度是60m.
方法二：由图象可得.
【方法归纳】可以利用图象，也可以解方程.
二、自主合作，探究新知
x
y
o
2
4
1
练一练：一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来.
一元二次方程的根即为二次函数当y值为1时，对应的x的值.
由图象得一元二次方程的根为x1=2，x2=4.
知识要点
二、自主合作，探究新知
一般地，当二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的y取某一定值m时,求自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m.
反过来，解方程ax2+bx+c=m又可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值为m，求自变量x的值．
二次函数与一元二次方程的关系:
例3：如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m．
(1)求这个二次函数的解析式；
二、自主合作，探究新知
典型例题
解：(1)设二次函数的解析式为y=a（x-4）2+3，
把（0，0.6）代入得
0.6=a（0-4）2+3，解得
∴
二、自主合作，探究新知
(2)该同学把铅球推出去多远？
(2)当y=0时，0
解得（舍去）.
答：该男同学把铅球推出去(4+2)m远．
三、即学即练，应用知识
1.抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是(　 　)A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
2.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　 )A.无解 B.x＝1C.x＝－4 D.x1＝－1，x2＝4
A
D
5.抛物线y＝（k﹣1）﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ______________ ．
三、即学即练，应用知识
3.若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为___________.
-1
4.已知方程的两个根分别为,,那么可知抛物线与x轴的交点为 .
（-1，0）（3，0）
≤
三、即学即练，应用知识
6. 已知二次函数y＝2x2－mx－m2.(1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标.
(1)证明：2x2－mx－m2＝0，Δ＝(－m)2－4×2×(－m2)＝9m2.∵ m2≥0，∴ 9m2≥0，∴ 对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点.　
三、即学即练，应用知识
（2）解：把(1，0)代入二次函数表达式，得2－m－m2＝0，∴ m1＝－2，m2＝1.当m＝－2时，二次函数表达式为y＝2x2＋2x－4,令y＝0，得2x2＋2x－4＝0，解得x＝1或x＝－2，∴ 二次函数图象与x轴的两个公共点的坐标是(1，0)，(－2，0).又∵ A点坐标为(1，0)，∴ B(－2，0).
当m＝1时，同理可得B（）.
四、课堂小结
二次函数y＝ax ＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系 一元二次方程ax ＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况 b2-4ac的值
有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0
只有一个公共点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0
无公共点 无实数根 b2-4ac<0
1.二次函数与一元二次方程有下列对应关系：
2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
2.小兰画了一个函数的图像如图，则关于x的方程的解是( )
A.无解 B.
C. D.
x
y
o
-1
4
1.若一元二次方程有两个相等的实数根，则函数与x轴的交点个数为( )
A.有两个交点 B.有一个交点
C.没有交点 D.以上都不对
五、当堂达标检测
B
D
4.若关于x的函数与x轴仅有一个交点，则实数k的值为 .
3.抛物线与坐标轴的交点个数是( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
五、当堂达标检测
B
-1
5.抛物线y＝2（x﹣1）（x﹣3）与x轴的交点坐标是 _________________．
（1，0）,（3，0）
6.已知关于x的一元二次方程+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程+x﹣m＝0的解．
五、当堂达标检测
解：（1）∵一元二次方程+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即1+4m＞0，
∴m＞，
∴m的取值范围为m＞；
（2）二次函数y＝+x﹣m图象的对称轴为直线x，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
教材习题2.10；　　　　
六、布置作业